2P Vår 2017 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Søsken sentralmål og variasjonsbredde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 16 elever. Tabellen nedenfor viser hvor mange søsken de 16 elevene har.

Antall søsken	Frekvens
0	5
1	6
2	2
3	2
4	1

Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden.

Fasit

Gjennomsnitt: $1,25$ , median: $1$ , typetall: $1$ , variasjonsbredde: $4$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av tabellen og regner ut hvert sentralmål.

Gjennomsnitt

Vi finner totalt antall søsken ved å multiplisere antall søsken med frekvensen og summere:

0 \cdot 5 + 1 \cdot 6 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 0 + 6 + 4 + 6 + 4 = 20

Gjennomsnittet er:

\overline{x} = \frac{20}{16} = 𝟏,𝟐𝟓

Median

Vi har 16 elever, så medianen er gjennomsnittet av den 8. og 9. verdien når vi sorterer fra minst til størst.

De 5 første verdiene er $0$ , og de neste 6 er $1$ (posisjon 6–11). Altså er både den 8. og den 9. verdien $1$ .

Median = \frac{1 + 1}{2} = 𝟏

Typetall

Typetallet er den verdien med høyest frekvens. Søskentall $1$ har frekvens $6$ , som er høyest.

Typetall = 𝟏

Variasjonsbredde

Variasjonsbredde = største verdi - minste verdi = 4 - 0 = 𝟒

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Prosentandel elever med buss

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en skole er det 125 elever. En dag tok 25 av elevene buss til skolen.

Hvor mange prosent av elevene tok buss til skolen denne dagen?

Fasit

$20 %$ av elevene tok buss.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne hvor stor prosentandel 25 av 125 elever utgjør.

\frac{25}{125} \cdot 100 % = \frac{1}{5} \cdot 100 % = 𝟐𝟎 %

$20 %$ av elevene tok buss til skolen denne dagen.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 1
Temaer: Prosentregning
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Potensuttrykk med toerpotenser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut

5^{0} \cdot 2^{3} \cdot 8^{- 2} \cdot {(4^{- 1})}^{- 3}

Fasit

$8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om alle leddene som toerpotenser.

Steg 1 – Bruk at $5^{0} = 1$ :

5^{0} \cdot 2^{3} \cdot 8^{- 2} \cdot {(4^{- 1})}^{- 3} = 1 \cdot 2^{3} \cdot 8^{- 2} \cdot {(4^{- 1})}^{- 3}

Steg 2 – Skriv $8$ og $4$ som toerpotenser:

8 = 2^{3} og 4 = 2^{2}

Steg 3 – Bruk potensregelen ${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$ :

8^{- 2} = {(2^{3})}^{- 2} = 2^{3 \cdot (- 2)} = 2^{- 6}

{(4^{- 1})}^{- 3} = {(2^{2})}^{(- 1) \cdot (- 3)} = 2^{2 \cdot 3} = 2^{6}

Steg 4 – Sett sammen og bruk $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ :

1 \cdot 2^{3} \cdot 2^{- 6} \cdot 2^{6} = 2^{3 + (- 6) + 6} = 2^{3} = 𝟖

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Potenser, Tallregning
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Vannmolekyler i 1,5 dL vann

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 10 L vann er det omtrent $3,0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler.

Hvor mange vannmolekyler er det i 1,5 dL vann?

Fasit

$4,5 \cdot 10^{23}$ vannmolekyler

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at det er $3,0 \cdot 10^{25}$ vannmolekyler i $10 L$ .

Steg 1 – Gjør om $1,5 dL$ til liter:

1,5 dL = 0,15 L

Steg 2 – Sett opp forholdstallet:

Antallet molekyler er proporsjonalt med volumet. Vi deler volumet $0,15 L$ på $10 L$ for å finne hvor stor andel av $10 L$ vi har:

\frac{0,15}{10} = 0,015

Steg 3 – Regn ut antall molekyler:

3,0 \cdot 10^{25} \cdot 0,015 = 3,0 \cdot 10^{25} \cdot 1,5 \cdot 10^{- 2} = 4,5 \cdot 10^{23}

Det er omtrent $4,5 \cdot 10^{23}$ vannmolekyler i $1,5 dL$ vann.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Proporsjonalitet, Måleenheter
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Leilighetsverdi lineær og eksponentiell modell

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2017 er verdien av en leilighet 1 200 000 kroner.

Per antar at verdien vil stige med 80 000 kroner hvert år.

Sett opp en modell som viser verdien $f (x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Per antar.

Kari antar at verdien vil stige med 8 % hvert år.

Sett opp en modell som viser verdien $g (x)$ av leiligheten $x$ år etter 2017 dersom det går slik Kari antar.

Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $f$ ? Hvilken av grafene nedenfor kan være grafen til $g$ ? Begrunn svarene dine.

Tre grafer merket A, B og C

Fasit

$f (x) = 1 200 000 + 80 000 x$

$g (x) = 1 200 000 \cdot {1,08}^{x}$

$f$ er graf B (rett linje), $g$ er graf A (eksponentiell kurve).

LøsningsforslagKI-generert

Per antar at verdien stiger med et fast beløp hvert år (80 000 kr). Det er en lineær modell med startverdi 1 200 000 og stigningstall 80 000.

f (x) = 1 200 000 + 80 000 x

$f (x) = 1 200 000 + 80 000 x$ , der $x$ er antall år etter 2017.

Kari antar at verdien stiger med 8 % hvert år. Det betyr at verdien hvert år ganges med vekstfaktoren $1 + 0,08 = 1,08$ . Det er en eksponentiell modell.

g (x) = 1 200 000 \cdot {1,08}^{x}

$g (x) = 1 200 000 \cdot {1,08}^{x}$ , der $x$ er antall år etter 2017.

$f$ er en lineær funksjon — verdien øker med like mye hvert år. Grafen til en lineær funksjon er en rett linje. Det passer med graf B.

$g$ er en eksponentiell funksjon — verdien øker med en fast prosent hvert år, slik at veksten akselererer over tid. Grafen krummer stadig brattere oppover. Det passer med graf A.

Graf C starter bratt og flater ut, noe som ikke passer for noen av modellene (det minner om en rotfunksjon).

$f$ tilsvarer graf B (rett linje). $g$ tilsvarer graf A (eksponentiell vekst som krummer oppover).

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lineære funksjoner, Eksponentialfunksjon, Modellering, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Poengfordeling i konkurranse med klassedelt statistikk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et år deltok 1 000 elever i en konkurranse. Besvarelsene ble vurdert, og lærerne laget en tabell. Tabellen ser du nedenfor, men her mangler noen av tallene lærerne satte inn.

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens
$[0, 30 ⟩$	100
$[30, 50 ⟩$
$[50, 70 ⟩$		0,6
$[70, 100 ⟩$	200

Tegn av tabellen ovenfor, og fyll inn tallene som mangler.

Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene som deltok i konkurransen.

Et annet år deltok 3 525 elever i konkurransen. Tabellen nedenfor viser poengfordelingen.

Poengsum	Frekvens
$[0, 30 ⟩$	563
$[30, 50 ⟩$	700
$[50, 70 ⟩$	2000
$[70, 100 ⟩$	262

Bestem medianen for poengsummene til elevene som deltok i konkurransen dette året.

Fasit

Se utfylt tabell i løsningsforslaget.

$\overline{x} = 58,5 p o e n g$

$Median = 55 p o e n g$

LøsningsforslagKI-generert

Vi vet at totalt antall elever er 1 000. Vi finner de manglende frekvensene:

$[50, 70 ⟩$ har relativ frekvens $0,6$ , så frekvens $= 0,6 \cdot 1000 = 600$
$[30, 50 ⟩$ : frekvens $= 1000 - 100 - 600 - 200 = 100$

Klassemidtpunktene finner vi som midtpunktet i hvert intervall:

$[0, 30 ⟩$ : midtpunkt $= \frac{0 + 30}{2} = 15$
$[30, 50 ⟩$ : midtpunkt $= \frac{30 + 50}{2} = 40$
$[50, 70 ⟩$ : midtpunkt $= \frac{50 + 70}{2} = 60$
$[70, 100 ⟩$ : midtpunkt $= \frac{70 + 100}{2} = 85$

Utfylt tabell:

Poengsum	Frekvens	Relativ frekvens	Klassemidtpunkt
$[0, 30 ⟩$	100	$0,1$	$15$
$[30, 50 ⟩$	100	$0,1$	$40$
$[50, 70 ⟩$	600	$0,6$	$60$
$[70, 100 ⟩$	200	$0,2$	$85$

Vi beregner gjennomsnittet ved å gange klassemidtpunkt med frekvens for hvert intervall, summere og dele på totalt antall elever:

\overline{x} = \frac{100 \cdot 15 + 100 \cdot 40 + 600 \cdot 60 + 200 \cdot 85}{1000}

\overline{x} = \frac{1500 + 4000 + 36 000 + 17 000}{1000} = \frac{58 500}{1000} = 58,5

Den gjennomsnittlige poengsummen var $58,5 p o e n g$ .

Det er 3 525 elever. Medianen er verdien til eleven som er midt i rekken. Vi finner posisjonen:

Midtposisjon = \frac{3525}{2} = 1762,5 \approx 1763

Vi finner hvilken klasse median-eleven befinner seg i ved å summere frekvensene kumulativt:

Etter $[0, 30 ⟩$ : $563$ elever
Etter $[30, 50 ⟩$ : $563 + 700 = 1263$ elever
Etter $[50, 70 ⟩$ : $1263 + 2000 = 3263$ elever

Elev nr. 1763 befinner seg i klassen $[50, 70 ⟩$ (siden $1263 < 1763 \leq 3263$ ).

Vi beregner medianen ved lineær interpolasjon inni intervallet. Det mangler $1763 - 1263 = 500$ elever inn i dette intervallet, som har 2000 elever og bredde 20.

Median = 50 + \frac{500}{2000} \cdot 20 = 50 + 5 = 55

Medianen er $55 p o e n g$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Statistikk, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Figurtall med trekanter av pinner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figur 1, figur 2 og figur 3 satt sammen av blå pinner

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små, blå pinner. Hver pinne har lengden 2,5 cm. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Hvor mange pinner trenger du for å lage figur 4? Bestem omkretsen av figur 4.

Bestem et uttrykk for antall pinner i figur $n$ uttrykt ved $n$ .

Bestem et uttrykk for omkretsen av figur $n$ uttrykt ved $n$ .

En figur som følger samme mønster som ovenfor, har en omkrets på 105 cm.

Bestem antall pinner i denne figuren.

Fasit

$9 p i n n e r$ , omkrets $= 15 c m$

$N (n) = 2 n + 1$

$O (n) = 2,5 n + 5 c m$

$81 p i n n e r$

LøsningsforslagKI-generert

Vi teller pinner i de første figurene:

Figurnummer	Antall pinner
1	3
2	5
3	7

Mønsteret øker med 2 pinner for hver ny figur. Figur 4 trenger derfor $7 + 2 = 9$ pinner.

For å finne omkretsen av figur 4 teller vi de pinnene som utgjør ytterkanten. Figur 4 har $4 + 2 = 6$ ytterpinner (se mønster under deloppgave c). Hver pinne er 2,5 cm:

O_{4} = 6 \cdot 2,5 = 15 c m

Figur 4 har $9 p i n n e r$ , og omkretsen er $15 c m$ .

Fra tabellen ser vi at antall pinner øker med 2 for hver ny figur. Det er et lineært mønster:

Figur 1: $3 = 2 \cdot 1 + 1$
Figur 2: $5 = 2 \cdot 2 + 1$
Figur 3: $7 = 2 \cdot 3 + 1$

N (n) = 2 n + 1

Antall pinner i figur $n$ er $N (n) = 2 n + 1$ .

Vi teller ytterpinnene (de som utgjør omkretsen) i de første figurene:

Figurnummer	Ytterpinner	Omkrets (cm)
1	3	$3 \cdot 2,5 = 7,5$
2	4	$4 \cdot 2,5 = 10$
3	5	$5 \cdot 2,5 = 12,5$

Antall ytterpinner i figur $n$ er $n + 2$ . Omkretsen er:

O (n) = (n + 2) \cdot 2,5 = 2,5 n + 5

Omkretsen av figur $n$ er $O (n) = 2,5 n + 5 c m$ .

Vi setter $O (n) = 105$ og løser for $n$ :

2,5 n + 5 = 105

2,5 n = 100

n = \frac{100}{2,5} = 40

Figurnummeret er 40. Vi finner antall pinner med formelen fra b):

N (40) = 2 \cdot 40 + 1 = 81

Figuren har $81 p i n n e r$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Figurtall, Mønstre, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 2-1Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $V$ er gitt ved

V (x) = 0,064 x^{4} - 2,41 x^{3} + 28,4 x^{2} - 105 x + 39, 0 \leq x \leq 18

viser vannstanden $V (x)$ centimeter over eller under middelvann $x$ timer etter midnatt i Tromsø en dag.

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $V$ .

Kalkulator

Vis at vannstanden er ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt og ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.

Krever PC

Bestem forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand i perioden fra midnatt og fram til klokka 18.00.

Krever PC

Bestem den momentane vekstfarten til funksjonen $V$ klokken 07.00. Gi en praktisk tolkning av dette svaret.

Fasit

Se graf nedenfor.

$V (1) \approx - 40 cm$ (40 cm under middelvann), $V (12) \approx 31 cm$ (31 cm over middelvann).

$141,2 cm$

$V^{'} (7) \approx 26,1 c m / t i m e$ — vannstanden stiger med ca. 26,1 cm per time kl. 07.00.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen til $V (x) = 0,064 x^{4} - 2,41 x^{3} + 28,4 x^{2} - 105 x + 39$ for $0 \leq x \leq 18$ .

Grafen viser bunnpunkter (røde), toppunkt (grønt) og tangenten i $x = 7$ (oransje).

Graf over vannstand i Tromsø

Vi setter inn $x = 1$ og $x = 12$ i funksjonsuttrykket.

Én time etter midnatt ( $x = 1$ ):

V (1) = 0,064 \cdot 1^{4} - 2,41 \cdot 1^{3} + 28,4 \cdot 1^{2} - 105 \cdot 1 + 39

= 0,064 - 2,41 + 28,4 - 105 + 39 = - 39,946 \approx - 40

$𝐕 (𝟏) \approx - 𝟒𝟎$ , altså er vannstanden ca. 40 cm under middelvann én time etter midnatt.

Tolv timer etter midnatt ( $x = 12$ ):

V (12) = 0,064 \cdot 12^{4} - 2,41 \cdot 12^{3} + 28,4 \cdot 12^{2} - 105 \cdot 12 + 39

= 0,064 \cdot 20736 - 2,41 \cdot 1728 + 28,4 \cdot 144 - 1260 + 39

= 1327,1 - 4164,5 + 4089,6 - 1260 + 39 = 31,2 \approx 31

$𝐕 (𝟏𝟐) \approx 𝟑𝟏$ , altså er vannstanden ca. 31 cm over middelvann 12 timer etter midnatt.

Vi bruker GeoGebra til å finne høyeste og laveste vannstand i perioden $0 \leq x \leq 18$ .

Fra grafen og GeoGebra-beregninger finner vi:

Høyeste vannstand (toppunkt): $V \approx 59,7 cm$ ved $x \approx 9,6$ (ca. kl. 09.36)
Laveste vannstand (bunnpunkt): $V \approx - 81,5 cm$ ved $x \approx 2,7$ (ca. kl. 02.40)

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand:

59,7 - (- 81,5) = 141,2 cm

Forskjellen mellom høyeste og laveste vannstand er $141,2 cm$ .

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $V^{'} (7)$ .

Vi deriverer $V (x)$ :

V^{'} (x) = 4 \cdot 0,064 x^{3} - 3 \cdot 2,41 x^{2} + 2 \cdot 28,4 x - 105

V^{'} (x) = 0,256 x^{3} - 7,23 x^{2} + 56,8 x - 105

Vi setter inn $x = 7$ :

V^{'} (7) = 0,256 \cdot 7^{3} - 7,23 \cdot 7^{2} + 56,8 \cdot 7 - 105

= 0,256 \cdot 343 - 7,23 \cdot 49 + 397,6 - 105

= 87,808 - 354,27 + 397,6 - 105 = 26,138 \approx 26,1

Den momentane vekstfarten kl. 07.00 er $V^{'} (7) \approx 26,1 c m / t i m e$ .

Praktisk tolkning: Akkurat klokken 07.00 stiger vannstanden med ca. 26,1 cm per time. Vannstanden øker altså raskt på dette tidspunktet (det er flo på vei inn).

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Modellering, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Prisantydning fra pris med påslag

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Emil betalte 3 703 000 kroner for en leilighet. Han betalte 15 % mer enn prisantydningen.

Hva var prisantydningen for denne leiligheten?

Fasit

$3 220 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Emil betalte 15 % mer enn prisantydningen. Det betyr at det han betalte tilsvarer $100 % + 15 % = 115 %$ av prisantydningen. Vi kan skrive dette med vekstfaktor:

Prisantydning \cdot 1,15 = 3 703 000 kr

Vi løser for prisantydningen ved å dele begge sider på $1,15$ :

Prisantydning = \frac{3 703 000}{1,15} = 3 220 000 kr

Prisantydningen for leiligheten var $3 220 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Prosentregning, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Arv med fast rente over 20 år

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

For 20 år siden arvet Ida penger. Hun satte alle pengene inn på en ny bankkonto. Hun har fått en fast rente på 4,25 % per år. I dag har hun 1 724 180 kroner på kontoen.

Hvor mye penger arvet Ida?

Fasit

$750 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Ida setter inn et startbeløp $K_{0}$ og får $4,25 %$ rente hvert år i 20 år. Vekstfaktoren er $1,0425$ . Etter 20 år har hun:

K_{20} = K_{0} \cdot {1,0425}^{20}

Vi vet at $K_{20} = 1 724 180 kr$ , og løser for $K_{0}$ :

K_{0} = \frac{1 724 180}{{1,0425}^{20}}

Vi regner ut ${1,0425}^{20}$ :

{1,0425}^{20} \approx 2,2989

Dermed:

K_{0} = \frac{1 724 180}{2,2989} \approx 750 000 kr

Vi kan sjekke svaret: $750 000 \cdot {1,0425}^{20} \approx 750 000 \cdot 2,2989 \approx 1 724 180 kr$ . Det stemmer.

Ida arvet $750 000 kr$ .

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rente, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Vekstfaktor
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Avstand-tid-graf for tur og retur

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Graf som viser avstand som funksjon av tid

Beskriv en praktisk situasjon som passer med grafen ovenfor.

Fasit

En jogger løper bortover med jevn fart, snur, og løper raskere tilbake til utgangspunktet.

LøsningsforslagKI-generert

Grafen viser avstand fra utgangspunktet som funksjon av tid.

Den første delen av grafen stiger jevnt (rett linje oppover). Det betyr at avstanden fra utgangspunktet øker med konstant fart. Personen beveger seg bortover i jevnt tempo.
På toppen av grafen snur personen og begynner å gå/løpe tilbake.
Den andre delen av grafen synker jevnt (rett linje nedover) tilbake til null. Linjen er brattere enn den første, noe som betyr at farten er høyere på vei tilbake.
Når grafen treffer $x$ -aksen igjen, er personen tilbake på utgangspunktet.

En situasjon som passer:

En jogger starter hjemmefra, løper bortover med jevn fart, snur og løper raskere tilbake til utgangspunktet.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Graftolkning, Lineære funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Poengfordeling fra histogram med tetthet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en skole kom alle elevene som hadde valgt 2P, opp til skriftlig eksamen. Histogrammet nedenfor viser poengfordelingen.

Histogram med frekvens delt på klassebredde langs y-aksen og poeng langs x-aksen

Kalkulator

Vis at det til sammen var 230 elever i 2P-gruppene.

Kalkulator

Bestem gjennomsnittlig poengsum for elevene.

Fasit

$230 elever$

$\overline{x} = 28,5 poeng$

LøsningsforslagKI-generert

I et tetthetshistogram er y-aksen frekvens / klassebredde (tetthet). For å finne antall elever i en klasse multipliserer vi tettheten med klassebredden:

Antall = tetthet \cdot klassebredde

Vi leser av histogrammet og finner tetthet og klassebredde for hver klasse:

Klasse	Klassebredde	Tetthet	Antall elever
$[0, 10)$	$10$	$1$	$10 \cdot 1 = 10$
$[10, 40)$	$30$	$6$	$30 \cdot 6 = 180$
$[40, 60)$	$20$	$2$	$20 \cdot 2 = 40$

Totalt antall elever:

10 + 180 + 40 = 230 elever

Vi bruker klassemidtpunktet for hver klasse som representativ verdi:

Klasse $[0, 10)$ : midtpunkt $= 5$
Klasse $[10, 40)$ : midtpunkt $= 25$
Klasse $[40, 60)$ : midtpunkt $= 50$

Gjennomsnittet beregnes ved å veie hvert midtpunkt med antall elever i klassen:

\overline{x} = \frac{10 \cdot 5 + 180 \cdot 25 + 40 \cdot 50}{230}

\overline{x} = \frac{50 + 4500 + 2000}{230} = \frac{6550}{230} \approx 28,5 poeng

Den gjennomsnittlige poengsummen for elevene var $28,5$ poeng.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Presentasjon av data, Sentralmål
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Temperaturfall med høyden mot Galdhøpiggen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Temperaturen blir lavere jo høyere over havet vi kommer. Spiterstulen ligger 1 106 m over havet. Toppen av Galdhøpiggen ligger 2 469 m over havet. En dag er temperaturen på Spiterstulen $12,0 ° C$ .

Vi antar at temperaturen $T (x) ° C$ , $x$ meter over Spiterstulen denne dagen er gitt ved

T (x) = - 0,0065 x + 12, 0 \leq x \leq 1400

Kalkulator

Hvor høyt over Spiterstulen vil du være når temperaturen er $5 ° C$ denne dagen?

Kalkulator

Bestem temperaturen på toppen av Galdhøpiggen denne dagen.

Kalkulator

Hvor mange grader synker temperaturen med per 100 m stigning denne dagen?

Fasit

$x \approx 1077 m$ over Spiterstulen

$T \approx 3,1 ° C$

$0,65 ° C$ per $100 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal finne høyden $x$ der temperaturen er $5 ° C$ . Vi setter $T (x) = 5$ og løser:

- 0,0065 x + 12 = 5

- 0,0065 x = 5 - 12 = - 7

x = \frac{- 7}{- 0,0065} = \frac{7}{0,0065} \approx 1077 m

Temperaturen er $5 ° C$ når vi er $1077 m$ over Spiterstulen.

Galdhøpiggen ligger $2 469 m$ over havet, og Spiterstulen ligger $1 106 m$ over havet. Det betyr at Galdhøpiggen ligger

2 469 - 1 106 = 1 363 m

over Spiterstulen. Vi setter $x = 1363$ inn i formelen:

T (1363) = - 0,0065 \cdot 1363 + 12 = - 8,8595 + 12 = 3,1405 \approx 3,1 ° C

Temperaturen på toppen av Galdhøpiggen er $3,1 ° C$ .

Stigningstallet i formelen $T (x) = - 0,0065 x + 12$ er $- 0,0065$ . Det forteller oss at temperaturen synker med $0,0065 ° C$ for hver meter vi stiger.

Per $100 m$ stigning synker temperaturen med:

0,0065 \cdot 100 = 0,65 ° C

Temperaturen synker med $0,65 ° C$ per $100 m$ stigning.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Høydevekst med tredjegradsregresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser hvor høy Per var 0, 1, 3, 6 og 12 år etter fødselen.

Alder (år)	0	1	3	6	12
Høyde (cm)	52	76	97	118	148

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en tredjegradsfunksjon $f$ som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene.

Espen er 12 år. Funksjonen $g$ gitt ved

g (x) = 0,13 x^{3} - 2,8 x^{2} + 23 x + 52

viser høyden hans $g (x)$ cm, $x$ år etter fødselen.

Kalkulator

Bestem Espens gjennomsnittlige vekstfart fra han var 7 år til han ble 12 år.

Sitatet nedenfor er hentet fra nettsidene til Norsk Helseinformatikk AS.

Anta at Espen kommer i puberteten når han er 12 år. Puberteten varer vanligvis i to–tre år.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Ta utgangspunkt i sitatet ovenfor, og vurder om funksjonen $g$ kan brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.

Fasit

$f (x) = 0,12 x^{3} - 2,57 x^{2} + 21,82 x + 53,56$

$5,81 cm/år$

Nei — $g$ kan ikke brukes til å bestemme høyden etter 12 år.

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og lar programmet finne en tredjegradsfunksjon ved regresjon.

f (x) = 0,12 x^{3} - 2,57 x^{2} + 21,82 x + 53,56

Grafen nedenfor viser de fem datapunktene (røde punkter) og regresjonskurven (blå kurve):

Regresjonskurve og datapunkter for Pers høyde

$f (x) = 0,12 x^{3} - 2,57 x^{2} + 21,82 x + 53,56$ er en tredjegradsfunksjon som tilnærmet viser høyden til Per de første 12 leveårene, der $x$ er alder i år og $f (x)$ er høyde i cm.

Vi skal finne den gjennomsnittlige vekstfarten til Espen fra han var 7 år til han ble 12 år, det vil si fra $x = 7$ til $x = 12$ .

Vi bruker funksjonen $g (x) = 0,13 x^{3} - 2,8 x^{2} + 23 x + 52$ :

g (7) = 0,13 \cdot 7^{3} - 2,8 \cdot 7^{2} + 23 \cdot 7 + 52 = 120,39

g (12) = 0,13 \cdot 12^{3} - 2,8 \cdot 12^{2} + 23 \cdot 12 + 52 = 149,44

Gjennomsnittlig vekstfart er:

\frac{g (12) - g (7)}{12 - 7} = \frac{149,44 - 120,39}{5} = \frac{29,05}{5} = 5,81

Den gjennomsnittlige vekstfarten til Espen fra han var 7 til han ble 12 år, er $5,81 cm/år$ .

Nei, funksjonen $g$ kan ikke brukes til å bestemme høyden til Espen etter at han har fylt 12 år.

Ifølge sitatet fra Norsk Helseinformatikk avtar veksthastigheten mot null etter vekstspurten i puberteten. Det betyr at høydeveksten bremser opp og til slutt stopper.

Tredjegradsfunksjonen $g$ oppfører seg imidlertid stikk motsatt for $x > 12$ : den stiger stadig raskere og går mot uendelig. For eksempel gir $g (15) \approx 195 cm$ og $g (20) \approx 370 cm$ , som er helt urealistisk.

Modellen er kun basert på målinger fra 0 til 12 år og er bare gyldig i dette dataområdet. Utenfor dette intervallet gir tredjegradsfunksjonen resultater som ikke stemmer overens med virkeligheten.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Regresjon, Modellering, Vekstfart, Funksjonsdrøfting
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Oppgave 2-8Målstatistikk for Liverpool og Newcastle

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellene ovenfor viser hvor mange mål Liverpool FC og Newcastle United FC skåret per kamp i sesongen 2015–2016.

Antall mål per kamp	Frekvens (Liverpool)	Frekvens (Newcastle)
0	8	14
1	14	13
2	7	7
3	4	2
4	3	0
5	1	1
6	1	1

Krever PC

Bestem gjennomsnittet og medianen for antall skårede mål per kamp for begge klubbene.

Krever PC

Bestem standardavviket for antall skårede mål per kamp for begge klubbene. Hva forteller dette oss?

Fasit

Liverpool FC: Gjennomsnitt: $\approx 1,66$ mål per kamp. Median: $1$ mål.
Newcastle United FC: Gjennomsnitt: $\approx 1,16$ mål per kamp. Median: $1$ mål.

Liverpool FC: Standardavvik: $\approx 1,49$ (utvalg) eller $1,47$ (populasjon)
Newcastle United FC: Standardavvik: $\approx 1,37$ (utvalg) eller $1,35$ (populasjon)

Standardavviket forteller om spredningen rundt gjennomsnittet. Spredningen i antall skårede mål per kamp er noe større for Liverpool enn for Newcastle.

Løsningsforslag

Totalt antall kamper for hver klubb er:

N = 8 + 14 + 7 + 4 + 3 + 1 + 1 = 38

N = 14 + 13 + 7 + 2 + 0 + 1 + 1 = 38

Liverpool FC: Totalt antall mål:

0 \cdot 8 + 1 \cdot 14 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 0 + 14 + 14 + 12 + 12 + 5 + 6 = 63

Gjennomsnittlig antall mål per kamp:

\overline{x} = \frac{63}{38} \approx 1,66

Siden $N = 38$ er et partall, finner vi medianen som gjennomsnittet av observasjon nummer 19 og 20 i sortert rekkefølge.

Antall kamper med 0 mål: 8
Antall kamper med 0 eller 1 mål: $8 + 14 = 22$

Både observasjon 19 og 20 er 1 mål.

Median = 1

Newcastle United FC: Totalt antall mål:

0 \cdot 14 + 1 \cdot 13 + 2 \cdot 7 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 5 \cdot 1 + 6 \cdot 1 = 0 + 13 + 14 + 6 + 0 + 5 + 6 = 44

Gjennomsnittlig antall mål per kamp:

\overline{x} = \frac{44}{38} \approx 1,16

Median:

Antall kamper med 0 mål: 14
Antall kamper med 0 eller 1 mål: $14 + 13 = 27$

Både observasjon 19 og 20 er 1 mål.

Median = 1

Vi legger dataene inn i et digitalt verktøy (GeoGebra eller regneark) og finner standardavviket:

Liverpool FC: $s \approx 1,49$ mål (populasjonsstandardavvik $σ \approx 1,47$ mål)
Newcastle United FC: $s \approx 1,37$ mål (populasjonsstandardavvik $σ \approx 1,35$ mål)

Tolkning: Standardavviket måler den gjennomsnittlige spredningen eller variasjonen i antall skårede mål per kamp rundt gjennomsnittet.

Standardavviket er noe høyere for Liverpool ( $1,49$ ) enn for Newcastle ( $1,37$ ). Dette betyr at variasjonen i antall mål fra kamp til kamp var litt større for Liverpool.
Newcastle var mer forutsigbare (mindre spredning), men skåret generelt færre mål ( $1,16$ mot $1,66$ ).

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Statistikk, Sentralmål, Spredningsmål
Egen side: Åpne oppgave 2-8 for seg selv

Oppgave 2-9Banksparing for to personer i regneark

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Elise og Ådne opprettet hver sin bankkonto 1. januar 2017. Elise satte inn 20 000 kroner. Ådne satte inn 25 000 kroner. Begge får en rente på 2,75 % per år, og begge lar pengene stå urørt.

Krever PC

Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye Elise og Ådne vil ha i banken hvert år fram til og med 31. desember 2036.

Krever PC

Hvor mange år vil det gå før de til sammen har mer enn 70 000 kroner i banken?

Krever PC

Hvor mye vil Elise og Ådne til sammen få i renter disse 20 årene?

Fasit

Regneark med kolonner: år, Elise, Ådne, til sammen. Formel: forrige beløp $\cdot 1,0275$ .

$31. desember 2033$ (etter 17 år)

$32 419,28 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Rentefaktoren er $1 + \frac{2,75}{100} = 1,0275$ per år.

Regnearket har fire kolonner: År, Elise, Ådne og Til sammen.

Rad 1 (1. januar 2017, $n = 0$ ): Elise = 20 000, Ådne = 25 000, Til sammen = 45 000.
Neste rad: gang forrige verdi med $1,0275$ i Elise- og Ådne-kolonnene. Til-sammen-kolonnen er summen av de to.
Fortsett ned til 31. desember 2036 ( $n = 20$ ).

Eksempel på oppsett (utvalgte år):

År	Elise (kr)	Ådne (kr)	Til sammen (kr)
2017	$20 000,00$	$25 000,00$	$45 000,00$
2018	$20 550,00$	$25 687,50$	$46 237,50$
2019	$21 115,13$	$26 393,91$	$47 509,03$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
2032	$30 870,19$	$38 587,74$	$69 457,92$
2033	$31 719,12$	$39 648,90$	$71 368,02$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
2036	$34 408,57$	$43 010,71$	$77 419,28$

Vi leser av regnearket og ser at «Til sammen»-kolonnen passerer 70 000 kr første gang 31. desember 2033:

1. desember 2032 ( $n = 16$ ): $69 457,92 kr$ (under 70 000)
1. desember 2033 ( $n = 17$ ): $71 368,02 kr$ (over 70 000)

De to vil til sammen ha mer enn 70 000 kr i banken i løpet av år 2033, dvs. etter 17 år.

Etter 20 år (31. desember 2036) har de til sammen:

45 000 \cdot {1,0275}^{20} \approx 77 419,28 kr

De satte inn til sammen $20 000 + 25 000 = 45 000 kr$ .

Rentene de har fått er:

77 419,28 - 45 000 = 32 419,28 kr

Elise og Ådne vil til sammen få $32 419,28 kr$ i renter i løpet av de 20 årene.

Oppgavedata

Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Rente, Sparing, Eksponentialfunksjon, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 2-9 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Søsken sentralmål og variasjonsbredde

Oppgave 1-2·Prosentandel elever med buss

Oppgave 1-3·Potensuttrykk med toerpotenser

Oppgave 1-4·Vannmolekyler i 1,5 dL vann

Oppgave 1-5·Leilighetsverdi lineær og eksponentiell modell

Oppgave 1-6·Poengfordeling i konkurranse med klassedelt statistikk

Oppgave 1-7·Figurtall med trekanter av pinner

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 9 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Oppgave 2-2·Prisantydning fra pris med påslag

Oppgave 2-3·Arv med fast rente over 20 år

Oppgave 2-4·Avstand-tid-graf for tur og retur

Oppgave 2-5·Poengfordeling fra histogram med tetthet

Oppgave 2-6·Temperaturfall med høyden mot Galdhøpiggen

Oppgave 2-7·Høydevekst med tredjegradsregresjon

Oppgave 2-8·Målstatistikk for Liverpool og Newcastle

Oppgave 2-9·Banksparing for to personer i regneark

Temaer

Oppgave 1-1Søsken sentralmål og variasjonsbredde

Oppgave 1-2Prosentandel elever med buss

Oppgave 1-3Potensuttrykk med toerpotenser

Oppgave 1-4Vannmolekyler i 1,5 dL vann

Oppgave 1-5Leilighetsverdi lineær og eksponentiell modell

Oppgave 1-6Poengfordeling i konkurranse med klassedelt statistikk

Oppgave 1-7Figurtall med trekanter av pinner

Oppgave 2-1Vannstand i Tromsø med fjerdegradsfunksjon

Oppgave 2-2Prisantydning fra pris med påslag

Oppgave 2-3Arv med fast rente over 20 år

Oppgave 2-4Avstand-tid-graf for tur og retur

Oppgave 2-5Poengfordeling fra histogram med tetthet

Oppgave 2-6Temperaturfall med høyden mot Galdhøpiggen

Oppgave 2-7Høydevekst med tredjegradsregresjon

Oppgave 2-8Målstatistikk for Liverpool og Newcastle

Oppgave 2-9Banksparing for to personer i regneark