1T Høst 2016

Funksjonen er gitt på faktorisert form:

Et produkt er null når minst én av faktorene er null. Vi setter hver faktor lik null:

Siden faktoren $(x-1)$ opptrer to ganger, er $x=1$ et dobbelt nullpunkt. Nullpunktene er dermed $\underline{\underline{x=1\text{ (dobbelt)}\text{ og }x=-2}}$.

Vi skal vise at $f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)=x^3-3x+2$. Vi ganger først ut $(x-1)(x-1)$:

Deretter ganger vi dette med $(x+2)$:

Vi samler like ledd:

Vi har dermed vist at

Vi deriverer $f(x)=x^3-3x+2$ ledd for ledd:

For å finne eventuelle topp- og bunnpunkter, setter vi $f^{\prime }(x)=0$:

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x+1)$ i et fortegnsskjema:

Siden $f$ går fra voksende til avtagende i $x=-1$, er dette et toppunkt. Siden $f$ går fra avtagende til voksende i $x=1$, er dette et bunnpunkt.

Vi finner funksjonsverdiene:

Toppunktet er $\underline{\underline{(-1,4)}}$, og bunnpunktet er $\underline{\underline{(1,0)}}$.

Stigningstallet til tangenten i $x=0$ er $f^{\prime }(0)$:

Tangenten går gjennom punktet $(0,2)$, som er skjæringspunktet med $y$-aksen. Da kan vi bruke ettpunktsformelen $y=ax+b$ med $a=-3$ og $b=2$ (siden $(\mathrm{0,2})$ ligger på $y$-aksen, er $b=2$ konstantleddet direkte):

En tangent til $f$ i punktet $x=x_0$ er parallell med tangenten fra d) hvis den har samme stigningstall, altså hvis

Vi setter opp likningen:

Likningen har bare løsningen $x_0=0$, som er nettopp punktet vi allerede har funnet tangenten i. Det finnes derfor ingen andre punkter på grafen til $f$ der tangenten har stigningstall $-3$, og dermed ingen andre tangenter parallelle med tangenten fra d).

I trekanten er hosliggende katet $3$, motstående katet $4$ og hypotenus $5$ til vinkelen $u$. Da er

Vi setter inn i uttrykket:

Dermed har vi vist at ${(\sin u)}^2+{(\cos u)}^2=1$ for denne trekanten.

Trekanten har kateter $a$ og $b$ og hypotenus $c$, med $v$ som den spisse vinkelen mellom kateten $b$ og hypotenusen $c$. Da er

Vi setter dette inn i uttrykket ${(\sin v)}^2+{(\cos v)}^2$:

Siden trekanten er rettvinklet, gir Pytagoras’ setning at $a^2+b^2=c^2$. Vi setter dette inn i telleren:

Dette gjelder for enhver rettvinklet trekant med spiss vinkel $v\in ⟨0^{\circ },{90}^{\circ }⟩$, siden utledningen ikke brukte noe annet enn definisjonene av sinus og cosinus og Pytagoras’ setning. Dermed er

På bildet er rekkefølgen blå, rød, rød. Ettersom vi trekker uten tilbakelegging, endrer antall nisser i esken seg for hver trekning. Vi multipliserer sannsynlighetene for hver trekning:

Etter at vi har trukket den blå nissen, er det $4$ røde igjen av $7$ nisser totalt. Etter at vi også har trukket én rød, er det $3$ røde igjen av $6$ nisser totalt.

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{7}}}}$

Nå kan den ene blå nissen komme som nummer én, to eller tre i rekken. Det finnes altså $3$ ulike rekkefølger som gir «én blå og to røde»: BRR, RBR og RRB.

Hver av disse rekkefølgene inneholder trekning av $1$ blå og $2$ røde nisser, så sannsynligheten for hver enkelt rekkefølge er den samme, uavhengig av hvor den blå nissen kommer i rekken:

Siden hendelsene er disjunkte, adderer vi sannsynlighetene:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{3}{7}}}}$

Det er lettest å bruke komplementhendelsen: «minst én blå» er det motsatte av «ingen blå», altså «alle tre er røde».

Da blir sannsynligheten for minst én blå nisse:

$\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{13}{14}}}}$

Randen til det blå området består av de tre halvsirkelbuene (ingen rette linjestykker, siden $AB$ og $BC$ til sammen dekker hele grunnlinjen $AC$). Buelengden til en halvsirkel med radius $r$ er halvparten av omkretsen til hele sirkelen:

Vi finner buelengden til hver av de tre halvsirklene:

Omkretsen av det blå området er summen av disse tre buelengdene:

$\underline{\underline{O=5\pi a}}$

Det blå området er den store halvsirkelen (diameter $AC$) med de to små halvsirklene (diameter $BC$ og $AB$) fjernet. Arealet av en halvsirkel med radius $r$ er

Vi finner arealet av hver av de tre halvsirklene:

Arealet av det blå området er den store halvsirkelen minus de to små:

Vi skriver $2\pi a^2$ som ${\displaystyle \frac{16\pi a^2}{8}}$ for å få felles nevner:

$\underline{\underline{A=\pi a^2}}$

Vi taster inn funksjonen

i graftegneren, med $x\in [0,400]$. Grafen til $f$ er en avtagende eksponentialkurve, se bildet under (punktet $A$ og tangenten hører til deloppgave c).

I funksjonsuttrykket $f(x)=35400\cdot {\mathrm{0,996}}^x$ forteller

• $35400$ hvor mange settefisk foreningen satte ut i innsjøen ved tidspunktet $x=0$ (verdien $f(0)=35400$),
• $\mathrm{0,996}$ vekstfaktoren per døgn. Siden $\mathrm{0,996}<1$, betyr det at antall settefisk avtar med $\mathrm{0,4}\%$ per døgn (fisk dør, blir spist eller fisket opp).

Vi bestemmer $f^{\prime }(100)$ ved å legge en tangent til grafen i punktet $A=(100,f(100))$ i graftegneren. Skjermbildet under viser CAS-utregningen som stemmer med tangentens stigningstall.

Vi leser av at

Dette forteller at etter $100$ døgn minker antall settefisk i innsjøen momentant med om lag $\underline{\underline{95}}$ fisk per døgn.

Gjennomsnittlig vekstfart det første året (365 døgn) etter utsettingen er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $(0,f(0))$ og $(365,f(365))$:

(se samme skjermbilde som over). I gjennomsnitt minket altså antall settefisk i innsjøen med om lag $\underline{\underline{\mathrm{74,5}}}$ fisk per døgn det første året etter utsettingen.

Vi lar $x$ være antall år etter 1970, slik at $x=0,10,20,30,40$ svarer til årene $1970,1980,1990,2000,2010$. Vi har da punktene

Vi plotter punktene og bruker regresjon (lineær regresjon) i GeoGebra til å finne den rette linjen som passer best med punktene:

Dette gir den lineære funksjonen

Svar: $\underline{\underline{S(x)=\mathrm{0,118}x+\mathrm{4,86}}}$

Stigningstallet til $S$ er $a=\mathrm{0,118}$. Dette forteller at det gjennomsnittlige sjokoladeforbruket per person i Norge økte med om lag $\mathrm{0,118}\mathrm{k}\mathrm{g}$ (altså ca. $118\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}$) per år i perioden 1970–2010, ifølge modellen.

Svar: $\underline{\underline{\text{Forbruket økte med ca. }\mathrm{0,118}\text{ kg per person per år}}}$

År 2020 svarer til $x=2020-1970=50$. Vi setter $x=50$ inn i uttrykket for $S$:

Dette gir $S(50)\approx \mathrm{10,76}\mathrm{k}\mathrm{g}$, som tilsvarer

Svar: $\underline{\underline{S(50)\approx 10760\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{m}}}$

Punktene $P$ og $Q$ ligger på grafen til $f(x)=x^2$, så

Stigningstallet til linja $l$ gjennom $P$ og $Q$ er gitt ved

I telleren kjenner vi igjen konjugatsetningen $q^2-p^2=(q-p)(q+p)$, så

siden $p\ne q$ (de er jo to forskjellige punkter) og vi kan forkorte bort $(q-p)$.

$\underline{\underline{\text{Stigningstallet er }p+q}}$

Vi bruker CAS til å sette opp likningen for linja $l$ med ettpunktsformelen, med stigningstall $p+q$ gjennom punktet $P(p,p^2)$, og finner deretter skjæringspunktene med aksene ved å sette henholdsvis $t=0$ og $l(t)=0$.

Linja $l$ har (linje 2 i CAS) likningen