R1 Høst 2014 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 5

g (x) = x^{2} \cdot e^{x}

Fasit

$f^{'} (x) = 15 x^{2} - 4 x$

$g^{'} (x) = (x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer ledd for ledd med potensregelen $\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}$ .

f (x) = 5 x^{3} - 2 x^{2} + 5

f^{'} (x) = 5 \cdot 3 x^{2} - 2 \cdot 2 x + 0 = 15 x^{2} - 4 x

$g (x) = x^{2} \cdot e^{x}$ er et produkt av to funksjoner, så vi bruker produktregelen ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$ med $u (x) = x^{2}$ og $v (x) = e^{x}$ .

Vi finner de deriverte av hver faktor.

u^{'} (x) = 2 x v^{'} (x) = e^{x}

Deretter setter vi inn i produktregelen.

g^{'} (x) = 2 x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = (x^{2} + 2 x) \cdot e^{x}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Produktregelen, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Polynomfunksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} + x^{2} - 10 x + 8, D_{P} = ℝ

Faktoriser $P (x)$ i førstegradsfaktorer.

Løs ulikheten $P (x) \leq 0$ .

Fasit

$P (x) = (x - 1) (x + 4) (x - 2)$

$x \leq - 4 eller 1 \leq x \leq 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leter etter en heltallig rot ved å prøve faktorer av konstantleddet $8$ . Vi prøver $x = 1$ .

P (1) = 1^{3} + 1^{2} - 10 \cdot 1 + 8 = 1 + 1 - 10 + 8 = 0

Siden $P (1) = 0$ , er $(x - 1)$ en faktor i $P (x)$ . Vi utfører polynomdivisjon.

(x^{3} + x^{2} - 10 x + 8) : (x - 1) = x^{2} + 2 x - 8

Deretter faktoriserer vi andregradsuttrykket $x^{2} + 2 x - 8$ ved å løse $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ med $a b c$ -formelen.

x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1} = \frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{- 2 \pm 6}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = - 4$ , slik at $x^{2} + 2 x - 8 = (x - 2) (x + 4)$ .

Samlet blir faktoriseringen

P (x) = (x - 1) \cdot (x - 2) \cdot (x + 4)

Vi skal løse $P (x) \leq 0$ , altså $(x - 1) (x - 2) (x + 4) \leq 0$ . Nullpunktene er $x = - 4$ , $x = 1$ og $x = 2$ . Vi setter opp fortegnsskjema med disse tre verdiene.

Fortegnslinje for P(x)

Fortegnsskjemaet viser at $P (x) \leq 0$ når $x \leq - 4$ eller $1 \leq x \leq 2$ (nullpunktene selv er inkludert siden ulikheten ikke er streng).

x \in ⟨ - \infty, - 4] \cup [1, 2]

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Lydstyrke desibel og lydintensitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sammenhengen mellom lydstyrken $L$ dB (desibel) og lydintensiteten $I W / m^{2}$ er gitt ved

L = 10 \cdot \lg \frac{I}{I_{0}}

$I_{0} = 10^{- 12}$ er en konstant.

Vis at formelen kan skrives som $L = 10 \cdot \lg I + 120$

På en arbeidsplass blir lydintensiteten målt til $10^{- 4} W / m^{2}$ . Hvor mange desibel er lydstyrken på arbeidsplassen?

På en klassefest blir lydstyrken målt til 100 dB. Hvilken lydintensitet svarer det til?

Fasit

Vist i løsningsforslaget

$L = 80 dB$

$I = 10^{- 2} W / m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $I_{0} = 10^{- 12}$ i formelen og bruker logaritmeregelen $\lg (\frac{a}{b}) = \lg a - \lg b$ .

L = 10 \cdot \lg \frac{I}{I_{0}} = 10 \cdot \lg \frac{I}{10^{- 12}} = 10 \cdot (\lg I - \lg 10^{- 12})

Siden $\lg 10^{- 12} = - 12$ , får vi

L = 10 \cdot \lg I - 10 \cdot (- 12) = 10 \cdot \lg I + 120

Dette er akkurat det uttrykket vi skulle vise.

Vi setter $I = 10^{- 4}$ inn i formelen fra a).

L = 10 \cdot \lg (10^{- 4}) + 120 = 10 \cdot (- 4) + 120 = - 40 + 120

L = 80 dB

Lydstyrken på arbeidsplassen er $80 dB$ .

Vi setter $L = 100$ inn i formelen og løser for $I$ .

100 = 10 \cdot \lg I + 120

10 \cdot \lg I = 100 - 120 = - 20

\lg I = - 2

Ved å bruke definisjonen av $10$ -logaritmen ( $\lg I = - 2 \Leftrightarrow I = 10^{- 2}$ ) får vi

I = 10^{- 2} W / m^{2}

En lydstyrke på $100 dB$ svarer altså til en lydintensitet på $10^{- 2} W / m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmer, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{2 x - 4}{x - 1}, D_{f} = ℝ ∖ {1}

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Bestem $f^{'} (x)$ .

Bestem likningen til tangenten i punktet $(2, 0)$ på grafen.

Fasit

Skisse med loddrett asymptote $x = 1$ , vannrett asymptote $y = 2$ og nullpunkt $(2,0)$

$f^{'} (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

$y = 2 x - 4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f$ ved å utføre polynomdivisjon, slik at det blir enklere å finne asymptotene:

f (x) = \frac{2 x - 4}{x - 1} = \frac{2 (x - 1) - 2}{x - 1} = 2 - \frac{2}{x - 1}

Loddrett asymptote: $f$ er ikke definert for $x = 1$ (nevneren blir $0$ ), så $x = 1$ er loddrett asymptote.
Vannrett asymptote: Når $x \to \pm \infty$ , går $\frac{2}{x - 1} \to 0$ , så $f (x) \to 2$ . Dermed er $y = 2$ vannrett asymptote.
Nullpunkt: $f (x) = 0$ når telleren er null, altså $2 x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ . Grafen skjærer $x$ -aksen i $(2,0)$ .
Skjæring med $y$ -aksen: $f (0) = \frac{- 4}{- 1} = 4$ .

Ved $x = 1$ ser vi at telleren er $2 \cdot 1 - 4 = - 2 \neq 0$ , så grafen “blåser opp” mot $+ \infty$ på venstre side av asymptoten og mot $- \infty$ på høyre side (kan sjekkes med et par prøvepunkter, f.eks. $f (0,9) = 16$ og $f (1,1) = - 18$ ).

Skissen under viser grafen til $f$ (blå), asymptotene (stiplet grå) og tangenten fra c) (rød):

Skisse av grafen til f med asymptoter

Vi bruker kvotientregelen ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$ med $u = 2 x - 4$ og $v = x - 1$ , slik at $u^{'} = 2$ og $v^{'} = 1$ :

f^{'} (x) = \frac{2 (x - 1) - (2 x - 4) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2 x - 2 - 2 x + 4}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}

f^{'} (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}

Stigningstallet til tangenten i $x = 2$ er $f^{'} (2)$ :

f^{'} (2) = \frac{2}{{(2 - 1)}^{2}} = \frac{2}{1} = 2

Tangenten går gjennom punktet $(2,0)$ og har stigningstall $2$ . Da bruker vi ettpunktsformelen:

y - 0 = 2 (x - 2)

y = 2 x - 4

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rasjonale funksjoner, Derivasjon, Tangent, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To linjer er gitt ved likningene $y = a_{1} \cdot x + b_{1}$ og $y = a_{2} \cdot x + b_{2}$

Forklar at $\vec{v} = [1, a]$ er en retningsvektor til linjen $y = a x + b$ .

Bruk skalarprodukt til å vise at dersom linjene står vinkelrett på hverandre, er $a_{1} \cdot a_{2} = - 1$ .

Fasit

Vist i løsningsforslaget

LøsningsforslagKI-generert

To vilkårlige punkter på linjen $y = a x + b$ finner vi ved å velge to $x$ -verdier. Vi velger $x = 0$ og $x = 1$ .

P_{1} = (0, b) P_{2} = (1, a + b)

En retningsvektor til linjen er vektoren mellom disse to punktene, siden begge punktene ligger på linjen.

\vec{v} = P_{2} - P_{1} = (1 - 0, (a + b) - b) = (1, a)

Dette viser at $\vec{v} = [1, a]$ er en retningsvektor til linjen $y = a x + b$ , uansett hvilke to punkter vi hadde valgt (stigningen $a$ er den samme overalt på linjen).

Fra a) vet vi at linjene $y = a_{1} \cdot x + b_{1}$ og $y = a_{2} \cdot x + b_{2}$ har retningsvektorene

\vec{v_{1}} = [1, a_{1}] \vec{v_{2}} = [1, a_{2}]

To vektorer står vinkelrett på hverandre hvis og bare hvis skalarproduktet er null. Siden linjene står vinkelrett på hverandre, må retningsvektorene også stå vinkelrett på hverandre, altså $\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 0$ .

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = 1 \cdot 1 + a_{1} \cdot a_{2} = 1 + a_{1} \cdot a_{2}

Vi setter skalarproduktet lik null og løser for $a_{1} \cdot a_{2}$ .

1 + a_{1} \cdot a_{2} = 0

a_{1} \cdot a_{2} = - 1

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Vektorer, Stigningstall, Bevis, Skalarprodukt
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Eksponentiell likning med andregradseksponent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

\frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{x^{2} - x} = \frac{3}{8}

Fasit

$x = - 1 eller x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi starter med likningen

\frac{2}{3} \cdot {(\frac{3}{4})}^{x^{2} - x} = \frac{3}{8}

og isolerer potensleddet ved å dividere begge sider med $\frac{2}{3}$ .

{(\frac{3}{4})}^{x^{2} - x} = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}

Vi ser at høyresiden kan skrives som en potens av $\frac{3}{4}$ , siden

{(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}

Likningen blir dermed

{(\frac{3}{4})}^{x^{2} - x} = {(\frac{3}{4})}^{2}

Siden grunntallene er like, må eksponentene være like.

x^{2} - x = 2

x^{2} - x - 2 = 0

Vi løser andregradslikningen med $a b c$ -formelen.

x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dette gir de to løsningene

x = - 1 eller x = 2

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Likninger, Potenser
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7To kvadrater doblet areal og konstruksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren nedenfor har vi tegnet kvadratene $A B C D$ og $A E F C$ .

Vi setter siden i kvadratet $A B C D$ lik $a$ .

To kvadrater ABCD og AEFC

Vis at kvadratet $A E F C$ har dobbelt så stort areal som kvadratet $A B C D$ .

Konstruer et kvadrat med areal eksakt lik $50 c m^{2}$ .

Fasit

$A C^{2} = 2 a^{2} \Rightarrow$ arealet til $A E F C$ er dobbelt så stort som arealet til $A B C D$

Konstruer kvadrat med side $5 cm$ , bruk deretter metoden fra a) på diagonalen

LøsningsforslagKI-generert

Kvadratet $A B C D$ har side $a$ , så $A B = B C = a$ . Vinkelen i $B$ er $90 °$ , og $A C$ er diagonalen i $A B C D$ . Ved Pytagoras’ setning i den rettvinklede trekanten $A B C$ :

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = a^{2} + a^{2} = 2 a^{2}

Firkanten $A E F C$ er et kvadrat der $A C$ er en av sidene. Arealet av kvadratet $A E F C$ er derfor

Areal (A E F C) = A C^{2} = 2 a^{2}

Siden arealet til $A B C D$ er $a^{2}$ , ser vi at

Areal (A E F C) = 2 \cdot Areal (A B C D)

$Arealet til A E F C er dobbelt så stort som arealet til A B C D$

Vi bruker resultatet fra a): hvis vi bygger et kvadrat på diagonalen til et kvadrat med side $a$ , får det nye kvadratet et areal som er dobbelt så stort, altså $2 a^{2}$ .

Vi ønsker et kvadrat med areal $50 {cm}^{2}$ . Siden $50 = 2 \cdot 25 = 2 \cdot 5^{2}$ , velger vi $a = 5 cm$ . Konstruksjonen blir da:

Konstruer kvadratet $A B C D$ med side $a = 5 cm$ ved hjelp av passer og linjal (mål opp $5 cm$ på en linje, reis normaler i endepunktene med passer, og avsett $5 cm$ på hver normal).
Tegn diagonalen $A C$ i kvadratet $A B C D$ .
Konstruer kvadratet $A E F C$ med $A C$ som side: overfør lengden $A C$ med passeren, reis normaler på $A C$ i punktene $A$ og $C$ , og avsett lengden $A C$ på hver normal for å finne $E$ og $F$ .

Kvadratet $A B C D$ har areal $a^{2} = 5^{2} = 25 {cm}^{2}$ . Ifølge a) er arealet til $A E F C$ dobbelt så stort:

Areal (A E F C) = 2 \cdot 25 {cm}^{2} = 50 {cm}^{2}

Figuren under viser konstruksjonen, med $A B C D$ i blått (areal $25 {cm}^{2}$ ) og $A E F C$ i rødt (areal $50 {cm}^{2}$ ):

Konstruksjon av kvadrat med areal 50 cm²

$Kvadratet A E F C har eksakt areal 50 {cm}^{2}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Konstruksjon, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - x, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker definisjonen av den deriverte:

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}

Med $f (x) = x^{3} - x$ blir telleren

f (x + Δ x) - f (x) = [{(x + Δ x)}^{3} - (x + Δ x)] - [x^{3} - x]

Vi utvider ${(x + Δ x)}^{3} = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3}$ , og setter inn:

f (x + Δ x) - f (x) = x^{3} + 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - x - Δ x - x^{3} + x

= 3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - Δ x

Vi setter dette inn i definisjonen og deler alle ledd på $Δ x$ :

f^{'} (x) = \lim_{Δ x \to 0} \frac{3 x^{2} Δ x + 3 x {(Δ x)}^{2} + {(Δ x)}^{3} - Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} (3 x^{2} + 3 x Δ x + {(Δ x)}^{2} - 1)

Når $Δ x \to 0$ , går leddene $3 x Δ x$ og ${(Δ x)}^{2}$ mot $0$ . Dermed står vi igjen med

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1

som er det vi skulle vise.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 2-1Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en bestemt kjemisk reaksjon vil konsentrasjonen av et stoff være gitt ved

f (t) = 2,50 - 2,50 \cdot e^{- 0,012 t}

der $f (t)$ er antall millimol per liter av stoffet, $t$ sekunder etter at reaksjonen startet.

Kalkulator

Hva er konsentrasjonen etter 15 s? Hvor lang tid tar det før konsentrasjonen er $2,00$ millimol/L?

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ . Hva vil konsentrasjonen nærme seg dersom den kjemiske reaksjonen går veldig lenge?

Reaksjonshastigheten på et tidspunkt $t$ er $f^{'} (t)$ .

Kalkulator

Hva er reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er $2,00$ millimol/L?

Fasit

$f (15) \approx 0,41 m i l l i m o l / L$ , $t \approx 134 s$

Grenseverdi $2,50 m i l l i m o l / L$

$f^{'} (t) = 0,006 millimol/(L \cdot s)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp funksjonsuttrykket i CAS og regner ut $f (15)$ og løser likningen $f (t) = 2,00$ for $t$ .

f (t) = 2,50 - 2,50 \cdot e^{- 0,012 t}

CAS-utregning

Konsentrasjonen etter $15 s$ er

f (15) = 2,50 - 2,50 \cdot e^{- 0,012 \cdot 15} \approx 0,41 m i l l i m o l / L

Løser vi $f (t) = 2,00$ :

2,50 - 2,50 \cdot e^{- 0,012 t} = 2,00 \Rightarrow e^{- 0,012 t} = 0,20 \Rightarrow t = \frac{\ln (0,20)}{- 0,012} \approx 134,1 s

Det tar altså $t \approx 134 s$ før konsentrasjonen er $2,00$ millimol/L.

Vi tegner grafen til $f$ på et passende intervall for $t$ , sammen med den vannrette linja $y = 2,50$ :

Graf av f(t)

Grafen viser at $f$ vokser og flater ut mot linja $y = 2,50$ . Siden $e^{- 0,012 t} \to 0$ når $t \to \infty$ , får vi

f (t) = 2,50 - 2,50 \cdot e^{- 0,012 t} \to 2,50

Konsentrasjonen vil altså nærme seg $2,50 m i l l i m o l / L$ dersom reaksjonen går veldig lenge.

Reaksjonshastigheten er den deriverte $f^{'} (t)$ . Fra CAS-utregningen over (g(t) = Derivert(f, t)) er

f^{'} (t) = 0,012 \cdot 2,50 \cdot e^{- 0,012 t} = 0,03 \cdot e^{- 0,012 t}

Vi trenger $f^{'} (t)$ når konsentrasjonen er $2,00$ millimol/L, altså ved $t \approx 134,1 s$ fra a). I skjermbildet over (linje 3) fant vi $e^{- 0,012 t} = 0,20$ når $f (t) = 2,00$ , så

f^{'} (t) = 0,03 \cdot 0,20 = 0,006

Reaksjonshastigheten når konsentrasjonen er $2,00$ millimol/L, er dermed $0,006 millimol/(L \cdot s)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Modellering, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

25 like kuler som er merket med tallene fra og med 1 til og med 25, ligger i en bolle. Vi trekker tilfeldig 5 kuler fra bollen uten tilbakelegging og leser av tallene.

Kalkulator

Skriv opp alle primtallene fra og med 2 til og med 25.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut akkurat 2 primtall.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at vi trekker ut minst 3 primtall.

Fasit

$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$

$P (akkurat 2 primtall) = \frac{96}{253} \approx 0,379$

$P (minst 3 primtall) = \frac{291}{1265} \approx 0,230$

LøsningsforslagKI-generert

Primtallene fra og med 2 til og med 25 er tallene som bare er delelige med 1 og seg selv:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23

Det er altså $9$ primtall blant de 25 kulene, og dermed $25 - 9 = 16$ kuler som ikke er merket med et primtall.

Vi trekker 5 kuler av 25 uten tilbakelegging. Dette er en hypergeometrisk situasjon: vi skal trekke nøyaktig $2$ av de $9$ primtallskulene og $3$ av de $16$ resterende kulene. Sannsynligheten blir

P (akkurat 2 primtall) = \frac{(\binom{9}{2}) \cdot (\binom{16}{3})}{(\binom{25}{5})}

Beregning i GeoGebra CAS:

Kombinatorisk sannsynlighet i GeoGebra CAS

P (akkurat 2 primtall) = \frac{96}{253} \approx 0,379

$P (akkurat 2 primtall) \approx 37,9 %$

«Minst 3 primtall» betyr at vi trekker enten 3, 4 eller 5 primtallskuler av de 5 vi trekker totalt. Siden det bare finnes $16$ ikke-primtallskuler og vi skal trekke $5 - k$ av dem, er alle disse utfallene mulige. Vi summerer sannsynlighetene for de tre disjunkte hendelsene:

P (minst 3 primtall) = \frac{(\binom{9}{3}) \cdot (\binom{16}{2}) + (\binom{9}{4}) \cdot (\binom{16}{1}) + (\binom{9}{5}) \cdot (\binom{16}{0})}{(\binom{25}{5})}

Se GeoGebra CAS-utregningen ovenfor (linje 2 og 3 i skjermbildet):

P (minst 3 primtall) = \frac{291}{1265} \approx 0,230

$P (minst 3 primtall) \approx 23,0 %$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har punktene $A (2, 1)$ , $B (4, 5)$ og $C (t + 3, t)$ .

For hånd

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.

For hånd

Bruk vektorregning til å bestemme $t$ slik at $∠ A C B = 90 °$ .

Fasit

$t = - 3$

$t = 1 eller t = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har punktene $A (2, 1)$ , $B (4, 5)$ og $C (t + 3, t)$ .

Punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje når vektorene $\vec{A B}$ og $\vec{A C}$ er parallelle, altså når de er kollineære (den ene er et tall ganger den andre). Vi finner vektorene:

\vec{A B} = (4 - 2, 5 - 1) = (2, 4)

\vec{A C} = (t + 3 - 2, t - 1) = (t + 1, t - 1)

To vektorer $(a_{1}, a_{2})$ og $(b_{1}, b_{2})$ er parallelle når $a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} = 0$ . Vi setter opp likningen:

2 (t - 1) - 4 (t + 1) = 0

2 t - 2 - 4 t - 4 = 0

- 2 t - 6 = 0

t = - 3

Kontroll i GeoGebra CAS (linje 1 i utklippet) gir samme svar.

Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

$∠ A C B = 90 °$ betyr at vektorene $\vec{C A}$ og $\vec{C B}$ står vinkelrett på hverandre, altså at $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 0$ . Vi finner vektorene:

\vec{C A} = A - C = (2 - (t + 3), 1 - t) = (- t - 1, - t + 1)

\vec{C B} = B - C = (4 - (t + 3), 5 - t) = (- t + 1, - t + 5)

Skalarproduktet settes lik null:

\vec{C A} \cdot \vec{C B} = (- t - 1) (- t + 1) + (- t + 1) (- t + 5) = 0

Vi kan faktorisere ut $(- t + 1)$ :

(- t + 1) [(- t - 1) + (- t + 5)] = 0

(- t + 1) (- 2 t + 4) = 0

Dette gir $- t + 1 = 0$ eller $- 2 t + 4 = 0$ , altså

t = 1 eller t = 2

Kontroll i GeoGebra CAS (linje 2 i utklippet) gir samme svar.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et kvadrat $A B C D$ med side 4 er det innskrevet et parallellogram $E F G H$ . Vi setter $A E = C G = x$ og $B F = D H = 2 x$ . Se skissen nedenfor.

Parallellogram EFGH innskrevet i kvadrat ABCD

For hånd

Vis at arealet $T$ av parallellogrammet $E F G H$ er

T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16, x \in [0, 2]

For hånd

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $E F G H$ blir halvparten av arealet av kvadratet $A B C D$ .

For hånd

Bestem $x$ slik at arealet av parallellogrammet $E F G H$ blir minst mulig. Bestem det minste arealet.

Vi legger figuren inn i et koordinatsystem slik at $A$ ligger i origo og $B$ på positiv $x$ -akse.

For hånd

Bestem vektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ uttrykt ved $x$ og bruk dette til å bestemme $x$ slik at parallellogrammet $E F G H$ blir et rektangel.

Fasit

Vist at $T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16$

$x = 1 eller x = 2$

$x = 1,5$ , minste areal $T = 7$

$\vec{H E} = (x, 2 x - 4)$ , $\vec{H G} = (4 - x, 2 x)$ , $x = \frac{4}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger kvadratet $A B C D$ i et koordinatsystem med $A$ i origo og $B$ på positiv $x$ -akse: $A = (0,0)$ , $B = (4,0)$ , $C = (4,4)$ , $D = (0,4)$ .

Siden $A E = x$ og $E$ ligger på $A B$ , er $E = (x, 0)$ . Siden $B F = 2 x$ og $F$ ligger på $B C$ , er $F = (4, 2 x)$ . Siden $C G = x$ og $G$ ligger på $C D$ , er $G = (4 - x, 4)$ . Siden $D H = 2 x$ og $H$ ligger på $D A$ , er $H = (0, 4 - 2 x)$ .

For at $F$ og $H$ skal ligge på sidene $B C$ og $D A$ (som begge har lengde 4), må $2 x \leq 4$ , altså $x \leq 2$ . Sammen med $x \geq 0$ gir dette definisjonsmengden $x \in [0, 2]$ .

Vi bruker vektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ :

\vec{H E} = E - H = (x, 2 x - 4) \vec{H G} = G - H = (4 - x, 2 x)

Arealet av parallellogrammet $E F G H$ er lik lengden av kryssproduktet (determinanten) av de to vektorene:

T (x) = | x \cdot 2 x - (2 x - 4) (4 - x) |

Vi regner ut parentesen:

(2 x - 4) (4 - x) = 8 x - 2 x^{2} - 16 + 4 x = - 2 x^{2} + 12 x - 16

Dette gir

T (x) = | 2 x^{2} - (- 2 x^{2} + 12 x - 16) | = | 4 x^{2} - 12 x + 16 |

Uttrykket $4 x^{2} - 12 x + 16$ er et andregradsuttrykk med positiv ledende koeffisient og diskriminant ${(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 16 = 144 - 256 = - 112 < 0$ , så det er alltid positivt. Da kan vi sløyfe absoluttverditegnet:

T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16, x \in [0, 2]

Dette er vist med CAS i utklippet under (linje 1, kalt Cross), der uttrykket ble forenklet til nøyaktig samme form.

Løsning med CAS

Kvadratet $A B C D$ har areal $4 \cdot 4 = 16$ . Halvparten av dette er $8$ . Vi løser $T (x) = 8$ i CAS (linje 2 i utklippet):

T (x) = 8 \Rightarrow x = 1 eller x = 2

Begge løsningene ligger i definisjonsmengden $[0, 2]$ .

x = 1 eller x = 2

$T (x) = 4 x^{2} - 12 x + 16$ er en oppoverbuet parabel, så minimumsverdien finnes i bunnpunktet. CAS gir (linje 3 i utklippet):

Min (T, 0, 2) = (\frac{3}{2}, 7)

Bunnpunktet $x = \frac{3}{2}$ ligger i definisjonsmengden $[0, 2]$ , så dette er det globale minimumet på intervallet.

x = 1,5 T_{\min} = 7

Vektorene fra deloppgave a) er

\vec{H E} = (x, 2 x - 4) \vec{H G} = (4 - x, 2 x)

Siden $E F G H$ allerede er et parallellogram, blir det et rektangel nettopp når de to sidevektorene $\vec{H E}$ og $\vec{H G}$ står vinkelrett på hverandre, altså når skalarproduktet er null:

\vec{H E} \cdot \vec{H G} = x (4 - x) + (2 x - 4) (2 x) = 4 x - x^{2} + 4 x^{2} - 8 x = 3 x^{2} - 4 x

CAS løser $3 x^{2} - 4 x = 0$ (linje 5 i utklippet):

x = 0 eller x = \frac{4}{3}

$x = 0$ gir $E = A$ , $F = B$ , $G = C$ , $H = D$ , altså at parallellogrammet faller sammen med kvadratet selv — en triviell løsning som ikke er et egentlig innskrevet parallellogram. Den eneste reelle løsningen er derfor

x = \frac{4}{3}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Areal og omkrets, Vektorer, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Trekant med høyder og ortosentrum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

$△ A B C$ har hjørnene $A (- 1, - 1)$ , $B (5, 2)$ og $C (1, 5)$ . Se figuren nedenfor.

Trekant ABC i koordinatsystem

Likningen for linjen gjennom $A$ og $B$ er $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ , og likningen for linjen gjennom $A$ og $C$ er $y = 3 x + 2$ .

For hånd

Bestem likningen for linjen gjennom $B$ og $C$ .

I oppgave 5 i Del 1 har du vist at dersom to linjer står vinkelrett på hverandre, er produktet av stigningstallene lik $- 1$ .

For hånd

Bruk denne egenskapen til å vise at linjen som går gjennom $C$ og som står vinkelrett på sidekanten $A B$ har likning $y = - 2 x + 7$ .

På samme måte kan det vises at linjen som går gjennom $A$ og som står vinkelrett på sidekanten $B C$ har likning $y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ , og linjen som går gjennom $B$ og som står vinkelrett på $A C$ har likning $y = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3}$ .

For hånd

Vis ved regning at de tre høydene i $△ A B C$ skjærer hverandre i ett og samme punkt. Bestem koordinatene til dette skjæringspunktet.

Fasit

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$

Vist, se løsningsforslag

Skjæringspunkt (ortosentrum): $(2, 3)$

LøsningsforslagKI-generert

Stigningstallet til linjen gjennom $B (5,2)$ og $C (1,5)$ er

a = \frac{y_{C} - y_{B}}{x_{C} - x_{B}} = \frac{5 - 2}{1 - 5} = \frac{3}{- 4} = - \frac{3}{4}

Ettpunktsformelen med punktet $B (5,2)$ gir

y - 2 = - \frac{3}{4} (x - 5)

y = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{4} + 2 = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}

GeoGebra CAS bekrefter dette (rBC i utklippet).

Trekant med høyder — GeoGebra CAS

$y = - \frac{3}{4} x + \frac{23}{4}$

Linjen gjennom $A$ og $B$ har stigningstall $a_{A B} = \frac{1}{2}$ . Høydelinjen gjennom $C$ skal stå vinkelrett på $A B$ , så produktet av stigningstallene må være $- 1$ :

a_{A B} \cdot a_{h_{C}} = - 1 \Rightarrow a_{h_{C}} = - \frac{1}{a_{A B}} = - \frac{1}{\frac{1}{2}} = - 2

Høydelinjen går gjennom $C (1,5)$ , så ettpunktsformelen gir

y - 5 = - 2 (x - 1)

y = - 2 x + 2 + 5 = - 2 x + 7

Dette er nettopp den oppgitte likningen, så påstanden er vist.

$y = - 2 x + 7$

De tre høydene har likningene

h_{C} : y = - 2 x + 7, h_{A} : y = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}, h_{B} : y = - \frac{1}{3} x + \frac{11}{3}

Vi finner skjæringspunktet mellom $h_{C}$ og $h_{A}$ ved å sette høyresidene lik hverandre:

- 2 x + 7 = \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}

Ganger begge sider med $3$ :

- 6 x + 21 = 4 x + 1 \Rightarrow 20 = 10 x \Rightarrow x = 2

Setter $x = 2$ inn i $h_{C}$ : $y = - 2 \cdot 2 + 7 = 3$ . Altså skjærer $h_{C}$ og $h_{A}$ hverandre i punktet $(2, 3)$ .

For å vise at $h_{B}$ også går gjennom dette punktet, setter vi $x = 2$ inn i $h_{B}$ :

y = - \frac{1}{3} \cdot 2 + \frac{11}{3} = \frac{- 2 + 11}{3} = \frac{9}{3} = 3

Siden alle tre høydene passerer gjennom $(2, 3)$ , skjærer de hverandre i ett og samme punkt. Dette bekreftes med GeoGebra CAS i utklippet over: Skjaering gir ${x = 2, y = 3}$ , og Kontroll (verdien til $h_{B}$ ved $x = 2$ ) gir $3$ .

$(x, y) = (2, 3)$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Geometri, Lineære funksjoner, Vektorer, Bevis
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en sirkel med sentrum $S$ er det innskrevet en $△ A B S$ der $∠ A S B = u$ . Sirkelen har en tangent i punktet $A$ . Vinkelen mellom tangenten og siden $A B$ er $v$ .

Sirkel med innskrevet trekant ABS og tangent i A

For hånd

Vis at $∠ B A S = 90 ° - \frac{u}{2}$ .

For hånd

Vis at $v = \frac{u}{2}$ .

Fasit

$∠ B A S = 90 ° - \frac{u}{2}$ (vist)

$v = \frac{u}{2}$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

Radiene $S A$ og $S B$ har samme lengde (begge er radius i sirkelen), så $△ A B S$ er likebeint med grunnlinje $A B$ . Det betyr at grunnvinklene er like store:

∠ S A B = ∠ S B A

Vinkelsummen i trekanten er $180 °$ , så

∠ A S B + ∠ S A B + ∠ S B A = 180 °

u + 2 \cdot ∠ S A B = 180 °

∠ S A B = \frac{180 ° - u}{2} = 90 ° - \frac{u}{2}

Siden $∠ B A S$ og $∠ S A B$ er samme vinkel, får vi

∠ B A S = 90 ° - \frac{u}{2}

GeoGebra CAS bekrefter forenklingen $\frac{180 - u}{2} = 90 - \frac{u}{2}$ (linje 1 i skjermbildet):

CAS-verifisering av vinkelalgebra

En tangent til en sirkel står alltid vinkelrett på radien i tangeringspunktet. Radien $S A$ går til tangeringspunktet $A$ , så vinkelen mellom tangenten og $S A$ er $90 °$ .

Av figuren ser vi at denne rette vinkelen deles i to av linjestykket $A B$ : vinkelen $v$ mellom tangenten og $A B$ , og vinkelen $∠ B A S$ mellom $A B$ og $S A$ . Dermed er

v + ∠ B A S = 90 °

v = 90 ° - ∠ B A S = 90 ° - (90 ° - \frac{u}{2}) = \frac{u}{2}

GeoGebra CAS bekrefter forenklingen $90 - (90 - \frac{u}{2}) = \frac{u}{2}$ (linje 2 i skjermbildet ovenfor).

Dette er tangentvinkelsetningen: tangentvinkelen mellom en tangent og en korde er halvparten av sentralvinkelen $u$ til korden.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Trigonometri
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{u}{v}

der $u$ og $v$ er funksjoner av $x$ . Vi antar i denne oppgaven at $u > 0$ og $v > 0$ .

Logaritmeregelen for en brøk gir $\ln (f (x)) = \ln u - \ln v$

For hånd

Bruk logaritmeregelen og kjerneregelen til å bestemme ${(\ln f (x))}^{'}$ uttrykt ved $u$ , $v$ , $u^{'}$ og $v^{'}$ .

For hånd

Bruk uttrykket fra oppgave a) til å utlede derivasjonsregelen for en brøk.

Fasit

${(\ln f (x))}^{'} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}$

$f^{'} (x) = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $f (x) = \frac{u}{v}$ , og logaritmeregelen for en brøk gir

\ln (f (x)) = \ln u - \ln v

Vi deriverer begge sider. På venstre side bruker vi kjerneregelen, siden $f (x)$ er en funksjon av $x$ :

\frac{d}{d x} [\ln (f (x))] = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}

På høyre side deriverer vi $\ln u$ og $\ln v$ , der $u$ og $v$ også er funksjoner av $x$ (kjerneregelen gir $u^{'} / u$ og $v^{'} / v$ ):

\frac{d}{d x} [\ln u - \ln v] = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

Siden venstre og høyre side er like, får vi

{(\ln f (x))}^{'} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

GeoGebra CAS bekrefter dette resultatet (linje 1 i utklippet):

Verifisering av logaritmederivasjon og kvotientregel

Fra a) vet vi at ${(\ln f (x))}^{'} = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ , altså

\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}

Vi multipliserer begge sider med $f (x) = \frac{u}{v}$ for å isolere $f^{'} (x)$ :

f^{'} (x) = \frac{u}{v} \cdot (\frac{u^{'}}{u} - \frac{v^{'}}{v}) = \frac{u}{v} \cdot \frac{u^{'}}{u} - \frac{u}{v} \cdot \frac{v^{'}}{v}

Vi forkorter i det første leddet ( $u$ mot $u$ ) og setter det andre leddet på fellesnevner $v^{2}$ :

f^{'} (x) = \frac{u^{'}}{v} - \frac{u v^{'}}{v^{2}} = \frac{u^{'} v}{v^{2}} - \frac{u v^{'}}{v^{2}} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}

Dette er kvotientregelen. GeoGebra CAS bekrefter samme uttrykk ved å derivere $\frac{u (x)}{v (x)}$ direkte (linje 2 i utklippet ovenfor).

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Logaritmefunksjoner, Bevis, Kjerneregelen
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 8 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2·Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-3·Lydstyrke desibel og lydintensitet

Oppgave 1-4·Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

Oppgave 1-5·Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Oppgave 1-6·Eksponentiell likning med andregradseksponent

Oppgave 1-7·To kvadrater doblet areal og konstruksjon

Oppgave 1-8·Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

Oppgave 2-2·Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

Oppgave 2-3·Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Oppgave 2-4·Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Oppgave 2-5·Trekant med høyder og ortosentrum

Oppgave 2-6·Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

Oppgave 2-7·Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av polynom og produkt med eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2Faktorisering og ulikhet tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-3Lydstyrke desibel og lydintensitet

Oppgave 1-4Rasjonal funksjon skisse derivasjon og tangent

Oppgave 1-5Retningsvektor og vinkelrette linjer bevis

Oppgave 1-6Eksponentiell likning med andregradseksponent

Oppgave 1-7To kvadrater doblet areal og konstruksjon

Oppgave 1-8Derivasjon fra definisjon for kubisk funksjon

Oppgave 2-1Kjemisk reaksjon konsentrasjon og reaksjonshastighet

Oppgave 2-2Primtall og kombinatorisk sannsynlighet

Oppgave 2-3Vektorer kollinearitet og rett vinkel i trekant

Oppgave 2-4Parallellogram innskrevet i kvadrat optimering

Oppgave 2-5Trekant med høyder og ortosentrum

Oppgave 2-6Tangentvinkel og innskrevet trekant i sirkel

Oppgave 2-7Utlede kvotientregelen via logaritmederivasjon