S1 Høst 2009

Vi ganger ut parentesen og trekker sammen:

Fellesnevner er $6x$:

Vi regner ut ${(2a)}^3=8a^3$ og forkorter:

Ved regnereglene for logaritmer blir differansen av to logaritmer logaritmen til brøken:

Vi multipliserer alle ledd med fellesnevneren $12$:

Vi løser opp parentesen og samler ledd:

Vi deler alle ledd på $2$:

Dette faktoriseres, siden $4\cdot (-3)=-12$ og $4+(-3)=1$:

La $s$ være vekten til én skrue i gram, og $m$ være vekten til én mutter i gram. Opplysningene gir likningssystemet:

Fra den andre likningen får vi $s=33-3m$. Vi setter dette inn i den første likningen:

Vi setter $m=6$ inn igjen: $s=33-3\cdot 6=15$.

Én skrue og én mutter veier dermed:

$\underline{\underline{21\mathrm{g}}}$

Vi flytter alle ledd over på én side:

Vi faktoriserer venstre side, siden $(-3)\cdot 1=-3$ og $-3+1=-2$:

Produktet av $(x-3)$ og $(x+1)$ er negativt eller null mellom nullpunktene $x=-1$ og $x=3$, altså når faktorene har motsatt fortegn (eller er null). Dermed er

Vi setter inn hver $x$-verdi i $f(x)=x^3-3x^2+2$:

Vi deriverer:

Nullpunktene til $f^{\prime }$ er $x=0$ og $x=2$. Fortegnsskjema:

Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=0$, er $(0,f(0))=(0,2)$ et toppunkt. Siden $f^{\prime }$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x=2$, er $(2,f(2))=(2,-2)$ et bunnpunkt.

Vi tegner grafen ved å bruke verditabellen fra a) og topp-/bunnpunktene fra b).

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x=2$ til $x=3$ er stigningstallet til sekantlinjen gjennom punktene $(2,f(2))$ og $(3,f(3))$.

Grafisk: Vi tegner sekantlinjen mellom punktene $(2,-2)$ og $(\mathrm{3,2})$ på grafen og leser av stigningen. Linjen stiger $4$ enheter når $x$ øker med $1$, altså stigningstall $4$.

Ved regning:

Vi løser likningen

Legg merke til at ${10}^{2x}={({10}^x)}^2$. Vi setter $u={10}^x$, der $u>0$ siden en eksponentialfunksjon alltid er positiv. Likningen blir da en andregradslikning i $u$:

Dette faktoriseres som

som gir $u=3$ eller $u=-2$. Siden $u={10}^x>0$, må vi forkaste løsningen $u=-2$. Vi står igjen med

Vi tar $\lg$ på begge sider:

Kontroll i GeoGebra CAS bekrefter løsningen.

Vi løser likningen

Definisjonsområdet krever at begge logaritmeuttrykkene er positive: $2x-2>0\iff x>1$ og $x+5>0\iff x>-5$. Til sammen må $x>1$.

Ved logaritmereglene ($\lg a-\lg b=\lg \frac{a}{b}$) kan likningen skrives som

Siden $\lg t=0\iff t=1$, får vi

Siden $x=7>1$ oppfyller kravet til definisjonsområdet, er dette en gyldig løsning. Se skjermbildet over for kontroll i GeoGebra CAS.

Skal begge mennene delta, må vi i tillegg velge $3$ av de $18$ kvinnene. Antall gunstige utfall er

Se GeoGebra CAS-utklippet, linje 1.

Skal akkurat én av mennene delta, velger vi $1$ av $2$ menn og $4$ av $18$ kvinner:

Se linje 2 i utklippet.

Nå lar vi $X$ være antall av de $5$ påmeldte som består kurset. $X$ er binomisk fordelt med $n=5$ og $p=\mathrm{0,25}$. Sannsynligheten for at akkurat $1$ av $5$ består er

Se linje 3 i utklippet (FordelingBinomial(5, 0,25, 1, false)).

Sannsynligheten for at $2$ eller flere består er komplementet til at $0$ eller $1$ består:

Se linje 4 i utklippet (1 - FordelingBinomial(5, 0,25, 1, true)).

