S1 Vår 2008

Vi løser likningen ved å isolere ${10}^x$.

1) Vi finner nullpunktene til $f$ ved å faktorisere:

Nullpunktet til $g$:

2) Skjæringspunktene finner vi ved å sette $f(x)=g(x)$:

For $x=0$: $g(0)=2\cdot 0+6=6$, som gir punktet $(0,6)$.

For $x=7$: $g(7)=2\cdot 7+6=20$, som gir punktet $(7,20)$.

Rad 4 i Pascals talltrekant gir koeffisientene $1,4,6,4,1$. Med $a=x$ og $b=2$:

Esken inneholder 2 blå og 3 røde kuler, til sammen 5 kuler. Vi trekker ut 2 kuler.

1) Antall måter å velge 2 av 5 kuler på:

Antall måter å velge 1 blå av 2 og 1 rød av 3:

2) Samme farge betyr enten to blå eller to røde:

1) Vi faktoriserer $x^2-4=(x-2)(x+2)$ og setter på felles brøkstrek:

2) Vi bruker potensregler:

3) Vi bruker logaritmeregler:

1) Vi deriverer $f(x)=x^3-3x^2+2$:

Nullpunktene til $f^{\prime }$ er $x=0$ og $x=2$. Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }$:

• For $x<0$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)
• For $0<x<2$: $f^{\prime }(x)<0$ (avtakende)
• For $x>2$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)

Siden $f^{\prime }$ skifter fra positiv til negativ i $x=0$, er dette et toppunkt. Siden $f^{\prime }$ skifter fra negativ til positiv i $x=2$, er dette et bunnpunkt.

2) Momentan veksthastighet er $f^{\prime }(x)$. Vi løser $f^{\prime }(x)=9$:

Sannsynligheten for at Knut treffer blink på alle 10 skuddene er

Modellen som er brukt er den binomiske sannsynlighetsmodellen. Forutsetningene er at hvert skudd bare kan gi to utfall (treff eller bom), at sannsynligheten for treff er den samme ($p=\mathrm{0,70}$) for hvert skudd, og at utfallet av de ulike skuddene er uavhengig av hverandre.

$\underline{\underline{P(X=10)\approx \mathrm{0,0282}}}$

Sannsynligheten for at Knut treffer høyst 8 ganger er $P(X\le 8)$, altså den kumulative binomiske sannsynligheten opp til og med $x=8$. Vi beregner den i GeoGebra CAS:

$\underline{\underline{P(X\le 8)\approx \mathrm{0,8507}}}$

For å få premie må Knut treffe blink på minst 7 av 10 skudd, altså $P(X\ge 7)$. Dette finner vi som komplementet til $P(X\le 6)$:

(se P_c i utklippet over)

$\underline{\underline{P(X\ge 7)\approx \mathrm{0,6496}}}$

Vi ønsker å finne den verdien av $p$ som gjør at $P(X\ge 7)=\mathrm{0,80}$, altså løse likningen

med hensyn på $p$. Vi definerer $g(q)=1-\text{FordelingBinomial}(10,q,6,\text{sann})$ i GeoGebra CAS og prøver oss fram (se utklippet over): $g(\mathrm{0,76})\approx \mathrm{0,7988}$, mens $g(\mathrm{0,761})\approx \mathrm{0,8010}$. Løsningen ligger altså mellom disse, og

Knut må altså øke sannsynligheten for å treffe med ett skudd til minst ca. $\mathrm{76,1}\%$ for at sannsynligheten for å få premie skal bli minst $\mathrm{0,80}$.

$\underline{\underline{p\approx \mathrm{0,761}}}$

Vi bruker fortegnet til $f^{\prime }$: der $f^{\prime }(x)>0$ vokser $f$, der $f^{\prime }(x)<0$ avtar $f$.

Av grafen ser vi at $f^{\prime }(x)<0$ for $x\in ⟨0,1⟩$, at $f^{\prime }(x)>0$ for $x\in ⟨1,3⟩$, og at $f^{\prime }(x)<0$ for $x\in ⟨3,4⟩$.

Dermed:

Topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ ligger der $f^{\prime }(x)=0$, altså der grafen til $f^{\prime }$ skjærer $x$-aksen — ved $x=1$ og $x=3$.

Ved $x=1$ går $f^{\prime }$ fra negativ til positiv verdi, så $f$ har et $\text{bunnpunkt}$ ved $x=1$.

Ved $x=3$ går $f^{\prime }$ fra positiv til negativ verdi, så $f$ har et $\text{toppunkt}$ ved $x=3$.

Grafen til $f$ er brattest der $\left|f^{\prime }(x)\right|$ er størst. I det viste intervallet er $f^{\prime }(x)$ størst i tallverdi i endepunktene, med $f^{\prime }(0)=-3$ og $f^{\prime }(4)=-3$. Dermed er grafen til $f$ brattest ved

Grafen til $f^{\prime }$ er en parabel (andregradsfunksjon) med toppunkt $(2,1)$. Vi setter derfor opp $f^{\prime }$ på toppunktform:

Vi bruker at grafen går gjennom $(0,-3)$ (eller $(\mathrm{1,0})$/$(\mathrm{3,0})$) til å bestemme $a$:

Dermed er

Dette stemmer med de avleste punktene $f^{\prime }(1)=0$, $f^{\prime }(2)=1$, $f^{\prime }(3)=0$, $f^{\prime }(0)=-3$ og $f^{\prime }(4)=-3$ (kontrollert i CAS, se utklipp).

Momentan veksthastighet er $f^{\prime }(x)$. Vi løser likningen $f^{\prime }(x)=-1$:

(kontrollert i CAS, se utklipp over)

Vi bruker resultatene fra a) og b) til å skissere $f$ for $x\in ⟨\mathrm{0,4}⟩$: $f$ avtar fra $x=0$ til bunnpunktet ved $x=1$, vokser til toppunktet ved $x=3$, og avtar igjen til $x=4$. Grafen er brattest nær endepunktene, slakest nær topp- og bunnpunktet.

En mulig graf til $f$ (her med $f(x)=-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2-3x$, som har nettopp denne $f^{\prime }$) er vist under:

Gjennomsnittlig veksthastighet fra 1990 ($x=5$) til 2000 ($x=15$) er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(5,f(5))$ og $(15,f(15))$:

Dette betyr at antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i gjennomsnitt økte med $\mathrm{4,2}$ per år i perioden 1990–2000.

Vi legger tallene fra tabellen inn som punkter og utfører andregradsregresjon:

Regresjonen gir

Grafen til $f$ (blå) er tegnet sammen med punktene fra tabellen (røde). Grafen ligger tett opp til punktene, men går ikke nøyaktig gjennom alle, siden $f$ er en tilnærming (regresjon).

Momentan veksthastighet i år 2000 ($x=15$) er $f^{\prime }(15)$. Vi deriverer:

Den momentane veksthastigheten er markert som tangentlinjen (oransje, stiplet) i punktet på grafen der $x=15$, se figuren i c).

Vi bruker resultatet fra d) til å anslå økningen i antall personbiler per 1000 innbyggere fra 2000 til 2001 (ett år), med utgangspunkt i den kjente verdien $f(15)=460$ fra tabellen:

Med ca. $4500000$ innbyggere i 2001 blir antall registrerte biler

Det var altså omtrent $\underline{\underline{2100000}}$ registrerte personbiler i Norge i 2001.

Vi lar $x$ være antall kasser epler og $y$ antall kasser pærer som klargjøres hver dag. Siden $x$ og $y$ er antall kasser, kan de ikke være negative, så

Kari (plukker) bruker $20$ minutter per kasse epler og $20$ minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt $6$ timer $=360$ minutter per dag. Da må

Vi deler begge sider med $20$:

Arne (sorterer) bruker $12$ minutter per kasse epler og $24$ minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt $5$ timer $=300$ minutter per dag. Da må

Vi deler begge sider med $12$:

Harald (pakker) bruker $20$ minutter per kasse epler og $30$ minutter per kasse pærer, og arbeider maksimalt $\mathrm{6,5}$ timer $=390$ minutter per dag. Da må

Vi deler begge sider med $10$:

Dette er nettopp de fire ulikhetene i oppgaveteksten.

Vi tegner de tre grenselinjene

og skraverer området der $x\ge 0$, $y\ge 0$ og $y$ ligger under (eller på) alle tre linjene samtidig. Dette gir en femkant med hjørner i $(\mathrm{0,0})$, $(\mathrm{18,0})$, $(\mathrm{15,3})$, $(\mathrm{3,11})$ og $(\mathrm{0,12,5})$, se figuren under.

Inntekten per dag er

Den største (eller minste) verdien av en lineær funksjon over et slikt skravert område oppnås alltid i et av hjørnene i området. Vi regner ut $I$ i alle hjørnene:

Størst inntekt oppnås i hjørnet $(\mathrm{15,3})$:

Vi setter $x=15$ og $y=3$ inn i tidsforbruket til hver av de tre, og sammenligner med hvor mye tid de har til rådighet.

Kari:

Kari bruker akkurat sine $6$ timer — ingen ledig tid.

Arne:

Arne har til rådighet $5$ timer $=300$ minutter, så han har

ledig tid.

Harald:

Harald bruker akkurat sine $\mathrm{6,5}$ timer — ingen ledig tid.

Dette stemmer med at $(\mathrm{15,3})$ ligger på grenselinjene til Kari og Harald (ulikhet 2 og 4 er oppfylt med likhet), mens punktet ligger innenfor grensa til Arne (ulikhet 3 er en streng ulikhet der).

Konklusjon: