S2 Høst 2012

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}}

h (x) = \ln (x^{3} - x)

k (x) = x^{3} e^{- x^{2}}

Deriver $g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}}$

Deriver $h (x) = \ln (x^{3} - x)$

Deriver $k (x) = x^{3} e^{- x^{2}}$

Fasit

$g^{'} (x) = \frac{6 - 6 x}{x^{4}}$

$h^{'} (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$

$k^{'} (x) = x^{2} e^{- x^{2}} (3 - 2 x^{2})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi omskriver brøken til et sum av potenser:

g (x) = \frac{3 x - 2}{x^{3}} = \frac{3 x}{x^{3}} - \frac{2}{x^{3}} = 3 x^{- 2} - 2 x^{- 3}

Nå kan vi derivere ledd for ledd med potensregelen:

g^{'} (x) = 3 \cdot (- 2) x^{- 3} - 2 \cdot (- 3) x^{- 4} = - 6 x^{- 3} + 6 x^{- 4}

Vi skriver om til brøkform med fellesnevner $x^{4}$ :

g^{'} (x) = \frac{- 6 x}{x^{4}} + \frac{6}{x^{4}} = \frac{𝟔 - 𝟔 𝐱}{𝐱^{𝟒}}

Vi bruker kjerneregelen. La $u = x^{3} - x$ , slik at $h = \ln (u)$ .

h^{'} (x) = \frac{u^{'}}{u} = \frac{{(x^{3} - x)}^{'}}{x^{3} - x}

Vi deriverer telleren:

{(x^{3} - x)}^{'} = 3 x^{2} - 1

Dermed:

h^{'} (x) = \frac{𝟑 𝐱^{𝟐} - 𝟏}{𝐱^{𝟑} - 𝐱}

Vi bruker produktregelen med $u = x^{3}$ og $v = e^{- x^{2}}$ :

k^{'} (x) = u^{'} v + u v^{'}

Vi finner de to deriverte:

u^{'} = 3 x^{2}

For $v^{'} = {(e^{- x^{2}})}^{'}$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $- x^{2}$ :

v^{'} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}

Setter inn i produktregelen:

k^{'} (x) = 3 x^{2} \cdot e^{- x^{2}} + x^{3} \cdot (- 2 x e^{- x^{2}})

k^{'} (x) = 3 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 x^{4} e^{- x^{2}}

Vi faktoriserer ut $x^{2} e^{- x^{2}}$ :

k^{'} (x) = 𝐱^{𝟐} 𝐞^{- 𝐱^{𝟐}} (𝟑 - 𝟐 𝐱^{𝟐})

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Derivasjon, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Aritmetisk rekke med a1 og a4

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar hva vi mener med at en rekke er aritmetisk.

I en aritmetisk rekke er $a_{1} = 3$ og $a_{4} = 12$ . Bestem $a_{n}$ og $s_{n}$ .

Fasit

En rekke der differansen mellom hvert ledd og det forrige er konstant.

$a_{n} = 3 n$ , $s_{n} = \frac{3 n (n + 1)}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

En rekke $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ er aritmetisk dersom differansen mellom hvert ledd og det foregående leddet er konstant. Denne konstante differansen kalles $d$ :

a_{n} - a_{n - 1} = d for alle n \geq 2

Det vil si at hvert ledd er $d$ større enn det forrige.

Vi bruker formelen for det $n$ -te leddet i en aritmetisk følge:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $n = 4$ for å finne $d$ :

a_{4} = 3 + (4 - 1) \cdot d = 3 + 3 d = 12

3 d = 9 ⟹ d = 3

Uttrykk for $a_{n}$ :

a_{n} = 3 + (n - 1) \cdot 3 = 3 + 3 n - 3 = 𝟑 𝐧

Uttrykk for $s_{n}$ :

Vi bruker summeformelen for en aritmetisk rekke:

s_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{n}{2} (3 + 3 n) = \frac{n \cdot 3 (1 + n)}{2} = \frac{𝟑 𝐧 (𝐧 + 𝟏)}{𝟐}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = 2 x^{3} - 26 x + 24

Forklar hvordan vi kan avgjøre om divisjonen $P (x) : (x - 1)$ vil gå opp, uten å utføre divisjonen.

Faktoriser $P (x)$ i lineære faktorer (førstegradsfaktorer).

Fasit

$P (1) = 0$ , så $(x - 1)$ er en faktor.

$P (x) = 2 (x - 1) (x - 3) (x + 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Faktorsetningen sier at $(x - a)$ er en faktor i polynomet $P (x)$ hvis og bare hvis $P (a) = 0$ .

Vi avgjør derfor om $(x - 1)$ er en faktor ved å sjekke om $x = 1$ er et nullpunkt:

P (1) = 2 \cdot 1^{3} - 26 \cdot 1 + 24 = 2 - 26 + 24 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $P (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjonen $P (x) : (x - 1)$ :

2 x^{3} + 0 x^{2} - 26 x + 24 : (x - 1) = 2 x^{2} + 2 x - 24

Vi kontrollerer steg for steg:

$2 x^{3} : x = 2 x^{2}$ . Trekker fra $2 x^{2} \cdot (x - 1) = 2 x^{3} - 2 x^{2}$ . Rest: $2 x^{2} - 26 x + 24$ .
$2 x^{2} : x = 2 x$ . Trekker fra $2 x \cdot (x - 1) = 2 x^{2} - 2 x$ . Rest: $- 24 x + 24$ .
$- 24 x : x = - 24$ . Trekker fra $- 24 \cdot (x - 1) = - 24 x + 24$ . Rest: $0$ .

Altså:

P (x) = (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 24) = 2 (x - 1) (x^{2} + x - 12)

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $x^{2} + x - 12$ ved å finne to tall som multipliserer til $- 12$ og adderer til $1$ : tallene $4$ og $- 3$ .

x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)

Dermed er:

P (x) = 𝟐 (𝐱 - 𝟏) (𝐱 - 𝟑) (𝐱 + 𝟒)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Aksjefond og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Lise investerte 10 000 kroner i et aksjefond. Fondet brukte disse pengene til å kjøpe aksjer i selskapene A, B og C. Etter ett år var utbyttet av aksjene til sammen 900 kroner. Utbyttet fra selskap A, B og C var på henholdsvis 9 %, 1 % og 10 %. Fondet hadde brukt 4 000 kroner mer på investeringene i selskap A enn i selskap B.

Vis at opplysningene gir følgende likningssystem:

[\begin{matrix} x + y + z = 10000 \\ 9 x + y + 10 z = 90000 \\ x - y = 4000 \end{matrix}]

Hvilke størrelser står $x$ , $y$ og $z$ for?

Hvor mye av Lises penger investerte fondet i hvert av de tre selskapene?

Fasit

$x$ = beløp investert i A, $y$ = beløp investert i B, $z$ = beløp investert i C

$x = 4600 kr$ , $y = 600 kr$ , $z = 4800 kr$

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ være beløpet (i kroner) fondet investerte i selskap A, $y$ i selskap B og $z$ i selskap C.

Første likning — totalt investert beløp er 10 000 kr:

x + y + z = 10000

Andre likning — totalt utbytte er 900 kr. Utbyttet fra A er $9 %$ av $x$ , fra B er $1 %$ av $y$ , fra C er $10 %$ av $z$ :

0,09 x + 0,01 y + 0,10 z = 900

Ganger vi begge sider med 100, får vi:

9 x + y + 10 z = 90000

Tredje likning — fondet brukte 4 000 kr mer på A enn på B:

x - y = 4000

Disse tre likningene gir akkurat likningssystemet som er oppgitt. Her er $x$ , $y$ og $z$ beløpet (i kroner) fondet investerte i henholdsvis selskap A, B og C.

Vi løser likningssystemet ved eliminasjon.

Fra likning (1) og (3) kan vi uttrykke $y$ og bruke det i de andre. Fra likning (3):

x = y + 4000

Setter inn i likning (1):

(y + 4000) + y + z = 10000

2 y + z = 6000 \dots (4)

Setter inn i likning (2):

9 (y + 4000) + y + 10 z = 90000

9 y + 36000 + y + 10 z = 90000

10 y + 10 z = 54000

y + z = 5400 \dots (5)

Trekker likning (5) fra likning (4):

(2 y + z) - (y + z) = 6000 - 5400

y = 600

Fra likning (3):

x = 600 + 4000 = 4600

Fra likning (5):

z = 5400 - y = 5400 - 600 = 4800

Fondet investerte $4600 kr$ i selskap A, $600 kr$ i selskap B og $4800 kr$ i selskap C.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$k$
$P (X = t)$	$0,2$	$0,1$	$0,4$	$0,2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0,1$ .

Hva må $k$ være dersom vi vet at $E (X) = 0,3$ ?

Vi setter $k = 1$ . Bestem $E (X)$ og $Var (X)$ .

Fasit

$p = 0,1$ fordi summen av alle sannsynligheter må være 1

$k = 4$

$E (X) = 0$ , $Var (X) = 1,8$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må alltid være lik 1:

0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,2 + p = 1

0,9 + p = 1

p = 0,1

Forventningsverdien er definert ved:

E (X) = \sum_{t} t \cdot P (X = t)

Vi setter inn alle verdiene fra tabellen (med $p = 0,1$ ):

E (X) = (- 2) \cdot 0,2 + (- 1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 + k \cdot 0,1

= - 0,4 - 0,1 + 0 + 0,4 + 0,1 k

= - 0,1 + 0,1 k

Vi vet at $E (X) = 0,3$ , så:

- 0,1 + 0,1 k = 0,3

0,1 k = 0,4

k = 4

Med $k = 1$ ser tabellen slik ut:

$t$	$- 2$	$- 1$	$0$	$2$	$1$
$P (X = t)$	$0,2$	$0,1$	$0,4$	$0,2$	$0,1$

Forventningsverdi:

E (X) = (- 2) \cdot 0,2 + (- 1) \cdot 0,1 + 0 \cdot 0,4 + 2 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1

= - 0,4 - 0,1 + 0 + 0,4 + 0,1

E (X) = 0

Varians:

Vi bruker formelen $Var (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}$ .

Først regner vi ut $E (X^{2})$ :

E (X^{2}) = {(- 2)}^{2} \cdot 0,2 + {(- 1)}^{2} \cdot 0,1 + 0^{2} \cdot 0,4 + 2^{2} \cdot 0,2 + 1^{2} \cdot 0,1

= 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1 + 0 + 4 \cdot 0,2 + 1 \cdot 0,1

= 0,8 + 0,1 + 0,8 + 0,1 = 1,8

Dermed:

Var (X) = 1,8 - 0^{2} = 1,8

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Diskrete sannsynlighetsfordelinger, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til en tredjegradsfunksjon $f$ er tegnet nedenfor.

Graf til tredjegradsfunksjon f med punkter A–G

Bestem i hvilke av punktene $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ og $G$ begge disse betingelsene er oppfylt:

f^{'} (x) < 0 og f^{''} (x) < 0

Bestem i hvilke av punktene $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ , $F$ og $G$ begge betingelsene $f^{'} (x) < 0$ og $f^{''} (x) < 0$ er oppfylt. Begrunn svaret ditt.

Fasit

Punkt $B$ og punkt $E$

LøsningsforslagKI-generert

Vi trenger å finne punkter der begge betingelsene er oppfylt samtidig:

$f^{'} (x) < 0$ betyr at funksjonen er avtagende i punktet (grafen heller nedover fra venstre til høyre).
$f^{''} (x) < 0$ betyr at den deriverte er avtagende i punktet, dvs. funksjonen er konkav (buet nedover, «ryggen opp»).

Strategi:

Vi leser av grafen for hvert av punktene A–G og vurderer to ting:

Er grafen synkende i punktet? (Ja → $f^{'} (x) < 0$ )
Er grafen buet nedover («konkav») i punktet, dvs. kurver kurven seg nedover? (Ja → $f^{''} (x) < 0$ )

En tredjegradsfunksjon har ett vendepunkt der $f^{''}$ skifter fortegn. Til venstre for vendepunktet er $f^{''} > 0$ (konveks, buet oppover), til høyre for vendepunktet er $f^{''} < 0$ (konkav, buet nedover).

Avlesning fra grafen:

Tredjegradsfunksjonen har et lokalt maksimum og et lokalt minimum. Punktene A–G er plassert langs kurven. Ved å lese av:

Punkter der grafen er synkende og konkav (buet nedover) er de som ligger mellom lokalt maksimum og vendepunktet fra høyre side — og punkter på den synkende delen til høyre for vendepunktet.

Fra grafen ser vi at:

Punkt B ligger på den synkende delen av grafen (mellom lokalt maksimum og lokalt minimum), og på den konkave siden (etter vendepunktet) → $f^{'} (B) < 0$ og $f^{''} (B) < 0$ ✓
Punkt E ligger tilsvarende på en synkende og konkav del av grafen → $f^{'} (E) < 0$ og $f^{''} (E) < 0$ ✓

De øvrige punktene oppfyller enten bare én av betingelsene eller ingen av dem.

Begge betingelsene $f^{'} (x) < 0$ og $f^{''} (x) < 0$ er oppfylt i punktene $B$ og $E$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det $20 983,32$ kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det $25 486,92$ kroner på kontoen.

Kalkulator

Vis at den årlige renten er $2,4 %$ .

Kalkulator

Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden.

Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renta blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene.

Kalkulator

Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?

Fasit

$r = \frac{25 486,92 - 4000}{20 983,32} = 1,024$ , altså $2,4 %$

$S_{12} \approx 54 871 kr$

$q \approx 1,0345$ , dvs. renten må være ca. $3,45 %$

LøsningsforslagKI-generert

Like etter innbetaling $n$ er saldoen $S_{n} = 20 983,32 kr$ . Det neste året vokser beløpet med vekstfaktoren $r$ , og så settes det inn $4000 kr$ til:

S_{n + 1} = S_{n} \cdot r + 4000

25 486,92 = 20 983,32 \cdot r + 4000

Vi løser for $r$ :

r = \frac{25 486,92 - 4000}{20 983,32} = \frac{21 486,92}{20 983,32} = 1,024

Vekstfaktoren $r = 1,024$ svarer til en rente på $𝟐,𝟒 %$ .

Vi bruker $r = 1,024$ og $a = 4000 kr$ per innbetaling. Rett etter 1. innbetaling er saldoen $4000 kr$ . Rett etter 2. innbetaling er den $4000 \cdot r + 4000$ . Generelt er saldoen rett etter $n$ -te innbetaling:

S_{n} = 4000 \cdot (1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1}) = 4000 \cdot \frac{r^{n} - 1}{r - 1}

For $n = 12$ :

S_{12} = 4000 \cdot \frac{{1,024}^{12} - 1}{1,024 - 1}

GeoGebra CAS bekrefter beregningen:

GeoGebra CAS – sparing med geometrisk rekke

$S_{12} \approx 54 871 kr$

Etter den 12. innbetalingen er saldoen $S_{12} \approx 54 871,34 kr$ . Det settes ikke inn mer penger, men renten er nå $q$ (ny vekstfaktor). Etter 8 år skal saldoen være $72 000 kr$ :

S_{12} \cdot q^{8} = 72 000

Fra GeoGebra CAS (linje 3 i figuren over):

q^{8} = \frac{72 000}{54 871,34} ⟹ q \approx 1,0345

Den nye renten er $q - 1 \approx 0,0345$ , altså $3,45 %$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Oppgaven kan også løses med digitale verktøy. Jf. vurderingsveiledningen 2012.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Sparing, Annuitetslån, Rekker, Rente
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det årlige antall villrein felt under jakt i årene etter 1980 kan beskrives ved funksjonen

f (x) = \frac{13132}{1 + 0,20 \cdot e^{0,07 x}}

Her er $x$ antall år etter 1980.¹

Kalkulator

Hvor mange dyr ble felt i 2010 ifølge denne modellen?

Kalkulator

Bruk $f^{'} (x)$ til å vise at det stadig felles færre dyr årlig.

Kalkulator

Bestem eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ . Hva forteller resultatet oss?

Oppsett for hånd

Tegn grafen til $f$ . Hvor mange villrein ble felt totalt i årene fra og med 1980 til og med 2010 ifølge denne modellen?

Fasit

$f (30) \approx 4987 d y r$

$f^{'} (x) < 0$ for alle $x$ siden telleren alltid er negativ og nevneren alltid positiv.

Vendepunkt i $x = \frac{\ln 5}{0,07} \approx 23$ , dvs. ca. år 2003. $f (23) = 6566 d y r$ .

$\int_{0}^{30} f (x) d x \approx 246 527 d y r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 30$ (år 2010 er 30 år etter 1980):

f (30) = \frac{13132}{1 + 0,20 \cdot e^{0,07 \cdot 30}}

GeoGebra CAS gir $f (30) \approx 4987$ .

Ifølge modellen ble det felt omtrent $4987 v i l l r e i n$ i 2010.

Vi deriverer $f (x) = \frac{13132}{1 + 0,20 \cdot e^{0,07 x}}$ med kvotientregelen. La $u (x) = 1 + 0,20 \cdot e^{0,07 x}$ , slik at $u^{'} (x) = 0,20 \cdot 0,07 \cdot e^{0,07 x} = 0,014 \cdot e^{0,07 x}$ .

f^{'} (x) = - \frac{13132 \cdot u^{'} (x)}{{[u (x)]}^{2}} = - \frac{13132 \cdot 0,014 \cdot e^{0,07 x}}{{(1 + 0,20 \cdot e^{0,07 x})}^{2}}

Vi ser at:

Teller: $13132 \cdot 0,014 \cdot e^{0,07 x} > 0$ for alle $x$ (eksponentialfunksjonen er alltid positiv).
Nevner: ${(1 + 0,20 \cdot e^{0,07 x})}^{2} > 0$ for alle $x$ .

Dermed er $f^{'} (x) < 0$ for alle $x$ , og $f$ er strengt avtagende. Det felles altså stadig færre dyr hvert år.

GeoGebra CAS bekrefter (se linje 2 i utklippet under):

GeoGebra CAS – derivert, vendepunkt og integral

Vi løser $f^{''} (x) = 0$ . For en funksjon på formen

f (x) = \frac{A}{1 + B \cdot e^{k x}}

kan en vise at $f^{''} (x) = 0$ når $B \cdot e^{k x} = 1$ , dvs.

e^{k x} = \frac{1}{B} ⟹ k x = \ln (\frac{1}{B}) = - \ln B

Med $B = 0,20$ og $k = 0,07$ :

x = \frac{- \ln (0,20)}{0,07} = \frac{\ln 5}{0,07} \approx 23

Funksjonsverdi i vendepunktet:

f (\frac{\ln 5}{0,07}) = \frac{13132}{1 + 0,20 \cdot \frac{1}{0,20}} = \frac{13132}{1 + 1} = \frac{13132}{2} = 6566

GeoGebra CAS gir vendepunktet $(22,99; 6566)$ (linje 4 i utklippet).

Vendepunktet er omtrent $(23; 6566)$ , som tilsvarer år $1980 + 23 = 2003$ . I dette punktet skifter $f^{''}$ fortegn fra negativ til positiv: kurven er konkav (bøyd nedover) for $x < 23$ og konveks (bøyd oppover) for $x > 23$ . Biologisk betyr det at nedgangen i antall felte villrein var størst rundt år 2003 – etter 2003 avtar nedgangen gradvis.

Graf

$Graf av f(x) = \frac{13132}{1 + 0{,}20 \cdot e^{0{,}07x}} med vendepunkt$

Grafen viser en avtagende funksjon. Vendepunktet (rød punkt) er markert ved $x \approx 23$ , $f \approx 6566$ .

Totalt antall villrein felt 1980–2010

Vi beregner det bestemte integralet fra $x = 0$ (1980) til $x = 30$ (2010):

\int_{0}^{30} f (x) d x

GeoGebra CAS (linje 5 i utklippet) gir:

\int_{0}^{30} f (x) d x \approx 246 527

Ifølge modellen ble det totalt felt omtrent $246 527 v i l l r e i n$ i perioden 1980–2010.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

Oppgaven kan løses enten ved å beregne $\int_{0}^{30} f (x) d x$ eller $\sum_{n = 1}^{30} f (n)$ .

Modell basert på tall fra http://www.ssb.no/aarbok/tab/tab-357.html (02.10.2010) ↩

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Logistisk vekst, Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Modellering, Integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Inntekten (i tusen kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved funksjonen

I (x) = 110 x - 2,2 x^{2}, x \in [0, 35]

Kalkulator

Hva er den største inntekten bedriften kan få? Hvor mange enheter må bedriften da produsere og selge?

Bedriften må fornye produksjonsutstyret og kan velge mellom to typer utstyr, A og B. Av erfaring vet bedriften at kostnaden (i tusen kroner) ved produksjon av $x$ enheter med type A er gitt ved

K_{A} (x) = 3,1 x^{2} - 86 x + 1110

Tilsvarende er kostnaden ved type B gitt ved

K_{B} (x) = 1,9 x^{2} - 99 x + 1900

Kalkulator

Bestem grensekostnaden for type A og for type B.

Kalkulator

Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi lavest kostnad?

Kalkulator

Hvilken av de to utstyrstypene vil kunne gi det største overskuddet?

Fasit

Største inntekt: $I (25) = 1375 t u s e n k r$ ved $x = 25$ enheter.

$K_{A}^{'} (x) = 6,2 x - 86$ , $K_{B}^{'} (x) = 3,8 x - 99$

Type A gir lavest kostnad: $K_{A} \approx 513,5 t u s e n k r$ ved $x \approx 13,9$ enheter.

Type B gir størst overskudd: $O_{B} \approx 763,5 t u s e n k r$ ved $x \approx 25,5$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS og Graf er brukt til alle beregninger nedenfor.

GeoGebra CAS – alle beregninger

Graf – I(x), K_A(x), K_B(x), O_A(x), O_B(x) med markerte maksimumspunkter

Vi setter opp inntektsfunksjonen og finner der den er størst ved å løse $I^{'} (x) = 0$ :

I (x) = 110 x - 2,2 x^{2}, x \in [0, 35]

I^{'} (x) = 110 - 4,4 x

CAS (linje 3): $Løs (I^{'} (x) = 0, x)$ gir $x = 25$ .

CAS (linje 4): $I (25) = 1375$ .

Siden $I^{'} (x) > 0$ for $x < 25$ og $I^{'} (x) < 0$ for $x > 25$ , er $x = 25$ et maksimum på $[0, 35]$ .

Den største inntekten er $I (25) = 1375 t u s e n k r$ ved produksjon og salg av $25$ enheter.

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen.

CAS (linje 7): $K_{A}^{'} (x) = \frac{31}{5} x - 86 = 6,2 x - 86$

CAS (linje 8): $K_{B}^{'} (x) = \frac{19}{5} x - 99 = 3,8 x - 99$

Grensekostnad for type A: $K_{A}^{'} (x) = 6,2 x - 86$

Grensekostnad for type B: $K_{B}^{'} (x) = 3,8 x - 99$

Vi finner minimumspunktet for hver kostnadsfunksjon ved å løse $K^{'} (x) = 0$ :

CAS (linje 9): $Løs (K_{A}^{'} (x) = 0, x) \Rightarrow x = \frac{430}{31} \approx 13,9$

CAS (linje 10): $K_{A} (\frac{430}{31}) = \frac{15920}{31} \approx 513,5 t u s e n k r$

CAS (linje 11): $Løs (K_{B}^{'} (x) = 0, x) \Rightarrow x = \frac{495}{19} \approx 26,1$

CAS (linje 12): $K_{B} (\frac{495}{19}) = \frac{23195}{38} \approx 610,4 t u s e n k r$

Type A har lavest minimumskostnad ( $\approx 513,5$ ) mot type B ( $\approx 610,4$ ).

Type A vil kunne gi lavest kostnad, med minimum $K_{A} \approx 513,5 t u s e n k r$ ved $x \approx 13,9$ enheter.

Størst overskudd $O (x) = I (x) - K (x)$ oppnås der grenseinntekten er lik grensekostnaden, dvs. $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ .

Type A:

CAS (linje 13): $Løs (I^{'} (x) = K_{A}^{'} (x), x) \Rightarrow x = \frac{980}{53} \approx 18,5$

CAS (linje 14): $O_{A} (\frac{980}{53}) = I (\frac{980}{53}) - K_{A} (\frac{980}{53}) = \frac{37210}{53} \approx 702,1 t u s e n k r$

Type B:

CAS (linje 15): $Løs (I^{'} (x) = K_{B}^{'} (x), x) \Rightarrow x = \frac{1045}{41} \approx 25,5$

CAS (linje 16): $O_{B} (\frac{1045}{41}) = I (\frac{1045}{41}) - K_{B} (\frac{1045}{41}) = \frac{62605}{82} \approx 763,5 t u s e n k r$

Type B gir størst overskudd ( $\approx 763,5$ ) mot type A ( $\approx 702,1$ ).

Type B vil kunne gi det største overskuddet, med maksimalt overskudd $O_{B} \approx 763,5 t u s e n k r$ ved $x \approx 25,5$ enheter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Optimering, Kostnadsfunksjon, Økonomi, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk fyller og pakker poser med kaffe. Fyllemaskinen er innstilt til å fylle posene med 505 g. Anta at vekten av posene er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi lik 505 g og med standardavvik på 5 g.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g.

Kalkulator

Hvor mange prosent av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g?

I en kvalitetskontroll blir 10 tilfeldig valgte poser veid. Resultatet vises i tabellen nedenfor.

Pose	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Vekt (i gram)	508	503	510	512	519	511	496	503	503	506

Dette ga bedriften mistanke om at maskinen fyller for mye i hver pose.

Kalkulator

Gjennomfør en hypotesetest, og vurder om bedriften har grunn til sin mistanke.

Fasit

$P (X > 510) \approx 0,1587$

$\approx 95,45 %$

P-verdi $\approx 0,092 > 0,05$ . Forkast ikke $H_{0}$ – bedriften har ikke statistisk grunnlag for mistanken ved signifikansnivå $5 %$ .

LøsningsforslagKI-generert

GeoGebra CAS ble brukt til å beregne sannsynligheter og gjennomføre hypotesetesten.

GeoGebra CAS – normalfordeling og hypotesetest

La $X$ være vekten av en tilfeldig valgt pose. $X$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 505$ og $σ = 5$ .

Vi skal finne $P (X > 510)$ .

P (X > 510) = 1 - P (X \leq 510)

I GeoGebra CAS (linje 1):

𝚙_𝚊 = 𝟷 - 𝙵𝚘𝚛𝚍𝚎𝚕𝚒𝚗𝚐𝙽𝚘𝚛𝚖𝚊𝚕(𝟻𝟶𝟻, 𝟻, 𝟻𝟷𝟶, 𝚝𝚛𝚞𝚎)

P (X > 510) \approx 𝟎,𝟏𝟓𝟖𝟕

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt pose inneholder mer enn 510 g er $\approx 0,1587$ , det vil si omtrent $15,9 %$ .

Vi skal finne $P (495 < X < 515)$ .

P (495 < X < 515) = P (X \leq 515) - P (X \leq 495)

I GeoGebra CAS (linje 2):

𝚙_𝚋 = 𝙵𝚘𝚛𝚍𝚎𝚕𝚒𝚗𝚐𝙽𝚘𝚛𝚖𝚊𝚕(𝟻𝟶𝟻, 𝟻, 𝟻𝟷𝟻, 𝚝𝚛𝚞𝚎) - 𝙵𝚘𝚛𝚍𝚎𝚕𝚒𝚗𝚐𝙽𝚘𝚛𝚖𝚊𝚕(𝟻𝟶𝟻, 𝟻, 𝟺𝟿𝟻, 𝚝𝚛𝚞𝚎)

P (495 < X < 515) \approx 0,9545

$\approx 95,45 %$ av posene vil inneholde mellom 495 g og 515 g.

Merk at dette tilsvarer intervallet $μ \pm 2 σ$ , noe som er i samsvar med tommelfingerregelen for normalfordelingen.

Vi gjennomfører en ensidig hypotesetest for å vurdere om maskinen fyller for mye.

Hypoteser:

H_{0} : μ = 505 H_{1} : μ > 505

Vi bruker signifikansnivå $α = 5 %$ .

Beregn gjennomsnittet av de 10 posene (linje 3 i CAS):

\overline{x} = \frac{508 + 503 + 510 + 512 + 519 + 511 + 496 + 503 + 503 + 506}{10} = 507,1 g

Testobservator (linje 4):

z = \frac{\overline{x} - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}} = \frac{507,1 - 505}{5 / \sqrt{10}} \approx 1,328

Vi antar at standardavviket $σ = 5$ er kjent (populasjonsstandardavvik fra maskinens innstillinger), og at $\overline{X}$ er tilnærmet normalfordelt med $μ = 505$ og $σ_{\overline{X}} = 5 / \sqrt{10}$ når $H_{0}$ er sann.

P-verdi (linje 5):

p -verdi = P (Z > 1,328) \approx 0,092

Kritisk gjennomsnittsverdi (linje 6):

{\overline{x}}_{krit} = 505 + z_{0,95} \cdot \frac{5}{\sqrt{10}} \approx 507,60 g

Konklusjon:

P-verdien $\approx 0,092 > 0,05 = α$ , og $\overline{x} = 507,1 < 507,60 = {\overline{x}}_{krit}$ .

Vi forkaster ikke $H_{0}$ .

Bedriften har ikke statistisk grunnlag for mistanken om at maskinen fyller for mye, ved et signifikansnivå på $5 %$ . Selv om gjennomsnittet i stikkprøven er noe høyere enn 505 g, er avviket ikke stort nok til å utelukke at det skyldes tilfeldige variasjoner.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Kandidaten som utfører hypotesetestingen med feil standardavvik bør få noe uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Statistikk
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekanttall nummer $n$ er gitt ved formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ , $n \in ℕ$

For hånd

Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene.

Det finnes en sammenheng mellom $T (m + n)$ og $T (m) + T (n)$ , $n \in ℕ$ , $m \in ℕ$

For hånd

Sett $m = 2$ og $n = 8$ og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut

$T (2 + 8)$ , $T (2) + T (8)$ og

T (2 + 8) - (T (2) + T (8))

Sett inn andre verdier for $m$ og $n$ og undersøk hva $T (m + n) - (T (m) + T (n))$ blir. Prøv å formulere en generell regel.

For hånd

Bruk formelen for $T (n)$ til å skrive uttrykket

T (m + n) - (T (m) + T (n))

så enkelt som mulig.

Fasit

Se tabell under.

$T (10) - (T (2) + T (8)) = 16 = 2 \cdot 8$ . Generell regel: $T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$ .

$T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ og beregner de 12 første trekanttallene:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$T (n)$	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

Med $m = 2$ og $n = 8$ leser vi av tabellen:

T (2 + 8) = T (10) = 55

T (2) + T (8) = 3 + 36 = 39

T (2 + 8) - (T (2) + T (8)) = 55 - 39 = 16

Vi merker oss at $16 = 2 \cdot 8 = m \cdot n$ . Vi prøver noen andre verdier:

$m$	$n$	$T (m + n)$	$T (m) + T (n)$	$T (m + n) - (T (m) + T (n))$	$m \cdot n$
3	4	$T (7) = 28$	$6 + 10 = 16$	$12$	$12$
1	5	$T (6) = 21$	$1 + 15 = 16$	$5$	$5$
3	3	$T (6) = 21$	$6 + 6 = 12$	$9$	$9$

Generell regel: $T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n$

Vi setter inn formelen $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ for hvert ledd:

T (m + n) - (T (m) + T (n))

= \frac{(m + n) (m + n + 1)}{2} - (\frac{m (m + 1)}{2} + \frac{n (n + 1)}{2})

= \frac{(m + n) (m + n + 1) - m (m + 1) - n (n + 1)}{2}

Vi utvider telleren:

(m + n) (m + n + 1) = m^{2} + m n + m + m n + n^{2} + n = m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n

m (m + 1) = m^{2} + m

n (n + 1) = n^{2} + n

Setter inn:

= \frac{(m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n) - (m^{2} + m) - (n^{2} + n)}{2}

= \frac{m^{2} + 2 m n + n^{2} + m + n - m^{2} - m - n^{2} - n}{2}

= \frac{2 m n}{2} = m n

Vi har dermed bevist at

T (m + n) - (T (m) + T (n)) = m n

Verifisering med GeoGebra CAS:

Vi definerer $T (n) = \frac{n (n + 1)}{2}$ og lar CAS forenkle $T (m + n) - (T (m) + T (n))$ :

GeoGebra CAS bekrefter at T(m+n)-(T(m)+T(n)) = mn

CAS bekrefter at uttrykket forenkler til $𝐧 \cdot 𝐦$ , det vil si $m n$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

Kandidater som har satt inn korrekt andre verdier for $m$ og $n$ uten å foreslå en generell regel, bør få noe uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Figurtall, Rekker, Bevis, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Aritmetisk rekke med a1 og a4

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Aksjefond og likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Oppgave 1-2·Aritmetisk rekke med a1 og a4

Oppgave 1-3·Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4·Aksjefond og likningssystem

Oppgave 1-5·Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Oppgave 1-6·Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Oppgave 2-2·Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Footnotes

Oppgave 2-3·Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Oppgave 2-4·Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Oppgave 2-5·Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av tre funksjoner S2 H12

Oppgave 1-2Aritmetisk rekke med a1 og a4

Oppgave 1-3Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4Aksjefond og likningssystem

Oppgave 1-5Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Oppgave 1-6Tredjegradsfunksjon med fortegn til f og f dobbeltprim

Oppgave 2-1Sparing med fast rente og ny rente etter innbetalinger

Oppgave 2-2Villrein felt under jakt – logistisk funksjon

Oppgave 2-3Inntekt og kostnad med to utstyrstyper

Oppgave 2-4Normalfordeling og hypotesetest for kaffeposer

Oppgave 2-5Trekanttall og sammenheng mellom T(m+n) og T(m)+T(n)