S2 Høst 2018

Vi bruker kjerneregelen. Den ytre funksjonen er $e^u$ og den indre er $u=2x$:

Vi forenkler uttrykket før vi deriverer ved å dele hvert ledd på $x^2$:

Nå deriverer vi ledd for ledd:

Vi bruker produktregelen ${(u\cdot v)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$ med $u=x^3$ og $v=\ln x$:

Vi finner kvotienten:

Siden $|k|=\frac{1}{3}<1$, er rekken konvergent.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $s={\displaystyle \frac{a_1}{1-k}}$:

Vi finner kvotienten:

Siden $|k|=2>1$, er rekken divergent og har ingen endelig sum.

Vi setter $a_n=100$ og løser for $n$:

Lise må løpe $\underline{\underline{19\text{ runder}}}$ for å tjene 100 kroner på den siste runden.

Vi finner først beløpet for runde 25:

Summen av en aritmetisk rekke er:

Bedriften må gi totalt $\underline{\underline{1750\mathrm{kr}}}$ dersom Lise løper 25 runder.

Vi bruker faktorteoremet: $(x-1)$ er en faktor i $f(x)$ hvis og bare hvis $f(1)=0$.

Siden $f(1)=0$, er $(x-1)$ en faktor i $f(x)$.

Vi utfører polynomdivisjon $f(x)÷(x-1)$:

Vi får $f(x)=(x-1)(x^2-4x+4)$.

Andregradsfaktoren faktoriseres videre:

Dermed er

Vi har brøken

Nevneren er $x^2-4=(x-2)(x+2)$.

Brøken kan forkortes når telleren $g(x)=x^3-5x^2+8x+d$ har $(x-2)$ eller $(x+2)$ som faktor, det vil si når $g(2)=0$ eller $g(-2)=0$.

Tilfelle 1: $g(2)=0$

Tilfelle 2: $g(-2)=0$

Brøken kan forkortes når $\underline{\underline{d=-4}}$ eller $\underline{\underline{d=44}}$.

Vi deriverer $I(p)=500p\cdot e^{-\mathrm{0,04}p}$ med produktregelen:

Vi setter $I^{\prime }(p)=0$. Siden $500\cdot e^{-\mathrm{0,04}p}>0$ for alle $p$, må

Vi sjekker fortegnskiftet: $I^{\prime }(p)>0$ for $p<25$ og $I^{\prime }(p)<0$ for $p>25$, så dette er et maksimum.

Prisen som gir størst inntekt er $\underline{\underline{p=25\text{ kr}}}$.

Vi starter med $q=500e^{-\mathrm{0,04}p}$ og løser for $p$:

Dermed er $\underline{\underline{p(q)=-25\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{q}{500}}\right)}}$.

Vi deriverer $p(q)=-25\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{q}{500}}\right)=-25\cdot (\ln q-\ln 500)$:

Ved $q=25$:

Tolkning: Når etterspørselen er 25 enheter, vil én ekstra etterspurt enhet føre til at prisen synker med ca. 1 kr.

De fire opplysningene gir hver sin likning:

$x=1$ er nullpunkt betyr at $f(1)=0$:

$x=-2$ er nullpunkt betyr at $f(-2)=0$:

$x=1$ er ekstremalpunkt betyr at $f^{\prime }(1)=0$ (tangenten er horisontal i et ekstremalpunkt):

Grafen skjærer $y$-aksen i $y=2$ betyr at $f(0)=2$:

De fire likningene til sammen gir likningssystemet

Fra ligning 4 vet vi at $d=2$.

Setter $d=2$ inn i ligning 1:

Setter $d=2$ inn i ligning 2:

Fra ligning 3:

Adderer $(\ast )$ og $(\ast \ast \ast )$:

Adderer $(\ast \ast )$ og $(\ast \ast \ast )$:

Fra $(\ast )$: $c=-2-a-b$. Setter inn i $(I)$:

Fra $(II)$: $-a+4b=-1⟹a=4b+1$. Setter inn i $(III)$:

Dermed $a=4\cdot 0+1=1$, og fra $(\ast )$: $c=-2-1-0=-3$.

Vi har funnet $a=1$, $b=0$, $c=-3$, $d=2$, altså

Kontroll:

• $f(1)=1-3+2=0$ ✓
• $f(-2)=-8+0+6+2=0$ ✓
• $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, $f^{\prime }(1)=3-3=0$ ✓
• $f(0)=2$ ✓

La $X$ være gevinsten ved ett kast. Vi finner sannsynligheten for hvert utfall:

• 1 eller 2 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, gevinst 0 kr
• 3 eller 4 øyne: sannsynlighet $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, gevinst 20 kr
• 5 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$, gevinst 60 kr
• 6 øyne: sannsynlighet $\frac{1}{6}$, gevinst 200 kr

Vi beregner forventningsverdien:

$\text{E}(X)=50\mathrm{kr}$

For standardavviket beregner vi først $\text{E}(X^2)$:

Variansen blir:

Standardavviket:

Arrangørens overskudd per spill er $P-X$, der $P$ er prisen per spill. Forventet overskudd er:

For at det forventede overskuddet skal være minst 10 kr:

Prisen må være $60\mathrm{kr}$ per spill.

La $Y_i=X_i-60$ være nettogevinsten for spilleren i spill $i$. De 100 spillene er uavhengige og $Y_1,Y_2,\dots ,Y_{100}$ er identisk fordelte.

Ifølge sentralgrenseteoremet vil summen $S=Y_1+Y_2+\cdots +Y_{100}$ av mange uavhengige, identisk fordelte variabler være tilnærmet normalfordelt, uansett hvilken fordeling de enkelte $Y_i$ har.

Siden $Y_i=X_i-60$ og $\text{E}(X)=50$:

Forventningsverdien til summen:

Siden $Y_i=X_i-60$ er en translasjon av $X_i$, er standardavviket det samme:

For summen av 100 uavhengige variabler:

$S$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu =-1000$ og $\sigma =700$.

Spilleren går i overskudd når $S>0$. Vi standardiserer:

Fra tabellen over standard normalfordeling: $\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,43})\approx \mathrm{0,9236}$

Sannsynligheten for at spilleren går i overskudd er omtrent $\mathrm{7,7}\%$.

Overskuddsfunksjonen er differansen mellom inntekt og kostnad:

Grafen er tegnet med graftegner for $0<x<2000$:

Se O i utklippet. Toppunktet B = (875, 26625) viser størst overskudd, og nullpunktet A ≈ (59, 0) viser der overskuddet begynner å være positivt.

Vi finner toppunktet ved å derivere og sette $O^{\prime }(x)=0$:

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x=875}}$ enheter per uke gir størst overskudd på $\underline{\underline{26625\mathrm{kr}}}$.

Enhetskostnaden (kostnad per produsert enhet) er:

Vi bruker CAS til å finne minimum:

CAS gir $x=400$ (positiv løsning) og $E(400)=100$.

Produksjonsmengden $\underline{\underline{x=400}}$ enheter per uke gir lavest kostnad per enhet: $\underline{\underline{100\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}}}$.

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker logistisk regresjon (RegLogistisk):

GeoGebra gir parametrene $N\approx 300$, $a\approx \mathrm{44,3}$ og $b\approx \mathrm{0,176}$, slik at

Se g (blå kurve) i grafen under.

Vi finner vendepunktet til $f$ ved hjelp av CAS (Vendepunkt(f)):

CAS gir vendepunktet $\approx (\mathrm{24,42},114)$.

Alternativt: Den logistiske delen ${\displaystyle \frac{240}{1+39e^{-\mathrm{0,15}t}}}$ har vendepunkt der nevnerleddet er lik 1, dvs. $39\cdot e^{-\mathrm{0,15}t}=1$, som gir

Vekstfarten ved vendepunktet leses av fra CAS ($f^{\prime }(\mathrm{24,42})\approx 9$), eller beregnes som

Antall skadedyr øker raskest etter $\underline{\underline{t\approx \mathrm{24,4}\text{ dager}}}$, og vekstfarten er da $\underline{\underline{9\text{ skadedyr per dag}}}$.

Skadedyrkontrollen fant ca. 200 dyr. Vi løser $f(t)=200$ med CAS (Løs(f(t) = 200, t)):

CAS gir $t\approx \mathrm{36,43}$, og fra grafen over ser vi at $f$ skjærer linjen $y=200$ i punktet $A=(\mathrm{36,43},200)$.

Det hadde vært skadedyr i huset i ca. $\underline{\underline{36\text{ dager}}}$ da det ble kontrollert.

Vi har $n=100$ uavhengige elever, og poengskåren $X$ til én tilfeldig elev er tilnærmet normalfordelt med $\mu =50$ og $\sigma =8$.

La $\bar{X}={\displaystyle \frac{X_1+X_2+\cdots +X_{100}}{100}}$ være gjennomsnittsskåren.

Forventningsverdi:

Dette følger av regneregelen $\text{E}(aX)=a\cdot \text{E}(X)$ og $\text{E}(X_1+\cdots +X_n)=n\cdot \text{E}(X)$ når variablene er identisk fordelte.

Standardavvik:

Siden variablene er uavhengige, gjelder $\text{Var}(X_1+\cdots +X_{100})=100\cdot \text{Var}(X)=100\cdot 8^2=6400$.

Siden $X$ er tilnærmet normalfordelt, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med ${\mu }_{\bar{X}}=50$ og ${\sigma }_{\bar{X}}=\mathrm{0,8}$.

Vi standardiserer grensene:

Vi beregner i GeoGebra CAS:

Fra CAS (rad 1–3): $z_1=-\mathrm{1,25}$, $z_2=\mathrm{1,25}$ og $P_b\approx \mathrm{0,7887}$.

Det er altså omtrent $\mathrm{78,9}\%$ sannsynlighet for at gjennomsnittsskåren havner mellom 49 og 51 poeng.

Hypoteser:

$H_0$ er at elevene presterer som normalt (gjennomsnitt 50 poeng). $H_1$ er at elevene var flinkere enn normalt. Vi bruker ensidig test siden mistanken går i én retning (flinkere).

Testobservator:

Observert gjennomsnitt: $\bar{x}=\mathrm{51,5}$.

P-verdi:

Fra CAS (rad 4–5): $z_3=\mathrm{1,875}$ og $p\text{-verdi}\approx \mathrm{0,0304}$.

Konklusjon:

Siden $p\text{-verdi}\approx \mathrm{0,030}<\mathrm{0,05}$, forkaster vi $H_0$ på $5\%$ signifikansnivå.

Det er statistisk grunnlag for mistanken om at elevene var flinkere enn normalt dette året.

Tablettene tas én per døgn (hvert 24. time), og kroppen bryter ned 25 % per døgn, slik at faktoren mellom leddene er $k=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$. Like etter den 7. tabletten er mengden virkestoff summen av bidragene fra alle 7 tabletter:

Dette er en geometrisk rekke med førsteled $a_1=\mathrm{2,4}$, kvotient $k=\mathrm{0,75}$ og 7 ledd. Vi bruker sumformelen:

(Se linje 3: S_7 := 8.31855 i CAS-utklippet.)

Når Mads tar tabletter i det uendelige dannes en uendelig geometrisk rekke. Siden $|k|=\mathrm{0,75}<1$ konvergerer rekken, og summen er:

(Se linje 4: S_uendelig := 9.6 i CAS-utklippet.)

Hvis Mads tar tabletter med $t$ timers mellomrom i stedet for 24 timer, er nedbrytningsfaktoren per intervall:

I det lange løp samler kroppen opp en mengde som konvergerer mot grenseverdien:

Vi krever at denne ikke overstiger 5,5 mg:

Vi setter likheten og løser for $t$ med CAS (linje 5):

Det må altså gå minst $\underline{\underline{t\approx \mathrm{47,8}\mathrm{timer}}}$ (knapt 48 timer) mellom hver tablett for at mengden virkestoff i kroppen ikke skal overstige 5,5 mg.