R2 Høst 2009

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2009 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 2 oppgaver
1	Derivasjon, differensiallikninger og rekker	—
2	Vektorer og plan i rommet med tre punkter	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver
3	Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning	—
4	Periodisk cosinusfunksjon og areal over linje	—
4	Omdreiningsvolum om variabel akse	—
5	Ball i fritt fall med luftmotstand	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, differensiallikninger og rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen $f(x) = x^2 \cdot \sin x$

Forklar hva det betyr at en vinkel er målt i radianer. Hvilken sammenheng er det mellom radianer og grader?

Løs differensiallikningen $y' + 2y = 3x$ når $y(0) = 3$

Vi har polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$

Vis at $f(x)$ er delelig med $(x-1)$ og faktoriser $f(x)$ .

Vis at $\dfrac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - x^2 - 4x + 4}$ kan skrives $\dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x-2}$

Bestem integralet

\int \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 - x^2 - 4x + 4} \, \mathrm{d}x

I en rekke er $a_1 = x - 1$ , $a_2 = 2x$ og $a_3 = 4x + 8$ . Bestem $x$ slik at rekken blir geometrisk.

Summen av de $n$ første leddene i en generell geometrisk rekke er

S_n = \frac{a_1 \left(k^n - 1\right)}{k - 1}

Bevis denne formelen ved induksjon.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Differensiallikning, Rekker, Geometrisk rekke, Integrasjon, Bevis, Induksjon, Polynomdivisjon

Oppgave 1-2 : Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt punktene $A(1, 1, 1)$ , $B(3, 2, 3)$ og $C(2, 7, 5)$ .

Finn $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $\alpha$ .

Finn likningen til planet $\alpha$ . Undersøk om punktet $D(2, 2, 3)$ ligger i planet $\alpha$ .

Bestem en parameterframstilling for en linje $l$ som går gjennom punktet $D$ , og som står vinkelrett på planet $\alpha$ . Finn skjæringspunktet $S$ mellom $l$ og $\alpha$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Vektorer, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har en rettvinklet trekant med kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$ . Høyden ned på hypotenusen kalles $h$ . Se figuren til høyre.

Rettvinklet trekant med høyde h ned på hypotenusen

Forklar at $a \cdot b = c \cdot h$

Bruk Pytagoras’ setning og vis at

\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{h^2}

Vi vil nå studere tetraederet $OABC$ . Hjørnet $O$ er plassert i origo, $A(a, 0, 0)$ på $x$ -aksen, $B(0, b, 0)$ på $y$ -aksen og $C(0, 0, c)$ på $z$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Tetraeder OABC med hjørner på aksene

Finn $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ uttrykt ved $a$ , $b$ og $c$ . Finn arealet av trekanten $ABC$ .

En arealsetning som er oppkalt etter Pytagoras, sier at

F_{\triangle ABC}^2 = F_{\triangle OAC}^2 + F_{\triangle OBC}^2 + F_{\triangle OAB}^2

Her betyr $F_{\triangle ABC}$ arealet av trekanten $ABC$ . Tilsvarende gjelder for leddene på høyre side.

Kontroller at arealsetningen er riktig.

Avstanden fra $O$ til $\triangle ABC$ kalles $h$ . Forklar at vi kan skrive

F_{\triangle ABC} = \frac{a \cdot b \cdot c}{2h}

Bruk c) og d) til å vise at

\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{h^2}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Romgeometri, Vektorer, Bevis, Argumentasjon, Geometri

Oppgave 2-4 : Periodisk cosinusfunksjon og areal over linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Vi vil studere en periodisk funksjon $f$ gitt på formen

f(x) = a\cos(cx - \varphi) + d \quad \text{når} \quad x \in \langle 0, 12 \rangle

Her er $a$ , $c$ , $d$ og $\varphi$ konstanter.

Det oppgis at grafen til $f$ har toppunkt i $(1, 6)$ , og at det nærmeste bunnpunktet er $(3, -1)$ .

Forklar at grafen til $f$ må ha toppunkt også i $(5, 6)$ . Skriv koordinatene til ett toppunkt og to bunnpunkter til. Bestem funksjonsuttrykket til $f$ .

Hvor avtar funksjonen raskest?

Finn nullpunktene til funksjonen ved regning.

Tegn grafen til $f$ . Finn det samlede arealet av flatestykkene som er avgrenset av grafen til $f$ og linjen $y = 5$ , og som ligger på oversiden av linjen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Bestemt integral, Integrasjon

Oppgave 2-4 : Omdreiningsvolum om variabel akse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

Vi har funksjonen

f(x) = x^{\frac{1}{2}}, \quad D_f = \left[0, 9\right]

Bestem volumet av det omdreiningslegemet vi får dersom grafen til $f$ dreies $360^\circ$ om $x$ -aksen.

En linje $l$ er gitt ved likningen $y = k$ , der $k$ er en konstant $k \in \left[0, 3\right]$ .

Forklar at volumet av det omdreiningslegemet vi får når grafen til $f$ dreies $360^\circ$ om linjen $l$ , er gitt ved

V(k) = \pi \int_0^9 \left(x^{\frac{1}{2}} - k\right)^2 \, \mathrm{d}x

Finn $V(k)$ .

Bestem hvilken verdi for $k$ som gir det minste volumet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Temaer: Omdreiningslegeme, Bestemt integral, Integrasjon, Optimering

Oppgave 2-5 : Ball i fritt fall med luftmotstand

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En ball med masse $m = 2 \mathrm{~kg}$ slippes fra en høyde $h = 30 \mathrm{~m}$ . Vi antar at luftmotstanden er proporsjonal med farten $v$ . Fra tidligere forsøk vet vi at den maksimale farten denne ballen kan oppnå når den faller, er $40 \mathrm{~m/s}$ . Vi lar tyngdeakselerasjonen være $10 \mathrm{~m/s^2}$ .

I denne oppgaven vil vi regne uten benevning.

Bruker vi opplysningene ovenfor sammen med Newtons 2. lov, får vi at farten $v$ må tilfredsstille differensiallikningen

v' + \frac{1}{4}v = 10

der $v = v(t)$ er farten etter $t$ sekunder.

Forklar at $v(0) = 0$ og løs differensiallikningen.

Etter $t$ sekunder har ballen falt strekningen $s$ gitt ved $s'(t) = v(t)$ .

Finn et uttrykk for $s(t)$ .

Hvor lang tid tar det før ballen treffer bakken? Hva er farten da?

I stedet for å slippe ballen kaster vi den vertikalt nedover med startfarten $v_0$ .

Hva må $v_0$ være for at ballen skal bruke 2 sekunder før den treffer bakken?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Integrasjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2009

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, differensiallikninger og rekker

Oppgave 1-2 : Vektorer og plan i rommet med tre punkter

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver

Oppgave 2-3 : Rettvinklet trekant og tetraeder med arealsetning

Oppgave 2-4 : Periodisk cosinusfunksjon og areal over linje

Oppgave 2-4 : Omdreiningsvolum om variabel akse

Oppgave 2-5 : Ball i fritt fall med luftmotstand

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave