R1 Vår 2012

Oppgave 1-1Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene gitt ved

f (x) = 5 x^{3} + x - 4

g (x) = 5 e^{3 x}

Skriv så enkelt som mulig

2 \ln (\frac{a^{2}}{b}) + \ln (a b) - 3 \ln a

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{3} - 3 x$

Bestem nullpunktene til $f$ .

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter til grafen til $f$ .

Tegn grafen til $f$ .

Polynomet $P (x) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ er gitt. Heltallige løsninger av likningen $P (x) = 0$ går opp i konstantleddet.

Bruk dette til å finne en løsning av $P (x) = 0$ og polynomdivisjon til å finne de andre løsningene.

Posisjonsvektoren til en ball er gitt ved $\vec{r} (t) = [3,0 t, - 4,9 t^{2}]$

Bestem fartsvektoren og akselerasjonsvektoren.

Fasit

$f^{'} (x) = 15 x^{2} + 1$ og $g^{'} (x) = 15 e^{3 x}$

$\ln (\frac{a^{2}}{b})$

Nullpunkter $x = - \sqrt{3}, 0, \sqrt{3}$ . Toppunkt $(- 1,2)$ , bunnpunkt $(1, - 2)$ .

$x = - 1, x = 1, x = 3$

$\vec{v} (t) = [3,0, - 9,8 t] m / s$ , $\vec{a} (t) = [0, - 9,8] m / s^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$ .

f (x) = 5 x^{3} + x - 4 \Rightarrow f^{'} (x) = 15 x^{2} + 1

For $g$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $u = 3 x$ , der $u^{'} = 3$ .

g (x) = 5 e^{3 x} \Rightarrow g^{'} (x) = 5 \cdot 3 \cdot e^{3 x} = 15 e^{3 x}

Vi bruker logaritmereglene $n \ln a = \ln (a^{n})$ , $\ln a + \ln b = \ln (a b)$ og $\ln a - \ln b = \ln (\frac{a}{b})$ .

2 \ln (\frac{a^{2}}{b}) + \ln (a b) - 3 \ln a = \ln (\frac{a^{4}}{b^{2}}) + \ln (a b) - \ln (a^{3})

Vi slår sammen leddene ett om gangen:

= \ln (\frac{a^{4}}{b^{2}} \cdot a b) - \ln (a^{3}) = \ln (\frac{a^{5}}{b}) - \ln (a^{3}) = \ln (\frac{a^{5}}{a^{3} \cdot b}) = \ln (\frac{a^{2}}{b})

1) Nullpunkter

f (x) = x^{3} - 3 x = x (x^{2} - 3) = 0

Dette gir $x = 0$ eller $x^{2} = 3$ , altså

x = 0, x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}

2) Topp- og bunnpunkt

Vi deriverer og finner nullpunktene til $f^{'}$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = - 1 \lor x = 1

Fortegnsskjema for $f^{'}$ : $f^{'} (x) > 0$ for $x < - 1$ , $f^{'} (x) < 0$ for $- 1 < x < 1$ og $f^{'} (x) > 0$ for $x > 1$ .

Siden $f^{'}$ går fra positiv til negativ i $x = - 1$ , er dette et toppunkt:

f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot (- 1) = - 1 + 3 = 2 \Rightarrow Toppunkt (- 1, 2)

Siden $f^{'}$ går fra negativ til positiv i $x = 1$ , er dette et bunnpunkt:

f (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = - 2 \Rightarrow Bunnpunkt (1, - 2)

3) Skisse

Grafen til $f$ er en kubikkfunksjon som kommer fra $- \infty$ , stiger til toppunktet $(- 1,2)$ , synker til bunnpunktet $(1, - 2)$ , og stiger deretter mot $\infty$ . Den krysser $x$ -aksen i $x = - \sqrt{3} \approx - 1,7$ , $x = 0$ og $x = \sqrt{3} \approx 1,7$ .

Vi prøver $x = 1$ , som er en faktor i konstantleddet $3$ :

P (1) = 1^{3} - 3 \cdot 1^{2} - 1 + 3 = 1 - 3 - 1 + 3 = 0

Dermed er $x = 1$ en løsning, og $(x - 1)$ er en faktor i $P (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon:

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 3

Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)

Dermed er $P (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 1)$ , og løsningene av $P (x) = 0$ er

x = 1, x = 3, x = - 1

Fartsvektoren finner vi ved å derivere posisjonsvektoren komponentvis:

\vec{v} (t) = \vec{r}^{'} (t) = [3,0, - 9,8 t] m / s

Akselerasjonsvektoren finner vi ved å derivere fartsvektoren komponentvis:

\vec{a} (t) = \vec{v}^{'} (t) = [0, - 9,8] m / s^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 12 poeng

Det er flere ulike varianter av riktig svar. Alle godkjennes.

Grafisk løsning gir full uttelling.

Løsninger uten polynomdivisjon må gi noe uttelling. Løsninger som kun har faktorisering uten konklusjon, gir ikke full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 12
Temaer: Derivasjon, Logaritmer, Polynomdivisjon, Vektorer
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen for en rett linje er på formen $y = a x + b$

Forklar at $[1, a]$ er en retningsvektor for linjen.

To rette linjer med stigningstall $a_{1}$ og $a_{2}$ står vinkelrett på hverandre. Vis at da er

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Bestem likningen for en rett linje som står vinkelrett på $y = 2 x - 1$ og som skjærer $y$ -aksen i $y = 5$ .

Tegn de to linjene fra c) inn i samme koordinatsystem.

Fasit

Forklaring, se løsningsforslag.

Vist ved vektorregning, se løsningsforslag.

$y = - \frac{1}{2} x + 5$

Skisse, se løsningsforslag.

LøsningsforslagKI-generert

To vilkårlige punkter på linjen $y = a x + b$ er $P_{1} = (0, b)$ og $P_{2} = (1, a + b)$ , siden begge oppfyller likningen. Vektoren fra $P_{1}$ til $P_{2}$ er

\vec{P_{1} P_{2}} = [1 - 0, (a + b) - b] = [1, a]

Denne vektoren går mellom to punkter på linjen, og er derfor parallell med linjen. Dermed er $[1, a]$ en retningsvektor for linjen.

Fra a) har linjer med stigningstall $a_{1}$ og $a_{2}$ retningsvektorene

\vec{v_{1}} = [1, a_{1}], \vec{v_{2}} = [1, a_{2}]

To linjer står vinkelrett på hverandre nøyaktig når retningsvektorene deres står vinkelrett på hverandre, altså når skalarproduktet er null:

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 1 \cdot 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Linjen $y = 2 x - 1$ har stigningstall $a_{1} = 2$ . En linje vinkelrett på denne har stigningstall $a_{2}$ som oppfyller $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ fra b):

2 \cdot a_{2} = - 1 \Rightarrow a_{2} = - \frac{1}{2}

Linjen skjærer $y$ -aksen i $y = 5$ , så konstantleddet er $b = 5$ . Likningen for linjen blir

y = - \frac{1}{2} x + 5

Vi tegner de to linjene i samme koordinatsystem. Linjen $y = 2 x - 1$ skjærer $y$ -aksen i $(0, - 1)$ og har stigningstall $2$ . Linjen $y = - \frac{1}{2} x + 5$ skjærer $y$ -aksen i $(0, 5)$ og har stigningstall $- \frac{1}{2}$ . De to linjene krysser hverandre i rett vinkel, i samsvar med resultatet fra b).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x)=1/x med tangent i punktet (a, f(a)) og akseskjæringspunktene A og B

Skissen ovenfor viser grafen til funksjonen $f (x) = \frac{1}{x}$ og en tangent i punktet $(a, f (a))$ .

Vis at likningen for tangenten er

y = - \frac{1}{a^{2}} \cdot x + \frac{2}{a}

Tangenten skjærer koordinataksene i $A$ og $B$ .

Bestem koordinatene til $A$ og $B$ .

Bestem arealet av $△ O A B$ . Kommenter svaret.

Fasit

$y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}$

$A = (2 a, 0), B = (0, \frac{2}{a})$

$Areal = 2$ (konstant, uavhengig av $a$ )

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er $f (x) = \frac{1}{x}$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = - \frac{1}{x^{2}}

I punktet $x = a$ er $f (a) = \frac{1}{a}$ og stigningstallet til tangenten er $f^{'} (a) = - \frac{1}{a^{2}}$ .

Likningen for tangenten i punktet $(a, f (a))$ er gitt ved

y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) = - \frac{1}{a^{2}} (x - a) + \frac{1}{a}

Vi utvider parentesen:

y = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a}

som er det vi skulle vise.

Punktet $A$ er der tangenten skjærer $x$ -aksen, altså der $y = 0$ :

0 = - \frac{1}{a^{2}} x + \frac{2}{a} \Rightarrow \frac{1}{a^{2}} x = \frac{2}{a} \Rightarrow x = 2 a

Dette gir $A = (2 a, 0)$ .

Punktet $B$ er der tangenten skjærer $y$ -aksen, altså der $x = 0$ :

y = - \frac{1}{a^{2}} \cdot 0 + \frac{2}{a} = \frac{2}{a}

Dette gir $B = (0, \frac{2}{a})$ .

Trekanten $△ O A B$ er rettvinklet, med de to katetene langs $x$ -aksen og $y$ -aksen. Lengden av katetene er $| O A | = | 2 a |$ og $| O B | = | \frac{2}{a} |$ . Arealet blir da

T = \frac{1}{2} \cdot | 2 a | \cdot | \frac{2}{a} | = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

Arealet av $△ O A B$ er altså $2$ for alle verdier av $a \neq 0$ . Arealet er med andre ord konstant og uavhengig av hvilket punkt på grafen vi legger tangenten i.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

R1 (Del 1, oppgave 3)

Svar som ikke er kommentert gir ikke full uttelling. En god kommentar påpeker at arealet er konstant lik 2, uavhengig av verdien av $a$ .

S1 (Del 2, oppgave 7)
Oppgave 7 har falt uheldig ut. Dette må tas hensyn til ved helhetsvurderingen.
7b) Her forventes at kandidaten kommenterer at arealet er uavhengig av verdien til $a$ .

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Tangent, Derivasjon, Areal og omkrets, Omvendt proporsjonalitet
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 2-4Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A (- 3, - 2)$ , $B (6, 3)$ og $C (2, 4)$

Kalkulator

Bestem $∠ B A C$ ved å bruke vektorregning.

For hånd

Bestem koordinatene til et punkt $D$ slik at $□ A B C D$ blir et parallellogram.

Fasit

$∠ B A C \approx 21,1 °$

$D (- 7, - 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har gitt punktene $A (- 3, - 2)$ , $B (6, 3)$ og $C (2, 4)$ .

Vi bruker vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ til å finne vinkelen $∠ B A C$ ved hjelp av formelen for prikkprodukt:

\cos v = \frac{\vec{A B} \cdot \vec{A C}}{| \vec{A B} | \cdot | \vec{A C} |}

Vi finner først vektorene:

\vec{A B} = B - A = (6 - (- 3), 3 - (- 2)) = (9, 5)

\vec{A C} = C - A = (2 - (- 3), 4 - (- 2)) = (5, 6)

Deretter regner vi ut prikkproduktet og lengdene:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = 45 + 30 = 75

| \vec{A B} | = \sqrt{9^{2} + 5^{2}} = \sqrt{106}

| \vec{A C} | = \sqrt{5^{2} + 6^{2}} = \sqrt{61}

Se utregningen i GeoGebra CAS (skalarprodukt, lengdeAB, lengdeAC og vinkel):

Løsning i GeoGebra CAS

Dette gir

\cos v = \frac{75}{\sqrt{106} \cdot \sqrt{61}} = \frac{75}{\sqrt{6466}}

v = \cos^{- 1} (\frac{75}{\sqrt{6466}}) \approx 21,1 °

$∠ B A C \approx 21,1 °$

For at $□ A B C D$ skal være et parallellogram, må siden $A B$ være parallell med og like lang som siden $D C$ , altså $\vec{A B} = \vec{D C}$ .

Det gir

B - A = C - D \Rightarrow D = A + C - B

Vi setter inn koordinatene:

D = (- 3, - 2) + (2, 4) - (6, 3) = (- 3 + 2 - 6, - 2 + 4 - 3) = (- 7, - 1)

Dette stemmer med resultatet D i GeoGebra-utklippet over.

Vi kan kontrollere svaret: $\vec{D C} = C - D = (2 - (- 7), 4 - (- 1)) = (9, 5) = \vec{A B}$ , som bekrefter at $A B C D$ er et parallellogram.

$D (- 7, - 1)$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Løsninger som ikke tar hensyn til bokstavrekkefølgen gir ikke full uttelling. Oppgaven kan løses både digitalt og ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Sirkellikning for to punkter med diameter

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (2, 4)$ og $B (4, 2)$ ligger på en sirkel slik at $A B$ er diameter til sirkelen.

Vis ved regning at likningen til sirkelen er ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$

Fasit

Sentrum $(3, 3)$ og radius $r = \sqrt{2}$ gir likningen ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ .

LøsningsforslagKI-generert

Når $A B$ er diameter i sirkelen, er sentrum midtpunktet på $A B$ , og radien er halve lengden av $A B$ .

Sentrum

Midtpunktet mellom $A (2, 4)$ og $B (4, 2)$ er

x_{M} = \frac{2 + 4}{2} = 3, y_{M} = \frac{4 + 2}{2} = 3

Sentrum er altså $(3, 3)$ .

Radius

Lengden av $A B$ finner vi med avstandsformelen:

A B = \sqrt{{(4 - 2)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

Radien er halve diameteren:

r = \frac{A B}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Beregningene er kontrollert i GeoGebra CAS, se utklippet.

CAS-utregning

Likningen

En sirkel med sentrum $(a, b)$ og radius $r$ har likningen ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ . Med sentrum $(3, 3)$ og $r = \sqrt{2}$ (slik at $r^{2} = 2$ ) får vi

{(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2

som var det som skulle vises.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Korrekt løsning ved hjelp av konstruksjon med passer og linjal eller tegning med digitalt verktøy med god forklaring gir 1,5 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kalkulator

Bestem en parameterframstilling for en rett linje $l$ som går gjennom punktene $E (2, 4)$ og $F (7, - 1)$ .

Kalkulator

Bestem skjæringspunktene mellom $l$ og koordinataksene.

Kalkulator

Bestem ved regning avstanden fra punktet $G (6, 3)$ til $l$ .

Fasit

$x = 2 + 5 t, y = 4 - 5 t$

$(6, 0) og (0, 6)$

$d = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \approx 2,12$

LøsningsforslagKI-generert

En parameterframstilling for linja $l$ gjennom $E (2,4)$ og $F (7, - 1)$ finner vi ved å bruke $E$ som festepunkt og retningsvektoren

\vec{v} = \vec{E F} = F - E = (7 - 2, - 1 - 4) = (5, - 5)

Dette stemmer med CAS-utregningen (linje 1 i utklippet under), som gir $\vec{v} = (5, - 5)$ .

Da blir parameterframstillingen

l : {\begin{matrix} x = 2 + 5 t \\ y = 4 - 5 t \end{matrix}, t \in ℝ

Retningsvektoren kan forenkles til $(1, - 1)$ ved å dele på $5$ , og en likeverdig parameterframstilling er $x = 2 + t, y = 4 - t$ .

Skjæring med $x$ -aksen ( $y = 0$ ):

4 - 5 t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{5}

Innsatt i $x$ -uttrykket:

x = 2 + 5 \cdot \frac{4}{5} = 2 + 4 = 6

Skjæringspunktet med $x$ -aksen er $(6, 0)$ .

Skjæring med $y$ -aksen ( $x = 0$ ):

2 + 5 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{2}{5}

Innsatt i $y$ -uttrykket:

y = 4 - 5 \cdot (- \frac{2}{5}) = 4 + 2 = 6

Skjæringspunktet med $y$ -aksen er $(0, 6)$ .

Kontroll med CAS (linje 2 og 3 i utklippet under) gir de samme $t$ -verdiene, $t = 4$ (med den forenklede retningsvektoren $(1, - 1)$ ) og $t = - 2$ , som gir de samme skjæringspunktene $(6,0)$ og $(0,6)$ .

For å regne ut avstanden trenger vi først en normalvektor til $l$ . Retningsvektoren er $\vec{v} = (5, - 5)$ , eller forenklet $(1, - 1)$ , så en normalvektor er

\vec{n} = (1, 1)

siden $\vec{n} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (- 1) = 0$ .

Likningen for $l$ på normalform, med $E (2,4)$ som punkt på linja, blir

1 (x - 2) + 1 (y - 4) = 0 \Rightarrow x + y - 6 = 0

Avstanden fra punktet $G (6,3)$ til $l$ finner vi med avstandsformelen

d = \frac{| 6 + 3 - 6 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \approx 2,12

Dette stemmer med CAS-utregningen (linje 4 i utklippet), som gir $d = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ .

CAS-utregning av retningsvektor, skjæringspunkter og avstand

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

Grafisk løsning gir også full uttelling.

Både geometriske og algebraiske løsninger gir full uttelling. Bruk av dynamisk programvare gir noe uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Parameterframstilling, Vektorer, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Grafen til f(x) med trekanten OAB der A=(x,0) og B=(x, f(x))

Figuren viser en del av grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}}, x > 0

For hånd

Vis at arealet av $△ O A B$ er gitt ved

g (x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}

Kalkulator

Bestem det største arealet som $△ O A B$ kan ha.

Oppsett for hånd

Bruk digitalt verktøy til å bestemme $x$ slik at trekanten er likebeint.

Hvor stort er arealet da?

Fasit

Vist ved utregning, se løsningsforslag.

$A_{maks} = \frac{5}{2 e} \approx 0,92$

$x \approx 1,30 og arealet \approx 0,85$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten $O A B$ har hjørner $O = (0, 0)$ , $A = (x, 0)$ og $B = (x, f (x))$ . Siden $O A$ ligger langs $x$ -aksen og $A B$ står loddrett fra $A$ til $B$ , er $△ O A B$ rettvinklet i $A$ , med kateter

| O A | = x og | A B | = f (x)

Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene:

g (x) = \frac{1}{2} \cdot | O A | \cdot | A B | = \frac{1}{2} \cdot x \cdot f (x) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{5}{2} e^{- \frac{x}{2}} = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}

som var det som skulle vises.

Vi deriverer $g (x) = \frac{5}{4} x \cdot e^{- \frac{x}{2}}$ med produktregelen:

g^{'} (x) = \frac{5}{4} (e^{- \frac{x}{2}} + x \cdot (- \frac{1}{2}) e^{- \frac{x}{2}}) = \frac{5}{4} e^{- \frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2})

Se linje 3 i utklippet under. Siden $e^{- \frac{x}{2}} > 0$ for alle $x$ , blir $g^{'} (x) = 0$ når

1 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow x = 2

(linje 4 i utklippet). For $0 < x < 2$ er $g^{'} (x) > 0$ , og for $x > 2$ er $g^{'} (x) < 0$ , så $x = 2$ gir et globalt maksimum for $g$ på $x > 0$ .

Maksimalt areal (linje 5 i utklippet) er

g (2) = \frac{5}{4} \cdot 2 \cdot e^{- 1} = \frac{5}{2 e} \approx 0,92

Trekanten er rettvinklet i $A$ , så hypotenusen $O B$ er alltid lengre enn hvert av katetene $O A$ og $A B$ . Da kan $△ O A B$ bare være likebeint dersom de to katetene er like lange, altså

| O A | = | A B | \Leftrightarrow x = f (x)

I CAS (linje 6–7 i utklippet) defineres $h (t) = t - f (t)$ , og nullpunktet gir

x \approx 1,3031

Arealet ved denne $x$ -verdien (linje 8 i utklippet) er

g (1,3031) \approx 0,85

CAS-utregning: derivasjon, maksimum og likebeint tilfelle

Trekanten er dermed likebeint når $x \approx 1,30$ , og arealet er da $\approx 0,85$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Oppgaven kan løses ved regning, grafisk eller ved bruk av digitale verktøy.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Optimering, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Firkanten ABCD innskrevet i sirkel med vinklene α og β markert

På skissen ovenfor er $□ A B C D$ innskrevet i en sirkel.

$∠ A = α$ , og nabovinkelen til $∠ C$ kalles $β$ . Buen $B C D = x$

For hånd

Forklar at $α = \frac{x}{2}$

For hånd

Forklar at $180 ° - β = \frac{1}{2} (360 ° - x)$

For hånd

Vis at $α = β$

Fasit

$α = \frac{x}{2}$ , ved innskrevet vinkels teorem.

$180 ° - β = \frac{1}{2} (360 ° - x)$ , ved innskrevet vinkels teorem på $∠ B C D$ .

$α = β$

LøsningsforslagKI-generert

Vinkelen $α = ∠ D A B$ er en periferivinkel (innskrevet vinkel) i sirkelen. Periferivinkelen $α$ står på buen $B C D$ , altså den buen fra $B$ til $D$ som går gjennom $C$ — den buen som ikke inneholder toppunktet $A$ selv.

Ifølge periferivinkelens teorem (innskrevet vinkels teorem) er en periferivinkel alltid halvparten av buen den spenner over:

α = \frac{1}{2} \cdot buen B C D = \frac{x}{2}

Vinkelen $β$ er nabovinkelen til $∠ B C D$ (den innskrevne vinkelen til firkanten i $C$ ), altså ligger $β$ og $∠ B C D$ på en rett linje. To nabovinkler summerer seg til $180 °$ , så

∠ B C D = 180 ° - β

Siden hele sirkelen er $360 °$ , og buen $B C D = x$ , må den resterende buen — buen $B A D$ (fra $B$ til $D$ gjennom $A$ ) — være

buen B A D = 360 ° - x

Vinkelen $∠ B C D$ er en periferivinkel som står på nettopp denne buen $B A D$ (buen som ikke inneholder $C$ ). Ved innskrevet vinkels teorem er da

∠ B C D = \frac{1}{2} (360 ° - x)

Siden $∠ B C D = 180 ° - β$ fra likningen over, får vi

180 ° - β = \frac{1}{2} (360 ° - x)

som er det vi skulle forklare.

Fra b) løser vi ut $β$ :

180 ° - β = \frac{1}{2} (360 ° - x) = 180 ° - \frac{x}{2}

β = \frac{x}{2}

Fra a) vet vi at $α = \frac{x}{2}$ . Dermed er

α = \frac{x}{2} = β

$α = β$

Dette viser generelt at en innskrevet vinkel i en sirkel er lik nabovinkelen til motstående vinkel i firkanten — en konsekvens av at motstående vinkler i en sykliske firkant (firkant innskrevet i sirkel) summerer seg til $180 °$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Geometri, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For hånd

Tegn grafen til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = 2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)

På figur 1 er det tegnet en skisse av grafen til en annen funksjon $g$ .

Grafskisse av g med nullpunkter ved x=-2, 1, 3 og y-skjæring 12

For hånd

Skriv funksjonsuttrykket $g (x)$ på samme form som i a).

På figur 2 er det tegnet en skisse av grafen til en tredje funksjon $h$ .

Grafskisse av h med nullpunkter ved x=-2 og x=2, og y-skjæring 4

For hånd

Skriv funksjonsuttrykket $h (x)$ på samme form som ovenfor.

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$g (x) = 2 (x + 2) (x - 1) (x - 3)$

$h (x) = \frac{1}{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f (x) = 2 (x + 1) (x - 1) (x - 3)$ har nullpunkter i $x = - 1$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Ved å taste uttrykket inn i GeoGebra får vi grafen:

Grafen til f

Grafen har lokalt toppunkt omtrent i $(- 0,15, 6,16)$ og lokalt bunnpunkt omtrent i $(2,15, - 6,16)$ , og går mot $- \infty$ når $x \to - \infty$ og mot $+ \infty$ når $x \to + \infty$ .

Av figur 1 ser vi at grafen til $g$ har nullpunkter i $x = - 2$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Da må $g$ kunne skrives på formen

g (x) = a (x + 2) (x - 1) (x - 3)

Av grafen ser vi også at $g$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 12)$ , altså $g (0) = 12$ . Dette bruker vi til å bestemme $a$ :

g (0) = a \cdot (0 + 2) (0 - 1) (0 - 3) = a \cdot 2 \cdot (- 1) \cdot (- 3) = 6 a

6 a = 12 \Rightarrow a = 2

Funksjonsuttrykket blir dermed

g (x) = 2 (x + 2) (x - 1) (x - 3)

Av figur 2 ser vi at grafen til $h$ har et enkelt nullpunkt i $x = - 2$ og tangerer $x$ -aksen i $x = 2$ (grafen snur uten å krysse aksen der). Det betyr at $x = 2$ er et dobbelt nullpunkt, og $h$ kan skrives på formen

h (x) = a (x + 2) {(x - 2)}^{2}

Av grafen ser vi at $h$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 4)$ , altså $h (0) = 4$ . Dette bruker vi til å bestemme $a$ :

h (0) = a \cdot (0 + 2) {(0 - 2)}^{2} = a \cdot 2 \cdot 4 = 8 a

8 a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}

Funksjonsuttrykket blir dermed

h (x) = \frac{1}{2} (x + 2) {(x - 2)}^{2}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

For å få full utelling må svaret begrunnes.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjoner, Nullpunkter, Graf, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Oppgave 2-10Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kvartsirkel med radius 3 og kvadratet OABC der A er på x-aksen, B på kvartsirkelen og C på y-aksen

På skissen ovenfor er det tegnet en kvartsirkel med radius $3$ . $□ O A B C$ er et kvadrat der $A$ ligger på $x$ -aksen, $B$ på kvartsirkelen og $C$ på $y$ -aksen.

For hånd

Bestem lengden til diagonalen $A C$ .

For hånd

Bestem arealet av det skraverte området.

Fasit

$A C = 3$

$Skravert areal \approx 2,57$

LøsningsforslagKI-generert

Kvartsirkelen har sentrum i $O$ og radius $3$ . Siden $B$ ligger på kvartsirkelen, er $O B = 3$ .

$O A B C$ er et kvadrat, og $O B$ og $A C$ er de to diagonalene i kvadratet. I et kvadrat er begge diagonalene like lange, så

A C = O B = 3

$A C = 3$

La $s$ være sidelengden i kvadratet $O A B C$ . Da er $A = (s, 0)$ , $C = (0, s)$ og $B = (s, s)$ .

Siden $B$ ligger på kvartsirkelen $x^{2} + y^{2} = 3^{2}$ , får vi

s^{2} + s^{2} = 3^{2} \Rightarrow s^{2} = \frac{9}{2}

Arealet av kvadratet er dermed $s^{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ .

Arealet av kvartsirkelen er

A_{kvartsirkel} = \frac{1}{4} π \cdot 3^{2} = \frac{9}{4} π \approx 7,0686

Det skraverte området er det som er igjen av kvartsirkelen når kvadratet er trukket fra:

A_{skravert} = A_{kvartsirkel} - s^{2} = \frac{9}{4} π - \frac{9}{2} \approx 7,0686 - 4,5 \approx 2,5686

Beregningen er kontrollert i GeoGebra CAS:

Løsning i GeoGebra CAS

$A_{skravert} \approx 2,57$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En fullgod løsning kan være ved regning eller ved bruk av dynamisk programvare.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sirkel, Areal og omkrets, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-10 for seg selv

Oppgave 2-11Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En skole vil arrangere aktivitetsdag. Det pleier å regne 8 % av dagene på denne tiden av året. Værmeldingen har vært korrekt 90 % av de dagene det faktisk regner. Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene meldt regn 10 % av dagene.

