R2 Vår 2020

Oppgave 1-1Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Deriver funksjonene:

f (x) = x \cdot \sin x

g (x) = \frac{\cos x^{2}}{x}

Fasit

$f^{'} (x) = \sin x + x \cos x$

$g^{'} (x) = \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) - \cos (x^{2})}{x^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = x$ og $v = \sin x$ .

u^{'} = 1, v^{'} = \cos x

f^{'} (x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = \cos (x^{2})$ og $v = x$ .

Ved kjerneregel er $u^{'} = - \sin (x^{2}) \cdot 2 x = - 2 x \sin (x^{2})$ , og $v^{'} = 1$ .

g^{'} (x) = \frac{- 2 x \sin (x^{2}) \cdot x - \cos (x^{2}) \cdot 1}{x^{2}} = \frac{- 2 x^{2} \sin (x^{2}) - \cos (x^{2})}{x^{2}}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Bestem integralene:

\int x^{2} + 3 + e^{2 x} d x

\int 6 x \cdot \sin (x^{2}) d x

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

$- 3 \cos (x^{2}) + C$

$\frac{e^{2} + 1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int x^{2} + 3 + e^{2 x} d x = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{1}{2} e^{2 x} + C

Vi bruker substitusjon $u = x^{2}$ , som gir $d u = 2 x d x$ , altså $6 x d x = 3 d u$ .

\int 6 x \cdot \sin (x^{2}) d x = \int 3 \sin (u) d u = - 3 \cos (u) + C = - 3 \cos (x^{2}) + C

Vi bruker delvis integrasjon $\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x$ med $u = \ln x$ og $v^{'} = x$ , slik at $u^{'} = \frac{1}{x}$ og $v = \frac{x^{2}}{2}$ .

\int_{1}^{e} x \ln x d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = {[\frac{x^{2}}{2} \ln x]}_{1}^{e} - \frac{1}{2} \int_{1}^{e} x d x

= (\frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{2} {[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{e} = \frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^{2} + 1}{4}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Substitusjon, Delvis integrasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

I en aritmetisk rekke er $a_{1} = 3$ , og summen av de 5 første leddene er 55.

Hva blir summen av de 10 første leddene?

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \dots

Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.

Fasit

$s_{10} = 210$

Rekka konvergerer siden $| k | = \frac{1}{2} < 1$ , og $s = 14$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av de $n$ første leddene i en aritmetisk rekke er $s_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)$ .

Vi setter inn $a_{1} = 3$ og $s_{5} = 55$ for å finne $d$ .

s_{5} = \frac{5}{2} (2 \cdot 3 + 4 d) = 55 \Rightarrow 5 (3 + 2 d) = 55 \Rightarrow 3 + 2 d = 11 \Rightarrow d = 4

Deretter finner vi $s_{10}$ .

s_{10} = \frac{10}{2} (2 \cdot 3 + 9 \cdot 4) = 5 (6 + 36) = 5 \cdot 42 = 210

Rekka $7 + \frac{7}{2} + \frac{7}{4} + \dots$ er geometrisk med $a_{1} = 7$ og kvotient

k = \frac{7 / 2}{7} = \frac{1}{2}

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ . Her er $| k | = \frac{1}{2} < 1$ , så rekka konvergerer.

Summen er gitt ved $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ .

s = \frac{7}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 14

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Aritmetisk rekke, Geometrisk rekke, Konvergens
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 \sin (π x + π) - 1, x \in ⟨ - 1, 3 ⟩

Bestem koordinatene til toppunkta og botnpunkta på grafen til $f$ .

Bestem skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og hver av koordinataksene.

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$Toppunkt: (- \frac{1}{2}, 1) og (\frac{3}{2}, 1)$ , $botnpunkt: (\frac{1}{2}, - 3) og (\frac{5}{2}, - 3)$

$y -akse: (0, - 1)$ , $x -akse: x = - \frac{5}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{7}{6}, \frac{11}{6}$

Sjå skisse under

LøsningsforslagKI-generert

Vi kan skrive om $f$ ved å bruke at $\sin (v + π) = - \sin v$ :

f (x) = 2 \sin (π x + π) - 1 = - 2 \sin (π x) - 1

Dette er ei sinuskurve med amplitude $2$ , periode $T = \frac{2 π}{π} = 2$ , og vertikal forskyving $- 1$ . Toppunkt (maksimum) oppstår når $\sin (π x + π) = 1$ , botnpunkt (minimum) når $\sin (π x + π) = - 1$ .

Toppunkt: $π x + π = \frac{π}{2} + 2 k π \Rightarrow x = - \frac{1}{2} + 2 k$ .

For $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ gjev dette $x = - \frac{1}{2}$ og $x = \frac{3}{2}$ , med funksjonsverdi $f = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ .

Botnpunkt: $π x + π = - \frac{π}{2} + 2 k π \Rightarrow x = - \frac{3}{2} + 2 k$ .

For $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ gjev dette $x = \frac{1}{2}$ og $x = \frac{5}{2}$ , med funksjonsverdi $f = 2 \cdot (- 1) - 1 = - 3$ .

Toppunkta er $(- \frac{1}{2}, 1)$ og $(\frac{3}{2}, 1)$ , botnpunkta er $(\frac{1}{2}, - 3)$ og $(\frac{5}{2}, - 3)$ .

Skjæring med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

f (0) = 2 \sin (π) - 1 = 2 \cdot 0 - 1 = - 1

Skjæringspunktet er $(0, - 1)$ .

Skjæring med $x$ -aksen ( $f (x) = 0$ ):

2 \sin (π x + π) - 1 = 0 \Rightarrow \sin (π x + π) = \frac{1}{2}

Dette gjev $π x + π = \frac{π}{6} + 2 k π$ eller $π x + π = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ , altså

x = - \frac{5}{6} + 2 k eller x = - \frac{1}{6} + 2 k

For $x \in ⟨ - 1, 3 ⟩$ gjev dette fire løysingar: $x = - \frac{5}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{7}{6}, \frac{11}{6}$ .

Grafen til $f$ er ei sinuskurve med amplitude $2$ , periode $2$ og senterlinje $y = - 1$ . Ho startar (ved $x = - 1$ ) i eit botnpunkt-liknande nivå, stig gjennom $x$ -aksen ved $x = - \frac{5}{6}$ , når toppunktet $(- \frac{1}{2}, 1)$ , søkk gjennom $x$ -aksen ved $x = - \frac{1}{6}$ og $y$ -aksen i $(0, - 1)$ , når botnpunktet $(\frac{1}{2}, - 3)$ , stig gjennom $x$ -aksen ved $x = \frac{7}{6}$ , når toppunktet $(\frac{3}{2}, 1)$ , søkk gjennom $x$ -aksen ved $x = \frac{11}{6}$ og ned mot botnpunktet $(\frac{5}{2}, - 3)$ igjen, før grafen sluttar før $x = 3$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Vi har punktene $A (- 1, 3, 2)$ , $B (2, 2, 1)$ , $C (0, 1, 0)$ og $T (5, 3, 8)$ .

Bestem $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ . Vis at $\vec{A B} \times \vec{A C} = [0, 5, - 5]$ .

Bestem volumet av pyramiden $A B C T$ .

Bestem likningen for planet som inneholder punktene $A$ , $B$ og $C$ .

Fasit

$\vec{A B} = [3, - 1, - 1], \vec{A C} = [1, - 2, - 2]$

$V = 5$

$y - z = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner vektorene ved å trekke koordinatene til startpunktet fra endepunktet.

\vec{A B} = B - A = [2 - (- 1), 2 - 3, 1 - 2] = [3, - 1, - 1]

\vec{A C} = C - A = [0 - (- 1), 1 - 3, 0 - 2] = [1, - 2, - 2]

Kryssproduktet er gitt ved

\vec{A B} \times \vec{A C} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & - 2 \end{matrix} |

= [(- 1) (- 2) - (- 1) (- 2), - ((3) (- 2) - (- 1) (1)), (3) (- 2) - (- 1) (1)]

= [2 - 2, - (- 6 + 1), - 6 + 1] = [0, 5, - 5]

som stemmer med det oppgitte resultatet.

Volumet av pyramiden $A B C T$ er $\frac{1}{6}$ av tallverdien til spatproduktet $(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T}$ .

\vec{A T} = T - A = [5 - (- 1), 3 - 3, 8 - 2] = [6, 0, 6]

(\vec{A B} \times \vec{A C}) \cdot \vec{A T} = [0, 5, - 5] \cdot [6, 0, 6] = 0 + 0 - 30 = - 30

V = \frac{1}{6} | - 30 | = 5

Normalvektoren til planet er kryssproduktet fra a), $\vec{n} = [0, 5, - 5]$ , som kan forkortes til $[0, 1, - 1]$ .

Vi bruker punktet $A (- 1, 3, 2)$ og setter opp planlikningen $n_{1} (x - x_{0}) + n_{2} (y - y_{0}) + n_{3} (z - z_{0}) = 0$ .

0 (x - (- 1)) + 1 (y - 3) - 1 (z - 2) = 0

y - 3 - z + 2 = 0 \Rightarrow y - z - 1 = 0 \Rightarrow y - z = 1

Vi kontrollerer med $B (2,2,1)$ : $2 - 1 = 1$ ✓, og $C (0,1,0)$ : $1 - 0 = 1$ ✓.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Konvergensområde for rekke med ln x

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

2 + \ln x + \frac{{(\ln x)}^{2}}{2} + \dots

Bestem konvergensområdet til rekka.

Bestem $x$ slik at summen av rekka blir 4.

Fasit

$e^{- 2} < x < e^{2}$

$x = e$

LøsningsforslagKI-generert

Rekka er geometrisk med første ledd $a_{1} = 2$ . Vi finner kvotienten $k$ ved å dividere det andre leddet på det første:

k = \frac{\ln x}{2}

En geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ :

| \frac{\ln x}{2} | < 1 \Rightarrow - 2 < \ln x < 2

Vi løser ulikheten ved å ta $e^{(\cdot)}$ på alle ledd:

e^{- 2} < x < e^{2}

Dette er også innafor definisjonsområdet til $\ln x$ (som krever $x > 0$ ), så konvergensområdet er

e^{- 2} < x < e^{2}

Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ . Vi setter inn $a_{1} = 2$ og $k = \frac{\ln x}{2}$ , og setter summen lik 4:

\frac{2}{1 - \frac{\ln x}{2}} = 4

\frac{4}{2 - \ln x} = 4

2 - \ln x = 1

\ln x = 1

x = e

Siden $\ln e = 1$ gir $k = \frac{1}{2}$ , som oppfyller $| k | < 1$ fra a), er dette en gyldig løsning:

x = e

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Tangentretninger til integralkurver

Differensiallikningen $2 x \cdot y^{'} - 3 y = 0$ har integralkurver som gjennom punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ på figuren nedenfor. I hvert av punkta er det markert en tangentretning.

Fire punkter A, B, C, D med markerte tangentretninger i et koordinatsystem

Vurder for hvert av de fire punktene om den markerte tangentretningen samsvarer med retninga til tangenten til integralkurver som går gjennom punktet. Begrunn svaret.

Fasit

$A: nei B: ja C: ja D: nei$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser differensiallikninga med hensyn på $y^{'}$ :

2 x \cdot y^{'} - 3 y = 0 \Rightarrow y^{'} = \frac{3 y}{2 x}, x \neq 0

Dette uttrykket gir stigningstallet til tangenten til integralkurven som går gjennom et vilkårlig punkt $(x, y)$ . Vi leser av koordinatene til de fire punktene fra figuren og regner ut $y^{'}$ i hvert punkt, og sammenlikner fortegn og bratthet med den markerte tangentretninga.

Punkt A $(2, 2)$ :

y^{'} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} = 1,5

Tangenten skal altså stige bratt fra venstre mot høyre. På figuren er den markerte retninga i $A$ horisontal (stigningstall $0$ ). Dette samsvarer ikke med $y^{'} = 1,5$ .

Punkt B $(- 2, 2)$ :

y^{'} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot (- 2)} = - \frac{3}{2} = - 1,5

Tangenten skal falle bratt fra øvre venstre mot nedre høyre. Den markerte retninga i $B$ er nettopp en bratt, fallende linje. Dette samsvarer med $y^{'} = - 1,5$ .

Punkt C $(- 2, - 2)$ :

y^{'} = \frac{3 \cdot (- 2)}{2 \cdot (- 2)} = \frac{3}{2} = 1,5

Tangenten skal stige bratt fra nedre venstre mot øvre høyre. Den markerte retninga i $C$ er nettopp en slik bratt, stigende linje. Dette samsvarer med $y^{'} = 1,5$ .

Punkt D $(2, - 2)$ :

y^{'} = \frac{3 \cdot (- 2)}{2 \cdot 2} = - \frac{3}{2} = - 1,5

Tangenten skal falle bratt. Den markerte retninga i $D$ er derimot tilnærmet horisontal, med bare et svakt fall. Dette samsvarer ikke med $y^{'} = - 1,5$ , siden den markerte linja er langt flatere enn det $y^{'} = - 1,5$ tilsier.

Konklusjon:

A: nei B: ja C: ja D: nei

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Differensiallikning
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Kuleflate som tangerer to plan

To plan $α$ og $β$ er gitt ved

\begin{matrix} α & : - 2 x + 2 y - z = 21 \\ β & : - 7 x + 4 y - 4 z = 56 \end{matrix}

En kuleflate tangerer $α$ i punktet $P (- 3, 7, - 1)$ og $β$ i punktet $Q (- 4, 5, - 2)$ .

Bestem en likning for kuleflata.

Fasit

${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81$

LøsningsforslagKI-generert

Sentrum $S$ i kuleflata må ligge på normallinja til hvert plan i tangeringspunktet, siden en kuleflate tangerer et plan langs den linja som går gjennom tangeringspunktet med retning lik planets normalvektor.

Normalvektorene til de to planene er

{\vec{n}}_{α} = (- 2, 2, - 1), {\vec{n}}_{β} = (- 7, 4, - 4)

Normallinje gjennom $P (- 3,7, - 1)$ (i retning ${\vec{n}}_{α}$ ):

(x, y, z) = (- 3,7, - 1) + t (- 2,2, - 1)

Normallinje gjennom $Q (- 4,5, - 2)$ (i retning ${\vec{n}}_{β}$ ):

(x, y, z) = (- 4,5, - 2) + s (- 7,4, - 4)

Sentrum $S$ er skjæringspunktet mellom disse to linjene. Vi setter komponentene like:

\begin{matrix} - 3 - 2 t & = - 4 - 7 s \\ 7 + 2 t & = 5 + 4 s \\ - 1 - t & = - 2 - 4 s \end{matrix}

Fra likning 2: $t = 2 s - 1$ . Setter dette inn i likning 3:

- 1 - (2 s - 1) = - 2 - 4 s \Rightarrow - 2 s = - 2 - 4 s \Rightarrow s = - 1

Dette gir $t = 2 (- 1) - 1 = - 3$ .

Kontroll i likning 1: $- 3 - 2 (- 3) = - 3 + 6 = 3$ og $- 4 - 7 (- 1) = - 4 + 7 = 3$ . Stemmer.

Setter $t = - 3$ inn i første linje:

S = (- 3 - 2 (- 3), 7 + 2 (- 3), - 1 - (- 3)) = (3, 1, 2)

Radien er avstanden fra $S$ til tangeringspunktet $P$ :

r = \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {(1 - 7)}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{6^{2} + {(- 6)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{81} = 9

Som en kontroll regner vi også avstanden fra $S$ til $Q$ :

\sqrt{{(3 - (- 4))}^{2} + {(1 - 5)}^{2} + {(2 - (- 2))}^{2}} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9

Begge avstandene er $9$ , som de skal være siden kuleflata tangerer begge planene.

Likninga for kuleflata blir dermed

{(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 81

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Plan, Kule, Romgeometri
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for rekursiv følge

En følge er gitt ved $a_{1} = 2$ og $a_{n} = a_{n - 1} + n$ .

Bruk induksjon til å vise at $a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ for alle $n \in ℕ$ .

Fasit

$a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} for alle n \in ℕ$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Basissteget

Vi sjekker at påstanden stemmer for $n = 1$ :

\frac{1^{2} + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 = a_{1}

Påstanden stemmer for $n = 1$ .

Steg 2: Induksjonssteget

Vi antar at påstanden stemmer for et vilkårlig naturlig tall $n = k$ , altså at

a_{k} = \frac{k^{2} + k + 2}{2}

Vi må vise at da stemmer påstanden også for $n = k + 1$ , altså at

a_{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 2}{2}

Fra den rekursive definisjonen har vi $a_{k + 1} = a_{k} + (k + 1)$ . Vi setter inn induksjonsantakelsen:

a_{k + 1} = \frac{k^{2} + k + 2}{2} + (k + 1) = \frac{k^{2} + k + 2 + 2 (k + 1)}{2} = \frac{k^{2} + 3 k + 4}{2}

Vi sammenlikner med det vi ønsket å vise. Vi utvider høyresida:

\frac{{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 2}{2} = \frac{k^{2} + 2 k + 1 + k + 1 + 2}{2} = \frac{k^{2} + 3 k + 4}{2}

De to uttrykkene er like, så påstanden stemmer for $n = k + 1$ når den stemmer for $n = k$ .

Konklusjon

Siden påstanden stemmer for $n = 1$ , og den stemmer for $n = k + 1$ når den stemmer for $n = k$ , følger det av induksjonsprinsippet at

a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.

Måned	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Energiforbruk (kWh)	1540	1480	1320	1050	800	750	660	730	940	1170	1300	1520

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

For en annen bolig er funksjonen $f$ gitt ved

f (t) = 1300 + 730 \cdot \sin (0,52 \cdot t + 1,07)

en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er $f (1)$ forbruket i januar, $f (2)$ forbruket i februar og så videre.

Kalkulator

Når økte forbruket raskest, ifølge modellen $f$ ?

Kalkulator

Bestem $\int_{0}^{12} f (t) d t$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Energiprisen varierer også med tida på året. Funksjonen $p$ gitt ved

p (t) = 0,85 + 0,17 \cdot \sin (0,52 \cdot t + 1,07)

er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er $p (1)$ den gjennomsnittlige energiprisen i januar, $p (2)$ den gjennomsnittlige prisen i februar og så videre.

Kalkulator

Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene $f$ og $p$ til grunn.

Fasit

$g (t) \approx 1108 + 443 \cdot \sin (0,52 t + 1,16)$

$t \approx 10,0$ (i begynnelsen av oktober)

$\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 15547 kWh$

$\approx 13941 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker trigonometrisk regresjon (FitSin) på punktene $(t, y)$ fra tabellen, der $t$ er månedsnummeret og $y$ er energiforbruket i kWh. GeoGebra tilpasser en funksjon på formen $a \cdot \sin (b t + c) + d$ til datapunktene.

Trigonometrisk regresjon på energiforbruk

Regresjonen gir modellen

g (t) \approx 1108 + 443 \cdot \sin (0,52 t + 1,16)

der $t$ er månedsnummer og $g (t)$ er energiforbruket i kWh. Grafen viser at modellen passer godt med datapunktene fra tabellen.

Forbruket øker raskest der $f^{'} (t)$ er størst, altså der $f^{'}$ har et toppunkt. Vi deriverer $f$ og finner ekstremalpunktet til den deriverte i CAS.

CAS: derivert, ekstremalpunkt og integraler

Fra utklippet (linje 3) er $f^{'} (t) = 379,6 \cdot \cos (0,52 t + 1,07)$ . Ekstremalpunktene til $f^{'}$ finnes der $f^{''} (t) = 0$ ; av løsningene i intervallet $⟨ 0, 12 ⟩$ (linje 4–5) gir $t \approx 10,03$ verdien $f^{'} (10,03) \approx 379,6$ (linje 6), som er det høyeste mulige nivået til $f^{'}$ (lik amplituden til $f^{'}$ ). Dette er derfor et maksimumspunkt for $f^{'}$ .

Svar: Forbruket økte raskest ved $t \approx 10,0$ , altså i begynnelsen av oktober.

Vi beregner det bestemte integralet av $f$ over ett år, se linje 7 i utklippet over:

\int_{0}^{12} f (t) d t \approx 15547 kWh

Tolkning: Integralet er summen av alt energiforbruket gjennom hele året (fra $t = 0$ til $t = 12$ ), altså det totale årlige energiforbruket til boligen, ca. $15547 kWh$ .

Kostnaden per måned er forbruk ganger pris, altså $f (t) \cdot p (t)$ kr per måned. Den totale årlige kostnaden finner vi ved å integrere produktet over ett år, se linje 8 i utklippet:

\int_{0}^{12} f (t) \cdot p (t) d t \approx 13941 kr

Svar: Den årlige energikostnaden til boligen er omtrent $13941 kr$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Regresjon, Trigonometri, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Radioaktiv masse og differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved radioaktiv stråling minker massen til et radioaktivt stoff med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen av det radioaktive stoffet.

La $M (t)$ være massen til det radioaktive stoffet $t$ timer etter et gitt tidspunkt.

For hånd

Begrunn at differensiallikningen $M^{'} = k \cdot M$ beskriver situasjonen. Forklar hvorfor $k < 0$ .

Ved tida $t = 0$ timer var massen til det radioaktive stoffet 100 mg. Ved $t = 6$ timer var massen til det radioaktive stoffet 97 mg.

Kalkulator

Bestem funksjonsuttrykket $M (t)$ .

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før massen til det radioaktive stoffet er 2 mg?

Dette radioaktive stoffet vurderes ikke helsefarlig dersom massen minker med mindre enn $0,2$ mg per time.

Kalkulator

Hvor lang tid går det før dette stoffet ikke lenger vurderes som helsefarlig?

Fasit

Se begrunnelse i løsningsforslaget.

$M (t) = 100 \cdot e^{- 0,00508 t}$

$t \approx 770,6 timer$

$t \approx 183,5 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Ved radioaktiv stråling minker massen med en vekstfart som til enhver tid er proporsjonal med massen som er igjen. Det betyr nettopp at den momentane endringen $M^{'} (t)$ er proporsjonal med $M (t)$ , altså

M^{'} (t) = k \cdot M (t)

der $k$ er proporsjonalitetskonstanten.

Massen $M (t)$ er alltid positiv (det finnes fortsatt stoff igjen), mens massen hele tiden minker, altså er $M^{'} (t) < 0$ for alle $t$ . Siden $M (t) > 0$ , må $k < 0$ for at produktet $k \cdot M (t)$ skal være negativt.

Differensiallikningen $M^{'} (t) = k \cdot M (t)$ har generell løsning

M (t) = C \cdot e^{k t}

Ved $t = 0$ er $M (0) = 100$ , som gir $C = 100$ :

M (t) = 100 \cdot e^{k t}

Ved $t = 6$ er $M (6) = 97$ :

100 \cdot e^{6 k} = 97 \Rightarrow k = \frac{\ln (0,97)}{6} \approx - 0,00508

Løst i GeoGebra CAS (se k og M(t) i utklippet):

Radioaktiv masse - CAS

Dette gir funksjonsuttrykket

M (t) = 100 \cdot e^{- 0,00508 t}

Vi løser $M (t) = 2$ med CAS (se linje 3 i utklippet over):

100 \cdot e^{- 0,00508 t} = 2 \Rightarrow t \approx 770,6

Det tar altså

t \approx 770,6 timer (\approx 32 dager)

før massen er nede i 2 mg.

Endringsraten er

M^{'} (t) = k \cdot M (t) = - 0,00508 \cdot 100 \cdot e^{- 0,00508 t}

Siden $k < 0$ er $M^{'} (t) < 0$ , så $| M^{'} (t) | = - M^{'} (t)$ . Vi løser $| M^{'} (t) | = 0,2$ med CAS (se linje 4 i utklippet over):

- (- 0,00508) \cdot 100 \cdot e^{- 0,00508 t} = 0,2 \Rightarrow t \approx 183,5

Fordi $| M^{'} (t) |$ er en avtakende funksjon av $t$ (raten avtar etter hvert som massen minker), er $| M^{'} (t) | < 0,2$ for alle $t$ større enn dette. Stoffet regnes derfor ikke lenger som helsefarlig etter

t \approx 183,5 timer (\approx 7,6 dager)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Differensiallikning, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Det innerste papirlaget på en tørkerull har diameter $d = 5,00 c m$ . Papiret er $0,015 c m$ tykt.

Tørkerull der den innerste hulldiameteren er merket d og den ytre diameteren er merket D

Lengden på papiret på den innerste runden på rullen er da $π \cdot 5,00 c m$ . Den neste runden har diameter $(5,00 + 2 \cdot 0,015) c m = 5,03 c m$ . Lengden på papiret i denne runden er derfor $π \cdot 5,03 c m$ .

Diameteren på rullen øker med $0,03 c m$ for hver ny runde med papir.

Kalkulator

Hvor mange meter papir er det igjen på tørkerullen når det er 50 runder igjen før han er tom?

Kalkulator

Hvor mange meter papir er det på tørkerullen når diameteren $D$ er $20,00 c m$ ?

Kalkulator

Hva er diameteren $D$ når det er 500 meter papir igjen på tørkerullen?

Fasit

$\approx 9,01 m$

$\approx 196,74 m$

$D \approx 31,29 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Lengden på papiret i runde $n$ (talt fra innerst) danner en aritmetisk følge

a_{n} = π \cdot (5,00 + 0,03 \cdot (n - 1)) cm, a_{1} = π \cdot 5,00, d = π \cdot 0,03

Summen av de $n$ første leddene er gitt ved formelen for en aritmetisk rekke

s_{n} = \frac{n}{2} (2 a_{1} + (n - 1) d)

De 50 rundene som er igjen før rullen er tom, er de $50$ innerste rundene, altså $a_{1}$ til $a_{50}$ :

s_{50} = \frac{50}{2} (2 π \cdot 5,00 + 49 \cdot π \cdot 0,03)

Løst i GeoGebra CAS (se SummeA i utklippet under):

CAS-utregning av papirlengder på tørkerull

$s_{50} \approx 900,85 cm \approx 9,01 m$ .

Det er altså $\approx 9,01 m$ papir igjen på rullen når 50 runder gjenstår.

Diameteren til runde $n$ er $5,00 + 0,03 (n - 1) cm$ (runde 1 har diameter $5,00$ , runde 2 har $5,03$ , osv.). Antall runder på hele rullen når $D = 20,00 cm$ finnes ved å løse (linje n_b i utklippet)

5,00 + 0,03 (n - 1) = 20,00 \Rightarrow n = 501

Rullen har altså totalt 501 runder papir, ikke 500 — både den innerste runden (diameter $5,00$ ) og den ytterste runden (diameter nøyaktig $20,00$ ) skal telles med, som ved klassisk gjerdestolpe-telling. Total lengde blir summen av de 501 første leddene:

s_{501} = \frac{501}{2} (2 π \cdot 5,00 + 500 \cdot π \cdot 0,03)

Fra SummeB i utklippet: $s_{501} \approx 19674,22 cm \approx 196,74 m$ .

Det er altså $\approx 196,74 m$ papir på rullen når $D = 20,00 cm$ .

La $n$ være antall runder som er igjen når det gjenstår $500 m = 50 000 cm$ papir. Da må

\frac{n}{2} (2 π \cdot 5,00 + (n - 1) \cdot π \cdot 0,03) = 50 000

Løst i CAS (se utklippet, n_c) gir den positive løsningen $n \approx 877,21$ . Diameteren til runde $n$ følger samme sammenheng som i b): $D = 5,00 + 0,03 (n - 1)$ , se D_c i utklippet:

D \approx 5,00 + 0,03 \cdot (877,21 - 1) \approx 31,29 cm

Diameteren er altså $D \approx 31,29 cm$ når det er 500 meter papir igjen på tørkerullen.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Aritmetisk rekke, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A (- 1, - 1, 2)$ , $B (3, 4, - 1)$ , $C (5, 3, 1)$ og $D (5, 6, 4)$ .

Planet $α$ går gjennom $A$ , $B$ og $C$ .
Linja $ℓ$ går gjennom $A$ og $D$ .

En kuleflate har radius 8 og sentrum $S$ , som ligger på $ℓ$ . Kuleflata tangerer $α$ .

Bestem de mulige koordinatene til $S$ .

Fasit

$S = (11, 13, 6) eller S = (- 13, - 15, - 2)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi finner først en normalvektor $\vec{n}$ til planet $α$ ved å bruke kryssproduktet av to vektorer i planet.

\vec{A B} = B - A = (4, 5, - 3), \vec{A C} = C - A = (6, 4, - 1)

\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} = (5 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 4, (- 3) \cdot 6 - 4 \cdot (- 1), 4 \cdot 4 - 5 \cdot 6) = (7, - 14, - 14)

Siden $S$ ligger på linja $ℓ$ gjennom $A$ og $D$ , kan vi skrive $S$ som et punkt på linja med parameteren $t$ :

\vec{A D} = D - A = (6, 7, 2)

S (t) = A + t \cdot \vec{A D} = (- 1 + 6 t, - 1 + 7 t, 2 + 2 t)

Kuleflata tangerer planet $α$ når avstanden fra sentrum $S$ til $α$ er lik radien $8$ . Avstanden fra et punkt $S$ til et plan med normalvektor $\vec{n} = (7, - 14, - 14)$ gjennom $A$ er gitt ved

d (t) = \frac{| \vec{n} \cdot (S (t) - A) |}{| \vec{n} |}

Vi setter opp og løser likningen $d (t) = 8$ i GeoGebra CAS.

CAS-utregning

Fra utklippet ser vi at $| \vec{n} | = \sqrt{7^{2} + {(- 14)}^{2} + {(- 14)}^{2}} = 21$ , at $\vec{n} \cdot (S (t) - A) = - 84 t$ , og at likningen $d (t) = 8$ gir løsningene $t = - 2$ og $t = 2$ .

Vi setter inn de to verdiene av $t$ i uttrykket for $S (t)$ :

t = 2 : S_{1} = (- 1 + 12, - 1 + 14, 2 + 4) = (11, 13, 6)

t = - 2 : S_{2} = (- 1 - 12, - 1 - 14, 2 - 4) = (- 13, - 15, - 2)

Sentrum $S$ i kuleflata kan altså være enten $(11, 13, 6)$ eller $(- 13, - 15, - 2)$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Plan, Kule, Romgeometri
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Konvergensområde for rekke med ln x

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Tangentretninger til integralkurver

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Kuleflate som tangerer to plan

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for rekursiv følge

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Radioaktiv masse og differensiallikning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Oppgave 1-2·Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Oppgave 1-3·Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

Oppgave 1-4·Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Oppgave 1-5·Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Oppgave 1-6·Konvergensområde for rekke med ln x

Oppgave 1-7·Tangentretninger til integralkurver

Oppgave 1-8·Kuleflate som tangerer to plan

Oppgave 1-9·Induksjonsbevis for rekursiv følge

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 26 poeng

Oppgave 2-1·Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Oppgave 2-2·Radioaktiv masse og differensiallikning

Oppgave 2-3·Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Oppgave 2-4·Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av sinus- og cosinusuttrykk

Oppgave 1-2Tre integraler med substitusjon og delvis integrasjon

Oppgave 1-3Aritmetisk rekke og konvergerende geometrisk rekke

Oppgave 1-4Drøfting og skisse av sinusfunksjon

Oppgave 1-5Kryssprodukt, pyramidevolum og plan gjennom tre punkter

Oppgave 1-6Konvergensområde for rekke med ln x

Oppgave 1-7Tangentretninger til integralkurver

Oppgave 1-8Kuleflate som tangerer to plan

Oppgave 1-9Induksjonsbevis for rekursiv følge

Oppgave 2-1Trigonometrisk regresjon for energiforbruk

Oppgave 2-2Radioaktiv masse og differensiallikning

Oppgave 2-3Papir på tørkerull som aritmetisk rekke

Oppgave 2-4Kuleflate med sentrum på linje som tangerer plan