2P Høst 2022

Vi sorterer tallene i stigende rekkefølge:

Det er 10 tall. Medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (nummer 5 og 6):

Vi finner gjennomsnittet ved å legge sammen alle tallene og dele på antallet:

Medianen beskriver datamaterialet best.

Gjennomsnittet er 28, men dette er høyere enn 9 av de 10 dagene. Det skyldes at verdien 100 er mye større enn de øvrige. En slik verdi kalles en utligger, og den drar gjennomsnittet oppover. Medianen, 20, er mer typisk for hvor mange sider Maia leste per dag.

Vi teller opp fra den sorterte rekken:

De tre grønne tallene er dager med nøyaktig 25 sider. Den kumulative frekvensen for 25 sider er antallet dager der Maia leste høyst 25 sider. Det er $6+3=9$ dager:

Den relative frekvensen for 25 sider er andelen dager med nøyaktig 25 sider:

Den kumulative frekvensen på 9 forteller oss at Maia leste høyst 25 sider på 9 av de 10 dagene. Den relative frekvensen på $30\%$ forteller oss at Maia leste nøyaktig 25 sider på 3 av 10 dager, altså 30 % av dagene.

Ola antar at verdien stiger med like mye hvert år – det er en lineær modell.

Startverdien er $5200000\mathrm{kr}$, og den øker med $80000\mathrm{kr}$ per år.

En lineær funksjon har formen $f(x)=ax+b$, der

• $b$ er startverdien (verdien når $x=0$, altså i 2022)
• $a$ er økningen per år

Vi setter inn:

$f(x)=5200000+80000x$, der $x$ er antall år etter 2022.

Tonje antar at verdien stiger med en fast prosent hvert år – det er en eksponentiell modell.

En vekst på $\mathrm{1,4}\%$ per år gir vekstfaktoren:

En eksponentiell funksjon har formen $g(x)=b\cdot a^x$, der

• $b$ er startverdien
• $a$ er vekstfaktoren

Vi setter inn:

$g(x)=5200000\cdot {\mathrm{1,014}}^x$, der $x$ er antall år etter 2022.

Siden vi har gruppert data, bruker vi midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi.

Gjennomsnittsalderen regnes ut ved å dele summen av $m\cdot f$ på totalt antall personer:

Gjennomsnittsalderen er $\underline{\underline{\mathrm{33,5}\text{ år}}}$.

Et histogram viser frekvenstetthet på $y$-aksen når intervallene har ulik bredde. Frekvenstetthet beregnes slik:

I histogrammet tegnes søylene slik at:

• $x$-aksen viser alder (fra 0 til 80)
• $y$-aksen viser frekvenstetthet
• Bredden på hver søyle er lik intervallbredden
• Høyden på søylen er lik frekvenstadheten for det intervallet

Vi teller sirkler i figur 1, 2 og 3 og ser etter et mønster.

Figuren kan deles opp i tre deler:

• Øvre del: 3 sirkler (1 øverst + 2 under den) – denne delen er lik i alle figurer
• Vannrett rad i midten: $2n+3$ sirkler
• Nedre del: $n$ kolonner med $2n$ sirkler totalt (kolonner dobles for hver figur)

Vi ser at totalen øker med $8,12,16,\dots$ – økningen vokser med $4$ for hver figur.

Fra figur 3 til figur 4 øker antallet med $16$:

Det vil være $\underline{\underline{46\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ i figur 4.

Vi ser på mønsteret i de tre delene for figur $n$:

• Øvre del: $3$ sirkler (konstant for alle figurer)
• Vannrett rad: $2n+3$ sirkler (figur 1: $5$, figur 2: $7$, figur 3: $9$)
• Nedre del: $2n^2$ sirkler (figur 1: $2$, figur 2: $8$, figur 3: $18$)

Totalt antall sirkler i figur $n$:

Vi kontrollerer:

• Figur 1: $2\cdot 1+2\cdot 1+6=2+2+6=10$ ✓
• Figur 2: $2\cdot 4+2\cdot 2+6=8+4+6=18$ ✓
• Figur 3: $2\cdot 9+2\cdot 3+6=18+6+6=30$ ✓
• Figur 4: $2\cdot 16+2\cdot 4+6=32+8+6=46$ ✓

$\underline{\underline{a_n=2n^2+2n+6}}$

Vi skriver inn funksjonen i GeoGebra og tegner grafen for $0\le x\le 16$:

Den blå kurven i figuren nedenfor viser Emmas høyde i cm som funksjon av alder i år.

Stigningstallet til sekantlinjen gjennom punktene $(0,h(0))$ og $(5,h(5))$ er den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x=0$ til $x=5$.

Vi regner ut endepunktene:

Stigningstallet til sekantlinjen (rød linje i figuren) blir:

Praktisk tolkning: Fra fødselen til Emma er 5 år, vokser hun gjennomsnittlig $\underline{\underline{\mathrm{12,93}\mathrm{cm}}}$ per år.

Stigningstallet til tangenten i punktet $(5,h(5))$ er den momentane vekstfarten når Emma er 5 år.

Vi bruker GeoGebra til å tegne tangenten i $x=5$ (grønn linje i figuren) og leser av stigningstallet ved å derivere:

Praktisk tolkning: Akkurat når Emma er 5 år gammel, vokser hun momentant med $\underline{\underline{\mathrm{6,72}\mathrm{cm}}}$ per år. Det vil si at veksthastigheten er lavere nå enn gjennomsnittet de første 5 årene — hun vokser raskere som spedbarn.

Beholder A er en enkel sylinder med jevn tverrsnitt fra bunn til topp. Siden vannet renner inn med konstant hastighet og tverrsnittet er det samme hele veien, stiger vannhøyden med jevn hastighet. Det betyr at grafen er en rett linje (lineær sammenheng).

Beholder B har en smal søyle nederst og et vidt sylinderformet kammer øverst. Mens vannet fyller den smale søylen, stiger vannhøyden raskt (lite areal per høyde-enhet). Når vannet begynner å fylle det vide kammeret øverst, stiger høyden mye saktere (stort areal per høyde-enhet). Grafen starter derfor bratt, og flater ut når beholderen utvides.

Den ene grafen (rett linje) svarer til beholder A, og den andre grafen (bratt start, så flat) svarer til beholder B.

Beholder C er omvendt av B: den har et vidt, flatt kammer nederst og en smal sylinder øverst. Mens vannet fyller den brede bunnen, stiger vannhøyden sakte (stort areal). Når det brede kammeret er fylt og vannet begynner å fylle den smale sylinderen øverst, stiger høyden raskere (lite areal).

Grafen for C starter derfor med lav stigning, og knekker oppover til bratt stigning når bunnen er full og den smale toppen fylles.

GeoGebra-graf med alle tre beholdere:

Beholder A (blå): rett linje — jevn stigning hele veien. Beholder B (grønn): bratt i starten (smal søyle), flater ut (vid topp). Beholder C (rød): flat i starten (bred bunn), bratt mot slutten (smal topp).

I diagrammet står årstallene $2013,2015,2016,2017,2018$ og $2021$ med like stor avstand mellom seg langs førsteaksen. I virkeligheten er ikke tidsrommene mellom disse årstallene like lange:

Fordi aksen ikke er en riktig tallakse for tid, ser det ut som om e-postmengden vokser i et jevnt tempo fra punkt til punkt. I virkeligheten er for eksempel den siste økningen (fra 2018 til 2021) strukket ut over tre år, men den er tegnet med samme bredde som overgangene som bare gjelder ett år. Diagrammet gir dermed et misvisende inntrykk av hvor raskt antallet e-poster faktisk økte i de ulike periodene.

Vi lager et nytt linjediagram der førsteaksen er en riktig tallakse for årstall, slik at avstanden mellom to årstall på aksen er proporsjonal med hvor mange år som faktisk skiller dem. Andreaksen starter fortsatt på $0$, slik som i det opprinnelige diagrammet.

Nå ser vi at linjestykket fra $2018$ til $2021$ strekker seg over en mye bredere del av aksen enn de andre linjestykkene, siden det dekker tre år. Diagrammet gir dermed et riktigere bilde av hvor bratt økningen faktisk var i de ulike periodene.

Vi leser av (omtrent) følgende verdier fra diagrammet, i tusen e-poster per dag:

Vi regner ut økningen i antall (differansen) mellom hvert par av nabotall, og hvor mange år økningen er fordelt på:

Den årlige økningen fra 2017 til 2018 er $46$ tusen e-poster, som er klart mer enn i alle de andre periodene — også mer enn gjennomsnittet på ca. $\mathrm{26,7}$ tusen per år for perioden 2018–2021 (som samlet økte med $80$ tusen, men fordelt på tre år). Målt i antall stemmer altså Jens’ påstand: ingen annen ettårsperiode i datamaterialet har en like stor økning som 2017–2018.

Det er verdt å merke seg at vi ikke har egne tall for 2019 og 2020, men siden gjennomsnittet for hele perioden 2018–2021 er godt under $46$ tusen per år, støtter datagrunnlaget vi har påstanden.

Absolutt økning er ikke det samme som prosentvis økning. Regner vi i stedet ut hvor mange prosent antallet økte med i hver periode,

ser vi at den prosentvis største økningen var fra 2015 til 2016 ($\approx \mathrm{94,4}\%$), mens økningen fra 2017 til 2018 bare var på $\frac{46}{62}\approx \mathrm{74,2}\%$. Så om Jens hadde ment «økte mest» i prosent, ville påstanden vært feil — men målt i faktisk antall e-poster stemmer den.

$\underline{\underline{\text{Påstanden stemmer når vi ser på økningen målt i antall (46 000 fra 2017 til 2018).}}}$

Vi leser av punkter fra diagrammet (antall registrerte personbiler) og legger dem inn i GeoGebra:

Diagrammet viser en tilnærmet rett linje, så vi bruker lineær regresjon i GeoGebra.

GeoGebra gir modellen:

Hva forteller modellen? Koeffisienten $52800$ betyr at antallet registrerte personbiler økte med omtrent $52800$ per år i perioden 2008–2021. Dette er en lineær (jevn) vekst.

Oppgaven opplyser at det var $1693$ elbiler i 2008, så modellen må ha $E(0)=1693$.

Vi leser av fra diagrammet at det i 2021 ($x=13$) var omtrent $460000$ elbiler.

Diagrammet viser en kurve som vokser stadig raskere – dette er typisk for eksponentiell vekst. Vi setter opp en eksponentiell modell på formen $E(x)=1693\cdot k^x$ og finner vekstfaktoren $k$ fra avlesningen:

Modellen blir:

Vi kontrollerer: $E(13)=1693\cdot {\mathrm{1,54}}^{13}\approx 464000\approx 460000$ ✓

Hva forteller modellen? Vekstfaktoren $\mathrm{1,54}$ betyr at antallet registrerte elbiler økte med omtrent $54\%$ per år i perioden. Dette er en eksponentiell (stadig raskere) vekst.

Vi bruker modellene til å beregne verdiene for 2025, det vil si $x=17$:

Personbiler:

Elbiler:

$\underline{\underline{P(17)\approx 3116000\text{ personbiler og }E(17)\approx 2610000\text{ elbiler i 2025}}}$

Kommentar og gyldighetsområde:

• Modellen $P$ er lineær og passer godt for perioden 2008–2021 (jevn vekst). For 2025 gir modellen ca. 3,1 millioner personbiler. Det er usikkert om den lineære veksten fortsetter, men prediksjonene for noen år frem kan likevel være rimelige.

• Modellen $E$ er eksponentiell og passer godt for perioden 2008–2021 (kraftig vekst i elbilsalget). For 2025 gir modellen ca. 2,6 millioner elbiler. Det er helt urealistisk – det tilsvarer nesten like mange elbiler som det finnes personbiler totalt. Eksponentiell vekst kan ikke fortsette uendelig, og modellen $E$ har svært begrenset gyldighetsområde utenfor 2008–2021.

Vi legger inn tallene i GeoGebra og bruker de innebygde statistikkfunksjonene.

GeoGebra gir:

• Gjennomsnitt: $\bar{x}\approx 4976$
• Median: $4575$
• Standardavvik: $s\approx 1025$

Medianen er den midterste verdien når vi sorterer de 15 tallene. Det er verdien på 8. plass i sortert rekkefølge: $4575$.

Gjennomsnitt $\approx \underline{\underline{4976}}$, median $=\underline{\underline{4575}}$, standardavvik $\approx \underline{\underline{1025}}$.

Ingrid vil regne på regionene på plass 16–30, altså de neste 15 plassene. Disse har per definisjon færre hytter enn de 15 øverste regionene i tabellen (den laveste verdien i våre data er 4004 hytter).

1. Gjennomsnitt — lavere

Alle verdiene i neste gruppe er lavere enn alle verdiene i vår gruppe. Derfor vil gjennomsnittet bli lavere enn $4976$.

2. Forskjell mellom median og gjennomsnitt

I våre data er gjennomsnittet ($4976$) høyere enn medianen ($4575$). Det skyldes at de to høyeste verdiene (Ringsaker: 7286 og Trysil: 6926) trekker gjennomsnittet oppover. I neste gruppe vil en lignende skjevfordeling sannsynligvis forekomme — de øverste verdiene i gruppen vil ligge nærmere de øverste i vår gruppe (rundt 4000), mens de laveste vil bli enda lavere. Det er altså mulig at gjennomsnittet fortsatt er høyere enn medianen, men det er vanskelig å si om forskjellen blir større eller mindre uten å kjenne de faktiske tallene.

3. Standardavvik — usikkert

Standardavviket måler spredningen i datasettet. I vår gruppe er det stor avstand mellom de høyeste verdiene (7286, 6926) og resten, noe som gir høyt standardavvik ($\approx 1025$). I neste gruppe vil alle verdiene ligge tettere på hverandre (alle under ca. 4000). Det er rimelig å anta at standardavviket blir lavere, men det kan vi ikke si sikkert uten å kjenne tallene.

Oppsummert: Det er mulig å si at gjennomsnittet vil bli lavere (punkt 1). For punkt 2 og 3 er det vanskelig å gi et sikkert svar uten å kjenne de faktiske tallene for regionene på plass 16–30.

Vi setter opp regnearket med følgende kolonner:

Formler (rad 2 = måned 1, rad 3 = måned 2, osv.):

Kopiér rad 3 nedover (rad 3 til 31) til restgjelden er 0.

De første og siste radene i tabellen ser slik ut:

Tabellen viser at restgjelden er 0 etter måned 30.

Det tar $\underline{\underline{30\text{ måneder}}}$ (2,5 år) å betale ned lånet.

Vi summerer alle rentebeløpene i kolonne C med formelen =SUMMER(C2:C31).

De månedlige rentene starter på $1275\mathrm{kr}$ og synker med $\mathrm{42,50}\mathrm{kr}$ for hver måned (siden restgjelden synker med 5 000 kr, og $5000\cdot \mathrm{0,0085}=\mathrm{42,50}$). Summen av alle renter blir:

Sondre betaler totalt $\underline{\underline{19\mathrm{762,50}\mathrm{kr}}}$ i renter.

Dette betyr at han i løpet av de 30 månedene betaler tilbake de 150 000 kronene han lånte, pluss nesten 20 000 kroner ekstra i rentekostnader.