S1 Vår 2009

Oppgave 1-1Potenser, logaritmlikning og andregradsfunksjon S1 V09

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2}{x + 1}

\frac{{(2 a^{2})}^{2} \cdot b}{a^{3} \cdot b^{- 2}}

Løs likningene

2 \cdot 10^{2 x} = 2000

\lg (x^{2}) + 3 \cdot \lg x - 15 = 0

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = a x^{2} + b x + 5$ . Grafen til $f$ går gjennom punktene $(1, 4)$ og $(- 1, 8)$ . Bruk disse opplysningene til å bestemme tallene $a$ og $b$ .

Formelen for arealet av et trapes er $A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ . Finn en formel for $b$ uttrykt ved $A$ , $a$ og $h$ . Bestem $b$ når $A = 40$ , $a = 7$ og $h = 5$ .

Erik fisker med kastesluk. Vi antar at sannsynligheten for å få fisk er $0,1$ i hvert kast.

Hva er sannsynligheten for at Erik får akkurat 1 fisk i løpet av de 3 første kastene?

Hva er sannsynligheten for at han får minst 1 fisk i løpet av de 3 første kastene?

Fasit

1) $1$

$4 a b^{3}$

1) $x = \frac{3}{2}$

$x = 1000$

$a = 1, b = - 2$

$b = \frac{2 A}{h} - a$ , $b = 9$

1) $P = 0,243$

$P = 0,271$

LøsningsforslagKI-generert

1) Vi faktoriserer $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ og forkorter:

\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2}{x + 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{2}{x + 1} = \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1}

= \frac{x - 1 + 2}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} = 1

2) Vi bruker potensregler:

\frac{{(2 a^{2})}^{2} \cdot b}{a^{3} \cdot b^{- 2}} = \frac{4 a^{4} \cdot b}{a^{3} \cdot b^{- 2}} = 4 a^{4 - 3} \cdot b^{1 - (- 2)} = 4 a b^{3}

1) Vi isolerer $10^{2 x}$ :

2 \cdot 10^{2 x} = 2000

10^{2 x} = 1000 = 10^{3}

2 x = 3

x = \frac{3}{2}

2) Vi bruker at $\lg (x^{2}) = 2 \lg x$ :

\lg (x^{2}) + 3 \lg x - 15 = 0

2 \lg x + 3 \lg x - 15 = 0

5 \lg x = 15

\lg x = 3

x = 10^{3} = 1000

(Dette er innenfor definisjonsmengden $x > 0$ .)

Grafen til $f (x) = a x^{2} + b x + 5$ går gjennom $(1, 4)$ og $(- 1, 8)$ . Vi setter inn punktene:

f (1) = a + b + 5 = 4 \Rightarrow a + b = - 1

f (- 1) = a - b + 5 = 8 \Rightarrow a - b = 3

Vi legger sammen likningene:

2 a = 2 \Rightarrow a = 1

Setter inn i $a + b = - 1$ :

1 + b = - 1 \Rightarrow b = - 2

a = 1, b = - 2

Vi løser $A = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ med hensyn på $b$ :

2 A = (a + b) \cdot h

\frac{2 A}{h} = a + b

b = \frac{2 A}{h} - a

Vi setter inn $A = 40$ , $a = 7$ og $h = 5$ :

b = \frac{2 \cdot 40}{5} - 7 = 16 - 7 = 9

Sannsynligheten for å få fisk i hvert kast er $p = 0,1$ , og vi ser på $n = 3$ kast. Antall fisk følger en binomisk fordeling.

1) Sannsynligheten for akkurat 1 fisk av 3 kast:

P (X = 1) = (\binom{3}{1}) \cdot {0,1}^{1} \cdot {0,9}^{2} = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81 = 0,243

2) Sannsynligheten for minst 1 fisk er komplementet til å få 0 fisk:

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - {0,9}^{3} = 1 - 0,729 = 0,271

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Temaer: Potenser, Logaritmer, Andregradslikninger, Andregradsfunksjon, Sannsynlighet, Binomisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 2-2Kubikkfunksjon veksthastighet og drøfting S1 V09

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ .

For hånd

Finn gjennomsnittlig veksthastighet for $f$ fra $x = 0$ til $x = 2$ .

For hånd

Finn $f^{'} (x)$ . Hva er den momentane veksthastigheten når $x = 1$ ?

For hånd

Bruk $f^{'} (x)$ til å bestemme koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

For hånd

Skisser grafen til $f$ for $x$ -verdier mellom $- 1$ og $3$ . Marker på skissen det du har funnet i a), b) og c).

Fasit

$- 4$

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x$ , momentan veksthastighet $- 6$ ved $x = 1$

Toppunkt $(0, 3)$ , bunnpunkt $(2, - 5)$

Se skisse

LøsningsforslagKI-generert

Gjennomsnittlig veksthastighet fra $x = 0$ til $x = 2$ er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0, f (0))$ og $(2, f (2))$ .

f (0) = 2 \cdot 0^{3} - 6 \cdot 0^{2} + 3 = 3

f (2) = 2 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 3 = 16 - 24 + 3 = - 5

\frac{f (2) - f (0)}{2 - 0} = \frac{- 5 - 3}{2} = \frac{- 8}{2} = - 4

Gjennomsnittlig veksthastighet er $- 4$ .

Vi deriverer $f (x) = 2 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x

Den momentane veksthastigheten når $x = 1$ er:

f^{'} (1) = 6 \cdot 1^{2} - 12 \cdot 1 = 6 - 12 = - 6

Momentan veksthastighet ved $x = 1$ er $- 6$ .

Topp- og bunnpunkter finner vi der $f^{'} (x) = 0$ :

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 12 x = 6 x (x - 2) = 0

Dette gir $x = 0$ eller $x = 2$ .

Vi undersøker fortegnet til $f^{'} (x) = 6 x (x - 2)$ i et fortegnsskjema:

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f$ er altså voksende, så avtagende, så voksende igjen. Det betyr at $x = 0$ gir et toppunkt og $x = 2$ gir et bunnpunkt.

f (0) = 3 f (2) = - 5

Toppunktet er $(0, 3)$ og bunnpunktet er $(2, - 5)$ .

Vi skisserer grafen til $f$ for $x \in [- 1, 3]$ , med toppunktet $(0,3)$ og bunnpunktet $(2, - 5)$ fra c) markert, i tillegg til sekanten fra a) (gjennom $(0,3)$ og $(2, - 5)$ , stigningstall $- 4$ ) og tangenten fra b) i punktet $(1, f (1)) = (1, - 1)$ med stigningstall $- 6$ .

Graf til f med toppunkt, bunnpunkt, sekant og tangent

Grafen starter stigende fra venstre, flater ut og har et toppunkt i $(0,3)$ (markert med rødt), avtar deretter ned til bunnpunktet i $(2, - 5)$ (markert med rødt), og stiger igjen for $x > 2$ . Den oransje stiplede linjen er sekanten fra a), og den grønne stiplede linjen er tangenten i $(1, - 1)$ fra b).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Funksjonsdrøfting, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Installering av program og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en stor videregående skole blir det brukt en nettbasert ressursside. Bruk av ressurssiden forutsetter at hver elev har installert et bestemt program på datamaskinen sin.

I klasse 2b fikk 15 av 27 elever hjelp av IKT-seksjonen med installeringen av programmet. Resten av elevene installerte det selv.

Det trekkes tilfeldig ut 10 elever i klasse 2b.

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at 6 av de 10 elevene fikk hjelp av IKT-seksjonen.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at minst 2 av de 10 elevene installerte programmet selv.

Ved skolen måtte 30 % av alle elevene få hjelp av IKT-seksjonen for å komme inn på ressurssiden.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at 9 av 24 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen? Forklar hvilke forutsetninger du må legge inn for å kunne regne binomisk.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at minst 9 av 24 tilfeldig valgte elever har fått hjelp av IKT-seksjonen?

Fasit

$P (X = 6) \approx 0,294$

$P (Y \geq 2) \approx 0,993$

$P (X = 9) \approx 0,122$

$P (X \geq 9) \approx 0,275$

LøsningsforslagKI-generert

La $X$ være antall av de 10 uttrukne elevene som fikk hjelp av IKT-seksjonen. Elevene trekkes uten tilbakelegging fra en klasse med $27$ elever der $15$ fikk hjelp, så $X$ er hypergeometrisk fordelt med populasjonsstørrelse $N = 27$ , antall treff $K = 15$ og utvalgsstørrelse $n = 10$ :

P (X = 6) = \frac{(\binom{15}{6}) \cdot (\binom{12}{4})}{(\binom{27}{10})}

Beregnet i GeoGebra CAS med FordelingHypergeometrisk(27, 15, 10, 6, false) (se linje 1 i utklippet under):

P (X = 6) \approx 0,29367

$P (X = 6) \approx 0,294$

La $Y$ være antall av de 10 elevene som installerte programmet selv. Det er $27 - 15 = 12$ elever i klassen som installerte selv, så $Y$ er hypergeometrisk fordelt med $N = 27$ , $K = 12$ og $n = 10$ . Vi vil finne

P (Y \geq 2) = 1 - P (Y \leq 1) = 1 - (P (Y = 0) + P (Y = 1))

Beregnet i GeoGebra CAS med 1 - FordelingHypergeometrisk(27, 12, 10, 1, true) (linje 2 i utklippet):

P (Y \geq 2) \approx 0,99252

$P (Y \geq 2) \approx 0,993$

GeoGebra CAS-utregning av hypergeometrisk og binomisk sannsynlighet

Nå er det hele skolen, ikke bare klasse 2b, som er populasjonen, og andelen som trenger hjelp er oppgitt direkte som $p = 0,30$ . La $X$ være antall av $24$ tilfeldig valgte elever som fikk hjelp.

For å kunne regne dette binomisk må vi anta at:

alle elevene ved skolen er uavhengige av hverandre — om én elev fikk hjelp påvirker ikke sannsynligheten for at en annen fikk hjelp,
sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev fikk hjelp er den samme, $p = 0,30$ , for alle elevene,
skolen er så stor at det å trekke $24$ elever uten tilbakelegging ikke endrer sannsynligheten merkbart fra elev til elev (populasjonen er stor i forhold til utvalget), slik at den egentlig hypergeometriske situasjonen kan tilnærmes med en binomisk fordeling.

Da er $X$ tilnærmet binomisk fordelt med $n = 24$ og $p = 0,30$ :

P (X = 9) = (\binom{24}{9}) \cdot {0,30}^{9} \cdot {0,70}^{15}

Beregnet i GeoGebra CAS med FordelingBinomial(24, 0.3, 9, false) (linje 3 i utklippet):

P (X = 9) \approx 0,12218

$P (X = 9) \approx 0,122$

Vi vil finne

P (X \geq 9) = 1 - P (X \leq 8)

for den samme binomisk fordelte $X$ som i c). Beregnet i GeoGebra CAS med 1 - FordelingBinomial(24, 0.3, 8, true) (linje 4 i utklippet):

P (X \geq 9) \approx 0,27496

$P (X \geq 9) \approx 0,275$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4-IEskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

En fabrikant ønsker å lage modeller av esker ved å brette rektangulære ark. Vi starter med ark som er 30 cm langt og 20 cm bredt og klipper ut et lite rektangel i hvert hjørne.

Utbrettet ark med mål 30×20 cm og x-merker i hjørnene

Vi bretter langs de stiplete linjene to ganger langs kortsidene og én gang langs langsidene. Høyden av esken blir $x$ cm.

Dersom vi for eksempel lager en eske med høyde 3 cm, blir lengden av esken 18 cm og bredden 14 cm.

Vi vil undersøke sammenhengen mellom høyden og volumet av esken.

Høyde i cm	1	2	3	4
Volum i cm³		704

Vi ønsker å finne ut hvor stor høyden må være for at volumet skal bli størst mulig. Vi lar høyden av esken være $x$ cm.

Kalkulator

Skriv av og fyll ut tabellen ovenfor.

Krever PC

Vis at volumet målt i cm³ er gitt ved $V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$

ved å bruke regresjon, og

ved å analysere figuren og bruke formelen for volumet av en slik eske.

Kalkulator

Finn ved regning den høyden som gir størst volum. Hvor stort er dette volumet?

Kalkulator

Undersøk om vi kan få et større volum ved at det er langsiden som brettes to ganger og kortsiden én gang.

Fasit

$468, 704, 756, 672 {cm}^{3}$

$V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$

$x \approx 2,83 cm, V \approx 758 {cm}^{3}$

$Nei, alternativet gir mindre volum (\approx 631 {cm}^{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 1, 2, 3, 4$ i formelen $V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x$ (formelen finner vi i b), men vi kan også regne ut tabellen direkte fra figuren):

V (1) = 8 \cdot 1^{3} - 140 \cdot 1^{2} + 600 \cdot 1 = 468

V (2) = 8 \cdot 2^{3} - 140 \cdot 2^{2} + 600 \cdot 2 = 704

V (3) = 8 \cdot 3^{3} - 140 \cdot 3^{2} + 600 \cdot 3 = 756

V (4) = 8 \cdot 4^{3} - 140 \cdot 4^{2} + 600 \cdot 4 = 672

Tabellen blir da:

Høyde i cm	1	2	3	4
Volum i cm³	468	704	756	672

1) Ved regresjon

Vi bruker de fire punktene $(1, 468)$ , $(2, 704)$ , $(3, 756)$ og $(4, 672)$ fra tabellen i a) og utfører kubisk regresjon (tilpasser en tredjegradsfunksjon) på GeoGebra.

Kubisk regresjon på de fire tabellpunktene i GeoGebra CAS

Regresjonen gir

V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x

som er akkurat den oppgitte formelen.

2) Ved å analysere figuren

Vi bretter to ganger langs kortsidene (20 cm) og én gang langs langsidene (30 cm), og høyden av esken blir $x$ cm.

Når arket brettes to ganger langs en kortside, trekkes det $2 x$ fra langsiden i hver ende, altså totalt $4 x$ fra lengden på 30 cm. Når arket brettes én gang langs en langside, trekkes det $x$ fra kortsiden i hver ende, altså totalt $2 x$ fra bredden på 20 cm. Dette stemmer med eksempelet i oppgaven: for $x = 3$ blir lengden $30 - 4 \cdot 3 = 18 cm$ og bredden $20 - 2 \cdot 3 = 14 cm$ .

Bunnen av esken får dermed

lengde = 30 - 4 x, bredde = 20 - 2 x, høyde = x

Volumet av esken (lengde $\cdot$ bredde $\cdot$ høyde) blir

V (x) = x (30 - 4 x) (20 - 2 x) = x (600 - 60 x - 80 x + 8 x^{2}) = x (600 - 140 x + 8 x^{2})

V (x) = 8 x^{3} - 140 x^{2} + 600 x

som stemmer med formelen fra regresjonen.

Volumet er størst der $V^{'} (x) = 0$ . Vi deriverer:

V^{'} (x) = 24 x^{2} - 280 x + 600

Vi løser $V^{'} (x) = 0$ i GeoGebra CAS, og finner samtidig verdien av $V$ i det gyldige nullpunktet.

Derivasjon og løsning av V'(x)=0, samt tilsvarende for det alternative brettemønsteret i d)

Likningen $24 x^{2} - 280 x + 600 = 0$ har løsningene

x \approx 2,83 eller x \approx 8,84

Siden bredden $20 - 2 x$ og lengden $30 - 4 x$ må være positive, må $0 < x < 7,5$ . Løsningen $x \approx 8,84$ ligger utenfor dette området og er derfor ikke aktuell. Vi står igjen med

x \approx 2,83 cm

Siden $V^{'} (x)$ går fra positiv til negativ i dette punktet (typisk for en slik tredjegradsfunksjon på det aktuelle intervallet), er dette et maksimumspunkt. Da blir

V (2,83) \approx 758,08 {cm}^{3}

$x \approx 2,83 cm$ gir størst volum, og maksvolumet er $V \approx 758 {cm}^{3}$ .

Nå bretter vi i stedet langsiden (30 cm) én gang og kortsiden (20 cm) to ganger. Etter samme resonnement som i b) blir da

lengde = 30 - 2 x, bredde = 20 - 4 x, høyde = x

W (x) = x (30 - 2 x) (20 - 4 x) = x (600 - 120 x - 40 x + 8 x^{2}) = 8 x^{3} - 160 x^{2} + 600 x

Vi deriverer og løser $W^{'} (x) = 0$ på samme måte som i c) (se skjermbildet ovenfor):

W^{'} (x) = 24 x^{2} - 320 x + 600

24 x^{2} - 320 x + 600 = 0 \Rightarrow x \approx 2,26 eller x \approx 11,08

Nå må bredden $20 - 4 x$ og lengden $30 - 2 x$ være positive, altså $0 < x < 5$ . Bare $x \approx 2,26$ er gyldig. Dette gir

W (2,26) \approx 631,13 {cm}^{3}

Dette maksimale volumet, $\approx 631 {cm}^{3}$ , er mindre enn maksvolumet på $\approx 758 {cm}^{3}$ vi fant i c).

$Nei$ , den alternative brettemåten gir ikke et større volum — den opprinnelige metoden i b) og c) gir det største volumet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Tredjegradsfunksjon, Regresjon, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-4-I for seg selv

Oppgave 2-4-IIInsektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Tabellen nedenfor viser sammenhengende verdier av to størrelser $x$ og $y$ .

$x$	8	11	15	19	23	27	31
$y$	45,3	23,2	9,50	3,89	1,59	0,653	0,267

Du får opplyst at $y$ med god tilnærming kan skrives som en eksponentialfunksjon $f$ .

Krever PC

Bruk regresjon til å finne funksjonsuttrykket $f (x)$ .

En modell for antall insekter i en bestemt populasjon er gitt ved

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)}

der $g (x)$ er antall insekter, og $x$ er antall døgn etter et bestemt tidspunkt.

Krever PC

Tegn grafen til $g$ . Bestem antall insekter når $x = 0$ .

Krever PC

Finn både grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før antall insekter er 100 000.

Krever PC

Bruk grafen til $g$ til å finne en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $x = 28$ . Hva forteller svaret?

For hånd

Hva nærmer antall insekter seg ifølge modellen når $x$ blir veldig stor?

Fasit

$f (x) = 270,2 \cdot {0,800}^{x}$

$g (0) \approx 1470 insekter$

$x \approx 22 døgn$

$g^{'} (28) \approx 7300 insekter/døgn$

$200 000 insekter$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker digitalt verktøy (regresjon) på punktene i tabellen. Siden $y$ -verdiene avtar mot null uten å bli negative, passer en eksponentiell modell $f (x) = a \cdot b^{x}$ . Eksponentiell regresjon på datapunktene gir

f (x) = 270,2 \cdot {0,800}^{x}

Regresjon: datapunkter og tilpasset eksponentialfunksjon

Kurven går tett gjennom alle de sju punktene i tabellen, så modellen passer svært godt.

Vi setter $f$ inn i uttrykket for $g$ :

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)} = \frac{400000}{2 + 270,2 \cdot {0,800}^{x}}

Grafen til $g$ er tegnet nedenfor, sammen med tangenten i $x = 28$ (oransje), linjen $y = 100 000$ (grønn) og den vannrette asymptoten $y = 200 000$ (grå, stiplet).

Graf til g med markerte punkter for b, c og d

Grafen skjærer $y$ -aksen i punktet $A = (0, 1469,5)$ , altså

g (0) \approx 1470 insekter

Grafisk: Vi finner skjæringspunktet mellom grafen til $g$ og linjen $y = 100 000$ . Fra figuren over leser vi av punktet $C \approx (22, 100 000)$ , altså tar det omtrent

x \approx 22 døgn

Ved regning: Vi løser likningen $g (x) = 100 000$ :

\frac{400000}{2 + f (x)} = 100000

2 + f (x) = 4

f (x) = 2

270,2 \cdot {0,800}^{x} = 2

{0,800}^{x} = \frac{2}{270,2} \approx 0,00740

Vi tar $\ln$ på begge sider:

x \cdot \ln (0,800) = \ln (0,00740)

x = \frac{\ln (0,00740)}{\ln (0,800)} \approx 21,99

Dette stemmer godt overens med den grafiske avlesningen. Det tar altså omtrent $22$ døgn før antall insekter er $100 000$ .

Den momentane veksthastigheten i $x = 28$ tilsvarer stigningstallet til tangenten til grafen i punktet $B = (28, 158 564)$ . Vi finner en tilnærmet verdi ved å avlese to punkter på grafen nær $x = 28$ , for eksempel $(25, 132 000)$ og $(31, 176 000)$ , og regne ut stigningstallet til sekanten mellom dem:

g^{'} (28) \approx \frac{176 000 - 132 000}{31 - 25} = \frac{44 000}{6} \approx 7300

Dette stemmer godt med stigningstallet til tangenten (oransje linje) på figuren.

g^{'} (28) \approx 7300 insekter/døgn

Svaret forteller at etter $28$ døgn øker antall insekter i populasjonen med omtrent $7300$ insekter per døgn på det tidspunktet.

Når $x$ blir veldig stor, går ${0,800}^{x}$ mot $0$ fordi $0 < 0,800 < 1$ . Dermed går $f (x)$ mot $0$ , og

g (x) = \frac{400000}{2 + f (x)} \to \frac{400000}{2 + 0} = 200 000

Ifølge modellen vil altså antall insekter i populasjonen nærme seg en øvre grense på

200 000 insekter

Dette samsvarer med den vannrette asymptoten $y = 200 000$ på grafen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Vekstfart
Egen side: Åpne oppgave 2-4-II for seg selv

Oppgave 2-5Lineær optimering for tekstilverksted

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Helga har sitt eget tekstilverksted. Hun syr kjoler og skjørt. Hun forbereder seg til en utstilling, hvor hun håper å oppnå godt salg.

Kjolene og skjørtene syr hun av stoff som hun selv kjøper inn. Til kjolene bruker hun et silkestoff som koster 200 kroner per meter. I skjørtene bruker hun et bomullsstoff som koster 125 kroner per meter. Hun kan bruke inntil 10 000 kroner på innkjøp av stoff. Men hun vil ikke satse mer enn 7 500 kroner på hvert av stoffene.

En kjole lages av 2,5 meter silkestoff. Til et skjørt går det med 2,0 meter bomullsstoff. Hun trenger 4 timer til å sy en kjole og 1 time til å sy et skjørt. Hun kan bruke inntil 60 timer på å sy før utstillingen.

Helga regner med å kunne selge kjolene for 2 200 kroner stykket og skjørtene for 900 kroner stykket.

Hun syr og selger $x$ kjoler og $y$ skjørt.

For hånd

Forklar at opplysningene ovenfor gir disse ulikhetene:

$x \geq 0$ og $y \geq 0$

$x \leq 15$ og $y \leq 30$

y \leq - 2 x + 40

y \leq - 4 x + 60

Kalkulator

Skraver i et koordinatsystem det området som er definert av ulikhetene.

Kalkulator

Finn den største salgsinntekten Helga kan oppnå. Forklar framgangsmåten.

Kalkulator

Hva blir overskuddet hvis hun oppnår høyest salgsinntekt? Overskuddet blir lønn til Helga. Hva blir timelønna når hun i tillegg til syingen må bruke 30 arbeidstimer på selve utstillingen?

Fasit

Se forklaring.

Se skravert område.

$I_{\max} = 40 000 kr ved x = 10, y = 20$

$Overskudd = 30 000 kr, timelønn \approx 333,33 k r / t$

LøsningsforslagKI-generert

Helga syr $x$ kjoler og $y$ skjørt. Hun kan ikke sy et negativt antall plagg, så

x \geq 0 og y \geq 0

Stoffkostnadene per stoff er begrenset til $7 500 kr$ hver. Til én kjole går det med $2,5 m$ silkestoff som koster $200 k r / m$ , altså $200 \cdot 2,5 = 500 kr$ per kjole. Kostnaden for silke til $x$ kjoler er da $500 x kr$ , og kravet er

500 x \leq 7 500 \Rightarrow x \leq 15

Til ett skjørt går det med $2,0 m$ bomullsstoff som koster $125 k r / m$ , altså $125 \cdot 2 = 250 kr$ per skjørt. Kostnaden for bomull til $y$ skjørt er $250 y kr$ , og kravet er

250 y \leq 7 500 \Rightarrow y \leq 30

Den totale stoffkostnaden kan ikke overstige $10 000 kr$ :

500 x + 250 y \leq 10 000

Deler vi begge sider med $250$ , får vi

2 x + y \leq 40 \Rightarrow y \leq - 2 x + 40

Sytiden er begrenset til $60$ timer. Det tar $4$ timer å sy en kjole og $1$ time å sy et skjørt, så

4 x + y \leq 60 \Rightarrow y \leq - 4 x + 60

Det tillatte området er skravert i figuren under. Grensene $x = 15$ og $y = 30$ er ikke aktive utenom hjørnene, siden $2 x + y \leq 40$ og $4 x + y \leq 60$ sammen med $x, y \geq 0$ automatisk holder $x \leq 15$ og $y \leq 30$ i resten av området.

Det tillatte området er en femkant (pentagon) avgrenset av $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $y \leq 30$ , $y \leq - 2 x + 40$ og $y \leq - 4 x + 60$ . Siden $I = 2200 x + 900 y$ er en lineær funksjon, vet vi at maksimum må ligge i et av hjørnepunktene i det tillatte området.

Vi finner hjørnepunktene ved å skjære grenselinjene parvis:

{\begin{matrix} y = - 2 x + 40 \\ y = - 4 x + 60 \end{matrix} \Rightarrow - 2 x + 40 = - 4 x + 60 \Rightarrow 2 x = 20 \Rightarrow x = 10, y = 20

{\begin{matrix} y = 30 \\ y = - 2 x + 40 \end{matrix} \Rightarrow 30 = - 2 x + 40 \Rightarrow x = 5, y = 30

Sammen med de opplagte hjørnene $(0,0)$ , $(15,0)$ (der $y = - 4 x + 60 = 0$ ) og $(0,30)$ , blir hjørnepunktene:

(0,0), (15,0), (10,20), (5,30), (0,30)

Vi setter inn i $I = 2200 x + 900 y$ for hvert hjørnepunkt:

Hjørnepunkt	$I = 2200x + 900y$
$(0,0)$	$0 \, \mathrm{kr}$
$(15,0)$	$2200 \cdot 15 = 33\,000 \, \mathrm{kr}$
$(10,20)$	$2200 \cdot 10 + 900 \cdot 20 = 40\,000 \, \mathrm{kr}$
$(5,30)$	$2200 \cdot 5 + 900 \cdot 30 = 38\,000 \, \mathrm{kr}$
$(0,30)$	$900 \cdot 30 = 27\,000 \, \mathrm{kr}$

Størst salgsinntekt får Helga i hjørnepunktet $(10,20)$ , altså ved å sy $10$ kjoler og $20$ skjørt:

I_{\max} = 40 000 kr

Figuren under viser det tillatte området (grønt), grenselinjene og punktet $C = (10,20)$ der maksimum inntreffer. Den stiplede oransje linjen er inntektslinja $2200 x + 900 y = 40 000$ , som akkurat berører det tillatte området i $C$ .

Tillatt område med maksimalt hjørnepunkt

Svar: $I_{\max} = 40 000 kr ved x = 10 kjoler og y = 20 skjørt$

Overskuddet er salgsinntekten minus stoffkostnadene. Ved $x = 10$ og $y = 20$ er stoffkostnadene

500 \cdot 10 + 250 \cdot 20 = 5 000 + 5 000 = 10 000 kr

Overskuddet blir dermed

40 000 - 10 000 = 30 000 kr

Sytiden ved $x = 10$ , $y = 20$ er

4 \cdot 10 + 1 \cdot 20 = 60 timer

I tillegg bruker Helga $30$ timer på selve utstillingen, så totalt arbeidstid blir

60 + 30 = 90 timer

Timelønna blir da

\frac{30 000}{90} \approx 333,33 k r / t

Svar: $Overskudd = 30 000 kr, timelønn \approx 333,33 k r / t$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1Potenser, logaritmlikning og andregradsfunksjon S1 V09

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-2Kubikkfunksjon veksthastighet og drøfting S1 V09

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Installering av program og binomisk sannsynlighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4-IEskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4-IIInsektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Lineær optimering for tekstilverksted

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver

Oppgave 1-1·Potenser, logaritmlikning og andregradsfunksjon S1 V09

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-2·Kubikkfunksjon veksthastighet og drøfting S1 V09

Oppgave 2-3·Installering av program og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-4-I·Eskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Oppgave 2-4-II·Insektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Oppgave 2-5·Lineær optimering for tekstilverksted

Temaer

Oppgave 1-1Potenser, logaritmlikning og andregradsfunksjon S1 V09

Oppgave 2-2Kubikkfunksjon veksthastighet og drøfting S1 V09

Oppgave 2-3Installering av program og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-4-IEskevolum og optimering av kubikkfunksjon

Oppgave 2-4-IIInsektpopulasjon med eksponentialregresjon og rasjonalfunksjon

Oppgave 2-5Lineær optimering for tekstilverksted