R1 Vår 2011

LK06 8 oppgaver 60 poeng 5 timer

0 av 8 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R1 Vår 2011 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 2 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11	—
2	Innskrevet sirkel og vinkler i trekant	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 36 poeng
3	Rett prisme med minimalt overflateareal	—
4	Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet	—
5	Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling	—
6	Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet	—
7	Primtall som differanse mellom kvadrattall	—
8	Skomakerkniven og halvsirkler	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at den deriverte til funksjonen $O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2$ er $O'(x) = \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2}$

Deriver funksjonene

f(x) = 3\ln(2x)

g(x) = 3x \cdot e^{x^2}

Vi har gitt polynomfunksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2 - 13x + 15$

1) Vis at $f(1) = 0$ . Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f(x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $f(x) \leq 0$

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f(t)$ . Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.

Du får vite at: $f(0) = 300$ , $f'(10) = 0$ og $f''(10) = -10$

Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?

Skriv så enkelt som mulig $\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\!\left(\dfrac{a}{b^3}\right)$

Skriv så enkelt som mulig $\dfrac{2x + 10}{x^2 - 25} + \dfrac{x}{x + 5} - \dfrac{2}{x - 5}$

En linje $l$ har parameterframstillingen $l: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + t \end{cases}$

Et punkt $P(4,\, 1)$ ligger utenfor linjen.

Regn ut avstanden fra $P$ til linjen $l$ .

Et linjestykke $AB$ har lengde 10 cm. Konstruer en $\triangle ABC$ der $\angle C = 90\degree$ og $AC = 7 \mathrm{~cm}$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 18
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter, Logaritmer

Oppgave 1-2 : Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en $\triangle ABC$ er $\angle A = 90\degree$ . En sirkel med sentrum i $S$ er innskrevet i trekanten. Sidene $AC$ og $BC$ tangerer sirkelen i punktene $D$ og $E$ . Linjen gjennom $B$ og $S$ skjærer $DE$ i $F$ .

Se skissen nedenfor.

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant med punkt F

Du får oppgitt at $DC = EC$ .

Vi setter $\angle ABC = v$ , $\angle BCA = u$ og $\angle BFE = x$

Forklar at $u + v = 90\degree$ og at $\angle DEC = 90\degree - \dfrac{u}{2}$

Forklar at $\angle FBE = \dfrac{v}{2}$ og at $\angle BEF = 90\degree + \dfrac{u}{2}$

Vis at $x = 45\degree$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Sirkel, Trekant, Bevis

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3 : Rett prisme med minimalt overflateareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er $200 \mathrm{~cm}^3$ . Vi setter bredden lik $x \mathrm{~cm}$ . Se skissen.

Rett prisme med bredde x, lengde 4x og høyde h

Vis at $h = \dfrac{50}{x^2}$

Vis at overflaten $O$ av prismet kan skrives $O(x) = \dfrac{500}{x} + 8x^2$

I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at $O'(x) = \dfrac{-500 + 16x^3}{x^2}$ .

Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten $O$ som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå?

Vi har et annet rett prisme der lengden av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. Volumet er $200 \mathrm{~cm}^3$ .

Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Optimering, Derivasjon, Volum, Areal

Oppgave 2-4 : Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag.

Én elev trekkes ut tilfeldig. La $A$ og $B$ være de to hendelsene

$A$ : Eleven er en gutt.

$B$ : Eleven har med matpakke hver dag.

Forklar med ord hva vi mener med $P(A \cap B)$ . Finn denne sannsynligheten.

Finn sannsynlighetene $P(B)$ og $P(B \mid A)$ . Er de to hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet

Oppgave 2-5 : Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A(2,\, -1)$ og $B(5,\, 3)$ er gitt.

Finn $\overrightarrow{AB}$ og regn ut $|\overrightarrow{AB}|$ .

Vektoren $\overrightarrow{AC} = [-1,\; 2]$ er gitt.

Bestem koordinatene til punktet $C$ .

Regn ut $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$ og kommenter svaret.

En rett linje $l$ går gjennom punktet $P(3,\, -4)$ og er parallell med $\overrightarrow{AC}$ .

Finn en parameterframstilling for linjen $l$ .

Finn koordinatene til punktet der $l$ skjærer $y$ -aksen.

Punktet $Q(8,\, 6)$ er gitt. En vektor $\overrightarrow{QR}$ har lengden 10, og $R$ er et punkt på linjen $l$ .

Bestem koordinatene til $R$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Prikkprodukt, Lengde av vektor

Oppgave 2-6 : Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får oppgitt at en funksjon $f$ er definert for $x \in \langle 0,\, 10 \rangle$ . Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i $x = 2$ , og ikke kontinuerlig i $x = 5$ .

Tegn en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Graf

Oppgave 2-7 : Primtall som differanse mellom kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden:

Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Skriv av og fyll ut tabellen

Primtall	Naturlige tall		Kvadrattall		Differanse
$p$	$n_1$	$n_2$	$n_1^2$	$n_2^2$	$n_1^2 - n_2^2$
3	2	1	$2^2$	$1^2$	3
5	3	2	$3^2$	$2^2$	5
7	4	3	$4^2$	$3^2$	7
11	6	5	$6^2$	$5^2$	11
13
17
19

I tabellen er $p$ primtall, og $n_1$ og $n_2$ er naturlige tall, slik at:

n_1 + n_2 = p

n_1 - n_2 = 1

Vis at vi kan skrive: $n_1 = \dfrac{p+1}{2}$ og $n_2 = \dfrac{p-1}{2}$

Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Bevis, Tallteori, Algebra

Oppgave 2-8 : Skomakerkniven og halvsirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Matematikeren Arkimedes (ca. 287–212 f.Kr.) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles skomakerkniven.

Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren, har sentrum i $D$ og $E$ .

De indre halvsirklene har radius $R$ og $r$ . Punktene $D$ , $C$ og $E$ ligger på linjestykket $AB$ .

Skomakerkniven med ytre og to indre halvsirkler

Vis at lengden av sirkelbuen $AB$ er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene $AC$ og $CB$ .

På figuren er $CH \perp AB$ .

Forklar at $\triangle ACH$ er formlik med $\triangle HCB$ .

Bruk dette til å vise at $CH = 2\sqrt{R \cdot r}$

Vis at arealet av en sirkel med diameter $CH$ er lik arealet av skomakerkniven.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal, Bevis, Formlike trekanter

Sync på tvers av enheter

R1 Vår 2011

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Oppgave 1-2 : Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3 : Rett prisme med minimalt overflateareal

Oppgave 2-4 : Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Oppgave 2-5 : Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Oppgave 2-6 : Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

Oppgave 2-7 : Primtall som differanse mellom kvadrattall

Oppgave 2-8 : Skomakerkniven og halvsirkler

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave