10. trinn Vår 2014 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Regn ut 831 + 1196 og 1620 delt på 120

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

$831 + 1196 =$

$987 - 789 =$

$14,2 \cdot 3,1 =$

$1620 : 120 =$

Fasit

$2027$

$198$

$44,02$

$13,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger sammen de to tallene:

831 + 1196 = 2027

Svaret er $2027$ .

Vi trekker det minste tallet fra det største:

987 - 789 = 198

Svaret er $198$ .

Vi multipliserer $14,2$ med $3,1$ . Det kan gjøres ved å dele opp $3,1$ i $3$ og $0,1$ :

\begin{matrix} 14,2 \cdot 3 & = 42,6 \\ 14,2 \cdot 0,1 & = 1,42 \\ 42,6 + 1,42 & = 44,02 \end{matrix}

Svaret er $44,02$ .

Vi deler $1620$ på $120$ . Vi forkorter først begge tallene med $60$ :

\frac{1620}{120} = \frac{27}{2} = 13,5

Svaret er $13,5$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Enhetsomgjøring av 3,25 h og 36 km per time

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gjør om

$3,25 h =$ min

$9,3 t =$ kg

$2400 {c m}^{3} =$ L

$36 k m / h =$ m/s

Fasit

$195 \min$

$9300 kg$

$2,4 L$

$10 m / s$

LøsningsforslagKI-generert

$1 h = 60 \min$ . Vi deler opp $3,25 h$ i $3 h$ og $0,25 h$ :

\begin{matrix} 3 h & = 3 \cdot 60 \min = 180 \min \\ 0,25 h & = 0,25 \cdot 60 \min = 15 \min \\ 180 \min + 15 \min & = 195 \min \end{matrix}

Svaret er $195 \min$ .

$1 t$ (tonn) $= 1000 kg$ . Vi ganger med $1000$ :

9,3 \cdot 1000 kg = 9300 kg

Svaret er $9300 kg$ .

$1 L = 1000 {cm}^{3}$ . Vi deler på $1000$ :

\frac{2400}{1000} L = 2,4 L

Svaret er $2,4 L$ .

$1 k m / h = \frac{1000 m}{3600 s}$ , altså deler vi på $3,6$ for å gå fra $k m / h$ til $m / s$ :

\frac{36}{3,6} m / s = 10 m / s

Svaret er $10 m / s$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Måleenheter, Sammensatte måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Standardform for 62 000 og potens med minus tre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv på standardform: $62 000 =$

Regn ut: ${({(- 3)}^{2})}^{2} - 3^{0} =$

Fasit

$6,2 \cdot 10^{4}$

$80$

LøsningsforslagKI-generert

Et tall på standardform skrives som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens. Vi flytter komma slik at det bare står ett siffer foran komma:

62 000 = 6,2 \cdot 10 000 = 6,2 \cdot 10^{4}

Svaret er $6,2 \cdot 10^{4}$ .

Vi regner innenfra og ut. Først finner vi ${(- 3)}^{2}$ :

{(- 3)}^{2} = 9

Så kvadrerer vi svaret:

9^{2} = 81

Til slutt vet vi at ethvert tall opphøyd i null er $1$ , altså $3^{0} = 1$ :

81 - 1 = 80

Svaret er $80$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Standardform, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Brøkregning med femdeler, tredeler og firedeler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut, og forkort brøken hvis det er mulig

$\frac{1}{5} + \frac{2}{5} =$

$\frac{5}{2} - \frac{2}{3} =$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} =$

$4 : \frac{2}{3} =$

Fasit

$\frac{3}{5}$

$\frac{11}{6}$

$\frac{1}{8}$

$6$

LøsningsforslagKI-generert

Brøkene har samme nevner, så vi legger sammen tellerne:

\frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{1 + 2}{5} = \frac{3}{5}

Brøken kan ikke forkortes videre. Svaret er $\frac{3}{5}$ .

Brøkene har ulik nevner, så vi må finne felles nevner. Minste felles nevner for $2$ og $3$ er $6$ :

\begin{matrix} \frac{5}{2} & = \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{15}{6} \\ \frac{2}{3} & = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} \end{matrix}

Så trekker vi tellerne fra hverandre:

\frac{15}{6} - \frac{4}{6} = \frac{11}{6}

Brøken kan ikke forkortes. Svaret er $\frac{11}{6}$ (tilsvarer $1 \frac{5}{6}$ ).

Vi multipliserer brøker ved å gange teller med teller og nevner med nevner:

\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 4} = \frac{2}{16}

Vi forkorter med $2$ :

\frac{2}{16} = \frac{1}{8}

Svaret er $\frac{1}{8}$ .

Å dele på en brøk er det samme som å gange med den snudde brøken:

4 : \frac{2}{3} = 4 \cdot \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6

Svaret er $6$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Brøk, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Løs likningene 3x = x + 8 og (x+2)^2 = x^2 + 6

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

3 x = x + 8

{(x + 2)}^{2} = x^{2} + 6

Fasit

$x = 4$

$x = \frac{1}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal samle alle $x$ -ledd på én side. Vi trekker $x$ fra begge sider:

\begin{matrix} 3 x & = x + 8 \\ 3 x - x & = x + 8 - x \\ 2 x & = 8 \end{matrix}

Så deler vi begge sider med $2$ :

\begin{matrix} \frac{2 x}{2} & = \frac{8}{2} \\ x & = 4 \end{matrix}

Svaret er $x = 4$ .

Vi ganger ut parentesen på venstre side ved hjelp av første kvadratsetning, ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ :

{(x + 2)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = x^{2} + 4 x + 4

Likningen blir da:

x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 6

Vi trekker $x^{2}$ fra begge sider, slik at andregradsleddene faller bort:

\begin{matrix} x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} & = x^{2} + 6 - x^{2} \\ 4 x + 4 & = 6 \end{matrix}

Så trekker vi $4$ fra begge sider:

\begin{matrix} 4 x + 4 - 4 & = 6 - 4 \\ 4 x & = 2 \end{matrix}

Til slutt deler vi begge sider med $4$ :

\begin{matrix} \frac{4 x}{4} & = \frac{2}{4} \\ x & = \frac{1}{2} \end{matrix}

Svaret er $x = \frac{1}{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Likninger, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Kveldstillegg på 25 prosent for Mads

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mads tjener 130 kroner per time. Hvis han jobber om kvelden, får han et tillegg i lønnen på 25 %.

Hvor mye tjener Mads hvis han jobber 4 timer om kvelden?

Fasit

$650 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først hvor stort tillegget er. Tillegget er 25 % av timelønnen på 130 kroner:

0,25 \cdot 130 kr = 32,5 kr

Da blir timelønnen om kvelden:

130 kr + 32,5 kr = 162,5 kr

Mads jobber 4 timer, så vi ganger timelønnen med 4:

4 \cdot 162,5 kr = 650 kr

Mads tjener $650 kr$ på fire timer om kvelden.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Prosentregning, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Forenkling av bokstavbrøker med a og b

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{6 a^{3}}{2 a^{2}}

\frac{6 a - 6}{12 b^{2}} : \frac{a - 1}{4 b^{3}}

Fasit

$3 a$

$2 b$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forkorter tallene for seg og potensene av $a$ for seg:

\frac{6 a^{3}}{2 a^{2}} = \frac{6}{2} \cdot \frac{a^{3}}{a^{2}} = 3 \cdot a = 3 a

Svaret er $3 a$ .

Vi begynner med å faktorisere telleren $6 a - 6$ ved å trekke ut fellesfaktoren 6:

6 a - 6 = 6 (a - 1)

Å dividere med en brøk er det samme som å multiplisere med den snudde brøken, så vi snur den siste brøken og bytter divisjonstegnet med et gangetegn:

\frac{6 a - 6}{12 b^{2}} : \frac{a - 1}{4 b^{3}} = \frac{6 (a - 1)}{12 b^{2}} \cdot \frac{4 b^{3}}{a - 1}

Vi ganger teller med teller og nevner med nevner:

\frac{6 (a - 1) \cdot 4 b^{3}}{12 b^{2} \cdot (a - 1)} = \frac{24 b^{3} (a - 1)}{12 b^{2} (a - 1)}

Faktoren $(a - 1)$ finnes i både teller og nevner, og forkortes bort. Deretter forkorter vi $24 b^{3}$ og $12 b^{2}$ med $12 b^{2}$ :

\frac{24 b^{3} (a - 1)}{12 b^{2} (a - 1)} = \frac{24 b^{3}}{12 b^{2}} = 2 b

Svaret er $2 b$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Algebra, Brøk
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Sannsynlighet for røde kuler i en eske med fem kuler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske ligger det to grå kuler og tre røde kuler.

Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig én rød kule.
Svar:

Du legger kulen tilbake i esken.

Bestem sannsynligheten for at du trekker tilfeldig to røde kuler når den første kulen ikke legges tilbake i esken før du trekker den andre kulen.
Svar:

Fasit

$P = \frac{3}{5}$

$P = \frac{3}{10}$

LøsningsforslagKI-generert

I esken er det totalt $2 + 3 = 5$ kuler, og 3 av dem er røde. Sannsynligheten for å trekke én rød kule er antall gunstige utfall delt på antall mulige utfall:

P (rød) = \frac{3}{5}

Svaret er $P = \frac{3}{5}$ .

Nå trekker vi to kuler etter hverandre, uten å legge den første tilbake i esken.

Sannsynligheten for at den første kulen er rød, er som i a):

P (1. rød) = \frac{3}{5}

Siden den røde kulen ikke legges tilbake, er det nå bare $5 - 1 = 4$ kuler igjen i esken, og av dem er $3 - 1 = 2$ røde. Sannsynligheten for at også den andre kulen er rød, er da:

P (2. rød | 1. rød) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Siden trekningene skjer etter hverandre, multipliserer vi sannsynlighetene (produktsetningen):

P (begge røde) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}

Svaret er $P = \frac{3}{10}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Pris på skolebrød og vannflaske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To skolebrød og tre vannflasker koster til sammen 85 kroner. To skolebrød og én vannflaske koster til sammen 55 kroner.

Hva koster ett skolebrød, og hva koster én vannflaske?

Fasit

Skolebrød: $20 kr$ , vannflaske: $15 kr$

LøsningsforslagKI-generert

La $s$ være prisen på ett skolebrød og $v$ være prisen på én vannflaske, begge i kroner.

Av opplysningene i oppgaven kan vi sette opp to likninger:

\begin{matrix} 2 s + 3 v & = 85 \\ 2 s + v & = 55 \end{matrix}

Vi løser likningssystemet med innsettingsmetoden. Fra den andre likningen isolerer vi $v$ ved å trekke $2 s$ fra begge sider:

\begin{matrix} 2 s + v - 2 s & = 55 - 2 s \\ v & = 55 - 2 s \end{matrix}

Så setter vi dette uttrykket for $v$ inn i den første likningen:

\begin{matrix} 2 s + 3 (55 - 2 s) & = 85 \\ 2 s + 165 - 6 s & = 85 \\ - 4 s + 165 & = 85 \end{matrix}

Vi trekker 165 fra begge sider:

\begin{matrix} - 4 s + 165 - 165 & = 85 - 165 \\ - 4 s & = - 80 \end{matrix}

Til slutt deler vi begge sider med $- 4$ :

\begin{matrix} \frac{- 4 s}{- 4} & = \frac{- 80}{- 4} \\ s & = 20 \end{matrix}

Vi setter $s = 20$ inn i uttrykket for $v$ :

v = 55 - 2 \cdot 20 = 55 - 40 = 15

Ett skolebrød koster $20 kr$ , og én vannflaske koster $15 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Likningssystem, Tekstoppgave
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Målestokk når 2 cm på kartet er 100 km

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På et kart er avstanden mellom to byer 2 cm. I virkeligheten er avstanden (i luftlinje) mellom byene 100 km.

Målestokken på kartet er

Fasit

$1 : 5 000 000$

LøsningsforslagKI-generert

Målestokk forteller hvor mange ganger større avstanden i virkeligheten er enn avstanden på kartet. Vi må derfor skrive om begge avstandene til samme måleenhet, for eksempel centimeter.

Avstanden på kartet er:

2 cm

Vi gjør om avstanden i virkeligheten fra kilometer til centimeter. Det er $1000$ meter i en kilometer, og $100$ centimeter i en meter, så vi ganger med $1000 \cdot 100 = 100 000$ :

100 km = 100 \cdot 100 000 cm = 10 000 000 cm

Målestokken er forholdet mellom avstanden på kartet og avstanden i virkeligheten:

2 cm : 10 000 000 cm

Vi forkorter begge tallene med 2, slik at forholdstallet på kartsiden blir 1:

2 : 10 000 000 = 1 : 5 000 000

Målestokken på kartet er $1 : 5 000 000$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Målestokk, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Tid for å fylle 100 kubikkmeter vann i et basseng

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et basseng fylles med $1 m^{3}$ vann på 10 min.

Hvor lang tid tar det å fylle $100 m^{3}$ vann i bassenget?

Fasit

$16 t 40 m i n$

LøsningsforslagKI-generert

Det tar 10 min å fylle $1 m^{3}$ vann. Bassenget skal fylles med $100 m^{3}$ , altså 100 ganger så mye vann. Vi ganger derfor tiden med 100:

100 \cdot 10 \min = 1000 \min

Nå gjør vi om minutter til timer og minutter. Det går 60 min på 1 time, så vi deler 1000 på 60:

1000 \min \div 60 = 16 timer, med rest 40 m i n

Det ser vi ved at $16 \cdot 60 = 960$ , og $1000 - 960 = 40$ . Det tar altså

16 t 40 m i n

å fylle bassenget.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 0.5
Temaer: Forholdsregning, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Formel for skostørrelse ut fra fotlengde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi beregner skostørrelse etter denne formelen:

S = \frac{3 F + 5}{2}

$S$ er skostørrelse
$F$ er fotlengde (cm)

Håkons fot er 25 cm lang.

Hvilken skostørrelse bruker han?
Svar:

Kathrine bruker skostørrelse 37.

Hvor lange er føttene hennes?
Svar: cm

Fasit

$S = 40$

$F = 23 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Håkons fot er $F = 25 cm$ lang. Vi setter dette inn i formelen:

S = \frac{3 \cdot 25 + 5}{2} = \frac{75 + 5}{2} = \frac{80}{2} = 40

Håkon bruker altså skostørrelse

S = 40

Nå vet vi at $S = 37$ , og vi skal finne $F$ . Vi setter $S = 37$ inn i formelen og løser likningen:

\begin{matrix} 37 & = \frac{3 F + 5}{2} \\ 37 \cdot 2 & = \frac{3 F + 5}{2} \cdot 2 \\ 74 & = 3 F + 5 \\ 74 - 5 & = 3 F + 5 - 5 \\ 69 & = 3 F \\ \frac{69}{3} & = \frac{3 F}{3} \\ 23 & = F \end{matrix}

Føttene hennes er

F = 23 cm

lange.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1.5
Temaer: Formler, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Verditabell og grafer for 2x - 1 og 6 delt på x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fyll ut det som mangler i verditabellen for funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

f (x) = 2 x - 1 g (x) = \frac{6}{x}

$x$	$f (x)$	Koordinater
$0$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$
$2$	$3$
$3$

$x$	$g (x)$	Koordinater
$1$		$(1, 6)$
$2$	$3$
$3$
$4$		$(4, 1,5)$
$5$	$1,2$

Tegn grafene til $f$ og $g$ i koordinatsystemet nedenfor.

Skjæringspunktet mellom grafene til $f$ og $g$ er ( , )

Koordinatsystem med x-akse fra -1 til 6 og y-akse fra -2 til 6

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

Se løsningsforslag.

$(2, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn hver $x$ -verdi i funksjonsuttrykket.

For $f (x) = 2 x - 1$ :

f (1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 f (3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5

Dette gir koordinatene $(1, 1)$ , $(2, 3)$ (allerede oppgitt $f (2) = 3$ ) og $(3, 5)$ .

For $g (x) = \frac{6}{x}$ :

g (1) = \frac{6}{1} = 6 g (3) = \frac{6}{3} = 2 g (4) = \frac{6}{4} = 1,5

Dette gir koordinatene $(1, 6)$ , $(2, 3)$ (siden $g (2) = 3$ er oppgitt), $(3, 2)$ , $(4, 1,5)$ og $(5, 1,2)$ .

De utfylte tabellene blir:

$x$	$f (x)$	Koordinater
$0$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1$	$(1, 1)$
$2$	$3$	$(2, 3)$
$3$	$5$	$(3, 5)$

$x$	$g (x)$	Koordinater
$1$	$6$	$(1, 6)$
$2$	$3$	$(2, 3)$
$3$	$2$	$(3, 2)$
$4$	$1,5$	$(4, 1,5)$
$5$	$1,2$	$(5, 1,2)$

Vi plotter punktene fra tabellene i koordinatsystemet og tegner en strek gjennom dem.

Grafen til $f$ er en rett linje (den stiger jevnt, siden $f (x) = 2 x - 1$ er en lineær funksjon). Vi setter av punktene $(0, - 1)$ , $(1, 1)$ , $(2, 3)$ og $(3, 5)$ og trekker en rett strek gjennom dem.

Grafen til $g$ er en kurve som synker brattest nær $x = 0$ og flater ut mot høyre (omvendt proporsjonalitet). Vi setter av punktene $(1, 6)$ , $(2, 3)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1,5)$ og $(5, 1,2)$ og tegner en jevn kurve gjennom dem.

Skjæringspunktet er der $f (x)$ og $g (x)$ har samme verdi for samme $x$ . Vi ser av tabellene at ved $x = 2$ er $f (2) = 3$ og $g (2) = 3$ — begge funksjonene har verdien $3$ når $x = 2$ . Grafene skjærer altså hverandre i punktet

(2, 3)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2.5
Temaer: Lineære funksjoner, Omvendt proporsjonalitet, Graftegning, Skjæringspunkt
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 1-14Konstruksjon av likesidet trekant med omskrevet sirkel og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Konstruer $△ A B C$ der $A B = B C = A C = 7,0 c m$ .

En sirkel går gjennom punktene i $△ A B C$ . Sentrum $S$ i sirkelen er punktet der midtnormalene på de tre sidene i $△ A B C$ skjærer hverandre.

Konstruer sentrum $S$ og slå sirkelen om $S$ . Konstruer en tangent til sirkelen i $C$ .

Ta med hjelpefigur og en kort konstruksjonsforklaring.

Fasit

Se konstruksjonsforklaring i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Konstruksjonen gjøres i fire steg: først den likesidete trekanten, så midtnormalene som gir oss sentrum $S$ , deretter sirkelen, og til slutt tangenten i $C$ .

1. Konstruer den likesidete trekanten $A B C$

Trekk linjestykket $A B = 7,0 c m$ med linjal.
Sett passerspissen i $A$ og still passeren på radius $7,0 c m$ . Tegn en bue over $A B$ .
Sett passerspissen i $B$ , behold samme radius $7,0 c m$ , og tegn en ny bue som skjærer den første.
Skjæringspunktet mellom buene er $C$ . Trekk $A C$ og $B C$ . Nå er $△ A B C$ likesidet, siden alle sidene er $7,0 c m$ .

2. Konstruer midtnormalene og finn sentrum $S$

Sett passerspissen i $A$ med en radius som er litt mer enn halve $A B$ , og tegn buer over og under $A B$ .
Sett passerspissen i $B$ , behold samme radius, og tegn buer som skjærer de forrige to.
Trekk en rett linje gjennom de to skjæringspunktene. Dette er midtnormalen på $A B$ .
Gjenta framgangsmåten for siden $A C$ , slik at du også får midtnormalen på $A C$ .
Skjæringspunktet mellom de to midtnormalene er sentrum $S$ i den omskrevne sirkelen. (Siden alle punkt på en midtnormal har lik avstand til sidens to endepunkter, har $S$ lik avstand til alle tre hjørnene $A$ , $B$ og $C$ .)

3. Slå den omskrevne sirkelen

Sett passerspissen i $S$ og still passeren slik at den akkurat når fram til $A$ (radius $= S A$ ).
Tegn hele sirkelen. Fordi $S$ har lik avstand til $A$ , $B$ og $C$ , går sirkelen automatisk gjennom alle tre hjørnene.

4. Konstruer tangenten i $C$

Trekk (forleng) radien $S C$ litt forbi $C$ .
Konstruer normalen på $S C$ gjennom $C$ : sett passerspissen i $C$ og tegn to korte buer som skjærer linjen $S C$ på hver sin side av $C$ .
Sett passerspissen i hvert av disse to skjæringspunktene (med samme, litt større radius) og tegn buer som skjærer hverandre på begge sider av $C$ .
Trekk linjen gjennom de to nye skjæringspunktene. Denne linjen går gjennom $C$ og står vinkelrett på radien $S C$ — det er tangenten, siden en tangent til en sirkel alltid står normalt på radien i tangeringspunktet.

Illustrasjon: Den likesidete trekanten ABC med omskrevet sirkel med sentrum S og tangent i C

S er skjæringspunktet mellom midtnormalene, og tangenten i C står normalt på radien S C

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Konstruksjon, Geometri, Sirkel
Egen side: Åpne oppgave 1-14 for seg selv

Oppgave 1-15Formlike trekanter med 6 m, 8 m og 2 m

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På skissen er $△ D B A \sim △ E C B$ (formlike). En rett linje går gjennom punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Skisse med rettvinklede trekanter der AD er 6 m, DB er 8 m og EC er 2 m

Regn ut $A B$ .

Regn ut $B E$ .

Fasit

$A B = 10 m$

$B E = 1,5 m$

LøsningsforslagKI-generert

$△ D B A$ har rett vinkel i $D$ , med katetene $A D = 6 m$ og $D B = 8 m$ . Hypotenusen er $A B$ . Vi bruker Pytagoras’ setning:

\begin{matrix} A B^{2} & = A D^{2} + D B^{2} \\ A B^{2} & = 6^{2} + 8^{2} \\ A B^{2} & = 36 + 64 \\ A B^{2} & = 100 \\ \sqrt{A B^{2}} & = \sqrt{100} \\ A B & = 10 \end{matrix}

A B = 10 m

Trekantene $△ D B A$ og $△ E C B$ er formlike, med $D$ tilsvarende $E$ , $B$ tilsvarende $C$ , og $A$ tilsvarende $B$ . Det betyr at forholdet mellom to tilsvarende sider er det samme i begge trekanter. Katetene $A D$ og $B E$ er tilsvarende sider, og katetene $D B$ og $E C$ er tilsvarende sider:

\frac{A D}{B E} = \frac{D B}{E C}

Vi setter inn $A D = 6 m$ , $D B = 8 m$ og $E C = 2 m$ :

\begin{matrix} \frac{6}{B E} & = \frac{8}{2} \\ \frac{6}{B E} & = 4 \end{matrix}

Vi ganger begge sider med $B E$ og deler deretter begge sider på $4$ :

\begin{matrix} \frac{6}{B E} \cdot B E & = 4 \cdot B E \\ 6 & = 4 \cdot B E \\ \frac{6}{4} & = \frac{4 \cdot B E}{4} \\ 1,5 & = B E \end{matrix}

B E = 1,5 m

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Formlike trekanter, Geometri, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 1-15 for seg selv

Oppgave 1-16Arealuttrykk for kvadrat med sidene a minus 2 og 4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et stort kvadrat $A B C D$ består av to mindre kvadrater og to rektangler.

Kvadratet ABCD delt i to kvadrater og to rektangler med sidene a minus 2 og 4

Skriv et uttrykk for arealet til det store kvadratet $A B C D$ .

Fasit

${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4$

LøsningsforslagKI-generert

Metode 1: Legge sammen arealet av de fire delene

Det store kvadratet $A B C D$ er satt sammen av fire deler:

et kvadrat med side $(a - 2)$ , som har areal ${(a - 2)}^{2}$
to rektangler med sidene $(a - 2)$ og $4$ , som til sammen har areal $2 \cdot 4 (a - 2) = 8 (a - 2)$
et lite kvadrat med side $4$ , som har areal $4^{2} = 16$

Arealet av det store kvadratet er summen av disse fire delarealene:

{(a - 2)}^{2} + 8 (a - 2) + 16

Metode 2: Bruke sidelengden i det store kvadratet

Sidelengden i det store kvadratet er summen av de to sidestykkene:

(a - 2) + 4 = a + 2

Arealet av et kvadrat er sidelengden i andre potens, så arealet blir

{(a + 2)}^{2}

Kontroll: de to uttrykkene er like

Vi ganger ut parentesene i uttrykket fra metode 1 med kvadratsetningen ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$ :

\begin{matrix} {(a - 2)}^{2} + 8 (a - 2) + 16 & = (a^{2} - 4 a + 4) + (8 a - 16) + 16 \\ = a^{2} - 4 a + 8 a + 4 - 16 + 16 \\ = a^{2} + 4 a + 4 \end{matrix}

Og vi ganger ut ${(a + 2)}^{2}$ fra metode 2 med kvadratsetningen ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ :

{(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4

De to metodene gir samme uttrykk, som bekrefter at utregningen stemmer:

{(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4 a + 4

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 1
Temaer: Algebra, Areal og omkrets, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-16 for seg selv

Oppgave 2-1Billettpriser og klippekort i Badeland

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Inngangsbilletter

Alder	Enkeltbillett, pris (i kroner)	Klippekort 10 klipp, pris (i kroner)	Klippekort 25 klipp, pris (i kroner)
Voksen (fra 16 år)	125	1 150	2 665
Ungdom (10–15 år)	105	910	2 060
Barn (3–9 år)	95	710	1 485
Barn (0–2 år)	50

Anne (18 år), Eva (15 år) og Charles (14 år) går sammen til Badeland. Alle kjøper enkeltbillett.

Kalkulator

Hvor mye må Anne, Eva og Charles betale til sammen?

For å spare penger vil Anne kjøpe klippekort.

Kalkulator

Regn ut hvor mange prosent Anne sparer dersom hun kjøper klippekort (25 klipp) i stedet for 25 enkeltbilletter.

I løpet av et år kjøpte Charles ett klippekort med 25 klipp og ett klippekort med 10 klipp. I tillegg kjøpte han 12 enkeltbilletter.

Kalkulator

Regn ut hva Charles betalte i gjennomsnitt hver gang han var i svømmehallen dette året.

Fasit

$335 kr$

$14,72 %$

$90 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Anne er 18 år, og det er voksenpris: $125 kr$ . Eva er 15 år, og det er ungdomspris: $105 kr$ . Charles er 14 år, og det er også ungdomspris: $105 kr$ .

Vi legger sammen prisene:

125 + 105 + 105 = 335

Anne, Eva og Charles må betale $335 kr$ til sammen.

Svar: $335 kr$

Anne er voksen, så vi bruker voksenprisene i tabellen.

Først finner vi hva 25 enkeltbilletter koster:

25 \cdot 125 = 3 125

Klippekort med 25 klipp koster $2 665 kr$ .

Besparelsen i kroner er:

3 125 - 2 665 = 460

For å finne besparelsen i prosent, deler vi besparelsen på det hun ville betalt uten klippekort, og ganger med 100:

\frac{460}{3 125} \cdot 100 % = 14,72 %

Anne sparer altså $14,72 %$ ved å kjøpe klippekort med 25 klipp i stedet for 25 enkeltbilletter.

Svar: $14,72 %$

Charles er ungdom (10–15 år) hele året, så vi bruker ungdomsprisene.

Klippekort med 25 klipp: $2 060 kr$ Klippekort med 10 klipp: $910 kr$ 12 enkeltbilletter: $12 \cdot 105 = 1 260 kr$

Total kostnad:

2 060 + 910 + 1 260 = 4 230

Totalt antall besøk:

25 + 10 + 12 = 47

Gjennomsnittlig pris per besøk finner vi ved å dele total kostnad på antall besøk:

\frac{4 230}{47} = 90

Charles betalte i gjennomsnitt $90 kr$ hver gang han var i svømmehallen dette året.

Svar: $90 kr$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Økonomi, Prosentregning, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Oppstilling på åtte svømmebaner og forsprang i bassenget

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et svømmebasseng har 8 baner.

Kalkulator

På hvor mange ulike måter kan 8 svømmere stille seg opp på de 8 banene?

Anne og Eva skal svømme 100 m og starter samtidig. Anne bruker 1 min 20 s. Eva bruker 1 min 40 s.

Kalkulator

Med hvor mange meter vinner Anne?

Fasit

$40 320 måter$

$20 m$

LøsningsforslagKI-generert

Den første banen kan fylles av hvem som helst av de 8 svømmerne, altså 8 muligheter. Når den plassen er fylt, er det 7 svømmere igjen til den neste banen, så 6, og så videre helt til den siste banen bare har 1 svømmer igjen. Vi ganger sammen antall muligheter for hver bane:

8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 40 320

Svømmerne kan stille seg opp på $40 320$ ulike måter.

Svar: $40 320 måter$

Vi regner om tidene til sekunder. Anne bruker $1 min 20 s = 80 s$ på 100 m. Eva bruker $1 min 40 s = 100 s$ på 100 m.

Farten til Eva finner vi ved å dele strekningen på tiden hun bruker:

\frac{100 m}{100 s} = 1 m / s

Når Anne kommer i mål etter 80 s, har Eva svømt i 80 s med farten $1 m / s$ . Da har hun svømt:

1 m / s \cdot 80 s = 80 m

Forspranget til Anne er differansen mellom hele bassenget og det Eva har rukket å svømme:

100 - 80 = 20

Anne vinner med $20 m$ .

Svar: $20 m$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kombinatorikk, Fart
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Regneark med besøkstall i Badeland

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I tabellen nedenfor ser du besøkstallet hos Badeland for hver måned i 2013.

Måned	2013	2014
Januar	12 235
Februar	12 470
Mars	13 325
April	11 313
Mai	10 582
Juni	8 790
Juli	15 781
August	9 303
September	9 509
Oktober	11 779
November	11 126
Desember	8 312
Totalt besøkstall
Gjennomsnittlig besøkstall per måned

Krever PC

Lag en tilsvarende tabell i et regneark. Regn ut totalt besøkstall for 2013. Regn ut gjennomsnittlig besøkstall per måned for 2013.

Krever PC

Framstill besøkstallet for hver måned i 2013 i et linjediagram.

Badeland må spare penger. Derfor skal de holde stengt hver mandag i 2014. De regner med at stengingen vil redusere besøkstallene med 5 % fra 2013 til 2014.

Krever PC

Lag en ny kolonne for 2014 med nye besøkstall for hver måned, totalt besøkstall og gjennomsnittlig besøkstall per måned.

Fasit

Totalt besøkstall 2013: $134 525$ . Gjennomsnitt per måned: $11 210,4$

Se linjediagram i løsningsforslaget

Totalt besøkstall 2014: $127 799$ . Gjennomsnitt per måned: $10 649,9$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger tallene inn i et regneark, med månedene i kolonne A og besøkstallet for 2013 i kolonne B, fra rad 2 (Januar) til rad 13 (Desember).

	A	B
1	Måned	2013
2	Januar	12 235
3	Februar	12 470
4	Mars	13 325
5	April	11 313
6	Mai	10 582
7	Juni	8 790
8	Juli	15 781
9	August	9 303
10	September	9 509
11	Oktober	11 779
12	November	11 126
13	Desember	8 312
14	Totalt besøkstall	`=SUMMER(B2:B13)`
15	Gjennomsnittlig besøkstall per måned	`=GJENNOMSNITT(B2:B13)`

I celle B14 skriver vi formelen =SUMMER(B2:B13), som legger sammen besøkstallene for alle månedene i 2013. I celle B15 skriver vi =GJENNOMSNITT(B2:B13), som regner ut gjennomsnittlig besøkstall per måned.

Regnearket regner ut:

B14 = 12 235 + 12 470 + \dots + 8 312 = 134 525

B15 = \frac{134 525}{12} \approx 11 210,4

Totalt besøkstall i 2013 var $134 525$ , og gjennomsnittlig besøkstall per måned var omtrent $11 210,4$ .

Vi merker cellene A2:B13 (månedene og besøkstallene for 2013) og setter inn et linjediagram fra regnearkets diagramfunksjon. Diagrammet viser besøkstallet for hver måned, med månedene langs den vannrette aksen og besøkstallet langs den loddrette aksen.

Linjediagram som viser besøkstallet hos Badeland for hver måned i 2013

Diagrammet viser at besøkstallet er høyest i juli (sommerferien, $15 781$ besøkende) og lavest i desember ( $8 312$ besøkende).

Stengingen hver mandag skal redusere besøkstallet med $5 %$ fra 2013 til 2014. Det betyr at besøkstallet i 2014 blir $95 %$ av besøkstallet i 2013, altså multiplisert med vekstfaktoren $0,95$ .

Vi lager en ny kolonne C for 2014. I celle C2 skriver vi formelen =B2*0,95, og kopierer denne formelen ned til C13.

	A	B	C
1	Måned	2013	2014
2	Januar	12 235	`=B2*0,95` $\approx 11 623$
3	Februar	12 470	`=B3*0,95` $\approx 11 847$
4	Mars	13 325	`=B4*0,95` $\approx 12 659$
5	April	11 313	`=B5*0,95` $\approx 10 747$
6	Mai	10 582	`=B6*0,95` $\approx 10 053$
7	Juni	8 790	`=B7*0,95` $\approx 8 350$
8	Juli	15 781	`=B8*0,95` $\approx 14 992$
9	August	9 303	`=B9*0,95` $\approx 8 838$
10	September	9 509	`=B10*0,95` $\approx 9 034$
11	Oktober	11 779	`=B11*0,95` $\approx 11 190$
12	November	11 126	`=B12*0,95` $\approx 10 570$
13	Desember	8 312	`=B13*0,95` $\approx 7 896$
14	Totalt besøkstall	`=SUMMER(B2:B13)`	`=SUMMER(C2:C13)`
15	Gjennomsnittlig besøkstall per måned	`=GJENNOMSNITT(B2:B13)`	`=GJENNOMSNITT(C2:C13)`

I celle C14 bruker vi igjen =SUMMER(C2:C13) for å finne totalt besøkstall i 2014, og i celle C15 bruker vi =GJENNOMSNITT(C2:C13) for gjennomsnittlig besøkstall per måned.

C14 = 134 525 \cdot 0,95 = 127 798,75 \approx 127 799

C15 = \frac{127 799}{12} \approx 10 649,9

Totalt besøkstall i 2014 blir omtrent $127 799$ , og gjennomsnittlig besøkstall per måned blir omtrent $10 649,9$ . Badeland taper altså rundt $6 726$ besøkende i året ved å holde stengt om mandagene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regneark, Statistikk, Prosentvis endring, Diagram
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Svømmebasseng med skråplan og to dybder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Overflaten i svømmebassenget i Badeland har form som et rektangel. Svømmebassenget har to ulike dybder. Mellom de to dybdene er det et skråplan $A B C D$ med form som et rektangel.

Se skissen nedenfor.

Skisse av svømmebassenget med lengde 25,0 m, bredde 12,5 m, dybde 3,5 m i den dype enden og 1,2 m i den grunne enden. Bunnen i den dype enden er 6,25 m lang, og den grunne enden er 12,5 m lang.

For hånd

Tegn overflaten av svømmebassenget sett rett ovenfra i målestokk $1 : 250$

Kalkulator

Regn ut $A B$ og arealet av skråplanet $A B C D$ .

Kalkulator

Vis ved regning at volumet av svømmebassenget er ca. $645 m^{3}$ ( $645 000$ L).

Svømmebassenget er helt fullt av vann. Vannet i svømmebassenget skal tappes ut med 300 L per minutt.

Kalkulator

Hvor mange centimeter har vannstanden sunket etter 60 min?

Fasit

Rektangel $10 cm \times 5 cm$

$A B \approx 6,66 m$ , areal av $A B C D \approx 83,2 m^{2}$

Volumet er vist å være $V \approx 645 m^{3}$

$Vannstanden sank ca. 5,8 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Målestokk $1 : 250$ betyr at $1 cm$ på tegningen tilsvarer $250 cm = 2,5 m$ i virkeligheten. Vi regner om lengden og bredden av bassenget til tegnede lengder.

Lengden:

25,0 m \div 250 = 0,1 m = 10 cm

Bredden:

12,5 m \div 250 = 0,05 m = 5 cm

Overflaten av bassenget sett ovenfra tegnes derfor som et rektangel som er $10 cm$ langt og $5 cm$ bredt.

Skråplanet $A B C D$ er et rektangel. Den ene siden, $A D$ , er like lang som bredden av bassenget, $12,5 m$ . Den andre siden, $A B$ , finner vi ved hjelp av Pytagoras’ setning, siden $A B$ er hypotenusen i en rettvinklet trekant.

Den vannrette kateten er den delen av lengden $25,0 m$ som skråplanet dekker. Vi finner den ved å trekke fra de to flate bunnstykkene:

25,0 - 6,25 - 12,5 = 6,25 m

Den loddrette kateten er forskjellen mellom de to dybdene:

3,5 - 1,2 = 2,3 m

Nå bruker vi Pytagoras’ setning:

A B^{2} = {6,25}^{2} + {2,3}^{2}

A B^{2} = 39,0625 + 5,29 = 44,3525

A B = \sqrt{44,3525} \approx 6,66 m

Arealet av skråplanet $A B C D$ finner vi ved å multiplisere de to sidene $A B$ og $A D$ :

Areal = A B \cdot A D \approx 6,66 \cdot 12,5 \approx 83,2 m^{2}

Vi deler bassenget i tre deler langs lengden på $25,0 m$ : en rett kloss i dype enden, et prisme med trapesformet tverrsnitt der skråplanet er, og en rett kloss i grunne enden.

Del 1 — den dype enden (rett kloss): lengde $6,25 m$ , bredde $12,5 m$ , dybde $3,5 m$ .

V_{1} = 6,25 \cdot 12,5 \cdot 3,5 = 273,4375 m^{3}

Del 2 — skråplanet (trapesprisme): tverrsnittet er et trapes med parallelle sider $3,5 m$ og $1,2 m$ , og avstanden mellom dem er $6,25 m$ . Bassenget er $12,5 m$ bredt.

V_{2} = \frac{3,5 + 1,2}{2} \cdot 6,25 \cdot 12,5 = 14,6875 \cdot 12,5 = 183,59375 m^{3}

Del 3 — den grunne enden (rett kloss): lengde $12,5 m$ , bredde $12,5 m$ , dybde $1,2 m$ .

V_{3} = 12,5 \cdot 12,5 \cdot 1,2 = 187,5 m^{3}

Det totale volumet er summen av de tre delene:

V = V_{1} + V_{2} + V_{3} = 273,4375 + 183,59375 + 187,5 = 644,53125 m^{3}

Vi ser at $V \approx 645 m^{3}$ , som skulle vises.

Bassenget er fullt, og vannflaten dekker hele overflaten av bassenget uansett hvor dypt vannet er, siden veggene er loddrette. Overflatearealet er

25,0 \cdot 12,5 = 312,5 m^{2}

På $60 \min$ tappes det ut

300 L / m i n \cdot 60 \min = 18 000 L = 18 m^{3}

Fallet i vannstanden finner vi ved å dele volumet som er tappet ut, på overflatearealet:

\frac{18 m^{3}}{312,5 m^{2}} = 0,0576 m

Vi regner om til centimeter:

0,0576 m = 5,76 cm

Vannstanden har sunket med omtrent $5,8 cm$ etter 60 minutter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Volum, Areal og omkrets, Målestokk, Pytagoras
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Tømming av svømmebasseng med 18 000 liter per time

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Svømmebassenget i Badeland på $645 000$ L skal tømmes for vann. Det tappes ut $18 000$ L per time.

For hånd

Forklar at antall liter $V (x)$ som er igjen i svømmebassenget etter $x$ timer, kan beskrives av funksjonen $V$ gitt ved $V (x) = - 18000 x + 645000$

Kalkulator

Bestem ved regning når svømmebassenget er tomt for vann.

Kalkulator

Tegn grafen til $V$ .

For hånd

Bestem grafisk når det er $285 000$ L igjen i svømmebassenget.

Fasit

$V (0) = 645 000$ og stigningstallet er $- 18 000$

$x \approx 35,83 timer \approx 35 t 50 min$

Se graf

$x = 20 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $V (x) = - 18 000 x + 645 000$ .

Konstantleddet forteller hvor mange liter det er i bassenget når $x = 0$ , altså ved starten:

V (0) = - 18 000 \cdot 0 + 645 000 = 645 000

Dette stemmer med at bassenget rommer $645 000$ L når tømmingen begynner.

Stigningstallet er $- 18 000$ . Det forteller at vannmengden minker med $18 000$ L for hver time som går, siden det tappes ut $18 000$ L per time. Fortegnet er negativt fordi vannmengden hele tiden blir mindre.

Bassenget er tomt når $V (x) = 0$ . Vi løser likningen:

\begin{matrix} - 18 000 x + 645 000 & = 0 \\ - 18 000 x + 645 000 - 645 000 & = 0 - 645 000 \\ - 18 000 x & = - 645 000 \\ \frac{- 18 000 x}{- 18 000} & = \frac{- 645 000}{- 18 000} \\ x & = 35,8 3 \end{matrix}

Vi gjør om desimaldelen til minutter: $0,8 3 \cdot 60 min = 50 min$ .

Svar: Bassenget er tomt for vann etter $x \approx 35,83 timer$ , altså etter ca. $35 timer og 50 minutter$ .

Vi tegner grafen til $V$ ved å legge inn funksjonsuttrykket i GeoGebra. Siden vannmengden ikke kan være negativ, tegnes grafen bare for $x$ mellom $0$ og tidspunktet der bassenget er tomt (fra b).

Grafen starter i $(0, 645 000)$ og synker jevnt ned til den krysser x-aksen ved $x \approx 35,83$ , slik utregningen i b) viste.

Vi skal finne når det er $285 000$ L igjen, altså der $V (x) = 285 000$ . Vi finner dette punktet ved å lese av grafen: vi går inn fra $285 000$ på y-aksen til vi treffer grafen, og leser av x-verdien der.

Graf til V(x) med avlesning av punktet der V(x) = 285 000

Fra grafen ser vi at den vannrette linja fra $285 000$ L treffer grafen til $V$ i punktet $(20, 285 000)$ .

Svar: Det er $285 000$ L igjen i svømmebassenget etter $x = 20 timer$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering, Graftegning, Grafisk løsning
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Jordas radius og omkrets etter Eratosthenes

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Eratosthenes (ca. 276–194 f.Kr.) var matematiker, astronom og geograf. Han var leder for det berømte biblioteket i Aleksandria i Egypt.

Eratosthenes hevdet at jorda var kuleformet.

Han regnet ut omkretsen av jorda – en av de store vitenskapelige prestasjonene i antikken.

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er 12 756 km.

Kalkulator

Regn ut jordas radius og omkrets.

Eratosthenes beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to byer, Aleksandria og Syene. Aleksandria lå nord for Syene.

Da sola sto høyest på himmelen en dag i Aleksandria, laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle. Samtidig skinte solstrålene rett ned i en loddrett brønn i byen Syene.

I Aleksandria laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle, mens de samtidig skinte rett ned i en loddrett brønn i Syene

Eratosthenes fant at vinkelen mellom søylen og solstrålene var $\frac{1}{50}$ av $360 °$ .

Kalkulator

Regn ut hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.

Avstanden mellom Aleksandria og Syene var 5 000 egyptiske stadion. 1 stadion = 157,5 m.

Kalkulator

Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.

Vi regner med at 71 % av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten $O$ av en kule er gitt ved formelen $O = 4 π r^{2}$ .

Kalkulator

Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann? Oppgi svaret ditt på standardform.

Fasit

$r \approx 6378 km$ , $O \approx 40 074 km$

$v = 7,2 °$

$787,5 km$

$3,63 \cdot 10^{8} {km}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Diameteren er $d = 12 756 km$ . Radiusen er halvparten av diameteren:

r = \frac{12 756}{2} = 6378 km

Omkretsen av en sirkel (og dermed av jorda) er gitt ved $O = π \cdot d$ :

O = π \cdot 12 756 \approx 40 074 km

Vinkelen er $\frac{1}{50}$ av $360 °$ :

v = \frac{1}{50} \cdot 360 ° = 7,2 °

Vi regner om avstanden fra stadion til meter ved å multiplisere med $157,5$ :

5000 \cdot 157,5 m = 787 500 m

Vi regner om til kilometer ved å dele på $1000$ :

787 500 m \div 1000 = 787,5 km

Avstanden mellom Aleksandria og Syene var altså $787,5 km$ .

Overflaten av jorda regner vi ut med formelen $O = 4 π r^{2}$ , med radiusen $r = 6378 km$ fra a):

O = 4 \cdot π \cdot 6378^{2} \approx 511 185 933 {km}^{2}

Arealet som er dekket av vann er $71 %$ av dette:

0,71 \cdot 511 185 933 \approx 362 942 012 {km}^{2}

Til slutt skriver vi svaret på standardform, altså som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens:

362 942 012 \approx 3,63 \cdot 10^{8} {km}^{2}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Kule, Romgeometri, Standardform, Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Vinkler og jordas omkrets i Eratosthenes sin skisse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Eratosthenes beregnet omkretsen av jorda ut fra måling av skygger i Aleksandria og Syene. Avstanden mellom de to byene var 5 000 egyptiske stadion, og vinkelen mellom søylen i Aleksandria og solstrålene var $\frac{1}{50}$ av $360 °$ . 1 stadion = 157,5 m.

Nedenfor ser du en skisse som viser solstrålene, søylen i Aleksandria, brønnen i Syene, avstanden mellom Aleksandria og Syene og jordas radius og sentrum.

Siden sola er så langt borte, antar vi at alle solstrålene som treffer jorda, er parallelle.

Skisse av jorda med søylen i Aleksandria, brønnen i Syene, avstanden 5000 stadion og de to radiene fra sentrum av jorda. Vinkelen A er mellom de to radiene, og vinkelen B er mellom søylen og solstrålene.

For hånd

Begrunn hvorfor $∠ A = ∠ B$ .

Kalkulator

Eratosthenes kom fram til at jordas omkrets var 250 000 stadion (39 375 km). Vis dette ved regning.

Fasit

$∠ A = ∠ B fordi de er samsvarende vinkler mellom parallelle linjer$

$Jordas omkrets = 250 000 stadion = 39 375 km$

LøsningsforslagKI-generert

Søylen i Aleksandria peker rett ut fra jordoverflata. Det betyr at søylen ligger langs den samme rette linja som går fra jordas sentrum, gjennom Aleksandria, og videre ut til punktet der vinkel $B$ er merket av. Denne linja bruker vi som tverrlinje.

Ved brønnen i Syene står sola rett over, slik at solstrålen ned i brønnen går rett ned og videre gjennom jordas sentrum. Denne solstrålen ligger altså langs den samme linja som radiusen fra jordas sentrum til Syene.

Alle solstrålene er parallelle, fordi sola er så langt unna jorda. Siden solstrålen til Syene ligger langs radiuslinja til Syene, er også radiuslinja til Syene parallell med solstrålen som treffer søylen i Aleksandria.

Nå har vi to parallelle linjer (radiuslinja til Syene og solstrålen ved Aleksandria) som blir skåret av den samme tverrlinja (radiuslinja/søylelinja gjennom Aleksandria og sentrum):

I jordas sentrum lager tverrlinja vinkel $A$ med radiuslinja til Syene.
Ved søylen i Aleksandria lager tverrlinja vinkel $B$ med solstrålen.

$∠ A$ og $∠ B$ ligger da på samme side av tverrlinja og på tilsvarende plass ved hver av de to parallelle linjene. Det gjør dem til samsvarende vinkler, og samsvarende vinkler mellom to parallelle linjer er alltid like store.

$∠ A = ∠ B$

Vinkelen mellom søylen i Aleksandria og solstrålene er $\frac{1}{50}$ av $360 °$ . Siden $∠ A = ∠ B$ (fra a), er også sentralvinkelen $A$ i jordas sentrum $\frac{1}{50}$ av en hel omdreining.

Det betyr at avstanden mellom Aleksandria og Syene (5 000 stadion) er $\frac{1}{50}$ av hele jordas omkrets. For å finne hele omkretsen ganger vi derfor 5 000 stadion med 50:

50 \cdot 5 000 stadion = 250 000 stadion

Så regner vi om til kilometer. Vi vet at 1 stadion $= 157,5 m$ :

250 000 \cdot 157,5 m = 39 375 000 m

Til slutt gjør vi om fra meter til kilometer ved å dele på 1 000:

39 375 000 m = 39 375 km

Dette stemmer med det Eratosthenes fant.

$Jordas omkrets = 250 000 stadion = 39 375 km$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Argumentasjon, Forholdsregning, Vinkler
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Avstand mellom to byer ut fra solvinkler på 18 og 26 grader

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule med diameter 12 756 km.

Byen A ligger nord for byen B. Byene ligger langs samme lengdegrad. På et tidspunkt er det $18 °$ mellom en stolpe og solstrålene i byen A. På samme tid er det en vinkel på $26 °$ mellom en stolpe og solstrålene i byen B.

Skisse av jordas overflate med stolper i byene A og B, parallelle solstråler og vinklene 18 grader og 26 grader mellom stolpene og solstrålene

Regn ut hvor mange kilometer det er mellom byen A og byen B.

Fasit

$A B \approx 4900 km$

LøsningsforslagKI-generert

Stolpene i byene A og B peker rett ut fra jordoverflata, altså langs radiuslinjene fra jordas sentrum og ut gjennom hver av byene.

For å finne sentralvinkelen trekker vi en hjelpelinje gjennom jordas sentrum som er parallell med solstrålene. Den er tegnet stiplet på skissen. Siden solstrålene er parallelle, får vi to par samsvarende vinkler:

Radiuslinja gjennom A er en tverrlinje mellom solstrålen i A og hjelpelinja. Vinkelen mellom radiuslinja og hjelpelinja i sentrum er derfor like stor som vinkelen mellom stolpen og solstrålen i A, altså $18 °$ .
På samme måte er vinkelen mellom radiuslinja gjennom B og hjelpelinja i sentrum like stor som vinkelen i B, altså $26 °$ .

På skissen ser vi at hjelpelinja gjennom sentrum ligger mellom de to radiuslinjene: A ligger på den ene siden av den stiplede linja, og B på den andre. Da blir sentralvinkelen $∠ A O B$ summen av de to vinklene:

18 ° + 26 ° = 44 °

Buen mellom A og B er altså $\frac{44}{360}$ av hele jordas omkrets.

Så finner vi jordas omkrets. Diameteren er $12 756 km$ , og omkretsen av en sirkel er $π$ ganger diameteren:

π \cdot 12 756 km \approx 40 074 km

Avstanden mellom A og B er samme brøkdel av omkretsen som sentralvinkelen er av $360 °$ :

\frac{44}{360} \cdot 40 074 km \approx 4898 km

Det er altså omtrent $4900 km$ mellom byen A og byen B.

$A B \approx 4900 km$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Forholdsregning, Geometri, Vinkler
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 16 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Regn ut 831 + 1196 og 1620 delt på 120

Oppgave 1-2·Enhetsomgjøring av 3,25 h og 36 km per time

Oppgave 1-3·Standardform for 62 000 og potens med minus tre

Oppgave 1-4·Brøkregning med femdeler, tredeler og firedeler

Oppgave 1-5·Løs likningene 3x = x + 8 og (x+2)^2 = x^2 + 6

Oppgave 1-6·Kveldstillegg på 25 prosent for Mads

Oppgave 1-7·Forenkling av bokstavbrøker med a og b

Oppgave 1-8·Sannsynlighet for røde kuler i en eske med fem kuler

Oppgave 1-9·Pris på skolebrød og vannflaske

Oppgave 1-10·Målestokk når 2 cm på kartet er 100 km

Oppgave 1-11·Tid for å fylle 100 kubikkmeter vann i et basseng

Oppgave 1-12·Formel for skostørrelse ut fra fotlengde

Oppgave 1-13·Verditabell og grafer for 2x - 1 og 6 delt på x

Oppgave 1-14·Konstruksjon av likesidet trekant med omskrevet sirkel og tangent

Oppgave 1-15·Formlike trekanter med 6 m, 8 m og 2 m

Oppgave 1-16·Arealuttrykk for kvadrat med sidene a minus 2 og 4

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Billettpriser og klippekort i Badeland

Oppgave 2-2·Oppstilling på åtte svømmebaner og forsprang i bassenget

Oppgave 2-3·Regneark med besøkstall i Badeland

Oppgave 2-4·Svømmebasseng med skråplan og to dybder

Oppgave 2-5·Tømming av svømmebasseng med 18 000 liter per time

Oppgave 2-6·Jordas radius og omkrets etter Eratosthenes

Oppgave 2-7·Vinkler og jordas omkrets i Eratosthenes sin skisse

Oppgave 2-8·Avstand mellom to byer ut fra solvinkler på 18 og 26 grader

Temaer

Oppgave 1-1Regn ut 831 + 1196 og 1620 delt på 120

Oppgave 1-2Enhetsomgjøring av 3,25 h og 36 km per time

Oppgave 1-3Standardform for 62 000 og potens med minus tre

Oppgave 1-4Brøkregning med femdeler, tredeler og firedeler

Oppgave 1-5Løs likningene 3x = x + 8 og (x+2)^2 = x^2 + 6

Oppgave 1-6Kveldstillegg på 25 prosent for Mads

Oppgave 1-7Forenkling av bokstavbrøker med a og b

Oppgave 1-8Sannsynlighet for røde kuler i en eske med fem kuler

Oppgave 1-9Pris på skolebrød og vannflaske

Oppgave 1-10Målestokk når 2 cm på kartet er 100 km

Oppgave 1-11Tid for å fylle 100 kubikkmeter vann i et basseng

Oppgave 1-12Formel for skostørrelse ut fra fotlengde

Oppgave 1-13Verditabell og grafer for 2x - 1 og 6 delt på x

Oppgave 1-14Konstruksjon av likesidet trekant med omskrevet sirkel og tangent

Oppgave 1-15Formlike trekanter med 6 m, 8 m og 2 m

Oppgave 1-16Arealuttrykk for kvadrat med sidene a minus 2 og 4

Oppgave 2-1Billettpriser og klippekort i Badeland

Oppgave 2-2Oppstilling på åtte svømmebaner og forsprang i bassenget

Oppgave 2-3Regneark med besøkstall i Badeland

Oppgave 2-4Svømmebasseng med skråplan og to dybder

Oppgave 2-5Tømming av svømmebasseng med 18 000 liter per time

Oppgave 2-6Jordas radius og omkrets etter Eratosthenes

Oppgave 2-7Vinkler og jordas omkrets i Eratosthenes sin skisse

Oppgave 2-8Avstand mellom to byer ut fra solvinkler på 18 og 26 grader