La $Y$ være antall som består kurset når $n$ ansatte meldes på. $Y$ er binomisk fordelt med parametre $n$ og $p=\mathrm{0,25}$. Vi ønsker det minste $n$ slik at

Løser vi likheten ${\mathrm{0,75}}^n=\mathrm{0,05}$ (se linje 5 i utklippet), får vi $n\approx \mathrm{10,41}$. Siden $n$ må være et helt tall og sannsynligheten $1-{\mathrm{0,75}}^n$ øker med $n$, må vi runde opp:

Bedriften må melde på minst $11$ ansatte for at sannsynligheten for at minst $1$ av dem består kurset, skal være $95\%$ eller mer.

Vi merker av punktene fra tabellen i et koordinatsystem:

Punktene er de røde prikkene på figuren under deloppgave b).

Vi bruker eksponentiell regresjon (FitExp/ExpReg) på de tre punktene i GeoGebra CAS. Dette gir modellen

der $B(x)$ er folketallet i milliarder $x$ år etter 1950. Grafen til $B$ er tegnet sammen med datapunktene under (blå kurve, røde punkter):

Den momentane veksthastigheten i 1980 tilsvarer stigningstallet til tangenten til grafen i $x=30$ (grønn stiplet linje på figuren). Vi tegner tangenten og leser av stigningstallet, som stemmer med CAS-beregningen $B^{\prime }(30)$:

Fra utklippet ser vi at

Dette betyr at folketallet i 1980 vokste med om lag $75$ millioner mennesker per år.

Vi setter $x=2020-1950=70$ inn i $B(x)$. Fra CAS-utklippet i c) ser vi at

Det vil altså være om lag $\mathrm{8,6}$ milliarder mennesker på jorda i 2020 ifølge modellen.

For å finne når folketallet passerer $\mathrm{8,0}$ milliarder, løser vi likningen $B(x)=\mathrm{8,0}$. Fra CAS-utklippet i c) får vi

Det vil si $1950+\mathrm{65,75}=\mathrm{2015,75}$, altså om lag $9$ måneder ut i året $2015$. Ifølge modellen passerer folketallet dermed $\underline{\underline{\mathrm{8,0}\text{ milliarder i løpet av }2015}}$.

Uttrykket $f(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{2x+6}}$ er ikke definert når nevneren er null:

For å undersøke likningen $f(x)=1$ ganger vi begge sider med $(2x+6)$ (tillatt siden $x\ne -3$):

Dette er en selvmotsigelse, uansett hvilken $x$ vi setter inn. Likningen $f(x)=1$ har derfor ingen løsning. (Grafisk betyr dette at $y=1$ er den horisontale asymptoten til $f$, og grafen når aldri helt fram til den.)

Vi skriver om $f$ ved å utføre polynomdivisjon:

Dette viser at $f$ har vertikal asymptote $x=-3$ (der nevneren er null) og horisontal asymptote $y=1$ (når $x\to \pm \infty$ går brøkleddet mot $0$).

Grafen til $f$ tegnes for $x\in [-\mathrm{6,6}]$, $x\ne -3$:

Vi setter $f(x)=g(x)$ og ganger begge sider med $(2x+6)$:

Dette er et fullstendig kvadrat: ${(2x+3)}^2=0$, som gir én dobbel løsning:

Vi setter inn i $g$ for å finne $y$-verdien: $g(-\frac{3}{2})=2\cdot (-\frac{3}{2})+1=-2$.

Grafene til $f$ og $g$ tangerer altså hverandre i skjæringspunktet $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{3}{2}},-2)}}$ (se figuren i oppgave b), der grafen til $g$ (rød linje) berører grafen til $f$ (blå kurve) uten å krysse den).

Vi setter $f(x)=h(x)$ med $h(x)=ax+1$, og ganger begge sider med $(2x+6)$:

Hvis $a=0$, blir likningen $9=0$, som ikke har noen løsning. Vi må altså ha $a\ne 0$, og likningen er da en andregradslikning i $x$. Antall løsninger avgjøres av diskriminanten:

For at likningen skal ha to løsninger, må $d>0$:

(Vi kontrollerer at $x=-3$ aldri er en løsning av $2a{x}^2+6ax+9=0$: setter vi inn $x=-3$ får vi $18a-18a+9=9\ne 0$ for alle $a$, så begge løsningene av andregradslikningen ligger alltid i definisjonsmengden til $f$.)

Likningen $f(x)=h(x)$ har altså to løsninger når $\underline{\underline{a<0\text{ eller }a>2}}$.