R2 Vår 2021

LK06 11 oppgaver 48 poeng 5 timer

0 av 11 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2021 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 8 oppgaver · 30 poeng
1	Derivasjon med kjerneregel og produktregel	—
2	Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon	—
3	Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon	—
4	Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel	—
5	Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel	—
6	Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke	—
7	Separabel differensiallikning og tangentlikning	—
8	Andregrads differensiallikning med gitt løsning	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 3 oppgaver · 18 poeng
1	Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot	—
2	Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform	—
4	Differensiallikning for bensintank med lekkasje	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = \cos(2x+1)

g(x) = \cos(2x) \cdot \sin x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int \left(x^2 + 2x + \frac{1}{3x}\right) dx

\int x \cdot \ln x \, dx

\int_0^{\pi/2} (\sin x + 1)^2 \cdot \cos x \, dx

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Substitusjon

Oppgave 1-3 : Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 - x

Et flatestykke $F$ er avgrenset av grafen til $f$ og x-aksen.

Bestem arealet av flatestykket $F$ .

Vi dreier flatestykket $360°$ om x-aksen og får et omdreiningslegeme med volum $V$ .

Bestem $V$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Integrasjon

Oppgave 1-4 : Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$2\sin(2x - \pi) = \sqrt{3}$ , $\quad x \in [0, 2\pi]$

$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ , $\quad x \in [0, 2\pi]$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-5 : Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En aritmetisk rekke $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ har sum $s_n = 3n^2 + 4n$ for $n \in \mathbb{N}$ .

Bruk dette til å bestemme $a_3$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Tallfølger

Oppgave 1-6 : Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke $b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + \cdots$ konvergerer mot 6.

Summen av de tre første leddene er $\dfrac{38}{9}$ .

Bruk dette til å bestemme $b_4$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke

Oppgave 1-7 : Separabel differensiallikning og tangentlikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y' = 2x \cdot y^2

Bestem den generelle løsningen av differensiallikningen.

En av integralkurvene går gjennom punktet $(2, 1)$ .

Bestem likningen for tangenten til løsningskurven i dette punktet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Derivasjon

Oppgave 1-8 : Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt differensiallikningen

y'' + b \cdot y' + c \cdot y = 0

Her er $b$ og $c$ to reelle tall.

Bestem $b$ og $c$ når du får vite at den generelle løsningen til differensiallikningen er

y(x) = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr)

Bestem $A$ og $B$ når du får vite at $y(0) = 2$ og $y'(0) = 6$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Trigonometri

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-1 : Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent.

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?

Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd, til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?

For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner.

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Rekker, Rente, Sparing

Oppgave 2-2 : Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \cos(2x) - 2\cos x + 2

Tegn grafen i et koordinatsystem. Bestem perioden til $f$ .

Vi kan skrive $f(x)$ på formen $f(x) = a\cos^2 x + b\cos x + c$ .

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Funksjoner

Oppgave 2-4 : Differensiallikning for bensintank med lekkasje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sverre har en gammel bil. Når han kjører med jevn fart, bruker motoren $0{,}70$ liter bensin per mil. Bilen har dessverre en liten lekkasje i bensintanken. Dette gjør at når han kjører med jevn fart, vil antall liter bensin som lekker ut av tanken per mil, være proporsjonal med antall liter bensin på tanken. Proporsjonalitetskonstanten er $0{,}01$ .

Sverre skal på langtur og fyller opp tanken. Den rommer 60 liter. La $V(x)$ være antall liter bensin han har igjen på tanken etter at han har kjørt $x$ mil med jevn fart.

Begrunn at differensiallikningen

V' = -0{,}70 - 0{,}01 \cdot V \,, \quad V(0) = 60

kan brukes til å bestemme et uttrykk for $V(x)$ .

Løs differensiallikningen.

Hvor mye bensin er det på tanken etter at han har kjørt 40 mil?

Hvor langt kan han maksimalt kjøre før tanken er tom? Hvor mye bensin har da forsvunnet på grunn av lekkasjen?

Neste gang Sverre skal på langtur, tenker han at det kan være lurt å fylle tanken opp til bare 30 liter og så på nytt fylle opp til 30 liter etter 20 mil.

Hvor mye bensin vil han bruke dersom han kjører 40 mil?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2021

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 30 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon med kjerneregel og produktregel

Oppgave 1-2 : Integrasjon med delvis integrasjon og substitusjon

Oppgave 1-3 : Areal og omdreiningslegeme for andregradsfunksjon

Oppgave 1-4 : Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel

Oppgave 1-5 : Bestem ledd i aritmetisk rekke fra sumformel

Oppgave 1-6 : Bestem ledd i uendelig geometrisk rekke

Oppgave 1-7 : Separabel differensiallikning og tangentlikning

Oppgave 1-8 : Andregrads differensiallikning med gitt løsning

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 18 poeng

Oppgave 2-1 : Spareavtale med fast rente og ukjent rentefot

Oppgave 2-2 : Trigonometrisk funksjon omskrevet til andregradsform

Oppgave 2-4 : Differensiallikning for bensintank med lekkasje

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave