1T Eksempeloppgave 1 — 2021

Den momentane vekstfarten til $f$ i et punkt er verdien til den deriverte $f^{\prime }$ i punktet.

Vi deriverer $f(x)=4x^2+3x+8$ ledd for ledd med potensregelen ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$:

Vi setter inn $x=2$:

Den momentane vekstfarten til $f$ når $x=2$ er $\underline{\underline{19}}$.

For enhver vinkel $v$ ligger punktet $(\cos v,\sin v)$ på enhetssirkelen, som har radius $1$. Det betyr at $\sin v$ alltid ligger mellom $-1$ og $1$:

Siden $2>1$, kan $\sin v$ aldri bli lik $2$. Kari kan derfor ikke ha regnet riktig.

$\underline{\underline{\text{Nei, hun har ikke regnet riktig}}}$, fordi sinusverdier alltid ligger i intervallet $[-1,1]$.

Punktet $P(\mathrm{0,692},\mathrm{0,722})$ ligger på enhetssirkelen, så koordinatene til $P$ er $(\cos u,\sin u)$:

Vi løser for $u$ med kalkulator. Siden $P$ ligger i første kvadrant, er $u$ mellom $0°$ og $90°$:

For vinkelen $v\in [180°,360°]$ skal $\cos v=\cos u$. Cosinusverdien til en vinkel er lik cosinusverdien til den speilede vinkelen om $x$-aksen, altså vinkelen $360°-u$ (punktet $Q$ på figuren under). Dette punktet har samme $x$-koordinat som $P$, men motsatt fortegn på $y$-koordinaten:

Vinkelen $u$ er $\underline{\underline{\approx \mathrm{46,2}°}}$, og vinkelen $v$ er $\underline{\underline{\approx \mathrm{313,8}°}}$.

I skjæringspunktet er $f(x)=g(x)$:

Vi samler $x$-leddene på venstre side og tallene på høyre side:

Siden $a\ne 0$ kan vi dele på $2a$:

Vi finner $y$-koordinaten ved å sette $x=-{\displaystyle \frac{4}{a}}$ inn i $f(x)=ax+4$:

Skjæringspunktet mellom grafen til $f$ og grafen til $g$ er $\underline{\underline{(-{\displaystyle \frac{4}{a}},0)}}$.

Vi utvider høyresiden ${(x+s)}^2$ med første kvadratsetning, ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$:

For at

skal være en identitet, må koeffisientene foran $x$ være like, og konstantleddene må være like:

Fra den første likningen får vi

Vi setter $s=4$ inn i den andre likningen:

Sammenhengen blir en identitet når $\underline{\underline{r=16}}$ og $\underline{\underline{s=4}}$.

Modellen er en lineær funksjon $T(x)=a\cdot x+b$, der $x$ er antall solgte bøker, $a$ er stigningstallet og $b$ er fastlønnen.

Siden Sarah tjener $15$ kroner for hver bok hun selger, er stigningstallet $a=15$:

Fra grafen vet vi at linjen går gjennom punktet $(10,300)$. Vi setter inn for å finne $b$:

Modellen er dermed $T(x)=15x+150$.

Linjen går også gjennom punktet $(k,480)$, altså er $T(k)=480$:

Svar: $\underline{\underline{k=22}}$

Vi bruker GeoGebra til å tegne grafen og finne toppunktet.

a)

Grafen viser at planten vokser fra dag 0. Veksten er rask i starten og avtar etter hvert. Toppunktet ligger ved $x\approx \mathrm{53,3}$ (dager) og $h\approx \mathrm{37,9}$ (cm).

Etter dag 53 viser modellen at høyden $h(x)$ synker. Det betyr at planten ifølge modellen blir lavere — det er urealistisk, siden planter ikke krymper under normale forhold.

Modellen viser altså at planten vokser fram til ca. dag 53 og når en maksimalhøyde på ca. $\mathrm{37,9}\mathrm{cm}$, for deretter å «synke» (noe som ikke gir biologisk mening).

b)

Vi setter opp $h^{\prime }(x)=0$ for å finne når veksten stopper:

$$h^{\prime }(x)=-\mathrm{0,0015}{x}^2+\mathrm{0,08}x=x(-\mathrm{0,0015}x+\mathrm{0,08})$$

Nullpunkter: $x=0$ og $x={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,0015}}}\approx \mathrm{53,3}$.

Modellen er positiv (planten har en høyde $>0$) for $0<x<80$, siden $h(80)=0$.

Et fornuftig gyldighetsområde er

$$\underline{\underline{0\le x\le 53}}$$

fordi modellen bare er realistisk så lenge planten faktisk vokser. Etter toppunktet på dag 53 avtar høyden ifølge modellen — noe som ikke er realistisk.

Man kan også argumentere for $0\le x\le 80$ som yttergrense, siden $h(x)\ge 0$ i dette intervallet. Begge begrunnelser er gyldige så lenge man forklarer valget.

Vi kaller sidelengden i det store kvadratet for $x$ og sidelengden i det lille kvadratet for $y$.

Kvadratene møtes bare i ett hjørne, slik figuren viser. Da er det ingen felles kant, og ingen kantlengde går tapt der de møtes. Omkretsen av hele figuren er derfor rett og slett summen av omkretsene til de to kvadratene:

Arealet av figuren er summen av arealet til de to kvadratene:

Vi utvider parentesen:

Dette er en oppadåpnet parabel ($a=2>0$), så arealet blir minst i bunnpunktet. Vi finner $x$-koordinaten til bunnpunktet med formelen $x=-{\displaystyle \frac{b}{2a}}$:

Da er $y=4-x=4-2=2$.

Begge kvadratene får altså sidelengde $2$, og minste areal blir

Svar: $\underline{\underline{\text{Begge kvadratene må ha sider på }2}}$ (dette gir minste areal, $8$).

Feilen til Danny ligger i overgangen fra andre til tredje linje:

Her har Danny delt begge sider av ulikheten på $x$. Det er ikke lov å dele en ulikhet på et uttrykk som inneholder den ukjente, med mindre vi vet hva fortegnet til uttrykket er:

• Er $x>0$, beholder ulikheten retningen sin.
• Er $x<0$, må ulikheten snus.
• Er $x=0$, blir begge sider $0$, og da er ikke $0>0$ oppfylt — $x=0$ er uansett ikke en løsning.

Fordi Danny ikke skiller mellom disse tilfellene, mister han løsninger og tar med løsninger som ikke stemmer. Vi kan sjekke det med et konkret tall: $x=-1$ er med i Dannys løsning ($x<1$), men i den opprinnelige ulikheten gir dette

Siden $-1>5$ er usann, er $x=-1$ ikke en løsning. Dannys svar er derfor feil.

Riktig løsningsmetode: I stedet for å dele på $x$, flytter vi alt over på én side og faktoriserer fullstendig:

Uttrykket er null for $x=0$, $x=1$ og $x=2$. Vi setter opp en fortegnslinje for de tre faktorene:

Ulikheten $x(x-1)(x-2)>0$ er oppfylt der produktet er positivt:

Svar: Dannys løsning er feil, fordi han deler ulikheten på $x$ uten å ta hensyn til fortegnet. Riktig løsning er $\underline{\underline{x\in ⟨0,1⟩\cup ⟨2,\to ⟩}}$.

a)

Vi teller antall små kvadrater i hver av de tre figurene:

• Figur 1 har $7$ kvadrater.
• Figur 2 har $20$ kvadrater.
• Figur 3 har $39$ kvadrater.

Figurene bygges opp av en “kropp” som vokser i bredde og høyde, pluss to “ører” (et kvadrat på $n\times n$ på venstre side og en trapp på $n$ kvadrater på høyre side) for figur $n$. Ser vi på differansene mellom tallene ($20-7=13$ og $39-20=19$, som igjen øker med $6$), ser vi at sammenhengen mellom figurnummer $n$ og antall kvadrater er andregradsuttrykket

$$T(n)=3n^2+4n$$

Vi kontrollerer: $T(1)=3+4=7$, $T(2)=12+8=20$ og $T(3)=27+12=39$, som stemmer med figurene.

For å finne det totale antallet kvadrater i de $100$ første figurene, må vi summere $T(n)$ for hvert figurnummer fra $n=1$ til $n=100$. Algoritmen kan beskrives slik:

SETT total = 0
FOR n FRA 1 TIL 100
    total = total + (3 · n² + 4 · n)
SLUTT FOR
SKRIV UT total

b)

Vi programmerer algoritmen fra a) i Python, med en funksjon som regner ut antall kvadrater i figur $n$, og en løkke som summerer dette for de $100$ første figurene:

def antall_kvadrater(n):
    # Antall kvadrater i figur n
    return 3 * n ** 2 + 4 * n

total = 0
for n in range(1, 101):
    total = total + antall_kvadrater(n)

print(f"Figur 1 har {antall_kvadrater(1)} kvadrater.")
print(f"Figur 2 har {antall_kvadrater(2)} kvadrater.")
print(f"Figur 3 har {antall_kvadrater(3)} kvadrater.")
print(f"De 100 første figurene har totalt {total} kvadrater.")

Kjøring av programmet gir følgende utskrift:

Figur 1 har 7 kvadrater.
Figur 2 har 20 kvadrater.
Figur 3 har 39 kvadrater.
De 100 første figurene har totalt 1035250 kvadrater.

De $100$ første figurene inneholder altså til sammen $\underline{\underline{1035250\text{ kvadrater}}}$.

a)

Vi undersøker sammenhengen ved å velge noen konkrete punkter på parabelen $f(x)=x^2$.

Eksempel 1: La $A(-1,1)$ og $B(2,4)$ (som på figuren). Stigningstallet til linja gjennom $A$ og $B$ er

$$m=\frac{4-1}{2-(-1)}=\frac{3}{3}=1$$

Linja har da likningen $y-1=1\cdot (x-(-1))$, altså $y=x+2$. Den skjærer $y$-aksen ($x=0$) i $y_S=2$.

Vi sammenligner med produktet av $x$-koordinatene: $x_A\cdot x_B=(-1)\cdot 2=-2$. Vi ser at $y_S=2=-(-2)=-x_A\cdot x_B$.

Eksempel 2: La $A(1,1)$ og $B(3,9)$. Stigningstallet blir

$$m=\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$$

Linja: $y-1=4(x-1)$, altså $y=4x-3$. Den skjærer $y$-aksen i $y_S=-3$.

Her er $x_A\cdot x_B=1\cdot 3=3$, og igjen ser vi at $y_S=-3=-x_A\cdot x_B$.

Begge eksemplene gir samme mønster:

$$\underline{\underline{y_S=-x_A\cdot x_B}}$$

Skjæringspunktet $S$ med $y$-aksen har altså en $y$-koordinat som er det negative produktet av $x$-koordinatene til $A$ og $B$.

b)

Vi lar $A(a,a^2)$ og $B(b,b^2)$ være to vilkårlige, ulike punkter på parabelen $f(x)=x^2$ (der $a\ne b$).

Stigningstallet til linja gjennom $A$ og $B$:

$$m=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b-a)(b+a)}{b-a}=a+b$$

(Vi brukte konjugatsetningen $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ og kunne forkorte fordi $a\ne b$.)

Likningen for linja gjennom $A(a,a^2)$ med stigningstall $m=a+b$:

$$y-a^2=(a+b)(x-a)$$

Skjæring med $y$-aksen ($x=0$):

$$\begin{array}{cc}y& =a^2+(a+b)(0-a)\\ & =a^2-a^2-ab\\ & =-ab\end{array}$$

Siden $a=x_A$ og $b=x_B$, har vi vist at

$$y_S=-x_A\cdot x_B$$

for alle valg av $A$ og $B$ på parabelen $f(x)=x^2$, ikke bare for eksemplene i a). $■$

Fortegnslinje for $f$

Av grafen leser vi av at $f$ har nullpunkter i $x=-4$, $x=0$ og $x=4$. I $x=0$ er det samtidig et toppunkt der grafen så vidt berører $x$-aksen uten å krysse den — grafen ligger under $x$-aksen både rett før og rett etter $x=0$.

Fortegnslinje for $f^{\prime }$

Av grafen ser vi at $f$ er avtagende ned til det første bunnpunktet, deretter voksende opp til toppunktet i origo, så avtagende ned til det andre bunnpunktet, og til slutt voksende. Det gir følgende fortegn for den deriverte:

Legg merke til at $f^{\prime }$ skifter fortegn i alle de tre kritiske punktene $x=-2\sqrt{2}$, $x=0$ og $x=2\sqrt{2}$, mens $f$ bare skifter fortegn i $x=-4$ og $x=4$ (i $x=0$ er det et nullpunkt uten fortegnsskifte, siden dette er et toppunkt som akkurat berører $x$-aksen).

Finner skjæringspunktene generelt. Vi skal løse $f(x)=g(x)$, altså

Begge sider er $\ge 0$ for $x\ge 0$ (siden $a,b\in \mathbb{N}$), så vi kan kvadrere begge sider uten å miste eller få falske løsninger:

Dette gir $x=0$ (origo, det trivielle skjæringspunktet) eller

Når blir koordinatene hele tall? Skjæringspunktet ligger på $f$, så $y=a{x}^2$. Hvis $x$ er et helt tall, er $y=a{x}^2$ automatisk også et helt tall (produkt av hele tall). Så det er kun $x$ som må sjekkes.

Vi krever altså at $x^3=b/a^2$ gir et naturlig tall $x$. Det betyr at

for et valgt $a\in \mathbb{N}$ og et valgt $x\in \mathbb{N}$. Da blir skjæringspunktet $(x,a{x}^2)$, med begge koordinater hele tall.

Kontroll mot eksempelet: $a=2$, $x=2$ gir $b=2^2\cdot 2^3=4\cdot 8=32$, og skjæringspunktet er $(2,2\cdot 2^2)=(2,8)$ — akkurat som oppgitt.

Systematisk utforskning, slik oppgaven foreslår (start med $a=1$, så $a=2,3,\dots$):

$a$	$x=1$: $b=a^2$	$x=2$: $b=8a^2$	$x=3$: $b=27a^2$	$x=4$: $b=64a^2$
$1$	$b=1\to (\mathrm{1,1})$	$b=8\to (\mathrm{2,4})$	$b=27\to (\mathrm{3,9})$	$b=64\to (\mathrm{4,16})$
$2$	$b=4\to (\mathrm{1,2})$	$b=32\to (\mathrm{2,8})$	$b=108\to (\mathrm{3,18})$	$b=256\to (\mathrm{4,32})$
$3$	$b=9\to (\mathrm{1,3})$	$b=72\to (\mathrm{2,12})$	$b=243\to (\mathrm{3,27})$	$b=576\to (\mathrm{4,48})$

Mønsteret i tabellen bekrefter formelen: for hver rad (fast $a$) er $b$-verdiene $a^2,8a^2,27a^2,64a^2,\dots$, altså $a^2$ ganger kubikktall ($1^3,2^3,3^3,4^3,\dots$).

Konklusjon: Det finnes uendelig mange par $(a,b)$ med heltallige skjæringspunkter — ett for hvert valg av $a\in \mathbb{N}$ og $x\in \mathbb{N}$, gitt ved $b=a^2{x}^3$, med skjæringspunkt $(x,a{x}^2)$.

Forutsetninger vi gjør (oppgaven ber oss gjøre nødvendige forutsetninger, siden metoden ikke er fullstendig beskrevet matematisk):

• Stavene er rette og stive, med samme lengde $L$.
• Når staven “reises opp” fra avtrykket, tolker vi det som at den nå står normalt (vinkelrett) på snøoverflaten — den er jo rotert opp fra å ligge flatt langs skråplanet.
• Den andre staven holdes inntil håndtaket på den første og henger fritt, altså loddrett, på grunn av tyngdekraften.
• Vi ser bort fra staver som bøyer seg, og fra unøyaktigheter i hvordan personen holder dem.

Vinkelen mellom stavene er lik helningsvinkelen

Bakken (skråplanet) danner vinkelen $\theta$ med horisontalen — det er per definisjon terrengets helning.

Staven som er reist opp, står vinkelrett (normalt) på bakken. Når en linje (bakken) roteres en vinkel $\theta$ bort fra horisontalplanet, roteres normalen til linja samme vinkel $\theta$ bort fra normalen til horisontalplanet — og normalen til horisontalplanet er nettopp loddlinjen (vertikalen).

Derfor danner staven som står normalt på bakken, vinkelen $\theta$ med loddlinjen. Siden den andre staven henger nøyaktig loddrett, er

Dette er selve grunnideen bak metoden: man erstatter en vanskelig-å-måle terrengvinkel med en vinkel mellom to fysiske staver, som er lettere å sammenligne.

Fra vinkel til avstand på avtrykket

I praksis leser man ikke av en vinkel direkte, men hvor langt den loddrette staven treffer fra et referansepunkt på avtrykket, målt i centimeter. Vi undersøker om regelen ”$3°$ per $10\mathrm{cm}$” er en god tilnærming.

Begge stavene har samme lengde $L$ og samme toppunkt (der de holdes sammen). Tuppene deres ligger da på en sirkelbue med radius $L$ rundt toppunktet. Når vinkelen mellom stavene endres med $\mathrm{\Delta }\theta$, flytter tuppen seg langs denne buen en distanse

Dette er nøyaktig sammenhengen mellom vinkel og buelengde. Snøavtrykket er riktignok en rett linje og ikke en bue, men for små vinkelendringer (her $3°\approx \mathrm{0,052}\mathrm{rad}$) er forskjellen mellom bue og korde forsvinnende liten, så tilnærmingen “avstand er proporsjonal med vinkel” er god.

Hvilken stavlengde krever regelen $3°$ per $10\mathrm{cm}$? Vi setter $\mathrm{\Delta }s=10\mathrm{cm}$ og $\mathrm{\Delta }\theta =3°={\displaystyle \frac{3\pi }{180}}\mathrm{rad}\approx \mathrm{0,0524}\mathrm{rad}$:

Vurdering av metoden

• Geometrisk sett er ideen god: Vinkelen mellom en loddrett stav og en stav normalt på bakken er eksakt lik helningsvinkelen — dette er ikke en tilnærming, men en trigonometrisk sannhet.
• Skalaen $3°$ per $10\mathrm{cm}$ virker derimot ikke helt konsistent med en vanlig skistav. Beregningen over viser at denne skalaen egentlig passer til en stav på ca. $191\mathrm{cm}$, mens vanlige skistaver er rundt $100$–$130\mathrm{cm}$. Med en kortere, mer realistisk stavlengde vil hver centimeter langs avtrykket tilsvare en større vinkelendring enn $\mathrm{0,3}°/\mathrm{cm}$, slik at metoden i praksis er mindre følsom (og dermed mindre nøyaktig) enn skalaen antyder.
• Praktiske feilkilder kommer i tillegg: staven må holdes helt vinkelrett på bakken, den andre må henge helt fritt uten å svinge, og avtrykket må avleses presist — alt dette er vanskelig å gjøre nøyaktig i felt, med kalde hender og ujevnt underlag.
• Konklusjon: Skistavmetoden er en praktisk og rask måte å få et grovt overslag over helningsvinkelen på, og den bygger på riktig trigonometri. Men fordi $30°$ er den kritiske grensen for skredfarlig terreng, bør man ikke stole blindt på en så unøyaktig metode i grensetilfeller — den bør helst brukes som et raskt førsteanslag og suppleres med et mer presist hjelpemiddel (f.eks. et digitalt hellingsmeter) når det virkelig gjelder.