2P Eksempeloppgave 2021

Oppslutningen var $5\%$ i mai. Den økte med $2$ prosentpoeng, altså gikk den opp fra $5\%$ til $5\%+2\%=7\%$.

Vi finner den prosentvise økningen ved å sammenligne økningen i prosentpoeng ($2$ prosentpoeng) med den opprinnelige verdien ($5\%$):

Oppslutningen økte altså med $\underline{\underline{40\%}}$, selv om økningen bare var $2$ prosentpoeng. Dette illustrerer at prosentpoeng og prosentvis endring ikke er det samme.

Programmet starter med en bil som koster $200000$ kr, og lar verdien synke med en vekstfaktor på $\mathrm{0,85}$ for hvert år. Det betyr at bilen mister $15\%$ av verdien sin hvert år.

while-løkken fortsetter å multiplisere verdien med $\mathrm{0,85}$, og telle opp år med $1$, helt til betingelsen verdi > pris/2 ikke lenger er sann — altså helt til verdien har blitt halvert eller mindre.

Vi kan følge utregningen år for år:

Etter $4$ år er verdien fortsatt over halvparten av $200000$ kr (som er $100000$ kr), så løkken fortsetter. Etter $5$ år har verdien blitt $\approx \mathrm{88741,06}$ kr, som er mindre enn $100000$ kr. Da stopper løkken.

Linje 10 (print(verdi)) skriver derfor ut verdien til bilen når den for første gang har falt til under halvparten av opprinnelig pris, altså $\approx \underline{\underline{\mathrm{88741,06}\mathrm{kr}}}$.

Linje 11 (print(år)) skriver ut hvor mange år det tok før dette skjedde, altså halveringstiden for bilens verdi, som er $\underline{\underline{5\text{år}}}$.

Likningen

er et produkt av tre faktorer som er lik null. Vi bruker nullproduktregelen: et produkt er lik null hvis og bare hvis minst én av faktorene er lik null. Da setter vi hver faktor lik null hver for seg:

Vi løser hver av likningene:

Likningen har altså tre løsninger: $\underline{\underline{x=3\vee x=-1\vee x=0}}$

Trekanten er likebeint med $AC=BC=10\mathrm{cm}$ og grunnlinje $AB=12\mathrm{cm}$. For å finne arealet trenger vi høyden $h$ fra $C$ ned på $AB$.

Vi tegner høyden inn i trekanten. Høyden deler den likebeinte trekanten i to like rettvinklede trekanter, og deler grunnlinjen $AB$ nøyaktig i to like deler:

I den rettvinklede trekanten $ACD$ er hypotenusen $AC=10\mathrm{cm}$ og den ene kateten $AD=6\mathrm{cm}$. Vi bruker Pytagoras’ setning til å finne den andre kateten, høyden $h$:

Nå kan vi regne ut arealet av trekanten $ABC$:

Arealet av trekanten er $\underline{\underline{48{\mathrm{cm}}^2}}$.

Bildet er $8\mathrm{cm}$ bredt og $28\mathrm{cm}$ høyt, og skal forstørres proporsjonalt (samme form beholdes) uten å roteres. Papiret er $30\mathrm{cm}$ bredt og $42\mathrm{cm}$ høyt.

Vi finner hvor mye bildet maksimalt kan forstørres i hver retning, altså forstørringsfaktoren som gjør at bildet akkurat får plass i bredden, og forstørringsfaktoren som gjør at det akkurat får plass i høyden:

Siden bildet skal beholde formen sin, må vi bruke samme forstørringsfaktor i begge retninger. Bildet får da ikke plass hvis vi bruker den største faktoren ($\mathrm{3,75}$), for da blir bildet for høyt til å få plass på arket. Vi må derfor bruke den minste av de to faktorene, $\mathrm{1,5}$, som den begrensende faktoren:

Ny bredde og høyde på bildet blir da:

Bildet blir $12\mathrm{cm}$ bredt og fyller da hele høyden på arket, $42\mathrm{cm}$.

Det forstørrede bildet blir $\underline{\underline{12\mathrm{cm}}}$ bredt og $\underline{\underline{42\mathrm{cm}}}$ høyt.

Vi teller først opp hvor mange ganger hvert antall treninger forekommer blant de 20 svarene, og setter opp en frekvenstabell. Den relative frekvensen finner vi ved å dele frekvensen på antall observasjoner ($n=20$), og den kumulative frekvensen finner vi ved å legge sammen den relative frekvensen for verdien og alle verdiene under den:

Antall treninger	Frekvens	Relativ frekvens	Kumulativ frekvens
0	3	$3/20=15\%$	$15\%$
1	3	$3/20=15\%$	$30\%$
2	6	$6/20=30\%$	$60\%$
3	3	$3/20=15\%$	$75\%$
4	2	$2/20=10\%$	$85\%$
5	1	$1/20=5\%$	$90\%$
6	1	$1/20=5\%$	$95\%$
7	1	$1/20=5\%$	$100\%$

For fire treninger leser vi av tabellen:

Tolkning: Den relative frekvensen forteller at $\underline{\underline{10\%}}$ av ungdommene trente nøyaktig fire ganger forrige uke. Den kumulative frekvensen forteller at $\underline{\underline{85\%}}$ av ungdommene trente fire ganger eller færre forrige uke (og dermed at $15\%$ trente mer enn fire ganger).

I dette histogrammet står det ikke frekvens direkte på y-aksen, men frekvenstetthet, altså

For å finne antall elever (frekvensen) i hver klasse, må vi derfor snu formelen om og gange høyden på søylen med klassebredden:

Vi leser av høyden på hver søyle og bredden på hver klasse fra histogrammet, og regner ut frekvensen i hver klasse:

Klasse (cm)	Klassebredde	Høyde	Frekvens
⟨150, 160]	10	1	$1 \cdot 10 = 10$
⟨160, 170]	10	3	$3 \cdot 10 = 30$
⟨170, 180]	10	5	$5 \cdot 10 = 50$
⟨180, 200]	20	0,5	$0{,}5 \cdot 20 = 10$

Elever som er lavere enn $180\mathrm{cm}$ er de som havner i de tre første klassene. Vi legger sammen frekvensene til disse klassene:

Det er altså $\underline{\underline{90}}$ elever ved skolen som er lavere enn $180\mathrm{cm}$.

Vi sjekker om Nina har regnet riktig, og om metoden hennes er gyldig. For et andregradsuttrykk

er diskriminanten

I uttrykket $4x^2-2x+5$ er $a=4$, $b=-2$ og $c=5$. Da blir diskriminanten

Dette stemmer med det Nina har regnet ut. Siden $d<0$, har andregradsuttrykket $4x^2-2x+5$ ingen reelle nullpunkter, altså skjærer ikke grafen til

$x$-aksen noe sted. Siden $a=4>0$ i tillegg, vender parabelen grenene oppover. En parabel som vender grenene oppover og som ikke krysser $x$-aksen, ligger i sin helhet over $x$-aksen. Det betyr at

Da kan $f(x)$ aldri være mindre enn $0$, og ulikheten $4x^2-2x+5<0$ har ingen løsning.

Konklusjon: Nina har rett. Både utregningen av diskriminanten og resonnementet hennes er riktig: siden $d<0$ og $a>0$, ligger hele parabelen over $x$-aksen, og ulikheten har ingen løsning.

a)

Vi skal fylle ut de grønne cellene med formler. Kolonne C skal vise hvor mange poeng KPI har økt fra året før, og kolonne D skal vise hvor mange prosent KPI har økt fra året før.

Vekst i poeng fra ett år til det neste finner vi ved å ta KPI i år minus KPI året før. For eksempel i celle C3 (år 2011):

$$\text{C3}=\text{B3}-\text{B2}$$

Denne formelen dras (fylles) nedover til og med celle C11.

Vekst i prosent finner vi ved å dele veksten i poeng på KPI-verdien året før, og formatere resultatet som prosent:

$$\text{D3}=\frac{\text{B3}-\text{B2}}{\text{B2}}$$

Denne formelen dras nedover til og med celle D12.

Regnearket med formler synlig ser slik ut:

Når formlene regnes ut, får vi disse verdiene i tabellen:

b)

Cellen D2 viser at KPI økte med $\mathrm{2,4}\%$ fra 2009 til 2010. Siden $\text{B2}=\mathrm{92,1}$ er KPI-verdien i 2010, kan vi bruke sammenhengen mellom vekstfaktor og prosentvis vekst til å finne KPI i 2009:

$${\text{KPI}}_{2009}\cdot \mathrm{1,024}=\mathrm{92,1}$$

$${\text{KPI}}_{2009}=\frac{\mathrm{92,1}}{\mathrm{1,024}}\approx \mathrm{89,9}$$

Vekst i poeng fra 2009 til 2010, altså tallet som skal stå i C2, blir dermed differansen mellom de to KPI-verdiene:

$$\text{C2}=\mathrm{92,1}-\mathrm{89,9}\approx \mathrm{2,2}$$

$\underline{\underline{C2\approx \mathrm{2,2}}}$

c)

Perioden 2011–2020 er 9 år, med KPI i 2011 ($\mathrm{93,3}$) som utgangspunkt og KPI i 2020 ($\mathrm{112,2}$) som sluttverdi.

Vi finner gjennomsnittlig årlig vekst i poeng ved å ta den totale veksten fra 2011 til 2020, og dele på antall år (9 år):

$$\text{Gjennomsnittlig vekst i poeng}=\frac{\mathrm{112,2}-\mathrm{93,3}}{9}=\frac{\mathrm{18,9}}{9}=\mathrm{2,1}$$

For gjennomsnittlig årlig prosentvis vekst kan vi ikke bare ta gjennomsnittet av de enkelte prosentene i kolonne D, siden hvert års vekst regnes av en ny (voksende) KPI-verdi. Vi må i stedet finne vekstfaktoren som — brukt ni ganger på rad — tar oss fra KPI i 2011 til KPI i 2020:

$${\text{KPI}}_{2011}\cdot k^9={\text{KPI}}_{2020}$$

$$k=\sqrt[9]{\frac{\mathrm{112,2}}{\mathrm{93,3}}}\approx \mathrm{1,0207}$$

Vekstfaktoren $k\approx \mathrm{1,0207}$ tilsvarer en gjennomsnittlig årlig vekst på

$$(k-1)\cdot 100\%\approx \mathrm{2,07}\%\approx \mathrm{2,1}\%$$

$\underline{\underline{\text{KPI har i gjennomsnitt økt med}\approx \mathrm{2,1}\text{ poeng og}\approx \mathrm{2,1}\%\text{ per år.}}}$

d)

For at Isak skal ha samme kjøpekraft i 2025 som i 2020, må lønnen hans øke i takt med prisstigningen (KPI). Vi antar at KPI fortsetter å vokse med samme gjennomsnittlige årlige rate som vi fant i c), altså $\approx \mathrm{2,07}\%$ per år, i årene 2020–2025 (5 år).

Da må den nominelle lønnen vokse med samme vekstfaktor som KPI over disse fem årene:

$${\text{Lønn}}_{2025}={\text{Lønn}}_{2020}\cdot {\mathrm{1,0207}}^5$$

$${\text{Lønn}}_{2025}=450000\cdot {\mathrm{1,0207}}^5\approx 450000\cdot \mathrm{1,1079}\approx 498500\mathrm{kr}$$

$\underline{\underline{\text{Isaks nominelle lønn bør være}\approx 498500\mathrm{kr}\text{ i 2025}}}$ for at han skal ha samme kjøpekraft som i 2020, forutsatt at prisveksten fortsetter i samme takt som gjennomsnittet for perioden 2011–2020. Andre rimelige antakelser om fremtidig prisvekst (for eksempel Norges Banks inflasjonsmål på $2\%$) vil gi et svar i samme størrelsesorden.

a)

Vi lar $x$ være antall år etter 2011 og $N(x)$ være omsetningen i kroner. Tabellen gir da punktene

$$(0,19112),(2,22990),(4,31015),(6,43525),(8,58121),(10,72123)$$

Vi legger punktene inn i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjon på formen $N(x)=a\cdot b^x$.

GeoGebra gir $a\approx \mathrm{18602,3}$ og $b\approx \mathrm{1,14737}$, slik at

$$\underline{\underline{N(x)=18602\cdot {\mathrm{1,147}}^x}}$$

b)

I modellen er $b=\mathrm{1,147}$ vekstfaktoren per år. Vi finner prosentvis vekst ved

$$\begin{array}{cc}b& =1+\frac{p}{100}\\ \mathrm{1,147}& =1+\frac{p}{100}\\ p& =(\mathrm{1,147}-1)\cdot 100=\mathrm{14,7}\end{array}$$

Ifølge modellen øker omsetningen med $\underline{\underline{\mathrm{14,7}\%}}$ per år.

c)

Uten utvidelse: Vi bruker modellen fra a) med $x=15$ (2026 er 15 år etter 2011):

$$N(15)=18602\cdot {\mathrm{1,147}}^{15}\approx 146000\mathrm{kr}$$

Med utvidelse: Vi tar utgangspunkt i den faktiske omsetningen i 2021 (tabellverdien $72123\mathrm{kr}$), og lar den vokse med $20\%$ per år ($k=\mathrm{1,20}$) i $5$ år, fram til 2026:

$$72123\cdot {\mathrm{1,20}}^5\approx 179000\mathrm{kr}$$

Differanse:

$$179000-146000=33000\mathrm{kr}$$

Dersom Mari utvider vareutvalget, vil omsetningen i 2026 bli omtrent $\underline{\underline{33000\mathrm{kr}}}$ større enn om hun ikke gjør det.

Vi kaller bruttoinntekten for $B$. Av bruttoinntekten trekkes det $35\%$ i skatt og $\mathrm{2,5}\%$ i pensjonsinnskudd, altså sitter Marianne igjen med

av bruttoinntekten, som desimaltall $\mathrm{0,625}$. I tillegg trekkes $723$ kroner i fagforeningskontingent. Nettoinntekten blir dermed

Vi løser likningen for $B$:

Mariannes bruttoinntekt i oktober var altså omtrent $\underline{\underline{62686\mathrm{kr}}}$.

a)

Det er $20$ elever i klassen. Vi finner først summen av alle land ved å multiplisere antall land med antall elever i hver gruppe og legge sammen:

$$4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5+8\cdot 5+10\cdot 2+50\cdot 1=12+20+30+40+20+50=172$$

Gjennomsnittet er summen delt på antall elever:

$$\bar{x}=\frac{172}{20}=\mathrm{8,6}$$

For å finne medianen ser vi på den kumulative fordelingen: $3$ elever har besøkt $4$ land, $3+4=7$ elever har besøkt $4$ eller $5$ land, $7+5=12$ elever har besøkt $4$, $5$ eller $6$ land, osv. Med $20$ elever er medianen gjennomsnittet av den $10$. og den $11$. verdien når vi sorterer dataene. Begge disse verdiene ligger i gruppen med $6$ land (siden denne gruppen dekker plassene $8$ til $12$ i den sorterte rekken). Medianen blir dermed

$$\text{median}=6$$

Klassen har altså et gjennomsnitt på $\underline{\underline{\mathrm{8,6}\text{ land}}}$ og en median på $\underline{\underline{6\text{ land}}}$.

b)

Gjennomsnittet er $\mathrm{8,6}$, mens medianen er $6$. Forskjellen skyldes eleven som har besøkt hele $50$ land — en ekstremverdi som trekker gjennomsnittet kraftig opp, selv om denne eleven er alene om å ha reist så mye. De aller fleste elevene (17 av 20) har besøkt mellom $4$ og $8$ land.

Medianen påvirkes ikke av hvor stor den høyeste verdien er, bare av hvor den ligger i rekkefølgen. Den gir derfor et mer representativt bilde av hvor mange land en “typisk” elev i klassen har besøkt.

$\underline{\underline{\text{Medianen beskriver datamaterialet best, fordi gjennomsnittet blir trukket urimelig opp av eleven som har besøkt 50 land.}}}$

a)

Øverst i diagrammet står det oppgitt at Grethe brukte totalt $\mathrm{39,75}\mathrm{kWh}$ dette døgnet, og at hun betalte totalt $30\mathrm{kr}$ for dette forbruket. Gjennomsnittsprisen finner vi ved å dele det totale beløpet på det totale forbruket.

$$\text{Gjennomsnittspris}=\frac{30\mathrm{kr}}{\mathrm{39,75}\mathrm{kWh}}\approx \mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}$$

Grethe betalte i gjennomsnitt $\underline{\underline{\approx \mathrm{0,75}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}(75\text{øre/kWh})}}$ denne dagen.

b)

De seks første timene er klokka 00–05. Vi leser av forbruket (blå søyler) og prisen (rød kurve) for disse timene:

Time	Forbruk (kWh)	Pris (øre/kWh)
00	1,05	≈ 55
01	1,5	≈ 55
02	1,8	≈ 55
03	2,65	≈ 55
04	3,4	≈ 55
05	1,3	≈ 55

I hele denne perioden ligger prislinjen omtrent flat på det laveste nivået i diagrammet, rundt $55$ øre/kWh $=\mathrm{0,55}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}$. Vi summerer forbruket og ganger med denne prisen:

$$\text{Forbruk}\approx \mathrm{1,05}+\mathrm{1,5}+\mathrm{1,8}+\mathrm{2,65}+\mathrm{3,4}+\mathrm{1,3}=\mathrm{11,7}\mathrm{kWh}$$

$$\text{Kostnad}\approx \mathrm{11,7}\mathrm{kWh}\cdot \mathrm{0,55}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{W}\mathrm{h}\approx \mathrm{6,4}\mathrm{kr}$$

Grethe måtte betale $\underline{\underline{\approx 6\mathrm{kr}}}$ for strømmen hun brukte de seks første timene av døgnet.

a)

Arealet av en sirkel er gitt ved formelen

$$A=\pi \cdot r^2$$

Vi løser for radien $r$ når $A=10\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$:

$$\begin{array}{cc}10& =\pi \cdot r^2\\ r^2& =\frac{10}{\pi }\\ r& =\sqrt{\frac{10}{\pi }}\\ r& \approx \mathrm{1,78}\mathrm{cm}\end{array}$$

Diameteren er dobbelt så stor som radien:

$$d=2\cdot r\approx 2\cdot \mathrm{1,78}=\mathrm{3,57}\mathrm{cm}$$

Sirkelen må altså ha en diameter på omtrent $\underline{\underline{\mathrm{3,57}\mathrm{cm}}}$.

b)

Hver ny sirkel skal ha et areal som er $\mathrm{1,44}$ ganger arealet til den forrige. Siden arealet av en sirkel er proporsjonalt med radien i andre potens ($A=\pi \cdot r^2$), betyr en vekstfaktor på $\mathrm{1,44}$ for arealet at radien vokser med en faktor som er kvadratroten av dette tallet:

$$\text{vekstfaktor for radius}=\sqrt{\mathrm{1,44}}=\mathrm{1,2}$$

Dette kan vi se ved å sette opp forholdet mellom to påfølgende sirkler. Kaller vi radiene $r_1$ og $r_2$, og arealene $A_1$ og $A_2$, har vi $A_2=\mathrm{1,44}\cdot A_1$. Da er

$$\pi \cdot r_2^2=\mathrm{1,44}\cdot \pi \cdot r_1^2\Rightarrow r_2^2=\mathrm{1,44}\cdot r_1^2\Rightarrow r_2=\sqrt{\mathrm{1,44}}\cdot r_1=\mathrm{1,2}\cdot r_1$$

For hver ny sirkel må kunstneren altså øke radien med en faktor på $\mathrm{1,2}$, det vil si en økning på $\underline{\underline{20\%}}$ fra forrige sirkel.

Vi løser først ulikheten riktig, som utgangspunkt for å vurdere de to besvarelsene:

Dette er en oppadåpnet parabel med nullpunkter $x=0$ og $x=3$, og uttrykket er mindre enn eller lik null mellom nullpunktene. Riktig svar er derfor $0\le x\le 3$.

Vurdering av Fredriks besvarelse

Fredrik deler begge sider av ulikheten på $x$. Dette er en ugyldig operasjon her: han vet ikke om $x$ er positiv, negativ eller lik null. Er $x$ negativ, skal ulikhetstegnet snus når man deler på $x$, og er $x=0$, kan man ikke dele i det hele tatt. Ved å dele på $x$ uten å vurdere fortegn, mister Fredrik løsninger og får med løsninger som ikke stemmer.

Vi kan sjekke svaret hans med et konkret tall: $x=-2$ oppfyller $x\le 3$, men satt inn i den opprinnelige ulikheten får vi ${(-2)}^2=4$ og $3\cdot (-2)=-6$, og $4\le -6$ er usant. Svaret $x\le 3$ er derfor feil — det mangler den nedre grensen $x=0$ og inneholder feilaktig alle negative $x$-verdier.

Vurdering av Cecilies besvarelse

Cecilie løser ulikheten grafisk ved å tegne parabelen $y=x^2$ og den rette linjen $y=3x$ i samme koordinatsystem. Siden ulikheten $x^2\le 3x$ betyr at parabelen skal ligge under eller på linjen, er løsningen de $x$-verdiene der grafen til $x^2$ ikke ligger over grafen til $3x$.

Av grafen leser vi at de to grafene skjærer hverandre i $x=0$ og $x=3$ (i det andre skjæringspunktet er $y=3\cdot 3=9$, som stemmer med der kurvene krysser øverst i figuren). Mellom disse to verdiene ligger parabelen under linjen, så metoden hennes er riktig og gir riktig svar, $0\le x\le 3$.

Den eneste svakheten ved Cecilies besvarelse er at hun bare viser grafen uten å skrive en tydelig konklusjon. En fullstendig besvarelse bør avslutte med å lese av skjæringspunktene og skrive svaret som et intervall, $0\le x\le 3$, i stedet for å la grafen stå alene.

Vi må sjekke to krav: at Malene har nok egenkapital, og at det samlede lånet ikke overstiger 5 ganger inntekten hennes.

Egenkapitalkravet

Kravet er minst $15\%$ av kjøpesummen i egenkapital.

Malene har $400000$ kroner i egenkapital, som er mer enn kravet på $375000$ kroner. Egenkapitalkravet er oppfylt.

Lånebehov

Resten av kjøpesummen må dekkes med lån:

Dette boliglånet kommer i tillegg til studielånet på $250000$ kroner, så samlet gjeld blir:

Gjeldsgradkravet

Maksimalt tillatt samlet lån er 5 ganger inntekten:

Den samlede gjelden Malene trenger, $2350000$ kroner, er lavere enn maksgrensen på $2450000$ kroner (en margin på $100000$ kroner).

Malene oppfyller både egenkapitalkravet og gjeldsgradkravet, så $\underline{\underline{\text{ja, Malene kan få stort nok lån til å kjøpe leiligheten.}}}$

Antakelser og forenklinger

For å kunne regne på problemstillingen gjør vi noen forenklinger:

• Bilen holder konstant fart hele strekningen, både ved fartsgrensen og ved fartsgrensen $+10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ (vi ser bort fra akselerasjon, oppbremsing, kryss og rødt lys).
• Fartsøkningen er alltid nøyaktig $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ over fartsgrensen, uansett hvilken fartsgrense det er snakk om.
• Vi bruker sammenhengen mellom distanse, fart og tid,

der $s$ er distansen i $\mathrm{km}$, $v$ er farten i $\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ og $t$ er tiden i timer. Tiden regnes om til minutter ved å multiplisere med $60$.

• Vi sammenlikner tidsbruken for fire vanlige fartsgrenser i Norge ($30$, $50$, $80$ og $100\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$) og fem ulike distanser ($1$, $5$, $10$, $20$ og $50\mathrm{k}\mathrm{m}$).

Regneark

Vi setter opp et regneark med én rad per kombinasjon av fartsgrense og distanse. Kolonnene er:

• A: Fartsgrense $v$ (km/h)
• B: Fartsgrense $+10$ (km/h), $=𝙰+\mathrm{𝟷𝟶}$
• C: Distanse $s$ (km)
• D: Tid ved fartsgrensen, $=𝙲/𝙰\cdot \mathrm{𝟼𝟶}$ (min)
• E: Tid ved fartsgrensen $+10$, $=𝙲/𝙱\cdot \mathrm{𝟼𝟶}$ (min)
• F: Tidsbesparelse, $=𝙳-𝙴$ (min)

Regnearket med formlene som ligger bak beregningene:

Konklusjon

Ser vi på en fast distanse, for eksempel $10\mathrm{k}\mathrm{m}$, blir tidsbesparelsen ved å kjøre $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ for fort:

• $30\to 40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{5,0}\min }}$
• $50\to 60\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{2,0}\min }}$
• $80\to 90\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{0,83}\min }}$
• $100\to 110\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: $\underline{\underline{\mathrm{0,55}\min }}$

Mønsteret er det samme uansett hvilken distanse vi velger: tidsbesparelsen blir stadig mindre jo høyere fartsgrensen er. Det stemmer med at ${\displaystyle \frac{s}{v}}-{\displaystyle \frac{s}{v+10}}$ avtar når $v$ øker, siden $10\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ utgjør en stadig mindre relativ fartsøkning ved høye fartsgrenser (f.eks. er $10$ av $30$ en økning på over $33\%$, mens $10$ av $100$ bare er $10\%$).

Dermed har elev 2 rett: man sparer mindre tid jo høyere fartsgrensen er. Elev 1 tar feil når han antar at man sparer like mye uansett fartsgrense.