R2 Vår 2019

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Vår 2019 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 3 timer uten hjelpemidler · 9 oppgaver · 36 poeng
1	Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner	—
2	Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk	—
3	Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke	—
4	Areal under kurve som brøk av rektangelareal	—
5	Kule tangerer plan med parameterframstilling	—
6	Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum	—
7	Retningsdiagram til differensiallikninger	—
8	Induksjonsbevis for summeformel	—
9	Differensiallikning for lekkende vanntank	—
Del 2 2 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 24 poeng
1	Tidevann modellert med sinusfunksjon	—
2	Kuleflate og plan med avstandsformel	—
3	Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning	—
4	Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = 3\sin(4x + 1) + x

g(x) = 4\sin x \cdot \cos x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Trigonometri

Oppgave 1-2 : Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (x^4 - x^2)\, \mathrm{d}x

\int 4x \cdot e^{-x^2}\, \mathrm{d}x

\int \frac{4}{x^2 - 2x - 3}\, \mathrm{d}x

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Integrasjon, Substitusjon

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk formelen for summen av en aritmetisk rekke til å regne ut

1 + 5 + 9 + \cdots + 157

En geometrisk rekke er gitt ved $a_3 = 1$ og $a_6 = \dfrac{1}{27}$ .

Avgjør om den uendelige rekken $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ konvergerer. Bestem eventuelt summen av rekken.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens

Oppgave 1-4 : Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = a^2 - x^2 \text{, der } a > 0

Rektangelet $ABCD$ er gitt ved at

$A$ er origo
$B$ er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og $x$ -aksen
$D$ er toppunktet på grafen til $f$

Rektangel ABCD med kurven til f og fargelagt område

Vis at arealet av det fargelagte området utgjør $\dfrac{2}{3}$ av rektangelets areal.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Bestemt integral, Areal, Bevis

Oppgave 1-5 : Kule tangerer plan med parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(3, 1, 0)$ , $B(3, 2, 4)$ og $C(-1, 1, 4)$ .

Vis at punktene ligger i planet $\alpha$ gitt ved

\alpha \colon\; x - 4y + z + 1 = 0

En linje $\ell$ står normalt på $\alpha$ og går gjennom $A$ .

Bestem en parameterframstilling for $\ell$ .

En kuleflate tangerer $\alpha$ i $A$ .

Forklar at kuleflaten er gitt ved likningen

(x - 3 - t)^2 + (y - 1 + 4t)^2 + (z - t)^2 = 18t^2 \text{, for en } t \in \mathbb{R}

Punktet $P(4, 1, 1)$ ligger på kuleflaten.

Bestem sentrum til kuleflaten.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Parameterframstilling, Vektorer

Oppgave 1-6 : Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

$\sin(2x) = 1$ , $\quad x \in [0, 2\pi]$

$\sin(\pi x) + \sqrt{3}\cos(\pi x) = 0$ , $\quad x \in [0, 2]$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Trigonometri, Likninger

Oppgave 1-7 : Retningsdiagram til differensiallikninger

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor har vi tegnet retningsdiagrammene til differensiallikningene

$y' = \dfrac{x}{y}$
$y' = x \cdot y$
$y' = 2x$

Tre retningsdiagrammer A, B og C

Argumenter for hvilket av retningsdiagrammene som hører til hver av de tre differensiallikningene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Differensiallikning

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for summeformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P(n)$ er sann for alle $n \in \mathbb{N}$

P(n)\colon\quad 3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + \cdots + (3n)(n + 3) = n(n+1)(n+5)

Bevis $P(n)$ ved matematisk induksjon.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Oppgave 1-9 : Differensiallikning for lekkende vanntank

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sylinderformet tank med vannhøyde y og lekkasjestråle

Vann lekker ut fra et hull i bunnen av en sylinderformet tank med en fart som til enhver tid er proporsjonal med kvadratroten av vannhøyden $y$ i tanken.

Sett opp en differensiallikning som svarer til opplysningene ovenfor.

Ved tiden $t = 0$ er vannhøyden 100 cm. Etter 2 timer er vannhøyden 81 cm.

Hvor lang tid vil det gå før tanken er tom?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Differensiallikning, Modellering

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Tidevann modellert med sinusfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull.

Klokkeslett	03.00	06.00	09.00	12.00	15.00	18.00	21.00	23.00
Vannstand (cm)	102	26	10	81	109	43	20	57

Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon $g$ som er en god modell for vannstanden.

Funksjonen $f$ gitt ved

f(x) = 130\sin(0{,}501x - 0{,}532) + 148, \quad x \in [0, 24\rangle

er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø $x$ timer etter midnatt 14. august 2018.

Bestem perioden til $f$ . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Gi en praktisk tolkning av tallene 148 og 130 i modellen $f$ .

Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Trigonometri, Modellering, Funksjonsdrøfting

Oppgave 2-2 : Kuleflate og plan med avstandsformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $P(2, 4, -3)$ og $Q(0, 0, 1)$ ligger på en kuleflate $K$ slik at $PQ$ er en diameter til kuleflaten.

Vis at kuleflaten $K$ er gitt ved likningen

(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9

Planet $\alpha$ er gitt ved

\alpha \colon\; x - y + z = 7

Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten $K$ og planet $\alpha$ .

Et plan $\beta$ er gitt ved likningen

\beta \colon\; 2x + y + t(z - 3) = -1

Vis at avstanden mellom sentrum i kuleflaten $K$ og planet $\beta$ er gitt ved

d(t) = \frac{|5 - 4t|}{\sqrt{5 + t^2}}

Bestem eksakte verdier for $t$ slik at planet $\beta$ tangerer kuleflaten $K$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan, Vektorer

Oppgave 2-3 : Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{1}{x^2}

Graf til f med rektangler som illustrerer integralbegrensning

Bruk figuren nedenfor til å forklare at

\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{k^2} \leq 1 + \int_1^k \frac{1}{x^2}\, \mathrm{d}x \text{, } \quad k \in \mathbb{N}

Vi skal nå se på den uendelige rekken

S = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots

Bruk resultatet fra oppgave a) til å begrunne at $S < 2$ .

Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for $S$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Uendelig rekke, Konvergens, Bestemt integral, Rekker

Oppgave 2-4 : Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel har sentrum i $(0, 5)$ og radius 2. Vi roterer denne sirkelen $360°$ om $x$ -aksen. Da får vi et omdreiingslegeme som vist på figuren.

Sirkel med sentrum (0,5) og radius 2, og det tilhørende omdreiingslegemet (torus)

Forklar at grafene til $f$ og $g$ sammen danner sirkelen når $f$ og $g$ er gitt ved

f(x) = 5 + \sqrt{4 - x^2}

g(x) = 5 - \sqrt{4 - x^2}

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av omdreiingslegemet.

En annen sirkel har sentrum i $(2, 7)$ og radius 3. Vi roterer også denne sirkelen $360°$ om $x$ -aksen.

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av dette omdreiingslegemet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Omdreiingslegeme, Integrasjon, Bestemt integral

Sync på tvers av enheter

R2 Vår 2019

Del 1 — uten hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av sammensatt og produkt av trigonometriske funksjoner

Oppgave 1-2 : Ubestemte integraler med substitusjon og partialbrøk

Oppgave 1-3 : Aritmetisk rekkesum og konvergens av geometrisk rekke

Oppgave 1-4 : Areal under kurve som brøk av rektangelareal

Oppgave 1-5 : Kule tangerer plan med parameterframstilling

Oppgave 1-6 : Trigonometriske likninger med dobbeltvinkel og sum

Oppgave 1-7 : Retningsdiagram til differensiallikninger

Oppgave 1-8 : Induksjonsbevis for summeformel

Oppgave 1-9 : Differensiallikning for lekkende vanntank

Del 2 — med hjelpemidler · 2 timer · 4 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Tidevann modellert med sinusfunksjon

Oppgave 2-2 : Kuleflate og plan med avstandsformel

Oppgave 2-3 : Konvergens av uendelig rekke med integralbegrensning

Oppgave 2-4 : Omdreiingslegeme av sirkel rotert om x-aksen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave