2P Høst 2018

Den kumulative frekvensen forteller hvor mange mål Tone har skåret til og med den aktuelle kampen.

Kumulativ frekvens etter kamp 3 er $15$, og etter kamp 4 er $21$.

Antall mål i kamp 4 er derfor:

Tone skåret $\underline{\underline{6\text{ mål}}}$ i kamp nummer 4.

Den kumulative frekvensen etter kamp 6 viser det totale antallet mål i alle seks kampene: $30$ mål.

Tone skåret i gjennomsnitt $\underline{\underline{5\text{ mål per kamp}}}$.

Ved klassedelt datamateriale bruker vi midtpunktet i hver klasse som representant for klassen.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{15\text{ tusen skritt}}}$ per dag.

Klassene har ulik bredde ($10$, $5$, $5$ og $10$ tusen skritt). Da kan vi ikke bruke antall dager som høyde på søylene, for da ville de brede klassene se ut som om de har flere dager enn de har. I et histogram er det arealet av søylen som viser antall dager. Høyden blir frekvenstettheten:

Søylene tegnes uten mellomrom mellom seg, med bredde lik klassebredden og høyde lik frekvenstettheten.

Farten er $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Det betyr at Anne løper $10\mathrm{km}$ på $60\mathrm{minutter}$.

Tid per km:

Anne bruker altså 6 minutter på hver kilometer når farten er 10 km/h.

Farten er $12\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Det betyr at Anne løper $12\mathrm{km}$ på $60\mathrm{minutter}$.

Tid per km:

Anne bruker $\underline{\underline{5\text{ minutter per km}}}$ når farten er 12 km/h.

Vi regner ut hvor lang tid Anne bruker på hver del av løpeturen:

• De første 3 km med 6 min/km: $3\cdot 6=18\mathrm{minutter}$
• De neste 7 km med 5 min/km: $7\cdot 5=35\mathrm{minutter}$

Koordinatene vi tegner gjennom er:

• Start: $(0,0)$
• Etter 3 km: $(3,18)$
• Etter 10 km: $(10,18+35)=(10,53)$

Grafen består av to rette linjestykker. Det første linjestykket fra $(0,0)$ til $(3,18)$ er brattere enn det andre fra $(3,18)$ til $(10,53)$, siden Anne løper saktere (bruker mer tid per km) i starten.

Anne løper totalt 10 km og bruker totalt:

Gjennomsnittlig tid per km:

Anne bruker i gjennomsnitt $\underline{\underline{\mathrm{5,3}\text{ minutter per km}}}$ på hele løpeturen.

Vi tenker oss at hver figur er satt sammen av et kvadrat med to ekstra rekker:

• Figur $n$ har et kvadrat med sidekant $n$, altså $n^2$ ruter.
• I tillegg kommer to rekker, og hver rekke har én rute mer enn $n$, altså $n+1$ ruter.

Det gir antall ruter:

• Figur 1: $1^2+2\cdot 2=1+4=5$
• Figur 2: $2^2+2\cdot 3=4+6=10$
• Figur 3: $3^2+2\cdot 4=9+8=17$

Figur 4 tegnes som et $4\times 4$-kvadrat ($16$ ruter) med to rekker à $5$ ruter, slik at figuren totalt har $16+2\cdot 5=26$ kvadrater.

Vi fortsetter mønsteret til figur 5:

Det er $\underline{\underline{37\text{ blå kvadrater}}}$ i figur 5.

Figur $n$ består av et kvadrat med $n^2$ ruter og to rekker med $n+1$ ruter hver. Antall ruter $F_n$ blir da:

Vi kontrollerer: $F_1=1+2+2=5$ ✓, $F_3=9+6+2=17$ ✓, $F_5=25+10+2=37$ ✓

$\underline{\underline{F_n=n^2+2n+2}}$

Vi setter $n=100$ inn i formelen:

Det er $\underline{\underline{10202\text{ blå kvadrater}}}$ i figur 100.

Vi tegner grafen til $A(x)=\mathrm{0,002}{x}^4-\mathrm{0,13}{x}^3+\mathrm{2,75}{x}^2-18x+118$ i GeoGebra for $0\le x\le 30$. Den stiplede linjen viser $A(x)=92$.

Fra grafen ser vi at $A(x)<92$ i perioden fra omtrent $x\approx 2$ til $x\approx 8$.

Det vil si at aksjen var lavere enn 92 kroner i omtrent

Aksjen var lavere enn 92 kroner i omtrent $\underline{\underline{6\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Fra GeoGebra leser vi av:

• Laveste verdi (minimum): $A(\mathrm{4,67})\approx \mathrm{81,6}\mathrm{kr}$
• Høyeste verdi (maksimum, ved $x=30$): $A(30)=163\mathrm{kr}$

Forskjellen blir:

Forskjellen mellom laveste og høyeste verdi de 30 første ukene var omtrent $\underline{\underline{\mathrm{81,4}\mathrm{kr}}}$.

Gjennomsnittlig endring per uke beregnes som

Aksjen steg i gjennomsnitt $\underline{\underline{\mathrm{1,5}\mathrm{kr}}}$ per uke de 30 første ukene.

Den momentane vekstfarten er den deriverte $A^{\prime }(x)$. Vi deriverer:

Vi setter inn $x=22$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{A^{\prime }(22)\approx -\mathrm{0,58}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{e}}}$.

Praktisk tolkning: I uke 22 synker aksjeverdien med omtrent $\mathrm{0,58}$ kroner per uke. Aksjen er altså på vei nedover i denne perioden.

Truls setter inn $40000\mathrm{kr}$ i begynnelsen av 2010. Renten er $\mathrm{3,2}\%$ per år, så vekstfaktoren er $\mathrm{1,032}$.

Fra begynnelsen av 2010 til begynnelsen av 2019 er det 9 år.

Truls vil ha omtrent $\underline{\underline{53110\mathrm{kr}}}$ på kontoen i begynnelsen av 2019.

Vi setter opp et regneark med to kolonner: antall år siden innskuddet og beløpet på kontoen.

• Kolonne A: antall år (0, 1, 2, …)
• Kolonne B: beløpet

I celle B1 skriver vi startverdien: 40000

I celle B2 og nedover bruker vi formelen: =B1*1,032

Vi leser av raden der beløpet for første gang overstiger $60000\mathrm{kr}$:

Etter $\underline{\underline{13\text{ år}}}$ (begynnelsen av 2023) har Truls for første gang over $60000\mathrm{kr}$ på kontoen.

Vi utvider regnearket. Beløpet passerer $100000\mathrm{kr}$ etter 30 år (begynnelsen av 2040). Fra da av tar Truls ut $8000\mathrm{kr}$ i begynnelsen av hvert år, og resten får rente til neste år.

Formelen i hvert år med uttak blir: =(forrige celle - 8000)*1,032

Tabellen under viser hele forløpet (utdrag):

Etter uttak 16 (år 46) er det kun $1\mathrm{277,83}\mathrm{kr}$ igjen på kontoen. Det er ikke nok til et nytt uttak på $8000\mathrm{kr}$.

Truls kan gjøre $\underline{\underline{16\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{k}}}$ før kontoen er tom. Det betyr at han tar ut penger i 16 år, fra 2041 til 2056.

Vi legger inn datapunktene fra tabellen og funksjonen $H(x)=\mathrm{3,31}\cdot x^{\mathrm{0,33}}$ i GeoGebra.

Vi ser at kurven til $H$ går gjennom eller svært nær alle de røde datapunktene. Vi kan også sjekke ved å sette inn tabellverdiene:

Avvikene er svært små (maks $\mathrm{0,04}\mathrm{m}$), så modellen passer godt med tallene i tabellen.

Tanken er full når vannivået er $H=10\mathrm{m}$. Vi bruker GeoGebra til å lese av der kurven $H(x)$ møter den vannrette linjen $y=10$ (grønt punkt i grafen).

Vi ser at dette skjer ved $x\approx \mathrm{28,5}$ timer.

Vi kan også løse dette med regresjonsmodellen:

Det tar omtrent $\underline{\underline{\mathrm{28,5}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ før tanken er full. Det vil si at pumpen har pumpet i ca. 28,5 timer.

Pumpen fyller $18{\mathrm{m}}^3$ per time, så volumet når tanken er full er:

Det er omtrent $\underline{\underline{513000\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ vann i tanken når den er full. Det tilsvarer ca. 513 kubikkmeter vann.

Vi fyller ut regnearket med verdiene fra tabellen i kolonne B, og bruker formler i kolonne C (relativ frekvens) og kolonne D (kumulativ relativ frekvens).

Totalt antall personer i Norge 1. januar 2017:

Relativ frekvens i celle C2 beregnes med formelen =B2/$B$9, der $B$9 er sumcellen (absolutt referanse). Formelen kopieres ned for alle intervaller.

Kumulativ relativ frekvens i celle D2 er =C2, og i D3 og nedover brukes =D2+C3 (løpende sum). Alternativt kan man bruke =SUM($B$2:B2)/$B$9.

Den ferdige tabellen ser slik ut:

Vi leser av kumulativ relativ frekvens for intervallet $⟨75,90⟩$, som er det siste intervallet som slutter under 90 år.

$\underline{\underline{\mathrm{99,15}\%}}$ av befolkningen var under 90 år.

Medianen er den verdien som deler befolkningen i to like store halvdeler, altså der den kumulative relative frekvensen passerer $50\%$.

Fra tabellen ser vi:

• Etter $⟨0,15⟩$: kumulativ frekvens $=\mathrm{17,83}\%$ (under $50\%$)
• Etter $⟨15,25⟩$: kumulativ frekvens $=\mathrm{30,54}\%$ (under $50\%$)
• Etter $⟨25,45⟩$: kumulativ frekvens $=\mathrm{57,76}\%$ (over $50\%$)

Den kumulative frekvensen passerer $50\%$ inne i intervallet $⟨25,45⟩$.

Medianen finner vi i intervallet $\underline{\underline{⟨25,45⟩}}$.

Stian antar at alderen er jevnt fordelt innenfor hvert intervall. Da kan vi beregne antall personer i alderen $⟨25,30⟩$ som en forholdsmessig andel av intervallet $⟨25,45⟩$:

Antall personer under 25 år:

Antall personer under 30 år:

Stians påstand er $\underline{\underline{1963775}}$ personer under 30 år.

Antakelsen han har gjort er at alderen er jevnt fordelt innenfor hvert aldersintervall, slik at man kan bruke en forholdsmessig andel av intervallet $⟨25,45⟩$ til å estimere antallet i $⟨25,30⟩$.

Vi leser av de to punktdiagrammene måned for måned og setter verdiene inn i en tabell. Avlesningen er omtrentlig, siden vi bare kan lese punktene mot rutenettet i diagrammene.

Vi setter tabellen fra a) inn i et regneark og bruker formlene GJENNOMSNITT og STDAV.P (populasjonsstandardavvik) på hver av de to kolonnene.

Verdier:

Formler:

For Skjåk:

For Brekke:

Gjennomsnittlig nedbørsmengde per måned er omtrent $45\mathrm{mm}$ i Skjåk og omtrent $257\mathrm{mm}$ i Brekke, med standardavvik på henholdsvis omtrent $19\mathrm{mm}$ og $124\mathrm{mm}$.

Gjennomsnittet forteller om nivået på nedbøren, mens standardavviket forteller hvor mye nedbørsmengden varierer fra måned til måned rundt gjennomsnittet.

I diagrammet for Brekke ligger punktene mye høyere og sprer seg over et mye større område på $y$-aksen (fra rundt $75\mathrm{mm}$ til rundt $475\mathrm{mm}$) enn punktene for Skjåk (fra rundt $21\mathrm{mm}$ til rundt $71\mathrm{mm}$). Dette samsvarer med at Brekke har både et mye høyere gjennomsnitt ($\mathrm{257,1}\mathrm{mm}$ mot $\mathrm{45,3}\mathrm{mm}$) og et mye større standardavvik ($\mathrm{123,5}\mathrm{mm}$ mot $\mathrm{19,1}\mathrm{mm}$) enn Skjåk.

Det store standardavviket for Brekke viser seg i diagrammet ved at punktene ligger langt fra hverandre i høyde, mens de mindre variasjonene i Skjåk-diagrammet (punktene ligger tettere samlet rundt gjennomsnittet) samsvarer med det lave standardavviket der.