2P Vår 2022

Vi leser av grafen at den er en rett linje som skjærer $y$-aksen i $15000$, og som går gjennom punktet $(50,40000)$. Stigningstallet blir dermed

Kostnaden som funksjon av antall stoler $x$ kan dermed skrives som

Vi bruker denne modellen for å svare på alle deloppgavene, se skissen under.

a)

Vi kan lese av grafen direkte at $20$ stoler koster $25000\mathrm{kr}$, noe som stemmer med modellen:

$$K(20)=500\cdot 20+15000=10000+15000=25000$$

Det koster $\underline{\underline{25000\mathrm{kr}}}$ å produsere 20 stoler.

b)

$120$ stoler ligger utenfor grafen, så vi må bruke den lineære modellen til å regne oss fram til svaret:

$$K(120)=500\cdot 120+15000=60000+15000=75000$$

Det koster $\underline{\underline{75000\mathrm{kr}}}$ å produsere 120 stoler.

c)

Totalkostnaden for $50$ stoler leses av grafen til $40000\mathrm{kr}$. Kostnaden per stol finner vi ved å dele totalkostnaden på antall stoler:

$$\frac{40000}{50}=800$$

Kostnaden per stol blir $\underline{\underline{800\mathrm{kr}}}$ når bedriften produserer 50 stoler.

a)

For hver halveringstid som går, blir mengden legemiddel halvert. Vi kan derfor finne prosenten igjen ved å halvere gjentatte ganger, én gang for hver halveringstid:

$$100\%\to 50\%\to 25\%\to \mathrm{12,5}\%\to \mathrm{6,25}\%\to \mathrm{3,125}\%$$

Etter $1$ halveringstid er $50\%$ igjen, etter $2$ er $25\%$ igjen, etter $3$ er $\mathrm{12,5}\%$ igjen, etter $4$ er $\mathrm{6,25}\%$ igjen, og etter $5$ halveringstider er

$$\mathrm{6,25}\%÷2=\mathrm{3,125}\%$$

igjen.

Etter fem halveringstider vil $\underline{\underline{\mathrm{3,125}\%}}$ av legemiddelet være igjen i blodet.

b)

Vi setter av antall halveringstider langs den vannrette aksen og prosent igjen langs den loddrette aksen, og plotter inn punktene vi fant i a): $(0,100)$, $(1,50)$, $(2,25)$, $(3,\mathrm{12,5})$, $(4,\mathrm{6,25})$ og $(5,\mathrm{3,125})$. Siden mengden halveres for hver enhet vi går til høyre, blir grafen en fallende kurve som flater ut mot $0\%$ – en typisk eksponentiell nedgang.

For å sammenligne kjøpekraften i to forskjellige år, må vi regne om den ene lønnen til kroneverdien i det andre året ved hjelp av konsumprisindeksen (KPI). Vi regner om Elins lønn fra 2015 til hva den tilsvarer i 2021-kroner, altså hvor mye penger hun måtte ha tjent i 2021 for å ha samme kjøpekraft som i 2015.

Siden KPI har økt fra $100$ i 2015 til $\mathrm{116,1}$ i 2021, må lønnen økes med samme forhold for å beholde kjøpekraften:

Dette betyr at Elin måtte ha en nominell lønn på $464400\mathrm{kr}$ i 2021 for å ha samme kjøpekraft som med $400000\mathrm{kr}$ i 2015.

Den faktiske lønnen hennes i 2021 var $460000\mathrm{kr}$, som er lavere enn $464400\mathrm{kr}$. Det betyr at kjøpekraften hennes var lavere i 2021 enn i 2015.

Elin hadde altså størst kjøpekraft i $\underline{\underline{2015}}$. Selv om hun tjente mindre kroner ($400000$ mot $460000$), kunne hun kjøpe mer for pengene sine dette året, fordi prisene (og dermed hva pengene var verdt) hadde steget mer enn lønnsøkningen hennes fra 2015 til 2021.

Vi går gjennom programmet linje for linje. Ada setter opp fire variabler før løkka starter:

• beløp = 0 – hvor mye penger som står på kontoen (starter på $0$ kr).
• vekstfaktor = 1.02 – kontoen får $2\%$ årlig rente.
• innskudd = 20000 – Ada setter inn $20000$ kr hvert år.
• år = 0 – teller hvor mange år som har gått.

Deretter kommer en while-løkke som gjentas så lenge beløp er mindre enn $500000$. For hver runde i løkka skjer det tre ting: først legges det nye innskuddet til beløpet, deretter vokser hele beløpet (det gamle beløpet pluss det nye innskuddet) med vekstfaktoren $\mathrm{1,02}$, og til slutt telles antall år opp med $1$.

Vi sporer de tre første årene for hånd for å se hvordan dette virker:

År 1: $\text{beløp}=0+20000=20000$, deretter $20000\cdot \mathrm{1,02}=20400$. år blir $1$.

År 2: $\text{beløp}=20400+20000=40400$, deretter $40400\cdot \mathrm{1,02}=41208$. år blir $2$.

År 3: $\text{beløp}=41208+20000=61208$, deretter $61208\cdot \mathrm{1,02}=62\mathrm{432,16}$. år blir $3$.

Vi ser at beløpet vokser år for år både fordi det kommer et nytt innskudd på $20000$ kr, og fordi hele summen som allerede står på kontoen får $2\%$ rente. Løkka fortsetter å kjøre på denne måten, år etter år, helt til beløp til slutt blir $500000$ kr eller mer. Da stopper løkka, og de to siste linjene skriver ut hvor mange år (år) det tok, og hvor mye penger (beløp) som da står på kontoen.

Ada ønsker altså å finne ut hvor mange år det tar før hun har spart opp minst $500000$ kr, når hun setter inn $20000$ kr i året på en konto med $2\%$ årlig rente. Når programmet kjøres, skriver det ut antall år som trengs, og det totale beløpet på kontoen etter det antall år.

Vi leser av grafen at linja $g$ og parabelen $f$ skjærer hverandre i to punkter, i $x=2$ og $x=4$. Mellom disse to $x$-verdiene ligger grafen til $g$ over grafen til $f$, se skissen under.

At $g$ ligger over $f$ betyr nettopp at funksjonsverdiene til $g$ er større enn funksjonsverdiene til $f$, altså at $g(x)>f(x)$, eller det samme som $f(x)<g(x)$. Siden dette gjelder akkurat for $x$-verdiene mellom skjæringspunktene, det vil si for $2<x<4$, kan vi sette opp ulikheten

Denne ulikheten har løsningen $\underline{\underline{2<x<4}}$, fordi det er nøyaktig i dette intervallet at grafen til parabelen $f$ ligger under grafen til linja $g$, slik vi ser på grafen ovenfor.

Når en pris økes med $p\%$, multipliserer vi prisen med vekstfaktoren $1+{\displaystyle \frac{p}{100}}$. Når prisen økes to ganger etter hverandre, finner vi den samlede vekstfaktoren ved å multiplisere de to vekstfaktorene med hverandre.

Butikk A: Prisen økes først med $25\%$ (vekstfaktor $\mathrm{1,25}$), og deretter med $15\%$ (vekstfaktor $\mathrm{1,15}$). Linus har regnet ut

Dette er den samlede vekstfaktoren i butikk A. Den forteller at prisen i butikk A nå er $\mathrm{1,4375}$ ganger så høy som den opprinnelige prisen, altså en samlet økning på $\mathrm{43,75}\%$.

Butikk B: Prisen økes først med $35\%$ (vekstfaktor $\mathrm{1,35}$), og deretter med $5\%$ (vekstfaktor $\mathrm{1,05}$). Linus har regnet ut

Dette er den samlede vekstfaktoren i butikk B: prisen er nå $\mathrm{1,4175}$ ganger den opprinnelige prisen, altså en samlet økning på $\mathrm{41,75}\%$.

Hvordan Linus kan bruke svarene: Varen kostet like mye i de to butikkene til å begynne med. Da holder det å sammenligne de to samlede vekstfaktorene direkte — den butikken med størst vekstfaktor har nå den høyeste prisen, siden begge butikkene startet med samme grunnpris. Siden

er den samlede prisøkningen størst i butikk A. Varen koster derfor mest i butikk A nå, selv om prisen der ble satt opp mindre i det siste trinnet ($15\%$ mot $5\%$) — fordi den første økningen i butikk A ($25\%$) var stor nok til å gi et høyere sluttresultat enn i butikk B.

$\underline{\underline{\text{Varen koster mest i butikk A.}}}$

Vi finner arealet av det grønne området ved å ta arealet av hele rektangelet og trekke fra arealet av de tre hvite trekantene.

Rektangelet har bredde $11$ og høyde $4$, altså areal

De tre trekantene har alle grunnlinjen liggende på x-aksen og toppunktet på linjen $y=4$. Da er høyden i alle tre trekantene lik $4$, uansett hvor toppunktet ligger vannrett. Vi leser av grunnlinjenes lengde fra figuren:

• Trekant 1 har grunnlinje fra $x=0$ til $x=4$, altså grunnlinje $4$.
• Trekant 2 har grunnlinje fra $x=5$ til $x=8$, altså grunnlinje $3$.
• Trekant 3 har grunnlinje fra $x=9$ til $x=11$, altså grunnlinje $2$.

Arealet av en trekant er ${\displaystyle \frac{\text{grunnlinje}\cdot \text{høyde}}{2}}$, så vi får

Summen av de hvite trekantene er

Arealet av det grønne området blir da

$\underline{\underline{\text{Det grønne området har et areal på }26\text{ arealenheter.}}}$

Vi lar $x$ være antall år etter i dag, og $f(x)$ være innbyggertallet i bydelen etter $x$ år. Siden innbyggertallet i dag er $30000$ og vokser med en fast prosent hvert år, kan vi bruke en eksponentiell modell på formen

der $k$ er den årlige vekstfaktoren. Vi vet at innbyggertallet er doblet etter $10$ år, altså at $f(10)=60000$. Dette gir likningen

Vi deler begge sider med $30000$:

For å finne $k$ tar vi tierroten av begge sider (dette tilsvarer $k=\sqrt[10]{2}$, som en kalkulator regner ut direkte):

Vekstfaktoren er altså omtrent $\mathrm{1,0718}$, som betyr en årlig vekst på cirka $\mathrm{7,18}\%$. Modellen blir dermed

Grafen til $f$ er tegnet i GeoGebra, med punktet $A=(5,f(5))$ markert:

Fra utklippet ser vi at $A=(5,42\mathrm{431,66})$. Punktet forteller at etter $5$ år vil innbyggertallet i bydelen ha vokst fra $30000$ til omtrent $\underline{\underline{42400}}$ innbyggere, altså litt over halvveis til en dobling.

a)

Vi finner andelen ved å dele beløpet til høyere utdanning, forskning og fagskoler på totalbeløpet det året, og gange med $100\%$.

$$\begin{array}{cc}2020:\frac{50}{1443}\cdot 100\%& \approx \mathrm{3,5}\%\\ 2021:\frac{54}{1515}\cdot 100\%& \approx \mathrm{3,6}\%\\ 2022:\frac{55}{1576}\cdot 100\%& \approx \mathrm{3,5}\%\end{array}$$

Andelen som gikk til høyere utdanning, forskning og fagskoler, lå altså rundt $\mathrm{3,5}\%$ av statsbudsjettet alle de tre årene.

$\underline{\underline{2020:\mathrm{3,5}\%,2021:\mathrm{3,6}\%,2022:\mathrm{3,5}\%}}$

b)

For å sammenlikne kronebeløp fra ulike år må vi regne om til like mye kjøpekraft, altså faste priser. Vi bruker KPI til å regne alle beløpene om til 2022-kroner.

Først finner vi KPI for 2022. Den skal øke med $\mathrm{3,3}\%$ fra 2021 til 2022:

$${\text{KPI}}_{2022}=\mathrm{116,1}\cdot \mathrm{1,033}\approx \mathrm{119,93}$$

For å regne et beløp fra et gitt år om til 2022-kroner bruker vi formelen

$$\text{beløp i 2022-kroner}=\text{beløp}\cdot \frac{{\text{KPI}}_{2022}}{{\text{KPI}}_{\text{år}}}$$

For høyere utdanning, forskning og fagskoler:

$$\begin{array}{cc}2020:50\cdot \frac{\mathrm{119,93}}{\mathrm{112,2}}& \approx \mathrm{53,4}\text{ milliarder kroner}\\ 2021:54\cdot \frac{\mathrm{119,93}}{\mathrm{116,1}}& \approx \mathrm{55,8}\text{ milliarder kroner}\\ 2022:& \phantom{0}55\text{ milliarder kroner (allerede i 2022-kroner)}\end{array}$$

Når vi sammenlikner beløpene i faste 2022-kroner, ser vi at beløpet faktisk var høyest i 2021 ($\mathrm{55,8}$ milliarder), litt lavere i 2022 ($55$ milliarder), og lavest i 2020 ($\mathrm{53,4}$ milliarder). Selv om det nominelle (ujusterte) beløpet økte hvert år, betyr det justert for prisvekst at bevilgningen til høyere utdanning, forskning og fagskoler i realiteten gikk noe ned fra 2021 til 2022.

$\underline{\underline{\text{Målt i faste 2022-kroner var beløpet høyest i 2021, deretter 2022 og lavest i 2020}}}$

Oppgaven ber om to ulike ting, og de to opplysningene egner seg best til to forskjellige diagramtyper.

Endring i antall representanter fra 2017 til 2021

Vi regner ut differansen (2021 $-$ 2017) for hvert parti:

Parti	2017	2021	Endring
Arbeiderpartiet	49	48	$-1$
Høyre	45	36	$-9$
Fremskrittspartiet	27	21	$-6$
Senterpartiet	19	28	$+9$
Sosialistisk Venstreparti	11	13	$+2$
Kristelig Folkeparti	8	3	$-5$
Venstre	8	8	$0$
Miljøpartiet De Grønne	1	3	$+2$
Rødt	1	8	$+7$
Pasientfokus	0	1	$+1$

Endringen kan være både positiv og negativ, og et søylediagram er godt egnet fordi søylene naturlig kan gå både over og under $0$-linja. Da ser vi umiddelbart hvilke partier som gikk fram (grønne søyler), og hvilke som gikk tilbake (røde søyler), og hvor stor endringen var for hvert parti.

Et sektordiagram passer dårlig her, fordi et sektordiagram bare kan vise positive andeler av en helhet — det finnes ingen naturlig måte å vise en negativ endring i en sirkel. Et linjediagram passer heller ikke godt, siden partiene ikke er kontinuerlige eller naturlig ordnede verdier langs en akse (linjer antyder en utvikling mellom punktene, som ikke gir mening for kategoriske data som partinavn).

Prosentvis fordeling i 2017 og i 2021

Vi finner totalt antall mandater hvert år:

(Stortinget har $169$ representanter, så dette stemmer.) Prosentandelen for hvert parti regnes ut som ${\displaystyle \frac{\text{antall mandater}}{169}}\cdot 100\%$, for eksempel for Arbeiderpartiet i 2017:

Parti	Andel 2017	Andel 2021
Arbeiderpartiet	$29\%$	$28\%$
Høyre	$27\%$	$21\%$
Fremskrittspartiet	$16\%$	$12\%$
Senterpartiet	$11\%$	$17\%$
Sosialistisk Venstreparti	$7\%$	$8\%$
Kristelig Folkeparti	$5\%$	$2\%$
Venstre	$5\%$	$5\%$
Miljøpartiet De Grønne	$1\%$	$2\%$
Rødt	$1\%$	$5\%$
Pasientfokus	$0\%$	$1\%$

Her passer et sektordiagram (kakediagram) godt, fordi vi ønsker å vise hvordan en helhet ($100\%$ av mandatene) er delt opp i deler — det er nettopp det et sektordiagram er laget for å vise. Siden fordelingen skal vises for to ulike år, lager vi ett sektordiagram for 2017 og ett for 2021, slik at de kan sammenlignes side om side.

Et søylediagram kunne også vist prosentandelene, men da forsvinner “helhets”-følelsen — det er ikke like tydelig at søylene til sammen utgjør $100\%$ som når de er sektorer i én sirkel.

Slik lages diagrammene i et regneark: Marker kolonnen med partinavn og differansekolonnen, sett inn et vanlig (2D-)søylediagram. Marker deretter partinavn og mandattall for ett år om gangen, og sett inn et sektordiagram for hvert år, med prosentvise dataetiketter slått på.

Konklusjon: Et søylediagram med positive og negative søyler er formålstjenlig for å vise endring, mens sektordiagram (ett per år) er formålstjenlig for å vise prosentvis fordeling av en helhet.

a)

Vi setter opp datamaterialet i stigende rekkefølge (det er allerede sortert), med $n=24$ verdier:

$$4,\mathrm{5,5,5},\mathrm{6,6,6,6,6},\mathrm{7,7,7,7,7},\mathrm{8,8,8,8,8,8},\mathrm{9,9,9,9}$$

Median

Siden $n=24$ er et partall, er medianen gjennomsnittet av den $12.$ og den $13.$ verdien. Vi teller oss fram og finner at både den $12.$ og den $13.$ verdien er $7$:

$$\text{Median}=\frac{7+7}{2}=7\text{min}$$

Gjennomsnitt

Vi summerer alle verdiene og deler på antallet:

$$\bar{x}=\frac{4+5\cdot 3+6\cdot 5+7\cdot 5+8\cdot 6+9\cdot 4}{24}=\frac{168}{24}=7\text{min}$$

Standardavvik

Standardavviket regnes ut på kalkulator ved å taste inn alle de $24$ verdiene i statistikk-modus og lese av ${\sigma }_x$. Vi får

$$\sigma \approx \mathrm{1,41}\text{min}$$

$\underline{\underline{\text{Median}=7\text{min},\bar{x}=7\text{min},\sigma \approx \mathrm{1,41}\text{min}}}$

b)

Ola har lavere median enn Kari. Det betyr at Ola typisk kommer mindre for sent enn Kari — den midterste verdien i hans datamateriale er lavere.

Samtidig har Ola høyere gjennomsnitt enn Kari. Det betyr at selv om den typiske forsentkommingen til Ola er lavere, må han ha noen svært høye enkeltverdier (mange minutter for sent enkelte ganger) som trekker gjennomsnittet opp. Slike ekstremverdier påvirker gjennomsnittet mye mer enn medianen.

Ola har også høyere standardavvik. Det viser at forsentkommingene hans varierer mer fra gang til gang enn Karis — Kari er mer jevn og forutsigbar, mens Olas forsentkomminger svinger mer, med noen ganger lite eller ingenting og andre ganger mye.

$\underline{\underline{\text{Ola kommer som regel mindre for sent enn Kari, men har noen få ganger med svært mye forsentkomming, som gjør at gjennomsnittet og spredningen blir høyere}}}$

Vi kaller bredden av området $b$. Siden området er dobbelt så langt som det er bredt, er lengden $2b$.

Arealet av et rektangel er lengde ganger bredde, så vi setter opp likningen

Vi tar kvadratroten på begge sider. Siden $b$ er en lengde, forkaster vi den negative løsningen:

Lengden blir da

Gjerdet skal gå rundt hele området, altså er lengden på gjerdet lik omkretsen av rektangelet:

Du trenger altså cirka $\mathrm{37,2}$ meter gjerde for å gå rundt hele området.

$\underline{\underline{\text{Gjerdelengde}\approx \mathrm{37,2}\mathrm{m}}}$

Denne oppgaven er åpen, og det finnes ikke ett eneste riktig svar. Løsningen under bygger på noen eksplisitte antakelser som må gjøres fordi opplysningene i oppgaveteksten er oppgitt som intervaller eller årsbeløp:

• Marius jobber i gjennomsnitt $21$ dager i måneden, og bruker i snitt $350\mathrm{kr}$ per dag på frokost, lunsj og noe å bite i (midt mellom $300$ og $400\mathrm{kr}$).
• Marius går ut både fredag og lørdag i alle månedens $4$ uker, altså $8$ kvelder per måned, og bruker i snitt $800\mathrm{kr}$ per kveld (midt mellom $600$ og $1000\mathrm{kr}$).
• Feriebudsjettet på $60000\mathrm{kr}$ per år fordeles jevnt som $5000\mathrm{kr}$ per måned.
• Han har ikke betalt avdrag på de gamle lånene, så før refinansiering regner vi med at han kun betaler renter på de $\mathrm{1,4}$ millioner kronene, ikke avdrag.
• Det nye samlelånet forutsettes å være et annuitetslån med en nedbetalingstid på $20$ år, som er vanlig for denne typen lån.

a)

Vi setter opp et regneark med Marius sine faste og variable utgifter per måned, ut fra antakelsene over:

Verdier:

Formler:

Nettolønnen er $36000\mathrm{kr}$, mens de månedlige utgiftene (uten lån) summerer seg til

$$10000+6000+7350+6400+5000+15000=49750\mathrm{kr}$$

Overskuddet/underskuddet uten lån blir dermed

$$36000-49750=\underline{\underline{-13750\mathrm{kr}}}$$

Marius bruker altså $13750$ kroner mer enn han tjener hver måned, selv før han betaler noe som helst på gjelden sin. Det er en alvorlig ubalanse i økonomien hans.

b)

Vi utvider regnearket med lånekostnadene før og etter refinansiering, se rad 13–25 i utklippet over.

Før refinansiering (gjeldende situasjon): Marius betaler ikke avdrag, bare renter, på de $\mathrm{1,4}$ millioner kronene til $22\%$ rente:

$$\text{Renteutgift per måned}=\frac{1400000\cdot \mathrm{0,22}}{12}\approx 25667\mathrm{kr}$$

Sammen med de andre utgiftene gir dette et månedlig underskudd på

$$36000-(49750+25667)\approx \underline{\underline{-39417\mathrm{kr}}}$$

Etter refinansiering: Det nye samlelånet er på $\mathrm{1,4}$ millioner kroner til $8\%$ rente, og vi antar en nedbetalingstid på $20$ år ($240$ terminer). Med formelen for terminbeløp på et annuitetslån,

$$\text{Terminbeløp}=L\cdot \frac{i}{1-{(1+i)}^{-n}}$$

der $i=\mathrm{0,08}/12\approx \mathrm{0,0067}$ er månedlig rente og $n=240$, får vi

$$\text{Terminbeløp}=1400000\cdot \frac{\mathrm{0,0067}}{1-{(\mathrm{1,0067})}^{-240}}\approx 11710\mathrm{kr}$$

Det nye underskuddet blir

$$36000-(49750+11710)\approx -25460\mathrm{kr}$$

Refinansieringen alene reduserer altså underskuddet betydelig (fra ca. $39400$ til ca. $25460$ kroner per måned), men Marius er fortsatt langt fra å gå i balanse. Han må også endre forbruket sitt betydelig:

• Kutte nettbutikkhandelen helt: spart $6000\mathrm{kr}$/måned.
• Ta med matpakke i stedet for å kjøpe mat på bensinstasjonen: fra $350$ til $100\mathrm{kr}$/dag, spart $5250\mathrm{kr}$/måned.
• Redusere byturer til én kveld i måneden: fra $8$ til $1$ kveld, spart $5600\mathrm{kr}$/måned.
• Avlyse/utsette feriereiser dette året: spart $5000\mathrm{kr}$/måned.
• Selge bilen (verdt $400000\mathrm{kr}$) og bruke pengene til å redusere lånet fra $\mathrm{1,4}$ millioner til $1$ million kroner.

Med disse kuttene blir de månedlige utgiftene (uten lån)

$$10000+0+2100+800+0+15000=27900\mathrm{kr}$$

og det reduserte lånet på $1000000\mathrm{kr}$ gir et nytt terminbeløp

$$1000000\cdot \frac{\mathrm{0,0067}}{1-{(\mathrm{1,0067})}^{-240}}\approx 8364\mathrm{kr}$$

Overskuddet/underskuddet blir da

$$36000-(27900+8364)\approx \underline{\underline{-264\mathrm{kr}}}$$

Konklusjon: En refinansiering til $8\%$ rente hjelper mye, men er ikke nok alene – Marius sparer inn på renteutgifter, men det nye samlelånet er fortsatt så stort at han bruker mer enn han tjener. Bare ved å kombinere refinansieringen med kraftige kutt i forbruket (netthandel, mat på farten, uteliv, ferie) og ved å selge bilen for å redusere lånebeløpet, klarer Marius å komme nesten i balanse – underskuddet faller fra over $39000$ kroner i måneden til under $300$ kroner i måneden. Med noen ytterligere, mindre justeringer (for eksempel i posten «andre utgifter») kan han trolig få budsjettet til å gå i pluss.