S2 Høst 2011

Oppgave 1-1Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x + 4

g (x) = 3 e^{2 x}

h (x) = x \cdot e^{2 x}

i (x) = \ln (x^{2} + 4)

Vi har gitt rekken

4 + 7 + 10 + 13 + \dots

Bestem $a_{n}$ og $S_{n}$

Løs likningen

x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + \dots = 3 når x \in ⟨ - 1, 1 ⟩

Vi har gitt polynomfunksjonen

f (x) = x^{3} + a x + 12

Bestem $a$ slik at divisjonen $f (x) : (x + 4)$ går opp.

Utfør divisjonen, og skriv $f (x)$ som et produkt av førstegradsfaktorer for denne $a$ -verdien.

Vi har gitt rekken

1 + 7 + 19 + 37 + \dots

Skriv opp $S_{1}$ , $S_{2}$ , $S_{3}$ , $S_{4}$ og bestem $S_{100}$

For en funksjon $f$ har vi gitt at

f^{'} (x) = a (x + 1) (x - 2) der a < 0

Tegn fortegnslinjen til $f^{'} (x)$ . Bruk denne til å bestemme $x$ -verdien til topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ . Bestem også hvor grafen til $f$ stiger og synker.

Bestem $f^{''} (x)$ . Bruk denne til å bestemme $x$ -verdien til vendepunktet.

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved

$x$	$0$	$1$
$P (X = x)$	$1 - p$	$p$

Bestem $E (X)$ og $Var (X)$ uttrykt ved $p$ .

Fasit

1) $f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{2}$ 2) $g^{'} (x) = 6 e^{2 x}$ 3) $h^{'} (x) = e^{2 x} (1 + 2 x)$ 4) $i^{'} (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

$a_{n} = 3 n + 1$ , $S_{n} = \frac{n (3 n + 5)}{2}$

$x = \frac{3}{4}$

1) $a = - 13$ 2) $f (x) = (x + 4) (x - 1) (x - 3)$

$S_{100} = 1 000 000$

1) Bunnpunkt ved $x = - 1$ , toppunkt ved $x = 2$ 2) Vendepunkt ved $x = \frac{1}{2}$

$E (X) = p$ , $Var (X) = p (1 - p)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer funksjonene enkeltvis.

1) $f (x) = x^{2} + \frac{1}{2} x + 4$

f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{2}

2) $g (x) = 3 e^{2 x}$ — kjerneregel med $u = 2 x$ :

g^{'} (x) = 3 \cdot 2 \cdot e^{2 x} = 6 e^{2 x}

3) $h (x) = x \cdot e^{2 x}$ — produktregel med $u = x$ og $v = e^{2 x}$ :

h^{'} (x) = 1 \cdot e^{2 x} + x \cdot 2 e^{2 x} = e^{2 x} (1 + 2 x) = e^{2 x} (1 + 2 x)

4) $i (x) = \ln (x^{2} + 4)$ — kjerneregel med $u = x^{2} + 4$ :

i^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} + 4} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x^{2} + 4}

Rekken $4 + 7 + 10 + 13 + \dots$ er en aritmetisk rekke med

a_{1} = 4, d = 3

$a_{n}$ : Vi bruker formelen $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ :

a_{n} = 4 + (n - 1) \cdot 3 = 4 + 3 n - 3 = 3 n + 1

$S_{n}$ : Vi bruker sumformelen $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ :

S_{n} = \frac{n}{2} (4 + 3 n + 1) = \frac{n}{2} (3 n + 5) = \frac{n (3 n + 5)}{2}

Venstresiden $x + x^{2} + x^{3} + \dots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = x$ og kvotient $k = x$ .

For $x \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ konvergerer rekken, og vi bruker formelen $S = \frac{a_{1}}{1 - k}$ :

\frac{x}{1 - x} = 3

x = 3 (1 - x) = 3 - 3 x

4 x = 3

x = \frac{3}{4}

1) Siden $(x + 4)$ skal gå opp i $f (x) = x^{3} + a x + 12$ , må $x = - 4$ være et nullpunkt:

f (- 4) = {(- 4)}^{3} + a \cdot (- 4) + 12 = 0

- 64 - 4 a + 12 = 0

- 4 a = 52

a = - 13

2) Vi utfører polynomdivisjon av $f (x) = x^{3} - 13 x + 12$ med $(x + 4)$ :

x^{3} - 13 x + 12 = (x + 4) \cdot (x^{2} - 4 x + 3)

Vi sjekker: $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 3) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x + 4 x^{2} - 16 x + 12 = x^{3} - 13 x + 12$ ✓

Vi faktoriserer andregradsfaktoren $x^{2} - 4 x + 3 = (x - 1) (x - 3)$ , så

f (x) = (x + 4) (x - 1) (x - 3)

Vi skriver opp delsummene:

S_{1} = 1, S_{2} = 1 + 7 = 8, S_{3} = 8 + 19 = 27, S_{4} = 27 + 37 = 64

Vi legger merke til at $S_{1} = 1^{3}$ , $S_{2} = 2^{3}$ , $S_{3} = 3^{3}$ , $S_{4} = 4^{3}$ .

Vi gjetter at $S_{n} = n^{3}$ , og sjekker: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = n^{3} - {(n - 1)}^{3}$ .

n^{3} - {(n - 1)}^{3} = n^{3} - (n^{3} - 3 n^{2} + 3 n - 1) = 3 n^{2} - 3 n + 1

Vi verifiserer: $a_{1} = 3 - 3 + 1 = 1$ ✓, $a_{2} = 12 - 6 + 1 = 7$ ✓, $a_{3} = 27 - 9 + 1 = 19$ ✓, $a_{4} = 48 - 12 + 1 = 37$ ✓

Derfor er

S_{100} = 100^{3} = 1 000 000

1) $f^{'} (x) = a (x + 1) (x - 2)$ med $a < 0$ .

Nullpunktene er $x = - 1$ og $x = 2$ . Siden $a < 0$ er parabelen (andregrad) åpen nedover.

Fortegnslinje for $f^{'} (x)$ :

\begin{matrix} x & - 1 & 2 \\ f^{'} (x) & - & 0 & + & 0 & - \end{matrix}

$f^{'} (x) < 0$ for $x < - 1$ : $f$ er synkende
$f^{'} (x) > 0$ for $- 1 < x < 2$ : $f$ er stigende
$f^{'} (x) < 0$ for $x > 2$ : $f$ er synkende

Fortegnskiftet i $f^{'}$ gir:

$x = - 1$ : skifter fra $-$ til $+$ → bunnpunkt
$x = 2$ : skifter fra $+$ til $-$ → toppunkt

2) Vi utvider $f^{'} (x) = a (x + 1) (x - 2) = a (x^{2} - x - 2) = a x^{2} - a x - 2 a$ og deriverer:

f^{''} (x) = 2 a x - a = a (2 x - 1)

$f^{''} (x) = 0$ gir $x = \frac{1}{2}$ .

Siden $a \neq 0$ skifter $f^{''}$ fortegn her, så $f$ har et vendepunkt ved $x = \frac{1}{2}$ .

Sannsynlighetsfordelingen er

$x$	$0$	$1$
$P (X = x)$	$1 - p$	$p$

Forventningsverdi:

E (X) = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p

Varians:

E (X^{2}) = 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p

Var (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 24 poeng

Eksaminanden må poengtere at rekken er aritmetisk for å få full uttelling.

Eksaminanden bør kommentere at løsningen er med i $⟨ - 1, 1 ⟩$ for full uttelling.

Det er tilstrekkelig å bruke egenskapen $S_{n} = n^{3}$ for å finne $S_{100}$ .

1) Svarene må gis som åpne intervaller.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Rekker, Uendelig rekke, Funksjonsdrøfting, Polynomdivisjon, Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 2-2Studiefinansiering med voksende avdrag

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For å få ungdom til å studere realfag, tenker vi oss en ny ordning for studiefinansiering.

Betingelsene er som følger:

Lånet er rente- og avdragsfritt i studietida.
Studenten betaler bare avdrag og ikke renter når studiene er avsluttet.
Studenten betaler første avdrag på 15 000 kroner ett år etter at studiet er avsluttet. Deretter skal de årlige avdragene økes med 5 % hvert år.

En student vil låne i alt 450 000 kroner.

Kalkulator

Hvor stort blir det 2. avdraget og det 8. avdraget?

Kalkulator

Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de 8 første avdragene?

Kalkulator

Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt?

Kalkulator

Hvor stort blir det siste avdraget?

Fasit

2. avdrag: $15 750 kr$ , 8. avdrag: $\approx 21 107 kr$

$S_{8} \approx 143 237 kr$

$19 år$

$a_{19} \approx 36 099 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Avdragene danner en geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = 15 000$ og kvotient $k = 1,05$ .

Det $n$ -te avdraget er gitt ved:

a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1} = 15 000 \cdot {1,05}^{n - 1}

Det 2. og 8. avdraget:

a_{2} = 15 000 \cdot {1,05}^{1} = 15 750 kr

a_{8} = 15 000 \cdot {1,05}^{7} \approx 21 107 kr

Det 2. avdraget er $15 750 kr$ og det 8. avdraget er $\approx 21 107 kr$ .

Summen av de $n$ første leddene i en geometrisk rekke er:

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1}

For de 8 første avdragene:

S_{8} = 15 000 \cdot \frac{{1,05}^{8} - 1}{1,05 - 1} \approx 143 237 kr

Studenten betaler tilbake $\approx 143 237 kr$ i løpet av de 8 første avdragene.

Vi løser $S_{n} = 450 000$ med GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – geometrisk rekke

Fra linje 6 i CAS-utklippet ser vi at $n \approx 18,78$ .

Siden $n$ må være et heltall, og summen må nå minst $450 000 kr$ , er svaret $n = 19$ .

Vi kan bekrefte:

$S_{18} \approx 421 986 kr$ (ikke nok)
$S_{19} \approx 458 085 kr$ (nok)

Det vil ta $19 år$ før hele lånet er tilbakebetalt.

Det siste avdraget er det 19. avdraget (fra deloppgave c):

a_{19} = 15 000 \cdot {1,05}^{18} \approx 36 099 kr

Fra linje 7 i CAS-utklippet bekreftes $a_{19} \approx 36 099 kr$ .

Det siste avdraget er $\approx 36 099 kr$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Løsning ved hjelp av et digitalt verktøy gir full uttelling. Men da må det gå fram av besvarelsen hvordan dette er brukt.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Geometrisk rekke, Rekker, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Harebestand med logistisk modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En modell for antall harer innenfor et lukket område er gitt ved

N (t) = 700 - C \cdot e^{- k t}

der $t$ er antall år etter at tellingene begynte, og $k > 0$ .

Ved to tellinger fant man ut at $N (0) = 400$ og $N (5) = 600$ .

Kalkulator

Bruk resultatet av de to tellingene til å vise at $C = 300$ og $k \approx 0,22$

Kalkulator

Finn ved regning hvor lang tid det tar før det er 650 harer i området.

Kalkulator

Tegn grafen til $N$ . Hvor mange harer vil det være i området når det har gått lang tid?

Kalkulator

Bruk blant annet kjerneregelen til å bestemme $N^{'} (5)$ . Hva forteller svaret oss?

Fasit

$C = 300$ , $k = \frac{\ln 3}{5} \approx 0,22$

$t \approx 8,1 år$

$700 h a r e r$ (horisontal asymptote $N = 700$ )

$N^{'} (5) \approx 22 harer per år$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $N (0) = 400$ :

N (0) = 700 - C \cdot e^{0} = 700 - C = 400

C = 300

Vi setter inn $N (5) = 600$ med $C = 300$ :

700 - 300 \cdot e^{- 5 k} = 600

300 \cdot e^{- 5 k} = 100

e^{- 5 k} = \frac{1}{3}

- 5 k = \ln (\frac{1}{3}) = - \ln 3

k = \frac{\ln 3}{5} \approx \frac{1,099}{5} \approx 0,22

Vi har vist at $C = 300$ og $k \approx 0,22$ .

Vi løser $N (t) = 650$ med GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – løser N(t) = 650

CAS gir $t \approx 8,14$ .

Det tar omtrent $8,1 år$ før det er 650 harer i området.

Alternativt for hånd:

700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t} = 650

300 \cdot e^{- 0,22 t} = 50

e^{- 0,22 t} = \frac{1}{6}

t = \frac{\ln 6}{0,22} \approx \frac{1,792}{0,22} \approx 8,1

Grafen til $N (t) = 700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t}$ er tegnet i GeoGebra:

Graf av N(t) = 700 – 300·e^(–0,22t)

Når $t \to \infty$ går $e^{- 0,22 t} \to 0$ , og dermed $N (t) \to 700$ .

Grafen har en horisontal asymptote $N = 700$ .

Når det har gått lang tid, vil det være $700 h a r e r$ i området.

Vi deriverer $N (t) = 700 - 300 \cdot e^{- 0,22 t}$ med kjerneregelen.

La $u = - 0,22 t$ , slik at $N = 700 - 300 \cdot e^{u}$ . Da er $u^{'} = - 0,22$ og ${(e^{u})}^{'} = e^{u} \cdot u^{'}$ :

N^{'} (t) = - 300 \cdot e^{- 0,22 t} \cdot (- 0,22) = 66 \cdot e^{- 0,22 t}

GeoGebra CAS bekrefter dette (se CAS-skjermbilde ovenfor, linje 3–4).

Vi regner ut $N^{'} (5)$ :

N^{'} (5) = 66 \cdot e^{- 0,22 \cdot 5} = 66 \cdot e^{- 1,1} \approx 66 \cdot 0,333 \approx 22

$N^{'} (5) \approx 22 harer per år$

Dette betyr at harebestanden øker med omtrent 22 harer per år etter 5 år.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Oppgaven kan løses ved hjelp av CAS dersom riktig likning er satt opp.

Her er det nok at eksaminanden bruker grafen til å argumentere for svaret.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering, Logistisk vekst
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Terningspill med nettogevinst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et spill kastes to vanlige terninger. Premien i spillet avgjøres av samlet sum øyne på de to terningene.

Hvis summen er 11 eller 12, er premien 100 kroner.
Hvis summen er 9 eller 10, er premien 50 kroner.
Hvis summen er 7 eller 8, er premien 15 kroner.
Hvis summen er 6 eller mindre, er det ingen premie.

Det koster 10 kroner å delta i ett spill.

La $X$ være nettogevinsten i ett spill, det vil si premien fratrukket 10 kroner.

Kalkulator

Forklar at $P (X = 5) = \frac{11}{36}$

Kalkulator

Skriv av tabellen nedenfor, og fyll ut det som mangler.

$x$	$- 10$	$5$	$40$	$90$
$P (X = x)$		$\frac{11}{36}$

Kalkulator

Vil det i lengden lønne seg å spille dette spillet? Gjør beregninger som understøtter svaret ditt.

Fasit

Sum 7 gir 6 utfall, sum 8 gir 5 utfall; $\frac{6 + 5}{36} = \frac{11}{36}$ .

$P (X = - 10) = \frac{15}{36}$ , $P (X = 40) = \frac{7}{36}$ , $P (X = 90) = \frac{3}{36}$

$E (X) = \frac{455}{36} \approx 12,64 kr$ — spillet lønner seg i lengden.

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaster to terninger. Det totale utfallsrommet består av $6 \cdot 6 = 36$ like sannsynlige utfall.

$X = 5$ betyr at premien er $15 kr$ , altså at summen av de to terningene er 7 eller 8.

Utfall som gir sum 7: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — det er $6$ utfall.

Utfall som gir sum 8: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ — det er $5$ utfall.

Til sammen er det $6 + 5 = 11$ gunstige utfall, og derfor er

P (X = 5) = \frac{11}{36}

Vi teller utfall på samme måte for de øvrige verdiene av $X$ .

$X = 40$ (premie $50 kr$ , sum 9 eller 10):

Sum 9: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — 4 utfall
Sum 10: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — 3 utfall

P (X = 40) = \frac{4 + 3}{36} = \frac{7}{36}

$X = 90$ (premie $100 kr$ , sum 11 eller 12):

Sum 11: $(5,6), (6,5)$ — 2 utfall
Sum 12: $(6,6)$ — 1 utfall

P (X = 90) = \frac{2 + 1}{36} = \frac{3}{36}

$X = - 10$ (ingen premie, sum 6 eller mindre):

Siden alle sannsynlighetene må summere til 1:

P (X = - 10) = 1 - \frac{11}{36} - \frac{7}{36} - \frac{3}{36} = \frac{36 - 21}{36} = \frac{15}{36}

Den fullstendige sannsynlighetsfordelingen er:

$x$	$- 10$	$5$	$40$	$90$
$P (X = x)$	$\frac{15}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{3}{36}$

Vi beregner forventningsverdien $E (X)$ med GeoGebra CAS:

E (X) = 90 \cdot \frac{3}{36} + 40 \cdot \frac{7}{36} + 5 \cdot \frac{11}{36} + (- 10) \cdot \frac{15}{36}

GeoGebra CAS: beregning av E(X)

Fra utklippet ser vi at

E (X) = \frac{455}{36} \approx 12,64 kr

Siden $E (X) \approx 12,64 kr > 0$ , vil man i gjennomsnitt tjene om lag $12,64 kr$ per spill. Det lønner seg altså i lengden å spille dette spillet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

og b) I oppgave 4a og 4b vil en skjematisk oversikt og opptelling av antall gunstige gi en fullgod besvarelse.

Denne oppgaven kan løses f.eks. ved å finne forventningsverdien, men en opptelling som vise at over halvparten av utfallene gir mer enn 10 kroner i gevinst må det også gis uttelling for.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Mattilsynet kontrollerer blant annet kvaliteten på matvarer. På landsbasis har det vist seg at gjennomsnittlig 15 % av pakningene av en bestemt type mat har for dårlig kvalitet.

I et distrikt planlegger Mattilsynet å kontrollere 120 pakninger med denne maten. Vi ser på kontrollen som et binomisk forsøk med $n = 120$ og $p = 0,15$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at akkurat 18 av de kontrollerte pakningene har for dårlig kvalitet.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet.

I kontrollen viser det seg at 21 av de 120 pakningene ikke oppfylte kvalitetskravene. Mattilsynet vil undersøke om dette høye tallet kan skyldes tilfeldigheter, eller om det virkelig er slik at mer enn 15 % av pakningene har for dårlig kvalitet i dette distriktet.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt pakning har for dårlig kvalitet.

Kalkulator

Bruk hypotesetesting, og vurder om kontrollen gir grunnlag for å påstå at kvaliteten på denne matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$P (X = 18) \approx 0,1015$

$P (X \geq 20) \approx 0,3414$

p-verdien $\approx 0,2557 > 0,05$ . Vi forkaster ikke $H_{0}$ — kontrollen gir ikke grunnlag for å påstå at kvaliteten er dårligere i dette distriktet.

LøsningsforslagKI-generert

$X$ er binomisk fordelt med $n = 120$ og $p = 0,15$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til alle beregningene:

GeoGebra CAS – binomisk fordeling

Vi beregner punktsannsynligheten $P (X = 18)$ :

P (X = 18) = FordelingBinomisk (120; 0,15; 18; false) \approx 0,1015

Sannsynligheten for at akkurat 18 av de 120 pakningene har for dårlig kvalitet er $P (X = 18) \approx 0,1015$ , dvs. ca. $10,15 %$ .

Vi beregner $P (X \geq 20) = 1 - P (X \leq 19)$ :

P (X \geq 20) = 1 - FordelingBinomisk (120; 0,15; 19; true) \approx 0,3414

Sannsynligheten for at minst 20 av pakningene har for dårlig kvalitet er $P (X \geq 20) \approx 0,3414$ , dvs. ca. $34,1 %$ .

Vi setter opp hypotesetesten:

H_{0} : p = 0,15 H_{1} : p > 0,15

Signifikansnivå: $α = 0,05$ .

Vi observerte $x = 21$ pakninger med for dårlig kvalitet. Siden $H_{1}$ er ensidig (vi tester om $p$ er større enn $0,15$ ), er p-verdien sannsynligheten for å observere minst 21 pakninger dersom $H_{0}$ er sann:

p-verdi = P (X \geq 21) = 1 - P (X \leq 20)

= 1 - FordelingBinomisk (120; 0,15; 20; true) \approx 0,2557

Siden p-verdien $0,2557 > 0,05 = α$ , forkaster vi ikke $H_{0}$ .

Konklusjon: p-verdien er ca. $25,6 %$ , som er høyere enn signifikansnivået på $5 %$ . Vi forkaster ikke $H_{0}$ . Kontrollen gir ikke statistisk grunnlag for å påstå at kvaliteten på matvaren er dårligere i dette distriktet enn ellers i landet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Hele oppgave 5 kan løses ved av hjelp av et digitalt verktøy.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Oljefondet som logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kilde: Modellen bygger på tallmateriale fra http://no.wikipedia.org/wiki/Statens_pensjonsfond (06.05.2011)

Ifølge én modell vil størrelsen på Statens pensjonsfond utland («Oljefondet») følge funksjonen gitt ved

f (x) = \frac{3236}{1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x}}

Her er $x$ antall år etter 1996, og $f (x)$ er størrelsen på Oljefondet i milliarder kroner.

Kalkulator

Hvor stort vil Oljefondet være i 2012 ifølge modellen?

Kalkulator

Bruk kjerneregelen og regelen for derivasjon av en brøk til å vise at

f^{'} (x) = \frac{46394,6 \cdot e^{- 0,3763 x}}{{(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2}}

Bestem $f^{'} (4)$ . Hva forteller dette tallet oss?

Kalkulator

En økonom sier at Oljefondet alltid vil vokse. Forklar hvordan vi ut fra den gitte modellen kan støtte denne uttalelsen.

Kalkulator

Bestem hvilket år Oljefondet har størst vekst ifølge denne modellen.

Fasit

$f (16) \approx 2962 m r d . k r$

Se utledning. $f^{'} (4) \approx 115 mrd. kr/år$

Telleren $46394,6 \cdot e^{- 0,3763 x} > 0$ og nevneren ${(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2} > 0$ for alle $x$ , så $f^{'} (x) > 0$ alltid.

$x \approx 9,67$ , dvs. år $2006$ har størst vekst ifølge modellen.

LøsningsforslagKI-generert

År 2012 er $x = 2012 - 1996 = 16$ år etter 1996. Vi setter inn i funksjonsuttrykket:

f (16) = \frac{3236}{1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 \cdot 16}}

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne verdien.

GeoGebra CAS – f(16) og f'(4)

Oljefondet vil ifølge modellen være på ca. $2962 m r d . k r$ i 2012.

Vi skal derivere $f (x) = \frac{3236}{1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x}}$ ved hjelp av brøkregelen og kjerneregelen.

Vi setter $u (x) = 3236$ (konstant) og $v (x) = 1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x}$ .

Kjerneregelen gir $v^{'} (x)$ : den ytre funksjonen er $e^{□}$ og den indre er $- 0,3763 x$ :

v^{'} (x) = 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x} \cdot (- 0,3763) = - 14,347 \cdot e^{- 0,3763 x}

Brøkregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ gir:

f^{'} (x) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}} = \frac{0 \cdot v (x) - 3236 \cdot (- 14,347 \cdot e^{- 0,3763 x})}{{(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2}}

= \frac{3236 \cdot 38,1 \cdot 0,3763 \cdot e^{- 0,3763 x}}{{(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2}} = \frac{46394,6 \cdot e^{- 0,3763 x}}{{(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2}}

(siden $3236 \cdot 38,1 \cdot 0,3763 \approx 46394,6$ ). Dette er det samme som det oppgitte uttrykket. $■$

Vi beregner $f^{'} (4)$ med GeoGebra CAS (se skjermbilde over):

f^{'} (4) \approx 𝟏𝟏𝟓 mrd. kr/år

$f^{'} (4) \approx 115 mrd. kr/år$ betyr at Oljefondet i år 2000 ( $x = 4$ ) vokste med ca. 115 milliarder kroner per år.

Fra det deriverte uttrykket

f^{'} (x) = \frac{46394,6 \cdot e^{- 0,3763 x}}{{(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2}}

ser vi at:

Telleren $46394,6 \cdot e^{- 0,3763 x} > 0$ for alle $x$ , siden eksponentialfunksjonen alltid er positiv.
Nevneren ${(1 + 38,1 \cdot e^{- 0,3763 x})}^{2} > 0$ for alle $x$ , siden det er et kvadrat av et positivt tall.

Dermed er $f^{'} (x) > 0$ for alle $x$ , og $f$ er strengt voksende. Dette støtter påstanden om at Oljefondet alltid vokser ifølge denne modellen.

Størst vekst betyr at $f^{'} (x)$ har sitt maksimum. Vi finner dette ved å løse $f^{''} (x) = 0$ med GeoGebra CAS.

GeoGebra CAS – Løs(f''(x)=0)

CAS gir $x \approx 9,67$ .

Vi kan også bekrefte med grafen:

Graf av f(x) (blå) og f'(x) (grønn) med maksimum for vekstraten markert

Toppen av den grønne kurven ( $f^{'}$ ) er ved $x \approx 9,67$ , som tilsvarer år $1996 + 9,67 \approx 2006$ .

Oljefondet har størst vekst i år $2006$ ifølge modellen (ca. 304 mrd. kr/år).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Eksaminanden bør kommentere at den dobbeltderiverte skifter fortegn i $x = 9,67$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2Studiefinansiering med voksende avdrag

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Harebestand med logistisk modell

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Terningspill med nettogevinst

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Oljefondet som logistisk funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-2·Studiefinansiering med voksende avdrag

Oppgave 2-3·Harebestand med logistisk modell

Oppgave 2-4·Terningspill med nettogevinst

Oppgave 2-5·Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Oppgave 2-6·Oljefondet som logistisk funksjon

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjonsregler og rekker og funksjonsdrøfting

Oppgave 2-2Studiefinansiering med voksende avdrag

Oppgave 2-3Harebestand med logistisk modell

Oppgave 2-4Terningspill med nettogevinst

Oppgave 2-5Mattilsynet og binomisk hypotesetest

Oppgave 2-6Oljefondet som logistisk funksjon