R1 Høst 2012

LK06 13 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 13 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Høst 2012 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 7 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon av tre funksjoner R1 H12	—
2	Polynomdivisjon og faktorisering med parameter k	—
3	Vendepunkt og vendetangent for kubikkfunksjon	—
4	Elevbesvarelse og skjæringspunkter mellom parabel og linje	—
5	Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal	—
6	Eksponentlikning og logaritmelikning	—
7	Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
1	Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter	—
2	Sannsynlighet for jente og buss til skole	—
3	Partikkelposisjon med vektorfunksjon og fart	—
4	Innskrevet likebeint trekant og maksimalt areal	—
5	Sirkellikninger med fullstendige kvadraters metode	—
6	Innskrevet firkant i sirkel og like vinkler fra sekant	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H12

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = (2x - 1)^2

g(x) = \sqrt{x^2 - 2x}

h(x) = x^3 \cdot e^{2x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 5
Temaer: Derivasjon, Kjerneregelen, Produktregelen

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og faktorisering med parameter k

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 3x^2 + kx + 3

Bestem $k$ slik at divisjonen $f(x):(x - 3)$ går opp.

Bruk polynomdivisjon til å skrive $f(x)$ som et produkt av lineære faktorer (førstegradsfaktorer) når $k$ har verdien du fant i oppgave 2 a).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Likninger

Oppgave 1-3 : Vendepunkt og vendetangent for kubikkfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3

Bestem vendepunktet på grafen til $f$ .

Bestem likningen til vendetangenten.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Tangent

Oppgave 1-4 : Elevbesvarelse og skjæringspunkter mellom parabel og linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er det tegnet grafene til funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

f(x) = (x-1)(x-3) \quad \text{og} \quad g(x) = x - 1

Grafene til f og g

En elev skulle bestemme skjæringspunktene mellom grafene ved regning.

Eleven besvarte oppgaven slik:

Elevens besvarelse

Kommenter elevens besvarelse.

Bestem skjæringspunktene mellom grafene ved regning slik du mener oppgaven bør løses.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Andregradslikninger, Nullpunkter, Argumentasjon

Oppgave 1-5 : Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser et kvadrat $ABCD$ med side $a$ . Diagonalene $AC$ og $BD$ skjærer hverandre i punktet $F$ .

Kvadrat ABCD med diagonaler og skjæringspunkt F

Forklar at $AC \perp BD$

Forklar at arealet av kvadratet er $\dfrac{1}{2} AC \cdot BD$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Vektorer, Bevis, Areal

Oppgave 1-6 : Eksponentlikning og logaritmelikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

3^{4x} + 7 = 34

\lg x + \lg(x - 1) = \lg 2

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Logaritmer, Likninger

Oppgave 1-7 : Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt punktene $A(3,\, 0)$ , $B(7,\, 3)$ og $C(0,\, t)$ .

Bestem $t$ slik at $\angle BAC = 90\degree$

Bestem den minste avstanden fra $A$ til $BC$ for denne $t$ -verdien.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Geometri, Trekant

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(0,\, 0)$ , $B(6,\, 0)$ , $C(4,\, 4)$ og $D(t,\, 4)$ er hjørner i $\square ABCD$ .

Firekantet figur ABCD med hjørnepunktene A, B, C og D

Bruk skalarprodukt til å bestemme $\angle BAC$ .

Bestem $t$ slik at $\square ABCD$ blir et parallellogram.

Bestem $t$ ved regning slik at $AC \perp BD$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Prikkprodukt, Geometri

Oppgave 2-2 : Sannsynlighet for jente og buss til skole

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En skole har 350 elever, 182 gutter og 168 jenter. Av disse tar 71 gutter og 94 jenter bussen til skolen. En elev blir trukket ut tilfeldig. Vi lar hendelsene $J$ og $B$ være gitt ved

$J$ : Eleven er en jente.

$B$ : Eleven tar buss til skolen.

Bestem $P(J \cap B)$

Bestem $P(B)$ og $P(B \mid J)$ . Er $J$ og $B$ uavhengige hendelser? Begrunn svaret ditt.

Bestem $P(J \mid B)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-3 : Partikkelposisjon med vektorfunksjon og fart

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Posisjonen til en partikkel ved tiden $t$ er gitt ved

\vec{r}(t) = \left[\frac{1}{4}t^2 - 3t,\; t + \frac{4}{t} - 5\right]

Tegn grafen til $\vec{r}$ når $t \in \langle 0,\, 20]$ .

Bestem skjæringspunktene mellom banen til partikkelen og koordinataksene.

Bestem farten $v = |\vec{v}(t)|$ når $t = 5$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon

Oppgave 2-4 : Innskrevet likebeint trekant og maksimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$\triangle DEF$ er innskrevet i $\triangle ABC$ . Begge trekantene er likebeinte, og $DE \parallel AB$ . Vi setter $DE = x$ . Høyden fra $C$ til $AB$ er 8, og høyden fra $F$ til $DE$ er $h$ . Videre er $AF = FB = 3$ . Se figuren.

Trekant DEF innskrevet i trekant ABC med mål

Forklar at $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ . Bruk dette til å vise at

h = 8 - \frac{4}{3}x

Bestem et uttrykk $T(x)$ for arealet av $\triangle DEF$ .

Bestem den største verdien av $T(x)$ . Forklar at $\triangle ABC$ i dette tilfellet består av fire kongruente trekanter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Formlike trekanter, Optimering, Areal, Derivasjon

Oppgave 2-5 : Sirkellikninger med fullstendige kvadraters metode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel er gitt ved

x^2 - 2x + y^2 + 4y - 4 = 0

Bestem sentrum og radius i sirkelen ved regning.

En annen sirkel er gitt ved

x^2 + 2tx + y^2 - 4y + 9 = 0, \quad t \in \mathbb{R}

Bestem $t$ slik at sirkelen har akkurat ett punkt felles med $x$ -aksen.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sirkel, Geometri, Likninger

Oppgave 2-6 : Innskrevet firkant i sirkel og like vinkler fra sekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$\square ABCD$ er innskrevet i en sirkel der $AC$ er diameter. Buen $\widehat{AD} = u$ og buen $\widehat{BC} = v$ . Forlengelsene av $AD$ og $BC$ skjærer hverandre i $P$ . Vi setter $\angle P = \alpha$ . Tilsvarende skjærer forlengelsene av $AB$ og $DC$ hverandre i $Q$ , og vi setter $\angle Q = \beta$ .

Innskrevet firkant ABCD i sirkel med sekanter til P og Q

La $u = 120\degree$ og $v = 90\degree$ . Forklar at da er $\angle BAD = 75\degree$

Vis at $\alpha = \beta = 15\degree$ i dette tilfellet.

Vis at $\alpha = \beta$ for alle verdier av $u$ og $v$ (når $u \neq v$ ).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis

Sync på tvers av enheter

R1 Høst 2012

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av tre funksjoner R1 H12

Oppgave 1-2 : Polynomdivisjon og faktorisering med parameter k

Oppgave 1-3 : Vendepunkt og vendetangent for kubikkfunksjon

Oppgave 1-4 : Elevbesvarelse og skjæringspunkter mellom parabel og linje

Oppgave 1-5 : Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Oppgave 1-6 : Eksponentlikning og logaritmelikning

Oppgave 1-7 : Rett vinkel mellom vektorer og avstand til linje

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1 : Skalarprodukt og parallellogram med fire hjørnepunkter

Oppgave 2-2 : Sannsynlighet for jente og buss til skole

Oppgave 2-3 : Partikkelposisjon med vektorfunksjon og fart

Oppgave 2-4 : Innskrevet likebeint trekant og maksimalt areal

Oppgave 2-5 : Sirkellikninger med fullstendige kvadraters metode

Oppgave 2-6 : Innskrevet firkant i sirkel og like vinkler fra sekant

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave