R1 Vår 2011

Oppgave 1-1Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vis at den deriverte til funksjonen $O (x) = \frac{500}{x} + 8 x^{2}$ er $O^{'} (x) = \frac{- 500 + 16 x^{3}}{x^{2}}$

Deriver funksjonene

f (x) = 3 \ln (2 x)

g (x) = 3 x \cdot e^{x^{2}}

Vi har gitt polynomfunksjonen $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15$

1) Vis at $f (1) = 0$ . Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $f (x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $f (x) \leq 0$

Mengden av lava som spruter ut per time ved et vulkanutbrudd, kan tilnærmet beskrives ved et funksjonsuttrykk $f (t)$ . Funksjonsverdiene er målt i tonn, og $t$ er antall timer etter begynnelsen av utbruddet.

Du får vite at: $f (0) = 300$ , $f^{'} (10) = 0$ og $f^{''} (10) = - 10$

Hva kan du si om vulkanutbruddet på grunnlag av disse opplysningene?

Skriv så enkelt som mulig $\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (a \cdot b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}})$

Skriv så enkelt som mulig $\frac{2 x + 10}{x^{2} - 25} + \frac{x}{x + 5} - \frac{2}{x - 5}$

En linje $l$ har parameterframstillingen $l : {\begin{matrix} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + t \end{matrix}$

Et punkt $P (4, 1)$ ligger utenfor linjen.

Regn ut avstanden fra $P$ til linjen $l$ .

Et linjestykke $A B$ har lengde 10 cm. Konstruer en $△ A B C$ der $∠ C = 90 °$ og $A C = 7 c m$

Fasit

Vist i løsningsforslaget

$f^{'} (x) = \frac{3}{x}$ , $g^{'} (x) = 3 e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2})$

$f (1) = 0$ , $f (x) = (x - 1) (x - 5) (x + 3)$ , $x \leq - 3 eller 1 \leq x \leq 5$

Se tolkning i løsningsforslaget

$4 \lg a$

$\frac{x}{x + 5}$

$\sqrt{5}$

Se konstruksjonsbeskrivelse

LøsningsforslagKI-generert

O (x) = \frac{500}{x} + 8 x^{2} = 500 x^{- 1} + 8 x^{2}

Vi deriverer ledd for ledd:

O^{'} (x) = - 500 x^{- 2} + 16 x = - \frac{500}{x^{2}} + 16 x

Vi setter på felles brøkstrek $x^{2}$ :

O^{'} (x) = \frac{- 500}{x^{2}} + \frac{16 x \cdot x^{2}}{x^{2}} = \frac{- 500 + 16 x^{3}}{x^{2}}

som er det vi skulle vise.

1) $f (x) = 3 \ln (2 x)$ . Vi bruker kjerneregelen med indre funksjon $2 x$ , som har derivert $2$ :

f^{'} (x) = 3 \cdot \frac{1}{2 x} \cdot 2 = \frac{3}{x}

2) $g (x) = 3 x \cdot e^{x^{2}}$ . Vi bruker produktregelen med $u = 3 x$ og $v = e^{x^{2}}$ (der $v^{'} = 2 x \cdot e^{x^{2}}$ fra kjerneregelen):

g^{'} (x) = 3 \cdot e^{x^{2}} + 3 x \cdot 2 x \cdot e^{x^{2}} = 3 e^{x^{2}} + 6 x^{2} e^{x^{2}} = 3 e^{x^{2}} (1 + 2 x^{2})

1) Vi setter $x = 1$ inn i $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15$ :

f (1) = 1 - 3 - 13 + 15 = 0

Siden $f (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor. Vi utfører polynomdivisjon:

(x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 15) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 15

Vi faktoriserer videre: $x^{2} - 2 x - 15 = (x - 5) (x + 3)$ . Dermed er

f (x) = (x - 1) (x - 5) (x + 3)

2) Nullpunktene er $x = - 3$ , $x = 1$ og $x = 5$ . Fortegnslinje for de tre faktorene $(x + 3)$ , $(x - 1)$ og $(x - 5)$ , med positiv ledende koeffisient (grafen går fra minus til pluss uendelig):

Fortegnslinje for f(x)

Ulikheten $f (x) \leq 0$ er dermed oppfylt for

x \leq - 3 eller 1 \leq x \leq 5

$f (0) = 300$ betyr at ved starten av utbruddet ( $t = 0$ ) var utslippet av lava $300$ tonn per time.

$f^{'} (10) = 0$ betyr at endringstakten i utslippet er null ved $t = 10$ timer, altså har $f$ et stasjonært punkt (topp- eller bunnpunkt) der.

$f^{''} (10) = - 10 < 0$ betyr at $f$ er konkav (buer nedover) ved $t = 10$ , som bekrefter at det stasjonære punktet er et toppunkt.

Samlet forteller opplysningene at lava-utslippet startet på $300$ tonn per time, økte i starten, nådde et maksimum $10$ timer etter at utbruddet begynte, og avtok etter dette.

\lg (a^{2} b) + \lg (a b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}})

Vi bruker regelen $\lg (p) + \lg (q) = \lg (p \cdot q)$ og slår sammen alle tre leddene til én logaritme:

= \lg (a^{2} b \cdot a b^{2} \cdot \frac{a}{b^{3}}) = \lg (\frac{a^{2 + 1 + 1} \cdot b^{1 + 2}}{b^{3}}) = \lg (a^{4} \cdot b^{3 - 3}) = \lg (a^{4})

Siden $b^{0} = 1$ , står vi igjen med $\lg (a^{4}) = 4 \lg a$ (regelen $\lg (a^{n}) = n \lg a$ ).

4 \lg a

\frac{2 x + 10}{x^{2} - 25} + \frac{x}{x + 5} - \frac{2}{x - 5}

Vi faktoriserer nevneren og telleren i det første leddet: $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ og $2 x + 10 = 2 (x + 5)$ :

\frac{2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)} = \frac{2}{x - 5}

Uttrykket blir dermed

\frac{2}{x - 5} + \frac{x}{x + 5} - \frac{2}{x - 5}

Det første og siste leddet kansellerer hverandre, og vi står igjen med

\frac{x}{x + 5}

Linjen $l$ har parameterframstilling $x = 1 + 2 t$ , $y = 2 + t$ , så et punkt på linjen er $A (1,2)$ (for $t = 0$ ), og retningsvektoren er $\vec{d} = [2,1]$ .

Vi finner vektoren fra $A$ til $P (4,1)$ :

\vec{A P} = [4 - 1, 1 - 2] = [3, - 1]

Avstanden fra $P$ til linjen finner vi ved formelen $d = \frac{| \vec{A P} \times \vec{d} |}{| \vec{d} |}$ , der $\vec{A P} \times \vec{d} = A P_{x} \cdot d_{y} - A P_{y} \cdot d_{x}$ :

\vec{A P} \times \vec{d} = 3 \cdot 1 - (- 1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5

| \vec{d} | = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}

d = \frac{| 5 |}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}

d = \sqrt{5} \approx 2,24

Linjestykket $A B = 10 c m$ , og vi skal konstruere $△ A B C$ med $∠ C = 90 °$ og $A C = 7 c m$ .

Siden $∠ C = 90 °$ , må $C$ ligge på sirkelen med diameter $A B$ (Thales’ setning). Konstruksjon:

Tegn linjestykket $A B = 10 c m$ .
Konstruer midtnormalen på $A B$ for å finne midtpunktet $M$ .
Tegn en sirkel med sentrum $M$ og radius $5 c m$ (halvparten av $A B$ ). Alle punkter på denne sirkelen ser $A B$ under en rett vinkel.
Sett passerspissen i $A$ med åpning $7 c m$ , og slå en bue som skjærer sirkelen fra punkt 3 i et punkt $C$ .
Tegn linjestykkene $A C$ og $B C$ . Trekant $A B C$ er nå ferdig konstruert, med $∠ C = 90 °$ garantert av Thales’ setning.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 18 poeng

Svaret må forkortes.

Opplysningene $f^{'} (10) = 0$ og $f^{''} (10) = - 10$ må brukes sammen for å forklare at lavastrømmen er størst når $t = 10$ .

Svaret må forkortes mest mulig.

Å tegne vektoren fra $P$ til $l$ , finne vektoren på koordinatform uten å gå veien om parametrisering, og så finne lengden av vektoren bør gi full uttelling. Å tegne inn og måle avstanden med linjal gir 0,5 poeng.

Det er flere framgangsmåter som gir full uttelling. Det presiseres at eleven må bruke passer og linjal, samt å gi en konstruksjonsforklaring for å få full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 18
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Ulikheter, Logaritmer
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en $△ A B C$ er $∠ A = 90 °$ . En sirkel med sentrum i $S$ er innskrevet i trekanten. Sidene $A C$ og $B C$ tangerer sirkelen i punktene $D$ og $E$ . Linjen gjennom $B$ og $S$ skjærer $D E$ i $F$ .

Se skissen nedenfor.

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant med punkt F

Du får oppgitt at $D C = E C$ .

Vi setter $∠ A B C = v$ , $∠ B C A = u$ og $∠ B F E = x$

Forklar at $u + v = 90 °$ og at $∠ D E C = 90 ° - \frac{u}{2}$

Forklar at $∠ F B E = \frac{v}{2}$ og at $∠ B E F = 90 ° + \frac{u}{2}$

Vis at $x = 45 °$

Fasit

Vist i løsningsforslaget

$x = 45 °$

LøsningsforslagKI-generert

I $△ A B C$ er $∠ A = 90 °$ , $∠ A B C = v$ og $∠ B C A = u$ . Vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , så

∠ A + v + u = 180 ° \Rightarrow 90 ° + u + v = 180 ° \Rightarrow u + v = 90 °

Videre er $D$ og $E$ tangeringspunktene der innsirkelen berører henholdsvis $A C$ og $B C$ , så $D$ ligger på $A C$ og $E$ ligger på $B C$ . Vinkelen $∠ D C E$ i $△ D E C$ er derfor lik $∠ B C A = u$ .

Siden $D C = E C$ (oppgitt), er $△ D E C$ likebeint med toppunkt i $C$ . Grunnvinklene i en likebeint trekant er like store, så $∠ C D E = ∠ C E D$ . Vinkelsummen i $△ D E C$ gir

u + ∠ C D E + ∠ C E D = 180 ° \Rightarrow u + 2 \cdot ∠ D E C = 180 °

∠ D E C = \frac{180 ° - u}{2} = 90 ° - \frac{u}{2}

som er det vi skulle vise.

$S$ er sentrum i innsirkelen (insenteret) i $△ A B C$ , og innsenteret ligger i skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene. Linjen gjennom $B$ og $S$ er derfor vinkelhalveringslinjen til $∠ A B C = v$ . Siden $F$ ligger på denne linjen (og $E$ ligger på $B C$ ), er

∠ F B E = ∠ S B E = \frac{v}{2}

som er det vi skulle vise.

For $∠ B E F$ : Punktene $B$ , $E$ og $C$ ligger på linjen $B C$ (siden $E$ er tangeringspunktet på $B C$ ), og $∠ B E C$ og $∠ D E C$ er derfor tilstøtende vinkler som til sammen utgjør $180 °$ :

∠ B E D = 180 ° - ∠ D E C = 180 ° - (90 ° - \frac{u}{2}) = 90 ° + \frac{u}{2}

Siden $F$ ligger på linjen $D E$ (skjæringspunktet mellom $D E$ og $B S$ ), er $∠ B E F = ∠ B E D$ :

∠ B E F = 90 ° + \frac{u}{2}

I $△ B E F$ er vinklene $∠ F B E$ , $∠ B E F$ og $∠ B F E = x$ . Vinkelsummen gir

∠ F B E + ∠ B E F + x = 180 °

Vi setter inn resultatene fra a) og b):

\frac{v}{2} + (90 ° + \frac{u}{2}) + x = 180 °

x = 180 ° - 90 ° - \frac{u + v}{2} = 90 ° - \frac{u + v}{2}

Fra a) vet vi at $u + v = 90 °$ , så

x = 90 ° - \frac{90 °}{2} = 90 ° - 45 ° = 45 °

x = 45 °

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Elever som bare måler på figuren, får ingen uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 2-3Rett prisme med minimalt overflateareal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har et rett prisme der lengden av grunnflaten er fire ganger så stor som bredden. Volumet er $200 {c m}^{3}$ . Vi setter bredden lik $x c m$ . Se skissen.

Rett prisme med bredde x, lengde 4x og høyde h

Kalkulator

Vis at $h = \frac{50}{x^{2}}$

Kalkulator

Vis at overflaten $O$ av prismet kan skrives $O (x) = \frac{500}{x} + 8 x^{2}$

I oppgave 1 a) i Del 1 viste du at $O^{'} (x) = \frac{- 500 + 16 x^{3}}{x^{2}}$ .

Kalkulator

Bruk den deriverte til å finne den minste overflaten $O$ som prismet kan ha. Hva er lengden, bredden og høyden nå?

Vi har et annet rett prisme der lengden av grunnflaten er tre ganger så stor som bredden. Volumet er $200 {c m}^{3}$ .

Kalkulator

Finn den minste overflaten som dette prismet kan ha.

Fasit

Vist i løsningsforslaget.

$O_{min} = 150 \sqrt[3]{4} \approx 238,1 {cm}^{2}$ , med $x \approx 3,15 cm$ , lengde $\approx 12,60 cm$ og høyde $\approx 5,04 cm$ .

$O_{min} = 40 \sqrt[3]{180} \approx 225,8 {cm}^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Prismet har grunnflate med bredde $x$ og lengde $4 x$ , og høyde $h$ . Volumet er

V = lengde \cdot bredde \cdot høyde = 4 x \cdot x \cdot h = 4 x^{2} h

Siden volumet er $200 {cm}^{3}$ , får vi

4 x^{2} h = 200 \Rightarrow h = \frac{200}{4 x^{2}} = \frac{50}{x^{2}}

$h = \frac{50}{x^{2}}$

Overflaten av et rett prisme (boks) med sider $4 x$ , $x$ og $h$ består av tre par like sider:

O = 2 \cdot (4 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x \cdot h) + 2 \cdot (x \cdot h) = 8 x^{2} + 8 x h + 2 x h = 8 x^{2} + 10 x h

Setter inn $h = \frac{50}{x^{2}}$ fra a):

O (x) = 8 x^{2} + 10 x \cdot \frac{50}{x^{2}} = 8 x^{2} + \frac{500}{x}

$O (x) = \frac{500}{x} + 8 x^{2}$

Vi bruker den oppgitte deriverte $O^{'} (x) = \frac{- 500 + 16 x^{3}}{x^{2}}$ . Vi løser $O^{'} (x) = 0$ i GeoGebra CAS.

Løsning av O'(x)=0 og forenkling av minste overflate, del c og d

O^{'} (x) = 0 \Rightarrow 16 x^{3} = 500 \Rightarrow x = \frac{5 \sqrt[3]{2}}{2} \approx 3,15

Siden $O^{'} (x) < 0$ for $x$ mindre enn denne verdien og $O^{'} (x) > 0$ for $x$ større, er dette et minimum.

Numerisk (se utklipp) gir dette

O (x) \approx 238,11 {cm}^{2}, h = \frac{50}{x^{2}} \approx 5,04 cm, 4 x \approx 12,60 cm

Numerisk kontroll av overflate, høyde og lengde for del c

Eksakt kan minste overflate skrives $O_{min} = 150 \sqrt[3]{4} {cm}^{2}$ (se forenkling i første utklipp).

Den minste overflaten er

O_{min} = 150 \sqrt[3]{4} \approx 238,1 {cm}^{2}

og da er bredden $x \approx 3,15 cm$ , lengden $4 x \approx 12,60 cm$ og høyden $h \approx 5,04 cm$ .

Nå er lengden $3 x$ i stedet for $4 x$ . Volumet gir

3 x \cdot x \cdot h = 200 \Rightarrow h = \frac{200}{3 x^{2}}

Overflaten blir

O (x) = 2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (3 x \cdot h) + 2 \cdot (x \cdot h) = 6 x^{2} + 8 x h = 6 x^{2} + \frac{1600}{3 x}

Vi deriverer og løser $O^{'} (x) = 0$ i CAS (se utklipp over):

O^{'} (x) = 12 x - \frac{1600}{3 x^{2}} = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \sqrt[3]{150}}{3} \approx 3,54

Dette er et minimum av samme grunn som i c). Numerisk kontroll:

O (x) \approx 225,85 {cm}^{2}, h = \frac{200}{3 x^{2}} \approx 5,31 cm, 3 x \approx 10,63 cm

Numerisk kontroll av overflate, høyde og lengde for del d

Eksakt forenkles minste overflate til $O_{min} = 40 \sqrt[3]{180} {cm}^{2}$ (se forenkling i første utklipp).

Den minste overflaten dette prismet kan ha, er

O_{min} = 40 \sqrt[3]{180} \approx 225,8 {cm}^{2}

Dette er mindre enn i c) — når lengden er tre ganger bredden i stedet for fire ganger, blir formen på prismet «nærmere en terning», og overflatearealet for et gitt volum blir mindre.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 7 poeng

For å få full uttelling må elevene dokumentere at $O$ har et bunnpunkt når $O^{'} (x) = 0$ , enten ved fortegnslinje eller ved grafisk fremstilling av den deriverte.

Elevene må etablere uttrykket for overflaten. Løsningen videre kan gå som ovenfor (uten at dokumentasjon av bunnpunkt kreves), eller ved å bruke digitale verktøy.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Optimering, Derivasjon, Volum, Areal og omkrets
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På en skole er det 350 elever. 150 av disse er gutter. En undersøkelse viser at 100 gutter og 180 jenter har med seg matpakke hver dag.

Én elev trekkes ut tilfeldig. La $A$ og $B$ være de to hendelsene

$A$ : Eleven er en gutt.

$B$ : Eleven har med matpakke hver dag.

Kalkulator

Forklar med ord hva vi mener med $P (A \cap B)$ . Finn denne sannsynligheten.

Kalkulator

Finn sannsynlighetene $P (B)$ og $P (B | A)$ . Er de to hendelsene $A$ og $B$ uavhengige?

Fasit

$P (A \cap B) = \frac{2}{7} \approx 28,6 %$

$P (B) = 80 %, P (B | A) \approx 66,7 %$ , ikke uavhengige

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp en krysstabell over de $350$ elevene basert på opplysningene i oppgaven:

	Matpakke ($B$)	Ikke matpakke ($\overline{B}$)	Sum
Gutt ($A$)	100	50	150
Jente ($\overline{A}$)	180	20	200
Sum	280	70	350

$P (A \cap B)$ er sannsynligheten for at eleven både er en gutt og har med matpakke hver dag, altså at begge hendelsene $A$ og $B$ inntreffer samtidig.

Av tabellen ser vi at $100$ av de $350$ elevene er gutter med matpakke:

P (A \cap B) = \frac{100}{350} = \frac{2}{7} \approx 0,286

P (A \cap B) \approx 28,6 %

Totalt har $280$ av $350$ elever med matpakke hver dag:

P (B) = \frac{280}{350} = 0,8 = 80 %

Den betingede sannsynligheten $P (B | A)$ er sannsynligheten for at eleven har med matpakke, gitt at eleven er en gutt. Vi bruker formelen

P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} = \frac{100 / 350}{150 / 350} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3} \approx 0,667 = 66,7 %

Siden $P (B | A) \approx 66,7 % \neq P (B) = 80 %$ , er hendelsene $A$ og $B$ ikke uavhengige. At en elev er gutt, påvirker altså sannsynligheten for at eleven har med matpakke.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (2, - 1)$ og $B (5, 3)$ er gitt.

Kalkulator

Finn $\vec{A B}$ og regn ut $| \vec{A B} |$ .

Vektoren $\vec{A C} = [- 1, 2]$ er gitt.

Kalkulator

Bestem koordinatene til punktet $C$ .

Kalkulator

Regn ut $\vec{A C} \cdot \vec{B C}$ og kommenter svaret.

En rett linje $l$ går gjennom punktet $P (3, - 4)$ og er parallell med $\vec{A C}$ .

Kalkulator

Finn en parameterframstilling for linjen $l$ .

Kalkulator

Finn koordinatene til punktet der $l$ skjærer $y$ -aksen.

Punktet $Q (8, 6)$ er gitt. En vektor $\vec{Q R}$ har lengden 10, og $R$ er et punkt på linjen $l$ .

Kalkulator

Bestem koordinatene til $R$ .

Fasit

$\vec{A B} = [3, 4], | \vec{A B} | = 5$

$C (1, 1)$

$\vec{A C} \cdot \vec{B C} = 0$ , altså er $\vec{A C} ⟂ \vec{B C}$

$l : [x, y] = [3, - 4] + t \cdot [- 1, 2]$

$(0, 2)$

$R (2, - 2) eller R (- 2, 6)$

LøsningsforslagKI-generert

Alle utregninger er kontrollert i GeoGebra CAS.

Løsning i GeoGebra CAS

Vektoren $\vec{A B}$ finner vi ved å trekke koordinatene til $A$ fra koordinatene til $B$ :

\vec{A B} = B - A = [5 - 2, 3 - (- 1)] = [3, 4]

Lengden av vektoren regner vi ut med Pytagoras’ setning:

| \vec{A B} | = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Siden $\vec{A C} = C - A$ , finner vi $C$ ved å legge vektoren til punktet $A$ :

C = A + \vec{A C} = (2, - 1) + [- 1, 2] = (1, 1)

Vi finner først $\vec{B C}$ :

\vec{B C} = C - B = (1 - 5, 1 - 3) = [- 4, - 2]

Deretter regner vi ut prikkproduktet:

\vec{A C} \cdot \vec{B C} = (- 1) \cdot (- 4) + 2 \cdot (- 2) = 4 - 4 = 0

Siden prikkproduktet er $0$ , er vektorene $\vec{A C}$ og $\vec{B C}$ vinkelrette på hverandre. Det betyr at trekanten $A B C$ har en rett vinkel i $C$ .

Linjen $l$ går gjennom $P (3, - 4)$ og er parallell med $\vec{A C} = [- 1, 2]$ , som da er en retningsvektor for linjen. En parameterframstilling blir

l : [x, y] = [3, - 4] + t \cdot [- 1, 2], t \in ℝ

Linjen skjærer $y$ -aksen der $x = 0$ :

3 - t = 0 \Rightarrow t = 3

Setter vi $t = 3$ inn i uttrykket for $y$ :

y = - 4 + 2 \cdot 3 = 2

Linjen $l$ skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 2)$ .

Et punkt $R$ på linjen $l$ kan skrives på formen $R (t) = (3 - t, - 4 + 2 t)$ . Vektoren $\vec{Q R}$ blir da

\vec{Q R} = R (t) - Q = (3 - t - 8, - 4 + 2 t - 6) = [- 5 - t, 2 t - 10]

Kravet $| \vec{Q R} | = 10$ gir likningen

\sqrt{{(- 5 - t)}^{2} + {(2 t - 10)}^{2}} = 10

Kvadrerer vi begge sider og forenkler, får vi (se likning i utklippet)

5 t^{2} - 30 t + 125 = 100 \Rightarrow t^{2} - 6 t + 5 = 0

Dette gir $t = 1$ eller $t = 5$ (se løsning i utklippet). Setter vi de to verdiene inn i $R (t)$ :

t = 1 : R = (3 - 1, - 4 + 2) = (2, - 2)

t = 5 : R = (3 - 5, - 4 + 10) = (- 2, 6)

Det finnes altså to punkter som oppfyller kravet: $R (2, - 2)$ eller $R (- 2, 6)$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 9 poeng

En fullgod løsning må ha med begge mulighetene for punktet $R$ . Grafisk løsning gir også full uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 9
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Skalarprodukt, Lengde av vektor
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du får oppgitt at en funksjon $f$ er definert for $x \in ⟨ 0, 10 ⟩$ . Funksjonen er kontinuerlig, men ikke deriverbar i $x = 2$ , og ikke kontinuerlig i $x = 5$ .

Tegn en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

Fasit

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Grafen skal ha to spesielle punkter innenfor $⟨ 0, 10 ⟩$ :

I $x = 2$ er $f$ kontinuerlig, altså ingen «hopp» i grafen, men ikke deriverbar — grafen skal ha et knekkpunkt (et «tak»- eller «kink»-punkt) der stigningstallet endrer seg brått fra venstre til høyre side.
I $x = 5$ er $f$ ikke kontinuerlig — grafen skal ha et hopp (sprang) i funksjonsverdien.

Et eksempel på en slik graf er vist under, med funksjonsuttrykket

f (x) = {\begin{matrix} x & 0 \leq x \leq 2 \\ - \frac{1}{2} x + 3 & 2 < x < 5 \\ x - 2 & 5 \leq x \leq 10 \end{matrix}

Skisse av grafen til f

I $x = 2$ møtes de to linjestykkene i samme punkt $(2, 2)$ , så grafen er kontinuerlig der. Stigningstallet er $1$ like til venstre for $x = 2$ og $- \frac{1}{2}$ like til høyre, så grafen får et knekkpunkt — $f$ er ikke deriverbar i $x = 2$ .

I $x = 5$ nærmer grafen seg $y = 0,5$ fra venstre, men funksjonsverdien hopper til $y = 3$ fra $x = 5$ og videre. Dette hoppet gjør at $f$ ikke er kontinuerlig i $x = 5$ .

Enhver skisse med et knekkpunkt i $x = 2$ og et hopp i $x = 5$ er en godkjent løsning — det er ikke ett bestemt funksjonsuttrykk som er «riktig».

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 2 poeng

Her er det mange ulike skisser som kan være riktige. Funksjonen er ikke deriverbar i $x = 2$ hvis funksjonen er diskontinuerlig eller grafen har et «knekkpunkt». Skissen må tegnes i funksjonens definisjonsområde.

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon, Graf
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Primtall som differanse mellom kvadrattall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal vi undersøke påstanden:

Alle primtall som er større enn 2, kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

For hånd

Skriv av og fyll ut tabellen

Primtall	Naturlige tall		Kvadrattall		Differanse
$p$	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{1}^{2}$	$n_{2}^{2}$	$n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$
3	2	1	$2^{2}$	$1^{2}$	3
5	3	2	$3^{2}$	$2^{2}$	5
7	4	3	$4^{2}$	$3^{2}$	7
11	6	5	$6^{2}$	$5^{2}$	11
13
17
19

I tabellen er $p$ primtall, og $n_{1}$ og $n_{2}$ er naturlige tall, slik at:

n_{1} + n_{2} = p

n_{1} - n_{2} = 1

For hånd

Vis at vi kan skrive: $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$

For hånd

Bevis at påstanden i ruten ovenfor er riktig.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget

$n_{1} = \frac{p + 1}{2}, n_{2} = \frac{p - 1}{2}$

$n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = p$ for alle primtall $p > 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$ (se b) for utledning) og fyller ut resten av tabellen:

Primtall	Naturlige tall		Kvadrattall		Differanse
$p$	$n_{1}$	$n_{2}$	$n_{1}^{2}$	$n_{2}^{2}$	$n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$
3	2	1	$2^{2}$	$1^{2}$	3
5	3	2	$3^{2}$	$2^{2}$	5
7	4	3	$4^{2}$	$3^{2}$	7
11	6	5	$6^{2}$	$5^{2}$	11
13	7	6	$7^{2}$	$6^{2}$	13
17	9	8	$9^{2}$	$8^{2}$	17
19	10	9	$10^{2}$	$9^{2}$	19

Vi har likningssystemet

n_{1} + n_{2} = p

n_{1} - n_{2} = 1

Legger vi sammen de to likningene, faller $n_{2}$ bort:

2 n_{1} = p + 1 \Rightarrow n_{1} = \frac{p + 1}{2}

Trekker vi den andre likningen fra den første, faller $n_{1}$ bort:

2 n_{2} = p - 1 \Rightarrow n_{2} = \frac{p - 1}{2}

Vi skal bevise påstanden: Alle primtall $p > 2$ kan skrives som differansen mellom to kvadrattall.

Siden $p$ er et primtall større enn $2$ , er $p$ oddetall. Dermed er $p + 1$ og $p - 1$ begge partall, og

n_{1} = \frac{p + 1}{2}, n_{2} = \frac{p - 1}{2}

er naturlige tall.

Vi bruker konjugatsetningen på differansen mellom kvadratene:

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = (n_{1} - n_{2}) (n_{1} + n_{2})

Fra b) vet vi at $n_{1} - n_{2} = 1$ og $n_{1} + n_{2} = p$ . Setter vi inn dette, får vi

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = 1 \cdot p = p

Dette viser at ethvert primtall $p > 2$ kan skrives som differansen $n_{1}^{2} - n_{2}^{2}$ mellom to kvadrattall, der $n_{1} = \frac{p + 1}{2}$ og $n_{2} = \frac{p - 1}{2}$ . Dermed er

n_{1}^{2} - n_{2}^{2} = p

og påstanden er bevist.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Påstanden i oppgaven gjelder for alle oddetall, men i denne oppgaven har vi valgt å fokusere bare på primtall. Uttrykkene for $n_{1}$ og $n_{2}$ må vises generelt for å gi uttelling.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Bevis, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Skomakerkniven og halvsirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Matematikeren Arkimedes (ca. 287–212 f.Kr.) studerte figuren du ser nedenfor. Det hvite området på figuren kalles skomakerkniven.

Området er avgrenset av en ytre halvsirkel og to indre halvsirkler. De to indre halvsirklene, som er fargelagt på figuren, har sentrum i $D$ og $E$ .

De indre halvsirklene har radius $R$ og $r$ . Punktene $D$ , $C$ og $E$ ligger på linjestykket $A B$ .

Skomakerkniven med ytre og to indre halvsirkler

For hånd

Vis at lengden av sirkelbuen $A B$ er lik summen av lengdene av de to sirkelbuene $A C$ og $C B$ .

På figuren er $C H ⟂ A B$ .

For hånd

Forklar at $△ A C H$ er formlik med $△ H C B$ .

For hånd

Bruk dette til å vise at $C H = 2 \sqrt{R \cdot r}$

For hånd

Vis at arealet av en sirkel med diameter $C H$ er lik arealet av skomakerkniven.

Fasit

Vist: begge sider gir buelengden $π (R + r)$ .

Vist: $△ A C H \sim △ H C B$ (AA).

$C H = 2 \sqrt{R \cdot r}$

Vist: begge arealer er lik $π R r$ .

LøsningsforslagKI-generert

Siden $D$ , $C$ og $E$ ligger på $A B$ , med $A C = 2 R$ og $C B = 2 r$ , er

A B = A C + C B = 2 R + 2 r = 2 (R + r)

Den ytre halvsirkelen har altså radius $R + r$ . Buelengden til en halvsirkel med radius $ρ$ er $π ρ$ , så

bue A B = π (R + r) = π R + π r

Bue $A C$ er en halvsirkel med radius $R$ , som har lengde $π R$ . Bue $C B$ er en halvsirkel med radius $r$ , som har lengde $π r$ . Dermed er

bue A B = π R + π r = bue A C + bue C B

som skulle vises. $■$

Punktet $H$ ligger på den store halvsirkelen med diameter $A B$ . Av periferivinkelsetningen (vinkel i halvsirkel er rett) er da

∠ A H B = 90 °

Siden $C H ⟂ A B$ , er også

∠ A C H = ∠ H C B = 90 °

I $△ A C H$ er vinkelsummen $180 °$ , som gir

∠ C A H + ∠ A H C = 90 ° (*)

Punktet $C$ ligger mellom $A$ og $B$ , og linjestykket $H C$ deler dermed $∠ A H B$ i $∠ A H C$ og $∠ C H B$ :

∠ A H C + ∠ C H B = ∠ A H B = 90 ° (* *)

Fra $(*)$ og $(* *)$ følger $∠ C H B = ∠ C A H$ .

Trekantene $△ A C H$ og $△ H C B$ har dermed to like vinkler:

$∠ A C H = ∠ H C B = 90 °$
$∠ C A H = ∠ C H B$

To parvis like vinkler gir formlikhet (AA-kriteriet):

△ A C H \sim △ H C B

Formlikheten $△ A C H \sim △ H C B$ (med korrespondanse $A \leftrightarrow H$ , $C \leftrightarrow C$ , $H \leftrightarrow B$ ) gir at forholdet mellom tilsvarende sider er likt:

\frac{A C}{H C} = \frac{C H}{C B}

som gir

C H^{2} = A C \cdot C B

Siden $A C = 2 R$ og $C B = 2 r$ :

C H^{2} = 2 R \cdot 2 r = 4 R r

C H = \sqrt{4 R r} = 2 \sqrt{R \cdot r}

Sirkelen med diameter $C H$ har radius $\frac{C H}{2} = \sqrt{R r}$ , så arealet er

A_{sirkel} = π {(\sqrt{R r})}^{2} = π R r

Arealet av skomakerkniven er arealet av den store halvsirkelen minus arealene av de to små halvsirklene:

A_{skomakerkniv} = \frac{1}{2} π {(R + r)}^{2} - \frac{1}{2} π R^{2} - \frac{1}{2} π r^{2}

= \frac{π}{2} [(R + r)^{2} - R^{2} - r^{2}] = \frac{π}{2} [2 R r] = π R r

Dermed er

A_{skomakerkniv} = π R r = A_{sirkel}

som skulle vises. $■$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 8 poeng

a), c) og d) Oppgavene 8 a), 8 c) og 8 d) må besvares generelt.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Geometri, Sirkel, Areal og omkrets, Bevis, Formlike trekanter
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3Rett prisme med minimalt overflateareal

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Primtall som differanse mellom kvadrattall

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-8Skomakerkniven og halvsirkler

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Oppgave 1-2·Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 6 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-3·Rett prisme med minimalt overflateareal

Oppgave 2-4·Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Oppgave 2-5·Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Oppgave 2-6·Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

Oppgave 2-7·Primtall som differanse mellom kvadrattall

Oppgave 2-8·Skomakerkniven og halvsirkler

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon deriverte og polynomdivisjon R1 V11

Oppgave 1-2Innskrevet sirkel og vinkler i trekant

Oppgave 2-3Rett prisme med minimalt overflateareal

Oppgave 2-4Sannsynlighet med matpakke og uavhengighet

Oppgave 2-5Vektorer og linjer med punkter og parameterframstilling

Oppgave 2-6Funksjon med kontinuitet og deriverbarhet

Oppgave 2-7Primtall som differanse mellom kvadrattall

Oppgave 2-8Skomakerkniven og halvsirkler