Vi definerer hendelsene:

$A$ : Det regner på aktivitetsdagen

$B$ : Det er meldt regn på aktivitetsdagen

Kalkulator

Bestem $P (A)$ og $P (A)$

Kalkulator

Bestem $P (B | A)$ , $P (B | A)$ og $P (B)$

Det er meldt regn den dagen skolen ønsker å arrangere aktivitetsdag.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at det ikke regner denne dagen selv om det altså er meldt regn.

Fasit

$P (A) = 0,08, P (A) = 0,92$

$P (B | A) = 0,90, P (B | A) = 0,10, P (B) = 0,164$

$P (A | B) \approx 56,1 %$

LøsningsforslagKI-generert

Det pleier å regne $8 %$ av dagene på denne tiden av året, så

P (A) = 0,08

Sannsynligheten for at det ikke regner er komplementet til dette:

P (A) = 1 - P (A) = 1 - 0,08 = 0,92

P (A) = 0,08, P (A) = 0,92

Værmeldingen har vært korrekt (meldt regn) $90 %$ av dagene det faktisk regner, altså

P (B | A) = 0,90

Når det har vært oppholdsvær, har meteorologene likevel meldt regn $10 %$ av dagene, altså

P (B | A) = 0,10

For å finne $P (B)$ bruker vi setningen om total sannsynlighet, siden $A$ og $A$ deler utfallsrommet i to:

P (B) = P (B | A) \cdot P (A) + P (B | A) \cdot P (A)

P (B) = 0,90 \cdot 0,08 + 0,10 \cdot 0,92 = 0,072 + 0,092 = 0,164

P (B) = 0,164

Vi kan illustrere situasjonen med et sannsynlighetstre:

Valgtre for regn på aktivitetsdagen og meldt regn

Vi skal finne sannsynligheten for at det ikke regner, gitt at det er meldt regn, altså $P (A | B)$ . Dette finner vi med Bayes’ setning:

P (A | B) = \frac{P (B | A) \cdot P (A)}{P (B)}

Vi setter inn tallene fra a) og b):

P (A | B) = \frac{0,10 \cdot 0,92}{0,164} = \frac{0,092}{0,164} \approx 0,561

P (A | B) \approx 56,1 %

Selv om det er meldt regn, er det altså over $56 %$ sannsynlighet for at det likevel ikke regner denne dagen. Dette skyldes at oppholdsvær i utgangspunktet er langt mer vanlig enn regnvær, slik at selv en liten feilrate i værmeldingen ved oppholdsvær gir mange falske regnvarsler.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-11 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Sirkellikning for to punkter med diameter

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-9Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-10Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-11Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 3 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Oppgave 1-2·Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Oppgave 1-3·Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 8 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-4·Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Oppgave 2-5·Sirkellikning for to punkter med diameter

Oppgave 2-6·Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Oppgave 2-7·Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Oppgave 2-8·Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Oppgave 2-9·Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Oppgave 2-10·Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Oppgave 2-11·Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon og logaritmeuttrykk med polynomdivisjon og vektorer

Oppgave 1-2Retningsvektor og vinkelrette linjer med stigningstall

Oppgave 1-3Tangent til f(x)=1 delt på x og arealet av trekant OAB R1 V12

Oppgave 2-4Vinkler og parallellogram med tre punkter i planet

Oppgave 2-5Sirkellikning for to punkter med diameter

Oppgave 2-6Parameterframstilling linje skjæringspunkter og avstand til punkt

Oppgave 2-7Trekant OAB under eksponentialfunksjon maksimalt areal og likebeint

Oppgave 2-8Firkant innskrevet i sirkel med innskrevet vinkel og nabovinkelbetingelse

Oppgave 2-9Faktorisert fjerdegradsfunksjon og lese av fra graf

Oppgave 2-10Kvartsirkel med kvadrat OABC og skravert areal

Oppgave 2-11Aktivitetsdag betinget sannsynlighet og værmelding