R2 Vår 2019

Oppgave 1-1Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 3 \sin (4 x + 1) + x

g (x) = 4 \sin x \cdot \cos x

Fasit

$f^{'} (x) = 12 \cos (4 x + 1) + 1$

$g^{'} (x) = 4 \cos (2 x)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kjerneregelen på $3 \sin (4 x + 1)$ og legger til den deriverte av $x$ .

f^{'} (x) = 3 \cdot \cos (4 x + 1) \cdot 4 + 1 = 12 \cos (4 x + 1) + 1

Vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = 4 \sin x$ og $v = \cos x$ .

g^{'} (x) = 4 \cos x \cdot \cos x + 4 \sin x \cdot (- \sin x) = 4 \cos^{2} x - 4 \sin^{2} x

Ved trigonometrisk identitet er $\cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos (2 x)$ , så

g^{'} (x) = 4 \cos (2 x)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^{4} - x^{2}) d x

\int 4 x \cdot e^{- x^{2}} d x

\int \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3} d x

Fasit

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C$

$- 2 e^{- x^{2}} + C$

$\ln | \frac{x - 3}{x + 1} | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd.

\int (x^{4} - x^{2}) d x = \frac{1}{5} x^{5} - \frac{1}{3} x^{3} + C

Vi substituerer $u = - x^{2}$ , som gir $d u = - 2 x d x$ , altså $4 x d x = - 2 d u$ .

\int 4 x \cdot e^{- x^{2}} d x = \int - 2 e^{u} d u = - 2 e^{u} + C = - 2 e^{- x^{2}} + C

Vi faktoriserer nevneren: $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , og spalter i partialbrøker.

\frac{4}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}

4 = A (x + 1) + B (x - 3)

Setter $x = 3$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$ . Setter $x = - 1$ : $4 = - 4 B \Rightarrow B = - 1$ . Dermed

\int \frac{4}{x^{2} - 2 x - 3} d x = \int (\frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x + 1}) d x = \ln | x - 3 | - \ln | x + 1 | + C = \ln | \frac{x - 3}{x + 1} | + C

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Substitusjon
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut

1 + 5 + 9 + \dots + 157

En geometrisk rekke er gitt ved $a_{3} = 1$ og $a_{6} = \frac{1}{27}$ .

Avgjør om den uendelige rekken $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$ konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.

Fasit

$s = 3160$

Rekken konvergerer, $s = \frac{27}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Rekken $1 + 5 + 9 + \dots + 157$ er aritmetisk med $a_{1} = 1$ og $d = 4$ . Vi finner først hvor mange ledd $n$ rekken har ved å bruke formelen $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ .

157 = 1 + (n - 1) \cdot 4 \Rightarrow n = 40

Summen av rekken blir da

s_{40} = \frac{a_{1} + a_{40}}{2} \cdot n = \frac{1 + 157}{2} \cdot 40 = 3160

Rekken er geometrisk med $a_{3} = 1$ og $a_{6} = \frac{1}{27}$ . Siden $a_{6} = a_{3} \cdot k^{3}$ , får vi

k^{3} = \frac{a_{6}}{a_{3}} = \frac{1}{27} \Rightarrow k = \frac{1}{3}

Siden $| k | = \frac{1}{3} < 1$ , konvergerer den uendelige rekken. Vi finner $a_{1}$ ved $a_{3} = a_{1} \cdot k^{2}$ .

1 = a_{1} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} \Rightarrow a_{1} = 9

Summen av den uendelige rekken er

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{27}{2}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = a^{2} - x^{2}, der a > 0

Rektangelet $A B C D$ er gitt ved at

$A$ er origo
$B$ er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen
$D$ er toppunktet på grafen til $f$

Rektangel ABCD med kurven til f og fargelagt område

Vis at arealet av det fargelagte området utgjør $\frac{2}{3}$ av rektangelets areal.

Fasit

$Arealet under kurven er \frac{2}{3} av rektangelets areal$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = a^{2} - x^{2}$ skjærer $x$ -aksen der $a^{2} - x^{2} = 0$ , altså i $x = - a$ og $x = a$ . Det høyre skjæringspunktet er dermed $B (a, 0)$ . Toppunktet er der $f$ har maksimum, det vil si $x = 0$ , som gir $D (0, a^{2})$ . Med $A$ i origo blir rektangelet $A B C D$ utspent av bredden $a$ og høyden $a^{2}$ , så

A_{rektangel} = a \cdot a^{2} = a^{3}

Det fargelagte arealet under grafen fra $x = 0$ til $x = a$ finner vi ved integrasjon.

A_{farget} = \int_{0}^{a} (a^{2} - x^{2}) d x = {[a^{2} x - \frac{1}{3} x^{3}]}_{0}^{a} = a^{3} - \frac{1}{3} a^{3} = \frac{2}{3} a^{3}

Forholdet mellom det fargelagte arealet og rektangelets areal blir

\frac{A_{farget}}{A_{rektangel}} = \frac{\frac{2}{3} a^{3}}{a^{3}} = \frac{2}{3}

Dermed er det vist at det fargelagte området utgjør $\frac{2}{3}$ av rektangelets areal.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Bestemt integral, Areal under graf, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Kule tangerer plan med parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (3, 1, 0)$ , $B (3, 2, 4)$ og $C (- 1, 1, 4)$ .

Vis at punktene ligger i planet $α$ gitt ved

α : x - 4 y + z + 1 = 0

En linje $ℓ$ står normalt på $α$ og går gjennom $A$ .

Bestem en parameterframstilling for $ℓ$ .

En kuleflate tangerer $α$ i $A$ .

Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen

{(x - 3 - t)}^{2} + {(y - 1 + 4 t)}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}, for en t \in ℝ

Punktet $P (4, 1, 1)$ ligger på kuleflaten.

Bestem sentrum til kuleflaten.

Fasit

Alle punktene tilfredsstiller planlikningen — se løsningsforslag

$ℓ : (x, y, z) = (3,1,0) + t (1, - 4,1)$

Se løsningsforslag

$Sentrum = (\frac{7}{2}, - 1, \frac{1}{2})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter koordinatene til $A$ , $B$ og $C$ inn i likningen for $α$ : $x - 4 y + z + 1 = 0$ .

For $A (3,1,0)$ : $3 - 4 \cdot 1 + 0 + 1 = 0$ ✓

For $B (3,2,4)$ : $3 - 4 \cdot 2 + 4 + 1 = 0$ ✓

For $C (- 1,1,4)$ : $- 1 - 4 \cdot 1 + 4 + 1 = 0$ ✓

Alle tre punktene tilfredsstiller likningen, så $A$ , $B$ og $C$ ligger i $α$ .

Siden $ℓ$ står normalt på $α$ , er retningsvektoren til $ℓ$ lik normalvektoren til $α$ , som vi leser av koeffisientene i planlikningen: $\vec{n} = (1, - 4, 1)$ . Linjen går gjennom $A (3,1,0)$ , så en parameterframstilling er

ℓ : (x, y, z) = (3, 1, 0) + t \cdot (1, - 4, 1), t \in ℝ

Siden kuleflaten tangerer $α$ i $A$ , må sentrum $S$ i kuleflaten ligge på normallinjen $ℓ$ gjennom tangeringspunktet $A$ . Derfor kan sentrum skrives på formen

S = (3 + t, 1 - 4 t, t)

for en verdi av $t \in ℝ$ . Radien til kuleflaten er avstanden fra $S$ til tangeringspunktet $A$ :

r = | S A | = | t | \cdot | \vec{n} | = | t | \cdot \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}} = | t | \sqrt{18}

som gir $r^{2} = 18 t^{2}$ . Kuleflaten med sentrum $S$ og radius $r$ er dermed gitt ved

{(x - (3 + t))}^{2} + {(y - (1 - 4 t))}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}

det vil si

{(x - 3 - t)}^{2} + {(y - 1 + 4 t)}^{2} + {(z - t)}^{2} = 18 t^{2}

Vi setter $P (4,1,1)$ inn i kuleflatens likning fra c).

{(4 - 3 - t)}^{2} + {(1 - 1 + 4 t)}^{2} + {(1 - t)}^{2} = 18 t^{2}

{(1 - t)}^{2} + {(4 t)}^{2} + {(1 - t)}^{2} = 18 t^{2}

2 {(1 - t)}^{2} + 16 t^{2} = 18 t^{2}

2 {(1 - t)}^{2} = 2 t^{2}

{(1 - t)}^{2} = t^{2}

Vi løser opp parentesen: $1 - 2 t + t^{2} = t^{2}$ , som gir $1 - 2 t = 0$ , altså $t = \frac{1}{2}$ .

Sentrum blir da

S = (3 + \frac{1}{2}, 1 - 4 \cdot \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{7}{2}, - 1, \frac{1}{2})

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Parameterframstilling, Vektorer
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$\sin (2 x) = 1$ , $x \in [0, 2 π]$

$\sin (π x) + \sqrt{3} \cos (π x) = 0$ , $x \in [0, 2]$

Fasit

$x = \frac{π}{4} \lor x = \frac{5 π}{4}$

$x = \frac{2}{3} \lor x = \frac{5}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser likningen

\sin (2 x) = 1, x \in [0, 2 π]

Siden $\sin (v) = 1$ når $v = \frac{π}{2} + 2 π n$ , får vi

2 x = \frac{π}{2} + 2 π n

x = \frac{π}{4} + π n, n \in ℤ

Vi setter inn verdier for $n$ og sjekker hvilke som gir $x \in [0, 2 π]$ :

$n = 0$ : $x = \frac{π}{4}$
$n = 1$ : $x = \frac{π}{4} + π = \frac{5 π}{4}$
$n = 2$ : $x = \frac{π}{4} + 2 π = \frac{9 π}{4}$ — utenfor intervallet

Løsningene i $[0, 2 π]$ er

x = \frac{π}{4} \lor x = \frac{5 π}{4}

Vi løser likningen

\sin (π x) + \sqrt{3} \cos (π x) = 0, x \in [0, 2]

Siden $\cos (π x) = 0$ ikke løser likningen (da måtte også $\sin (π x) = 0$ , noe som er umulig samtidig), kan vi dele begge sider på $\cos (π x)$ :

\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)} + \sqrt{3} = 0

\tan (π x) = - \sqrt{3}

Siden $\tan (v) = - \sqrt{3}$ når $v = - \frac{π}{3} + π n$ , får vi

π x = - \frac{π}{3} + π n

x = - \frac{1}{3} + n, n \in ℤ

Vi setter inn verdier for $n$ og sjekker hvilke som gir $x \in [0, 2]$ :

$n = 0$ : $x = - \frac{1}{3}$ — utenfor intervallet
$n = 1$ : $x = \frac{2}{3}$
$n = 2$ : $x = \frac{5}{3}$
$n = 3$ : $x = \frac{8}{3}$ — utenfor intervallet

Løsningene i $[0, 2]$ er

x = \frac{2}{3} \lor x = \frac{5}{3}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Retningsdiagram til differensiallikninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi tegnet retningsdiagrammene til differensiallikningene

$y^{'} = \frac{x}{y}$
$y^{'} = x \cdot y$
$y^{'} = 2 x$

Tre retningsdiagrammer A, B og C

Argumenter for hvilket av retningsdiagrammene som hører til hver av de tre differensiallikningene.

Fasit

Diagram A hører til $y^{'} = 2 x$ , diagram B hører til $y^{'} = x \cdot y$ , diagram C hører til $y^{'} = \frac{x}{y}$ .

A : y^{'} = 2 x B : y^{'} = x \cdot y C : y^{'} = \frac{x}{y}

LøsningsforslagKI-generert

Vi undersøker hvordan stigningstallet i hvert retningsdiagram avhenger av $x$ og $y$ , og sammenlikner med de tre likningene.

Diagram A hører til $y^{'} = 2 x$ .

For $y^{'} = 2 x$ avhenger stigningstallet kun av $x$ , ikke av $y$ . Det betyr at alle linjestykker langs en vertikal linje (fast $x$ ) skal ha samme helning, uansett hvor høyt eller lavt vi er. I diagram A ser vi nettopp dette: linjestykkene er vannrette langs $y$ -aksen (der $x = 0$ , så $y^{'} = 0$ ), og blir brattere jo lenger unna $y$ -aksen vi kommer, men helningen er den samme for alle $y$ -verdier ved en gitt $x$ .

Diagram B hører til $y^{'} = x \cdot y$ .

For $y^{'} = x \cdot y$ er stigningstallet $0$ når $y = 0$ (uansett hva $x$ er), siden $x \cdot 0 = 0$ . Langs $x$ -aksen skal derfor alle linjestykker være vannrette. Jo lenger unna $x$ -aksen (jo større $| y |$ ), desto brattere blir linjestykkene, siden $| x \cdot y |$ da øker. I diagram B ser vi at linjestykkene er tilnærmet vannrette nær $x$ -aksen og blir stadig brattere lenger unna, både oppover og nedover.

Diagram C hører til $y^{'} = \frac{x}{y}$ .

For $y^{'} = \frac{x}{y}$ er stigningstallet udefinert (og går mot uendelig) når $y \to 0$ , siden vi da deler på nesten null. Linjestykkene skal derfor være tilnærmet loddrette nær $x$ -aksen. Jo lenger unna $x$ -aksen (jo større $| y |$ ), desto slakere (mer vannrette) blir linjestykkene, siden $| \frac{x}{y} |$ da avtar. I diagram C ser vi nettopp dette mønsteret: bratte, nesten loddrette linjestykker nær $x$ -aksen, og flatere linjestykker langt fra $x$ -aksen.

Dermed er

A : y^{'} = 2 x B : y^{'} = x \cdot y C : y^{'} = \frac{x}{y}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Induksjonsbevis for summeformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P (n)$ er sann for alle $n \in ℕ$

P (n) : 3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + \dots + (3 n) (n + 3) = n (n + 1) (n + 5)

Bevis $P (n)$ ved matematisk induksjon.

Fasit

$P (n) er sann for alle n \in ℕ, bevist ved induksjon$

LøsningsforslagKI-generert

Leddene i summen på venstre side er på formen $3 k (k + 3)$ for $k = 1, 2, \dots, n$ , siden

3 \cdot 1 \cdot (1 + 3) = 3 \cdot 4, 3 \cdot 2 \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5, 3 \cdot 3 \cdot (3 + 3) = 9 \cdot 6, \dots

Vi skal altså vise

P (n) : \sum_{k = 1}^{n} 3 k (k + 3) = n (n + 1) (n + 5)

Steg 1: Basissteg

Vi sjekker $P (1)$ . Venstre side er $3 \cdot 1 \cdot 4 = 12$ . Høyre side er $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$ .

Siden venstre side er lik høyre side, er $P (1)$ sann.

Steg 2: Induksjonssteg

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3) = k (k + 1) (k + 5)

Vi skal vise at da er $P (k + 1)$ også sann, altså at

3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3) + 3 (k + 1) (k + 4) = (k + 1) (k + 2) (k + 6)

Vi tar utgangspunkt i venstre side av $P (k + 1)$ , og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene:

\underset{= k (k + 1) (k + 5)}{\underset{⏟}{3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3)}} + 3 (k + 1) (k + 4)

= k (k + 1) (k + 5) + 3 (k + 1) (k + 4)

Vi faktoriserer ut $(k + 1)$ :

= (k + 1) [k (k + 5) + 3 (k + 4)]

= (k + 1) [k^{2} + 5 k + 3 k + 12]

= (k + 1) [k^{2} + 8 k + 12]

Uttrykket i klammen faktoriseres videre, siden $2 \cdot 6 = 12$ og $2 + 6 = 8$ :

= (k + 1) (k + 2) (k + 6)

Dette er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ , siden $(k + 1) + 1 = k + 2$ og $(k + 1) + 5 = k + 6$ . Altså er $P (k + 1)$ sann når $P (k)$ er sann.

Steg 3: Konklusjon

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k)$ sann medfører $P (k + 1)$ sann, er

P (n) sann for alle n \in ℕ ved induksjonsprinsippet

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Differensiallikning for lekkende vanntank

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sylinderformet tank med vannhøyde y og lekkasjestråle

Vann lekker ut fra et hull i bunnen av en sylinderformet tank med en fart som til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden $y$ i tanken.

Sett opp en differensiallikning som svarer til opplysningene ovenfor.

Ved tiden $t = 0$ er vannhøyden 100 cm. Etter 2 timer er vannhøyden 81 cm.

Hvor lang tid vil det gå før tanken er tom?

Fasit

$y^{'} = - k \sqrt{y}, k > 0$

$t = 20 timer$

LøsningsforslagKI-generert

Farten vannet lekker ut med, er $- y^{'}$ (vannhøyden $y$ avtar, så $y^{'}$ er negativ). Denne farten er proporsjonal med $\sqrt{y}$ , altså

- y^{'} = k \sqrt{y}

for en positiv konstant $k$ . Differensiallikningen er dermed

y^{'} = - k \sqrt{y}, k > 0

Vi løser differensiallikningen fra a) ved separasjon av de variable. Siden $y > 0$ mens tanken har vann, kan vi dele på $\sqrt{y}$ :

\frac{1}{\sqrt{y}} d y = - k d t

Vi integrerer på begge sider:

\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int - k d t

2 \sqrt{y} = - k t + C

Bestemmer $C$ : Ved $t = 0$ er $y = 100$ , så

2 \sqrt{100} = C \Rightarrow C = 20

Dermed er

2 \sqrt{y} = - k t + 20

Bestemmer $k$ : Ved $t = 2$ er $y = 81$ , så

2 \sqrt{81} = - 2 k + 20

18 = - 2 k + 20

k = 1

Løsningen er dermed

2 \sqrt{y} = - t + 20

\sqrt{y} = 10 - \frac{t}{2}

y (t) = {(10 - \frac{t}{2})}^{2}

Finner når tanken er tom ( $y = 0$ ):

10 - \frac{t}{2} = 0

t = 20

Tanken er tom etter $t = 20 timer$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 2-1Tidevann modellert med sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.

Klokkeslett	03.00	06.00	09.00	12.00	15.00	18.00	21.00	23.00
Vannstand (cm)	102	26	10	81	109	43	20	57

Krever PC

Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon $g$ som er en god modell for vannstanden.

Funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 130 \sin (0,501 x - 0,532) + 148, x \in [0, 24 ⟩

er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø $x$ timer etter midnatt 14. august 2018.

Kalkulator

Bestem perioden til $f$ . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

For hånd

Gi en praktisk tolkning av tallene 148 og 130 i modellen $f$ .

Kalkulator

Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?

Fasit

$g (x) = 51,4 \sin (0,514 x + 0,621) + 60,3$

$T \approx 12,54 timer$ — tiden mellom to påfølgende høyvann

$148 cm$ = middelvannstand, $130 cm$ = amplitude (maksimalt avvik fra middelvannstanden)

$x \approx 2,45, 12,22 og 14,99$ , altså ca. kl. 02.27, kl. 12.13 og kl. 14.59

LøsningsforslagKI-generert

En sinusmodell har formen

g (x) = A \sin (b x + c) + d

der $A$ er amplituden (halve avstanden fra topp til bunn), $d$ er likevektslinjen (gjennomsnittet av topp- og bunnverdi), $b$ henger sammen med perioden ved $T = \frac{2 π}{b}$ , og $c$ er en faseforskyvning som bestemmes ut fra ett kjent punkt.

Fra tabellen ser vi at vannstanden er høyest ( $109 cm$ ) ved $x = 15$ og lavest ( $10 cm$ ) ved $x = 9$ . En grov manuell tilnærming gir da

A \approx \frac{109 - 10}{2} = 49,5 d \approx \frac{109 + 10}{2} = 59,5

Avstanden mellom et lavvann og det påfølgende høyvannet er en halv periode, så $\frac{T}{2} \approx 15 - 9 = 6$ , som gir $T \approx 12$ timer og $b = \frac{2 π}{T} \approx 0,52$ . Faseforskyvningen $c$ finnes til slutt ved å sette inn et kjent punkt, for eksempel $x = 15$ (toppunkt), i uttrykket og løse for $c$ .

Denne håndregningen gir en grov modell, men gir ikke den beste tilpasningen til alle åtte målepunktene samtidig. Vi bruker derfor GeoGebras sinusregresjon på punktene $(3,102)$ , $(6,26)$ , $(9,10)$ , $(12,81)$ , $(15,109)$ , $(18,43)$ , $(21,20)$ , $(23,57)$ , som gir

g (x) = 51,4 \sin (0,514 x + 0,621) + 60,3

Grafen under viser måledataene (rødt) sammen med regresjonskurven (blått).

Sinusregresjon på tidevannsdata

En sammenligning mellom målt og modellert vannstand:

$x$	3	6	9	12	15	18	21	23
Målt	102	26	10	81	109	43	20	57
$g (x)$	103	33	16	85	106	38	13	54

Avvikene er små, så $g$ er en god modell for vannstanden. Perioden til $g$ er

T = \frac{2 π}{0,514} \approx 12,2 timer

som stemmer godt med at tidevannet har to høyvann og to lavvann i løpet av et døgn.

Perioden til $f (x) = 130 \sin (0,501 x - 0,532) + 148$ er

T = \frac{2 π}{0,501} \approx 12,54 timer

Praktisk tolkning: $T$ er tiden det tar fra ett høyvann til det neste (eller fra ett lavvann til det neste) — altså tiden mellom to påfølgende tidevannstopper.

I modellen $f (x) = 130 \sin (0,501 x - 0,532) + 148$ er

$148$ likevektsnivået (middelvannstanden), altså den gjennomsnittlige vannstanden i cm over sjøkartnull som tidevannet svinger rundt.
$130$ amplituden, altså hvor mye vannstanden maksimalt avviker fra middelvannstanden i hver retning.

Det gir høyvann på $148 + 130 = 278 cm$ og lavvann på $148 - 130 = 18 cm$ over sjøkartnull.

Vannstanden øker med $50 cm$ per time når den deriverte er lik $50$ :

f^{'} (x) = 130 \cdot 0,501 \cdot \cos (0,501 x - 0,532) = 65,13 \cos (0,501 x - 0,532)

Vi løser $f^{'} (x) = 50$ :

\cos (0,501 x - 0,532) = \frac{50}{65,13} \approx 0,7677

Løses numerisk i GeoGebra for $x \in [0,24 ⟩$ (se Roots(f'(x)-50, a, b) i CAS/graf), som gir tre løsninger:

x \approx 2,45 x \approx 12,22 x \approx 14,99

Omregnet til klokkeslett (desimaldelen av timen ganges med 60 minutter):

$x \approx 2,45 \Rightarrow$ ca. kl. $02.27$
$x \approx 12,22 \Rightarrow$ ca. kl. $12.13$
$x \approx 14,99 \Rightarrow$ ca. kl. $14.59$

Vannstanden øker altså med $50 cm$ per time ved disse tre tidspunktene 14. august 2018.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Kuleflate og plan med avstandsformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $P (2, 4, - 3)$ og $Q (0, 0, 1)$ ligger på en kuleflate $K$ slik at $P Q$ er en diameter til kuleflaten.

Kalkulator

Vis at kuleflaten $K$ er gitt ved likningen

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 9

Planet $α$ er gitt ved

α : x - y + z = 7

Kalkulator

Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $α$ .

Et plan $β$ er gitt ved likningen

β : 2 x + y + t (z - 3) = - 1

Kalkulator

Vis at avstanden mellom sentrum i kuleflaten $K$ og planet $β$ er gitt ved

d (t) = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}}

Kalkulator

Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $β$ tangerer kuleflaten $K$ .

Fasit

$Sentrum (1, 2, - 1), r = 3$

$3 \sqrt{3} - 3$

$d (t) = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}}$

$t = \frac{20 \pm 6 \sqrt{15}}{7}$

LøsningsforslagKI-generert

Sentrum $S$ i kuleflaten er midtpunktet på diameteren $P Q$ :

S = (\frac{2 + 0}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{- 3 + 1}{2}) = (1, 2, - 1)

Radien er halve lengden av $P Q$ :

\vec{P Q} = (0 - 2, 0 - 4, 1 - (- 3)) = (- 2, - 4, 4)

| \vec{P Q} | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6

r = \frac{| \vec{P Q} |}{2} = \frac{6}{2} = 3

Setter sentrum og radius inn i standardformen for kuleflaten ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = r^{2}$ :

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 1)}^{2} = 3^{2} = 9 ■

Planet $α : x - y + z = 7$ har normalvektor $\vec{n} = (1, - 1, 1)$ . Avstanden fra sentrum $S (1, 2, - 1)$ til planet er

d = \frac{| 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 1) - 7 |}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{| 1 - 2 - 1 - 7 |}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3 \sqrt{3}

Siden $d = 3 \sqrt{3} \approx 5,20 > r = 3$ , skjærer ikke planet kuleflaten. Den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $α$ er da avstanden fra sentrum til planet minus radien:

d_{\min} = 3 \sqrt{3} - 3

d_{\min} = 3 \sqrt{3} - 3 l . e .

Vi skriver om likningen for $β$ på normalform $A x + B y + C z + D = 0$ :

β : 2 x + y + t (z - 3) = - 1 ⟹ 2 x + y + t z - 3 t + 1 = 0

Normalvektoren til $β$ er $\vec{n} = (2, 1, t)$ . Setter inn sentrum $S (1, 2, - 1)$ i avstandsformelen:

d (t) = \frac{| 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + t \cdot (- 1) - 3 t + 1 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + t^{2}}} = \frac{| 2 + 2 - t - 3 t + 1 |}{\sqrt{5 + t^{2}}} = \frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}} ■

Planet $β$ tangerer kuleflaten $K$ når avstanden fra sentrum til planet er lik radien, altså $d (t) = 3$ :

\frac{| 5 - 4 t |}{\sqrt{5 + t^{2}}} = 3

Kvadrerer begge sider for å bli kvitt absoluttverdi og rot:

{(5 - 4 t)}^{2} = 9 (5 + t^{2})

25 - 40 t + 16 t^{2} = 45 + 9 t^{2}

7 t^{2} - 40 t - 20 = 0

Løser andregradslikningen med abc-formelen:

t = \frac{40 \pm \sqrt{{(- 40)}^{2} - 4 \cdot 7 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 7} = \frac{40 \pm \sqrt{1600 + 560}}{14} = \frac{40 \pm \sqrt{2160}}{14} = \frac{40 \pm 12 \sqrt{15}}{14}

t = \frac{20 \pm 6 \sqrt{15}}{7}

Løsningen er verifisert i GeoGebra CAS:

Verifisering av løsning t i CAS

t = \frac{20 + 6 \sqrt{15}}{7} eller t = \frac{20 - 6 \sqrt{15}}{7}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

Graf til f med rektangler som illustrerer integralbegrensning

For hånd

Bruk figuren nedenfor til å forklare at

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} \leq 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x, k \in ℕ

Vi skal nå se på den uendelige rekken

S = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \dots

For hånd

Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at $S < 2$ .

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for $S$ .

Fasit

Se løsningsforslag

$S < 2$

$S = \frac{π^{2}}{6}$

LøsningsforslagKI-generert

På figuren er grafen til $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ tegnet sammen med rektangler. Det $blå$ rektanglet på intervallet $[n - 1, n]$ har bredde $1$ og høyde $\frac{1}{n^{2}}$ , altså areal $\frac{1}{n^{2}}$ .

Siden $f$ er avtakende, er $f (n) \leq f (x)$ for alle $x \in [n - 1, n]$ . Det betyr at høyden $\frac{1}{n^{2}} = f (n)$ er mindre enn eller lik $f (x)$ på hele intervallet, så rektanglet ligger under grafen til $f$ der. Arealet av rektanglet er derfor mindre enn eller lik arealet under grafen på samme intervall:

\frac{1}{n^{2}} \leq \int_{n - 1}^{n} \frac{1}{x^{2}} d x

Summerer vi dette for $n = 2, 3, \dots, k$ , ligger alle de blå rektanglene under grafen på intervallet $[1, k]$ , og summen av arealene deres er derfor mindre enn eller lik hele arealet under grafen på $[1, k]$ :

\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} \leq \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x

Det $røde$ rektanglet på $[0, 1]$ har høyde $1$ og areal $\frac{1}{1^{2}} = 1$ , og kommer i tillegg. Legger vi til dette leddet på begge sider, får vi

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} \leq 1 + \int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x, k \in ℕ

som er det vi skulle forklare.

Vi regner ut integralet fra a):

\int_{1}^{k} \frac{1}{x^{2}} d x = {[- \frac{1}{x}]}_{1}^{k} = - \frac{1}{k} - (- \frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{k}

Siden $k \geq 1$ , er $\frac{1}{k} > 0$ , så $1 - \frac{1}{k} < 1$ for alle $k$ . Fra a) har vi dermed

\frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{k^{2}} \leq 1 + (1 - \frac{1}{k}) < 1 + 1 = 2

for alle $k \in ℕ$ . Altså er alle delsummene i rekka mindre enn $2$ .

Leddene i rekka $S = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ er alle positive, så delsummene er en voksende følge. Siden denne voksende følgen samtidig er begrenset oppad av $2$ , må den konvergere mot en grenseverdi som er mindre enn eller lik $2$ . Dermed konvergerer rekka, og

S < 2

Vi bruker CAS til å beregne den uendelige summen direkte.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}

CAS-beregning av uendelig sum

CAS gir $\frac{1}{6} π^{2}$ , altså

S = \frac{π^{2}}{6} \approx 1,6449

Dette stemmer med at $S < 2$ , slik vi begrunnet i b).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Uendelig rekke, Konvergens, Bestemt integral, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel har sentrum i $(0, 5)$ og radius 2. Vi roterer denne sirkelen $360 °$ om $x$ -aksen. Da får vi et omdreiingslegeme som vist på figuren.

Sirkel med sentrum (0,5) og radius 2, og det tilhørende omdreiingslegemet (torus)

For hånd

Forklar at grafene til $f$ og $g$ sammen danner sirkelen når $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = 5 + \sqrt{4 - x^{2}}

g (x) = 5 - \sqrt{4 - x^{2}}

For hånd

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av omdreiingslegemet.

En annen sirkel har sentrum i $(2, 7)$ og radius 3. Vi roterer også denne sirkelen $360 °$ om $x$ -aksen.

For hånd

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av dette omdreiingslegemet.

Fasit

Grafene til $f$ og $g$ satt sammen danner hele sirkelen.

$V = 40 π^{2} \approx 394,8$

$V = 126 π^{2} \approx 1243,6$

LøsningsforslagKI-generert

Sirkellikningen er

x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 4.

Vi løser med hensyn på $y$ :

{(y - 5)}^{2} = 4 - x^{2}

y - 5 = \pm \sqrt{4 - x^{2}}

y = 5 \pm \sqrt{4 - x^{2}} .

Løsningen med $+$ gir den øvre halvsirkelen $f (x) = 5 + \sqrt{4 - x^{2}}$ , mens løsningen med $-$ gir den nedre halvsirkelen $g (x) = 5 - \sqrt{4 - x^{2}}$ . Begge er definert for $x \in [- 2, 2]$ , siden uttrykket under rottegnet må være ikke-negativt. Til sammen dekker $f$ og $g$ alle punktene som tilfredsstiller sirkellikningen, altså danner grafene til $f$ og $g$ sammen hele sirkelen.

Når sirkelen roteres $360 °$ om $x$ -aksen, dannes en torus (smultringform). Siden hele sirkelen ligger over $x$ -aksen (sentrum i $y = 5$ , radius $2$ ), er omdreiingslegemet volumet mellom omdreiingsflatene til $f$ (ytre flate) og $g$ (indre flate):

V = π \int_{- 2}^{2} (f {(x)}^{2} - g {(x)}^{2}) d x .

Vi setter inn og forenkler integranden:

f (x)^{2} - g (x)^{2} = (f (x) - g (x)) (f (x) + g (x)) = 2 \sqrt{4 - x^{2}} \cdot 10 = 20 \sqrt{4 - x^{2}} .

Dermed er

V = π \int_{- 2}^{2} 20 \sqrt{4 - x^{2}} d x .

CAS gir (se utklipp under, linje 1):

V = 40 π^{2} \approx 394,8.

CAS-beregning av volum for oppgave b og c

Dette kan kontrolleres med Pappus’ regel, der volumet av et omdreiingslegeme dannet ved å rotere et areal $A$ om en akse i planet er $V = 2 π \overline{y} \cdot A$ , der $\overline{y}$ er avstanden fra aksen til arealets tyngdepunkt. Her er $A$ arealet av sirkelen ( $π \cdot 2^{2}$ ) og $\overline{y} = 5$ (avstanden fra $x$ -aksen til sirkelens sentrum):

V = 2 π \cdot 5 \cdot π \cdot 2^{2} = 40 π^{2} . ✓

Den nye sirkelen har sentrum $(2, 7)$ og radius $3$ , med likning ${(x - 2)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 9$ . På samme måte som i a) løser vi med hensyn på $y$ og får

f (x) = 7 + \sqrt{9 - {(x - 2)}^{2}}, g (x) = 7 - \sqrt{9 - {(x - 2)}^{2}}, x \in [- 1, 5] .

Volumet av omdreiingslegemet blir

V = π \int_{- 1}^{5} (f {(x)}^{2} - g {(x)}^{2}) d x = π \int_{- 1}^{5} 28 \sqrt{9 - {(x - 2)}^{2}} d x,

siden $f (x)^{2} - g (x)^{2} = (f (x) - g (x)) (f (x) + g (x)) = 2 \sqrt{9 - (x - 2)^{2}} \cdot 14 = 28 \sqrt{9 - (x - 2)^{2}}$ .

CAS gir (se utklipp over, linje 2):

V = 126 π^{2} \approx 1243,6.

Kontroll med Pappus’ regel, der $A = π \cdot 3^{2}$ er sirkelens areal og $\overline{y} = 7$ er avstanden fra $x$ -aksen til sentrum:

V = 2 π \cdot 7 \cdot π \cdot 3^{2} = 126 π^{2} . ✓

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiningslegeme, Integrasjon, Bestemt integral
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Kule tangerer plan med parameterframstilling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-7Retningsdiagram til differensiallikninger

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-8Induksjonsbevis for summeformel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-9Differensiallikning for lekkende vanntank

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1Tidevann modellert med sinusfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Kuleflate og plan med avstandsformel

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1-2·Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Oppgave 1-3·Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Oppgave 1-4·Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Oppgave 1-5·Kule tangerer plan med parameterframstilling

Oppgave 1-6·Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Oppgave 1-7·Retningsdiagram til differensiallikninger

Oppgave 1-8·Induksjonsbevis for summeformel

Oppgave 1-9·Differensiallikning for lekkende vanntank

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Tidevann modellert med sinusfunksjon

Oppgave 2-2·Kuleflate og plan med avstandsformel

Oppgave 2-3·Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Oppgave 2-4·Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1-2Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Oppgave 1-3Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Oppgave 1-4Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Oppgave 1-5Kule tangerer plan med parameterframstilling

Oppgave 1-6Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Oppgave 1-7Retningsdiagram til differensiallikninger

Oppgave 1-8Induksjonsbevis for summeformel

Oppgave 1-9Differensiallikning for lekkende vanntank

Oppgave 2-1Tidevann modellert med sinusfunksjon

Oppgave 2-2Kuleflate og plan med avstandsformel

Oppgave 2-3Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Oppgave 2-4Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen