S2 Vår 2011

Vi deriverer de tre funksjonene.

1) $f(x) = 2x^3 - 5x + 3$ deriveres ledd for ledd med potensregelen:

2) Vi skriver om $g(x) = \dfrac{3}{x^3} = 3x^{-3}$ og deriverer med potensregelen:

3) $h(x) = x^2 \cdot \ln x$ deriveres med produktregelen $(uv)' = u'v + uv'$:

I en aritmetisk tallfølge gjelder $a_n = a_1 + (n-1)d$. Vi setter opp to likninger:

Trekker den første fra den andre:

Setter $d = 2$ inn i den første likningen:

Nå kan vi finne $a_{15}$:

Vi utfører polynomdivisjon av $x^3 - 3x^2 - 13x + 15$ med $(x+3)$:

Resten er $0$, så $(x+3)$ er en faktor. Brøken forkortes:

Vi identifiserer de første leddene i rekken:

Første ledd: $a_1 = 7$. Kvotienten mellom to påfølgende ledd:

Siden $|k| = \dfrac{2}{9} < 1$ konvergerer rekken. Summen av en uendelig geometrisk rekke er:

Vi skriver $8 = 2^3$ og får:

Siden eksponentfunksjonen er en-til-en, må eksponentene være like:

Vi faktoriserer: $(x-3)(x+1) = 0$, som gir

1) Forventningsverdien beregnes som $\text{E}(X) = \sum x \cdot P(X=x)$:

2) Vi bruker $\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2$. Først beregner vi $\text{E}(X^2)$:

Variansen blir da:

Dette viser at $\text{Var}(X) = \dfrac{3}{4}$.

La $x_1$, $x_2$ og $x_3$ være verdien i kroner til henholdsvis mynt av type 1, 2 og 3. Vi setter opp likningsystemet:

Vi bruker eliminasjon. Multipliserer likning (1) med $2$ og likning (2) med $3$, trekker fra:

Multipliserer likning (1) med $2$ og likning (3) med $3$, trekker fra:

Fra likning (4): $x_3 = \dfrac{15 + 5x_2}{2}$. Setter inn i likning (5):

Multipliserer med $2$:

Setter $x_2 = 5$ inn i likning (4):

Setter $x_2 = 5$ og $x_3 = 20$ inn i likning (2):

Mynt av type 1 er verdt $\textcolor{seagreen}{10 \, \mathrm{kr}}$, mynt av type 2 er verdt $\textcolor{seagreen}{5 \, \mathrm{kr}}$ og mynt av type 3 er verdt $\textcolor{seagreen}{20 \, \mathrm{kr}}$.

Vi setter inn $n = 1, 2, \ldots, 10$ i formelen $a_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$:

De ti første trekanttallene er $\textcolor{seagreen}{1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55}$.

Vi beregner $a_{14}$ og $a_{15}$:

Summen er:

Dette er et kvadrattall.

Vi beregner $a_{20}$ og $a_{21}$:

Summen er:

Dette er også et kvadrattall. Påstanden ser ut til å stemme for begge disse parene.

Vi skal vise at $a_n + a_{n+1}$ alltid er et kvadrattall. Vi setter inn formelen for trekanttall:

Legger dem sammen:

Vi faktoriserer ut $(n+1)$ i telleren:

Vi har vist at

for alle naturlige tall $n$. Siden $(n+1)^2$ er et perfekt kvadrat, er summen av to nabotrekanttall alltid et kvadrattall.

Overskuddet til bedriften er differansen mellom inntekt og kostnad:

Overskuddet er størst der $O'(x) = 0$. Vi deriverer:

Overskuddet er altså størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Intuitivt: så lenge grenseinntekten er større enn grensekostnaden ($I'(x) > K'(x)$), øker overskuddet ved økt produksjon. Når grensekostnaden overstiger grenseinntekten, synker overskuddet. Optimalt punkt er der de er like.

Totalkostnaden $K(x)$ finner vi ved å multiplisere kostnad per enhet $E(x)$ med antall enheter $x$:

Inntekten $I(x)$ er prisen per enhet (55 kr) multiplisert med antall enheter $x$:

$K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000$ og $I(x) = 55x$.

Grafene er tegnet i GeoGebra (blå kurve = $K(x)$, grønn linje = $I(x)$). De røde punktene markerer skjæringspunktene mellom $K$ og $I$.

Fra grafene ser vi at $I(x) > K(x)$ (inntekt større enn kostnad, dvs. overskudd) når $I$-grafen (grønn) ligger over $K$-grafen (blå).

Avlesning fra grafen:

• Skjæringspunkt 1: $x \approx 49$
• Skjæringspunkt 2: $x \approx 271$

Bedriften har overskudd for $x \in \langle 49,\ 271 \rangle$, dvs. når dagsproduksjonen er mellom ca. 49 og 271 enheter.

Det største vertikale avstanden mellom de to grafene oppstår der stigningstallene er like, og dette ser ut til å skje ved $x \approx 160$. Størst overskudd oppnås ved $x \approx 160$ enheter.

Vi setter $K'(x) = I'(x)$ (grensekostnad lik grenseinntekt, jf. deloppgave a).

Vi deriverer $K(x) = 0{,}15x^2 + 7x + 2000$:

Vi deriverer $I(x) = 55x$:

Setter de lik hverandre:

Vi kan verifisere at dette gir et maksimum ved å merke at $O''(x) = -0{,}3 < 0$.

Størst mulig overskudd:

For å maksimere overskuddet må bedriften produsere og selge $\underline{\underline{x = 160 \mathrm{~enheter}}}$ per dag. Størst mulig overskudd er $\underline{\underline{1840 \, \mathrm{kr}}}$.

Vi lar de tre påfølgende kvadrattallene være $n^2$, $(n+1)^2$ og $(n+2)^2$.

Vi setter opp likningen:

Vi ekspanderer kvadratene:

Vi løser andregradslikningen med GeoGebra CAS:

CAS gir $n = -12$ eller $n = 10$. Siden $n$ må være et positivt heltall (vi vil ha tre positive kvadrattall), er $n = 10$.

De tre kvadrattallene er:

Sjekk: $100 + 121 + 144 = 365$ ✓

De tre påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{100, 121 \text{ og } 144}}$.

Vi lar de to påfølgende kvadrattallene være $n^2$ og $(n+1)^2$.

Vi setter opp likningen:

CAS (se skjermbilde over, linje 2) gir $n = -14$ eller $n = 13$. Siden $n$ må være positiv, er $n = 13$.

De to kvadrattallene er:

Sjekk: $169 + 196 = 365$ ✓

De to påfølgende kvadrattallene er $\underline{\underline{169 \text{ og } 196}}$.

1) Beregn $S_{10}$

Formelen for summen av en geometrisk rekke er

Vi setter inn $a_1 = 1$, $k = \dfrac{3}{2}$ og $n = 10$:

GeoGebra CAS bekrefter:

2) Uttrykk for $S_n$

På samme måte gir formelen generelt:

Vi ønsker å finne minste $n$ slik at $S_n > 1\,000\,000$.

Vi setter opp ulikheten:

Vi tar logaritmen på begge sider:

Siden $n$ må være et heltall, er minste $n$ lik $33$.

Vi kontrollerer:

• $S_{32} = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{32} - 2 \approx 862\,878 < 1\,000\,000$
• $S_{33} = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{33} - 2 \approx 1\,294\,318 > 1\,000\,000$

Vi må ta med minst $\underline{\underline{33 \text{ ledd}}}$ for at $S_n$ skal overstige $1\,000\,000$.

Vi setter $f(x) = 0$:

Siden $3^u = 3^0$ gir $u = 0$, får vi:

Dette gir $x = 0$ eller $x^2 = 3$, altså $x = \pm\sqrt{3}$.

Nullpunktene er $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$ og $x = \sqrt{3}$.

Grafen til $f$ er tegnet med GeoGebra:

Hvorfor ligger grafen over $y = -1$?

Eksponenten $u = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)$ er et reelt tall for alle $x$. For enhver reell verdi av $u$ gjelder $3^u > 0$. Dermed er alltid

Grafen til $f$ ligger derfor alltid strengt over linjen $y = -1$.

Vi bruker kjerneregelen. La $u = \frac{1}{3}(x^3 - 3x)$, slik at $f(x) = 3^u - 1$.

Den ytre deriverte av $3^u$ er $\ln 3 \cdot 3^u$, og den indre deriverte er:

Ved kjerneregelen:

Vi setter $f'(x) = 0$. Siden $\ln 3 > 0$ og $3^{\frac{1}{3}(x^3-3x)} > 0$ for alle $x$, er de to siste faktorene alltid positive. Dermed er

Fortegnslinje for $f'(x)$:

Grafen vokser for $x < -1$ og $x > 1$, og avtar for $-1 < x < 1$.

Toppunkt ved $x = -1$:

$\underline{\underline{\text{Toppunkt: } \left(-1,\; 3^{\frac{2}{3}}-1\right) \approx (-1;\; 1{,}08)}}$

Bunnpunkt ved $x = 1$:

$\underline{\underline{\text{Bunnpunkt: } \left(1,\; 3^{-\frac{2}{3}}-1\right) \approx (1;\; -0{,}52)}}$

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne integralet og finne $a$.

Vi prøver $a \approx 2{,}2272$ og kontrollerer:

$\underline{\underline{a \approx 2{,}23}}$

$X$ er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 79{,}2$ og $\sigma = 6{,}4$.

Vi standardiserer og bruker normalfordelingens kumulatve fordelingsfunksjon $\Phi$.

1) Andel som veide mellom $75{,}0$ og $85{,}0 \, \mathrm{kg}$:

Vi beregner z-verdiene for grensene:

Deretter finner vi sannsynligheten med GeoGebra CAS:

$\underline{\underline{\approx 56{,}2 \,\%}}$ av kundene veide mellom $75{,}0$ og $85{,}0 \, \mathrm{kg}$.

2) Andel som veide over $100{,}0 \, \mathrm{kg}$:

$\underline{\underline{\approx 0{,}058 \,\%}}$ av kundene veide over $100{,}0 \, \mathrm{kg}$.

Vi ønsker å undersøke om trening har ført til at gjennomsnittsvekten har gått ned. Vi formulerer:

Dette er en ensidig hypotesetest (venstre hale), fordi vi undersøker om vekten har gått ned.

Vi gjennomfører en $z$-test med signifikansnivå $\alpha = 5 \,\%$.

Gitte opplysninger:

• $n = 30$, $\bar{x} = 76{,}0 \, \mathrm{kg}$, $\sigma = 6{,}4 \, \mathrm{kg}$ (antatt uendret)
• Under $H_0$ er $\mu_0 = 79{,}2$

Teststørrelsen:

Kritisk verdi for ensidig test med $\alpha = 5 \,\%$:

Vi beregner $z_{\text{obs}}$ og $z_{\text{krit}}$ i GeoGebra CAS:

Fra utklippet leser vi:

Beslutningsregel: Forkast $H_0$ hvis $z_{\text{obs}} < z_{\text{krit}}$.

Siden $z_{\text{obs}}$ er mer ekstrem enn den kritiske verdien, forkaster vi $H_0$.

Det er statistisk grunnlag på 5 % signifikansnivå for å hevde at $\underline{\underline{\text{gjennomsnittsvekten til kundene har gått ned}}}$ etter treningsperioden.