S2 Vår 2017

Oppgave 1-1Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} - \frac{2}{x}

g (x) = \ln (x^{2} + 1)

h (x) = x^{2} e^{x}

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + \frac{2}{x^{2}}$

$g^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

$h^{'} (x) = x e^{x} (x + 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f (x) = x^{2} - \frac{2}{x}$ ved å bruke potensregler:

f (x) = x^{2} - 2 x^{- 1}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen ${(k x^{n})}^{'} = k n x^{n - 1}$ :

f^{'} (x) = 2 x - 2 \cdot (- 1) \cdot x^{- 2} = 2 x + 2 x^{- 2} = 2 x + \frac{2}{x^{2}}

Vi bruker kjerneregelen. Lar $u = x^{2} + 1$ være kjernen, slik at $g (x) = \ln (u)$ .

Vi vet at ${(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}$ , og vi finner $u^{'} = 2 x$ .

g^{'} (x) = \frac{u^{'}}{u} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}

Vi bruker produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ .

Setter $u = x^{2}$ og $v = e^{x}$ , slik at $u^{'} = 2 x$ og $v^{'} = e^{x}$ .

h^{'} (x) = {(x^{2})}^{'} \cdot e^{x} + x^{2} \cdot {(e^{x})}^{'} = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}

Vi faktoriserer ut $x e^{x}$ :

h^{'} (x) = x e^{x} (2 + x) = x e^{x} (x + 2)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Likningssystem med tre ukjente S2 V17

\begin{matrix} x + y - z & = 0 \\ 2 x + y - z & = 2 \\ 4 x + y - 2 z & = 1 \end{matrix}

Løs likningssystemet.

Fasit

$x = 2, y = 3, z = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på likningssystemet og leter etter en smart rekkefølge for eliminasjon.

Steg 1: Finn $x$ ved å trekke likning I fra likning II.

II - I : (2 x + y - z) - (x + y - z) = 2 - 0

x = 2

Steg 2: Sett $x = 2$ inn i likning II og III for å få et system med to ukjente.

Fra likning II:

2 \cdot 2 + y - z = 2 ⟹ y - z = - 2 (IV)

Fra likning III:

4 \cdot 2 + y - 2 z = 1 ⟹ y - 2 z = - 7 (V)

Steg 3: Finn $z$ ved å trekke likning V fra likning IV.

IV - V : (y - z) - (y - 2 z) = - 2 - (- 7)

z = 5

Steg 4: Finn $y$ ved å sette $z = 5$ inn i likning IV.

y - 5 = - 2 ⟹ y = 3

Kontroll i likning I, II og III:

2 + 3 - 5 = 0 ✓, 4 + 3 - 5 = 2 ✓, 8 + 3 - 10 = 1 ✓

$x = 2$ , $y = 3$ , $z = 5$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke differanse og sum 84

I en aritmetisk rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ er $a_{1} = 3$ og $a_{6} = 18$ .

Bestem differansen $d$ , og bestem en formel for $a_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Vis at summen av de $n$ første leddene kan skrives som

S_{n} = \frac{3}{2} n (n + 1)

Hvor mange ledd må vi ha med for at summen skal bli 84?

Fasit

$d = 3$ , $a_{n} = 3 n$

Se løsningsforslag.

$n = 7$

LøsningsforslagKI-generert

I en aritmetisk rekke er $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ . Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $a_{6} = 18$ :

18 = 3 + (6 - 1) \cdot d

18 = 3 + 5 d

5 d = 15

d = 3

Differansen er $d = 3$ . Formelen for det $n$ -te leddet blir:

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 3 = 3 + 3 n - 3 = 3 n

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved:

S_{n} = \frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $a_{n} = 3 n$ :

S_{n} = \frac{(3 + 3 n) \cdot n}{2} = \frac{3 (1 + n) \cdot n}{2} = \frac{3}{2} n (n + 1)

Dette er det vi skulle vise.

Vi setter $S_{n} = 84$ og bruker formelen fra b):

\frac{3}{2} n (n + 1) = 84

n (n + 1) = 56

n^{2} + n - 56 = 0

Vi bruker andregradsformelen med $a = 1$ , $b = 1$ , $c = - 56$ :

n = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{- 1 \pm 15}{2}

Dette gir $n = \frac{- 1 + 15}{2} = 7$ eller $n = \frac{- 1 - 15}{2} = - 8$ .

Siden $n$ må være et positivt heltall, er svaret $n = 7$ .

Vi må ha med 7 ledd for at summen skal bli 84.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

Vi ser at $f (1) = 0$ . Bruk blant annet polynomdivisjon til å vise at

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 3)

Løs ulikheten $f (x) \leq 0$ .

Forkort brøken mest mulig

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{2 x^{2} - 2}

Bruk blant annet det du viste i oppgave a), til å løse likningen

e^{3 x} + 4 e^{2 x} + e^{x} - 6 = 0

Fasit

$f (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 3)$ (vist ved polynomdivisjon)

$x \leq - 3 eller - 2 \leq x \leq 1$

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{2 (x + 1)}$

$x = 0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi får oppgitt at $f (1) = 0$ , som betyr at $x = 1$ er et nullpunkt. Da er $(x - 1)$ en faktor i $f (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $f (x) : (x - 1)$ :

(x^{3} + 4 x^{2} + x - 6) : (x - 1) = x^{2} + 5 x + 6

Vi faktoriserer $x^{2} + 5 x + 6$ ved å finne to tall som gir produktet $6$ og summen $5$ : tallene er $2$ og $3$ .

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)

Dermed er

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 3)

Vi løser $f (x) \leq 0$ ved hjelp av en fortegnslinje. Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = - 2$ og $x = 1$ .

Vi setter opp fortegnslinjen og merker faktorenes fortegn i hvert intervall:

Fortegnslinje for f(x)

$f (x) \leq 0$ der $f (x)$ er negativ eller lik null:

x \leq - 3 eller - 2 \leq x \leq 1

Vi faktoriserer telleren ved å bruke resultatet fra a):

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = (x - 1) (x + 2) (x + 3)

Vi faktoriserer nevneren:

2 x^{2} - 2 = 2 (x^{2} - 1) = 2 (x + 1) (x - 1)

Vi forkorter brøken ved å stryke faktoren $(x - 1)$ (som forutsetter $x \neq 1$ ):

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{2 x^{2} - 2} = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{2 (x + 1) (x - 1)} = \frac{(x + 2) (x + 3)}{2 (x + 1)}

Vi skriver om likningen ved å legge merke til at $e^{3 x} = {(e^{x})}^{3}$ , $e^{2 x} = {(e^{x})}^{2}$ og $e^{x} = e^{x}$ . Vi setter $y = e^{x}$ :

\begin{matrix} e^{3 x} + 4 e^{2 x} + e^{x} - 6 & = 0 \\ {(e^{x})}^{3} + 4 {(e^{x})}^{2} + e^{x} - 6 & = 0 \\ y^{3} + 4 y^{2} + y - 6 & = 0 \end{matrix}

Fra a) vet vi at $y^{3} + 4 y^{2} + y - 6 = (y - 1) (y + 2) (y + 3)$ , så likningen har løsningene $y = 1$ , $y = - 2$ og $y = - 3$ .

Siden $e^{x} > 0$ for alle $x$ , er kun $y = 1$ en gyldig løsning ( $e^{x}$ kan ikke være $- 2$ eller $- 3$ ).

Fra $e^{x} = 1$ får vi:

x = \ln 1 = 0

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Polynomdivisjon, Rasjonale funksjoner, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Totalkostnaden i kroner ved produksjon av en vare er gitt ved

K (x) = 0,1 x^{2} + 70 x + 4000, 0 < x < 2000

Her er $x$ antall produserte enheter per uke.

Inntekten i kroner ved denne produksjonen er gitt ved

I (x) = - 0,05 x^{2} + 280 x, 0 < x < 2000

Bestem $K^{'} (500)$ og $I^{'} (500)$ . Bruk svarene til å vurdere om bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Bestem den vinningsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Bestem den kostnadsoptimale produksjonsmengden, det vil si den produksjonsmengden som gir lavest kostnad per enhet.

Fasit

$K^{'} (500) = 170$ , $I^{'} (500) = 230$ . Bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

$x = 700$

$x = 200$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $K (x)$ og $I (x)$ og setter inn $x = 500$ :

K^{'} (x) = 0,2 x + 70 \Rightarrow K^{'} (500) = 0,2 \cdot 500 + 70 = 100 + 70 = 170

I^{'} (x) = - 0,1 x + 280 \Rightarrow I^{'} (500) = - 0,1 \cdot 500 + 280 = - 50 + 280 = 230

Siden $I^{'} (500) = 230 > 170 = K^{'} (500)$ , er grenseinntekten større enn grensekostnaden ved $x = 500$ . Det betyr at én ekstra produsert enhet øker inntekten mer enn kostnaden, og bedriften bør produsere flere enn 500 enheter.

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x)$ , og overskuddet er størst når $O^{'} (x) = 0$ .

O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow I^{'} (x) = K^{'} (x)

Vi setter grenseinntekt lik grensekostnad:

- 0,1 x + 280 = 0,2 x + 70

210 = 0,3 x

x = \frac{210}{0,3} = 700

Den vinningsoptimale produksjonsmengden er $x = 700$ enheter per uke.

Kostnad per enhet (enhetskostnad) er

G (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{0,1 x^{2} + 70 x + 4000}{x} = 0,1 x + 70 + \frac{4000}{x}

Vi minimerer $G (x)$ ved å sette $G^{'} (x) = 0$ :

G^{'} (x) = 0,1 - \frac{4000}{x^{2}} = 0

\frac{4000}{x^{2}} = 0,1

x^{2} = \frac{4000}{0,1} = 40 000

x = 200 (x > 0)

Den kostnadsoptimale produksjonsmengden er $x = 200$ enheter per uke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

La $X$ være antall unger som overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse med kjøttmeis. Sannsynlighetsfordelingen til $X$ er gitt i tabellen nedenfor.

$k$	0	1	2	3	4
$P (X = k)$	$0,2$	$0,1$	$0,3$	$0,3$	$0,1$

Bestem $P (X \geq 2)$ .

Bestem forventningsverdien $E (X)$ , og vis at standardavviket er $SD (X) = \sqrt{1,6}$ .
Hva forteller $E (X)$ oss?

Et år har biologilærer Peder overvåket 100 fuglekasser med kjøttmeis. Kassene er nummerert fra 1 til 100. La $X_{i}$ være antall kjøttmeisunger som overlever i kasse nummer $i$ . Vi antar at $X_{i}$ -ene er uavhengige. Det totale antallet kjøttmeisunger som overlever i de 100 kassene, er gitt ved den stokastiske variabelen

S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{100}

Begrunn at $S$ er tilnærmet normalfordelt.

Bestem $E (S)$ og $Var (S)$ .

I resten av oppgaven går vi ut fra at $E (S) = 200$ og $SD (S) = 13$ . Du vil få bruk for standard normalfordelingstabellen i vedlegg 1.

Bestem sannsynligheten for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever i kassene til Peder dette året.

Bestem $P (187 \leq S \leq 213)$ .

Fasit

$P (X \geq 2) = 0,7$

$E (X) = 2$ , $SD (X) = \sqrt{1,6}$

Sentralgrenseteoremet

$E (S) = 200$ , $Var (S) = 160$

$P (S \geq 226) \approx 2,28 %$

$P (187 \leq S \leq 213) \approx 0,6827$

LøsningsforslagKI-generert

Vi summerer sannsynlighetene for $X = 2$ , $X = 3$ og $X = 4$ :

P (X \geq 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 0,3 + 0,3 + 0,1 = 0,7

Forventningsverdien beregnes ved formelen $E (X) = \sum k \cdot P (X = k)$ :

E (X) = 0 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,1 = 0 + 0,1 + 0,6 + 0,9 + 0,4 = 2

For standardavviket bruker vi $SD (X) = \sqrt{Var (X)}$ der $Var (X) = \sum {(k - μ)}^{2} \cdot P (X = k)$ :

Var (X) = {(0 - 2)}^{2} \cdot 0,2 + {(1 - 2)}^{2} \cdot 0,1 + {(2 - 2)}^{2} \cdot 0,3 + {(3 - 2)}^{2} \cdot 0,3 + {(4 - 2)}^{2} \cdot 0,1

= 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,3 + 1 \cdot 0,3 + 4 \cdot 0,1 = 0,8 + 0,1 + 0 + 0,3 + 0,4 = 1,6

Dermed er $SD (X) = \sqrt{1,6}$ . Vist.

$E (X) = 2$ forteller oss at vi i gjennomsnitt kan forvente at 2 kjøttmeisunger overlever i en tilfeldig valgt fuglekasse.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen av et stort antall uavhengige og identisk fordelte stokastiske variabler være tilnærmet normalfordelt. Her er $S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{100}$ en sum av 100 uavhengige variabler med samme fordeling. Siden $n = 100$ er stort, er $S$ tilnærmet normalfordelt.

Siden $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{100}$ er uavhengige og identisk fordelte med $E (X_{i}) = 2$ og $Var (X_{i}) = 1,6$ , gir regnereglene for forventningsverdi og varians:

E (S) = E (X_{1}) + E (X_{2}) + \dots + E (X_{100}) = 100 \cdot E (X) = 100 \cdot 2 = 200

Var (S) = Var (X_{1}) + Var (X_{2}) + \dots + Var (X_{100}) = 100 \cdot Var (X) = 100 \cdot 1,6 = 160

Vi bruker at $S$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 200$ og $σ = 13$ (oppgitt). Vi standardiserer med $Z = \frac{S - μ}{σ}$ :

P (S \geq 226) = 1 - P (S < 226) = 1 - P (Z < \frac{226 - 200}{13}) = 1 - P (Z < 2)

Fra normalfordelingstabellen er $P (Z < 2) = 0,9772$ , så

P (S \geq 226) = 1 - 0,9772 = 0,0228 \approx 2,28 %

Det er altså omtrent $2,3 %$ sannsynlighet for at 226 eller flere kjøttmeisunger overlever.

Vi standardiserer begge grensene:

P (187 \leq S \leq 213) = P (S \leq 213) - P (S \leq 187)

= P (Z \leq \frac{213 - 200}{13}) - P (Z \leq \frac{187 - 200}{13}) = P (Z \leq 1) - P (Z \leq - 1)

Fra normalfordelingstabellen er $P (Z \leq 1) = 0,8413$ og $P (Z \leq - 1) = 1 - P (Z \leq 1) = 0,1587$ :

P (187 \leq S \leq 213) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6827 \approx 68,3 %

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Normalfordeling, Sentralgrenseteoremet
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

En bedrift produserer en vare. Bedriften selger alt den produserer. Overskuddet $O$ ved salg av $x$ enheter per uke er gitt ved

O (x) = a x^{2} + b x + c

Når bedriften produserer 200 enheter per uke, blir overskuddet lik $0$ .
Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.
Når bedriften selger 600 enheter per uke, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.

For hånd

Vis at disse opplysningene gir likningssystemet

\begin{matrix} 40 000 a + 200 b + c & = 0 \\ 950 a + b & = 0 \\ 1200 a + b & = - 5 \end{matrix}

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Kalkulator

Hva er det største overskuddet bedriften kan få per uke?

Fasit

Se løsningsforslag.

$a = - 0,02, b = 19, c = - 3000$

$O (475) = 1512,5 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Hver av de tre opplysningene gir én likning i $a$ , $b$ og $c$ .

Opplysning 1: «Overskuddet er lik $0$ når bedriften produserer 200 enheter.»

O (200) = 0 \Rightarrow a \cdot 200^{2} + b \cdot 200 + c = 0 \Rightarrow 40 000 a + 200 b + c = 0

Opplysning 2: «Overskuddet er størst når bedriften selger 475 enheter.»

Maksimum betyr at $O^{'} (475) = 0$ . Siden $O^{'} (x) = 2 a x + b$ , får vi:

O^{'} (475) = 0 \Rightarrow 2 a \cdot 475 + b = 0 \Rightarrow 950 a + b = 0

Opplysning 3: «Når bedriften selger 600 enheter, er grensekostnaden 5 kroner større enn grenseinntekten.»

Overskudd er definert som inntekt minus kostnad: $O (x) = I (x) - K (x)$ . Grenseinntekt og grensekostnad er henholdsvis $I^{'} (x)$ og $K^{'} (x)$ . Betingelsen $K^{'} (600) = I^{'} (600) + 5$ gir:

O^{'} (600) = I^{'} (600) - K^{'} (600) = I^{'} (600) - (I^{'} (600) + 5) = - 5

Altså:

O^{'} (600) = - 5 \Rightarrow 2 a \cdot 600 + b = - 5 \Rightarrow 1200 a + b = - 5

De tre opplysningene gir dermed likningssystemet

\begin{matrix} 40 000 a + 200 b + c & = 0 \\ 950 a + b & = 0 \\ 1200 a + b & = - 5 \end{matrix}

Vi skriver likningssystemet inn i CAS:

LøsLigningssystem({40000a + 200b + c = 0, 950a + b = 0, 1200a + b = -5}, {a, b, c})

CAS gir:

a = - 0,02, b = 19, c = - 3000

Overskuddsfunksjonen er altså $O (x) = - 0,02 x^{2} + 19 x - 3000$ .

Fra oppgave a) vet vi at maksimum inntreffer ved $x = 475$ . Vi setter inn:

O (475) = - 0,02 \cdot 475^{2} + 19 \cdot 475 - 3000 = - 4512,5 + 9025 - 3000 = 1512,5

Det største overskuddet bedriften kan få per uke er $1512,5 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Modellering, Likningssystem, Optimering, Grenseinntekt og grensekostnad
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Ingrid inngår en pensjonsavtale der hun skal spare 20 000 kroner i året. Den første innbetalingen skjer 1. januar 2018. Den siste innbetalingen skjer 1. januar 2052. Hun får en fast rente på $3,00 %$ per år.

Kalkulator

Bruk CAS til å vise at Ingrid vil ha 1 209 242 kroner på konto rett etter siste innbetaling.

Ingrid planlegger å ta ut et fast beløp hvert år. Det første uttaket vil hun gjøre 1. januar 2053 og det siste uttaket 1. januar 2067. Da skal kontoen være tom. Hun regner med en rente på $3,00 %$ per år.

Kalkulator

Hvor mye kan hun ta ut per år?

Ingrid synes det er tilstrekkelig å ta ut 80 000 kroner i året fra og med 1. januar 2053.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme når kontoen vil være tom i dette tilfellet.

Fasit

$S = 1 209 242 kr$

$u \approx 101 294 kr$

Kontoen tømmes i 2073

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $b = 20 000$ (årlig innbetaling) og $r = 1,03$ (vekstfaktor). Første innbetaling skjer 1. januar 2018 og siste 1. januar 2052 — det er 35 innbetalinger totalt (fra 2018 til og med 2052).

Rett etter siste innbetaling har den første innbetalingen rukket å vokse i 34 år, den andre i 33 år, osv., og den siste er nettopp satt inn. Summen er:

S = b \cdot r^{34} + b \cdot r^{33} + \dots + b \cdot r + b = b \sum_{i = 0}^{34} r^{i}

I CAS skriver vi:

𝚋 := 𝟸𝟶𝟶𝟶𝟶

𝚛 := 𝟷,𝟶𝟹

𝚂 := 𝚋 * 𝚂𝚞𝚖(𝚛 \hat{} 𝚒, 𝚒, 𝟶, 𝟹𝟺)

𝙰𝚟𝚛𝚞𝚗𝚍(𝚂, 𝟶)

CAS gir $S = 𝟏 𝟐𝟎𝟗 𝟐𝟒𝟐 kr$

Rett etter siste innbetaling (1. januar 2052) har Ingrid $I = 1 209 242 kr$ på konto. La $u$ være det ukjente faste årlige uttaket. Pengene fortsetter å vokse med $r = 1,03$ mellom hvert uttak.

Vi setter opp hva som er igjen på kontoen år for år etter første uttak:

År	Saldo
1. jan. 2052	$I$
1. jan. 2053 (etter uttak 1)	$I \cdot r - u$
1. jan. 2054 (etter uttak 2)	$I \cdot r^{2} - u (r + 1)$
$⋮$	$⋮$
1. jan. 2067 (etter uttak 15)	$I \cdot r^{15} - u \sum_{i = 0}^{14} r^{i}$

Kontoen skal være tom etter siste uttak i 2067, så vi løser:

I \cdot r^{15} - u \sum_{i = 0}^{14} r^{i} = 0

I CAS:

𝙸 := 𝟷𝟸𝟶𝟿𝟸𝟺𝟸

𝙻ø𝚜(𝙸 * 𝚛 \hat{} 𝟷𝟻 - 𝚞 * 𝚂𝚞𝚖(𝚛 \hat{} 𝚒, 𝚒, 𝟶, 𝟷𝟺) = 𝟶, 𝚞)

CAS gir $u \approx 𝟏𝟎𝟏 𝟐𝟗𝟒 kr$

Nå er $u = 80 000 kr$ per år. Vi bruker samme uttrykk for saldo etter $n$ uttak (fra og med 2053):

P_{n} = I \cdot r^{n} - u \sum_{i = 0}^{n - 1} r^{i} = 0

I CAS løser vi for $n$ :

𝙻ø𝚜(𝙸 * 𝚛 \hat{} 𝚗 - 𝟾𝟶𝟶𝟶𝟶 * 𝚂𝚞𝚖(𝚛 \hat{} 𝚒, 𝚒, 𝟶, 𝚗-𝟷) = 𝟶, 𝚗)

CAS gir $n \approx 20,44$ , altså er kontoen tom 20,44 år etter 1. januar 2053 — som tilsvarer omtrent midten av 2073.

Vi sjekker: etter 19 uttak (dvs. etter uttak i 2071) er det $\approx 111 063 kr$ igjen. Etter 20 uttak (2072) er det $\approx 34 395 kr$ igjen — nok til å ta ut hele uttaket i 2072, men ikke et fullt uttak i 2073. I 2073 tar Ingrid ut de resterende $34 395 kr$ og kontoen er tom.

Kontoen tømmes i $𝟐𝟎𝟕𝟑$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Geometrisk rekke, Sparing, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Levetid for batterier og hypotesetest

En bedrift produserer batterier til hodelykter. Bedriften påstår at levetiden for batteriene er 30 timer når hodelykten brukes med full lysstyrke.

Vi antar at levetiden for batteriene er normalfordelt med $μ = 30$ timer og $σ = 3$ timer.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri har en levetid på mindre enn 27 timer.

Forbrukerrådet har mistanke om at forventet levetid er mindre enn 30 timer. Derfor blir ni tilfeldig valgte batterier testet. Levetida til batteriene viser seg å være 29, 31, 32, 27, 29, 25, 23, 30 og 26 timer.

Vi antar fortsatt at levetiden til batteriene er normalfordelt med $σ = 3$ timer.

Kalkulator

Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for å hevde at den forventede levetiden er mindre enn 30 timer. Bruk et signifikansnivå på $5 %$ .

Fasit

$P (X < 27) \approx 0,1587$

$p -verdi \approx 0,0228 < 0,05$ , så vi forkaster $H_{0}$ . Det er grunnlag for å hevde at forventet levetid er mindre enn 30 timer.

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være levetiden til et tilfeldig valgt batteri. $X$ er normalfordelt med $μ = 30$ og $σ = 3$ .

Vi standardiserer og finner sannsynligheten:

P (X < 27) = P (Z < \frac{27 - 30}{3}) = P (Z < - 1) \approx 0,1587

from scipy.stats import norm
norm.cdf(27, loc=30, scale=3)  # → 0.1587

Vi setter opp hypotesene for en ensidig test:

H_{0} : μ = 30 H_{1} : μ < 30

Vi beregner gjennomsnittet av de ni målte levetidene:

\overline{y} = \frac{29 + 31 + 32 + 27 + 29 + 25 + 23 + 30 + 26}{9} = \frac{252}{9} = 28 timer

Under $H_{0}$ er gjennomsnittet $\overline{Y}$ av $n = 9$ uavhengige observasjoner normalfordelt med

μ_{\overline{Y}} = 30 σ_{\overline{Y}} = \frac{σ}{\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1

$p$ -verdien er sannsynligheten for å observere et gjennomsnitt like lavt som eller lavere enn $\overline{y} = 28$ , gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (\overline{Y} < 28) = P (Z < \frac{28 - 30}{1}) = P (Z < - 2) \approx 0,0228

from scipy.stats import norm
norm.cdf(28, loc=30, scale=1)  # → 0.0228

Siden $p -verdi \approx 0,0228 < α = 0,05$ forkaster vi $H_{0}$ .

Konklusjon: På $5 %$ signifikansnivå er det grunnlag for å hevde at forventet levetid for batteriene er mindre enn 30 timer.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Logistisk modell for smittsom sykdom

I et område er det brutt ut en smittsom sykdom. Antall personer som blir smittet per uke, kan modelleres med en logistisk funksjon $g$ der

g (t) = \frac{N}{1 + a e^{- k t}}

Her er $N$ , $a$ og $k$ reelle tall, og $g (t)$ er antall personer som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Tabellen nedenfor viser $g (t)$ for noen verdier av $t$ .

$t$	0	5	12
$g (t)$	200	2000	9 000

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme $N$ , $a$ og $k$ i uttrykket $g (t)$ .

Nærmere undersøkelser viser at

f (t) = \frac{10000}{1 + 50 e^{- 0,5 t}}

er en god modell for antallet som blir smittet per uke, $t$ uker etter at sykdommen brøt ut.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ . Bruk grafen til å bestemme når antall smittede personer per uke er 7000.

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme $\int_{0}^{12} f (t) d t$ . Hva forteller dette svaret oss?

Oppsett for hånd

Hvor mange uker vil det gå før det totale antallet personer som er smittet, overstiger 15 000?

Fasit

$N \approx 10 095$ , $a \approx 49,5$ , $k \approx 0,50$

Antall smittede per uke er 7000 etter $t \approx 9,5 uker$

$\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 43 700$ — totalt antall smittede fra uke 0 til uke 12

$T \approx 8,1 uker$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger de tre datapunktene $(0, 200)$ , $(5, 2000)$ og $(12, 9000)$ inn i regnearket i GeoGebra, markerer dem og velger Regresjonsanalyse → Logistisk regresjon.

GeoGebra gir:

g (t) = \frac{N}{1 + a e^{- k t}} \approx \frac{10 095}{1 + 49,5 \cdot e^{- 0,50 t}}

$N \approx 10 095$ , $a \approx 49,5$ , $k \approx 0,50$

(Oppgaveteksten opplyser at $f (t) = \frac{10 000}{1 + 50 e^{- 0,5 t}}$ er en god tilnærming, noe som stemmer godt med regresjonsresultatet.)

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra:

f(t) = 10000 / (1 + 50 * exp(-0.5 * t))

Deretter tegner vi linjen $y = 7000$ og finner skjæringspunktet med $f$ .

GeoGebra gir skjæringspunktet $(9,52, 7000)$ .

Antall smittede per uke er 7000 etter $t \approx 9,5 uker$ .

I CAS skriver vi:

f(t) := 10000 / (1 + 50 * e^(-0.5 * t))
Integral(f, t, 0, 12)

CAS gir:

\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 43 700

Tolkning: Siden $f (t)$ angir antall nye smittede per uke og vi integrerer over $t \in [0, 12]$ uker, gir integralet det totale antallet personer som ble smittet fra uke 0 til uke 12. Det vil si at omtrent 43 700 personer ble smittet i løpet av de første 12 ukene.

Vi skal finne $T$ slik at totalt antall smittede overstiger 15 000, altså løse:

\int_{0}^{T} f (t) d t = 15 000

I CAS (numerisk) skriver vi:

NLøs({Integral(f, 0, T) = 15000}, {T})

CAS gir $T \approx 8,12$ .

Det vil gå $drøyt 8 uker$ før totalt 15 000 personer er smittet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Regresjon, Bestemt integral, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Likningssystem med tre ukjente S2 V17

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke differanse og sum 84

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Levetid for batterier og hypotesetest

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Logistisk modell for smittsom sykdom

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Oppgave 1-2·Likningssystem med tre ukjente S2 V17

Oppgave 1-3·Aritmetisk rekke differanse og sum 84

Oppgave 1-4·Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Oppgave 1-5·Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Oppgave 1-6·Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Oppgave 2-2·Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Oppgave 2-3·Levetid for batterier og hypotesetest

Oppgave 2-4·Logistisk modell for smittsom sykdom

Temaer

Oppgave 1-1Deriver tre funksjoner med kvotient og produkt

Oppgave 1-2Likningssystem med tre ukjente S2 V17

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke differanse og sum 84

Oppgave 1-4Tredjegradsfunksjon faktorisering ulikhet og brøk

Oppgave 1-5Kostnadsoptimal og vinningsoptimal produksjonsmengde

Oppgave 1-6Kjøttmeisunger og normalfordelt sum

Oppgave 2-1Overskuddsfunksjon fra tre opplysninger

Oppgave 2-2Pensjonssparing med faste innbetalinger og uttak

Oppgave 2-3Levetid for batterier og hypotesetest

Oppgave 2-4Logistisk modell for smittsom sykdom