1T Eksempeloppgave 2015 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Standardform og forenkling av potensuttrykk med to variabler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Regn ut og skriv svaret på standardform

8,20 \cdot 10^{9} \cdot 1,50 \cdot 10^{- 3}

Skriv så enkelt som mulig

\frac{{(a^{2})}^{4} \cdot {(\frac{b}{a})}^{2}}{a^{3} \cdot b^{- 2}}

Fasit

$1,23 \cdot 10^{7}$

$a^{3} b^{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi multipliserer tallene foran $10$ -potensene og legger sammen eksponentene:

8,20 \cdot 10^{9} \cdot 1,50 \cdot 10^{- 3} = (8,20 \cdot 1,50) \cdot 10^{9 + (- 3)} = 12,3 \cdot 10^{6}

Dette er ikke på standardform siden $12,3 \geq 10$ . Vi justerer:

12,3 \cdot 10^{6} = 1,23 \cdot 10^{7}

$1,23 \cdot 10^{7}$

Vi forenkler teller og nevner hver for seg.

Telleren:

{(a^{2})}^{4} \cdot {(\frac{b}{a})}^{2} = a^{8} \cdot \frac{b^{2}}{a^{2}} = a^{6} b^{2}

Nevneren:

a^{3} \cdot b^{- 2} = \frac{a^{3}}{b^{2}}

Så deler vi teller på nevner:

\frac{a^{6} b^{2}}{\frac{a^{3}}{b^{2}}} = a^{6} b^{2} \cdot \frac{b^{2}}{a^{3}} = a^{6 - 3} \cdot b^{2 + 2} = a^{3} b^{4}

$a^{3} b^{4}$

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Standardform, Potenser, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Kvadratsetninger og forkorting av andregradsbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2}

Faktoriser og forkort

\frac{2 x + 6}{2 x^{2} - 18}

Fasit

$4 a b$

$\frac{1}{x - 3}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker kvadratsetningene ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ og ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ :

{(a + b)}^{2} - {(a - b)}^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (a^{2} - 2 a b + b^{2})

= a^{2} + 2 a b + b^{2} - a^{2} + 2 a b - b^{2} = 4 a b

$4 a b$

Vi faktoriserer teller og nevner. I telleren setter vi $2$ utenfor parentes:

2 x + 6 = 2 (x + 3)

I nevneren setter vi først $2$ utenfor parentes, og bruker deretter konjugatsetningen $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ :

2 x^{2} - 18 = 2 (x^{2} - 9) = 2 (x - 3) (x + 3)

Da får vi:

\frac{2 x + 6}{2 x^{2} - 18} = \frac{2 (x + 3)}{2 (x - 3) (x + 3)}

Vi forkorter med $2 (x + 3)$ , forutsatt at $x \neq - 3$ :

= \frac{1}{x - 3}

$\frac{1}{x - 3}$ (der $x \neq 3$ og $x \neq - 3$ )

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Kvadratsetninger, Faktorisering, Algebra
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Momentan vekstfart og ekstremalpunkter for tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $g$ er gitt ved

g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4, D_{g} = ℝ

Bestem den momentane vekstfarten til $g$ når $x = 1$

Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

$g^{'} (1) = - 4$

Toppunkt $(- 1, \frac{17}{3})$ , bunnpunkt $(3, - 5)$

LøsningsforslagKI-generert

Den momentane vekstfarten til $g$ i et punkt er verdien av den deriverte i punktet. Vi deriverer $g$ :

g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + 4 \Rightarrow g^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3

Vi setter inn $x = 1$ :

g^{'} (1) = 1^{2} - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = - 4

$g^{'} (1) = - 4$

Topp- og bunnpunkter finner vi der $g^{'} (x) = 0$ . Vi faktoriserer andregradsuttrykket:

g^{'} (x) = x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1) = 0

Dette gir $x = 3$ eller $x = - 1$ .

For å avgjøre hva slags ekstremalpunkter dette er, ser vi på fortegnet til $g^{'} (x)$ (eller bruker $g^{''} (x)$ ). Vi bruker $g^{''} (x) = 2 x - 2$ :

g^{''} (- 1) = 2 \cdot (- 1) - 2 = - 4 < 0 \Rightarrow toppunkt ved x = - 1

g^{''} (3) = 2 \cdot 3 - 2 = 4 > 0 \Rightarrow bunnpunkt ved x = 3

Vi finner funksjonsverdiene ved å sette inn i $g (x)$ :

g (- 1) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} - 3 \cdot (- 1) + 4 = - \frac{1}{3} - 1 + 3 + 4 = \frac{17}{3}

g (3) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 3^{2} - 3 \cdot 3 + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = - 5

Grafen til $g$ har altså toppunkt i $(- 1, \frac{17}{3})$ og bunnpunkt i $(3, - 5)$ .

Toppunkt $(- 1, \frac{17}{3})$ , bunnpunkt $(3, - 5)$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Polynomfunksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Sirkel kvadrat og trapes med areal og formler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kari har tegnet en sirkel og et kvadrat. Hver av de to figurene har omkrets lik 16. Regn ut hvilken av figurene som har størst areal.

Arealet av et trapes er gitt ved formelen

A = \frac{a + b}{2} \cdot h

Uttrykk $h$ ved hjelp av $A$ , $a$ og $b$ .

Arealet av et trapes er $18,0 c m^{2}$ . Høyden i trapeset er $3,0 c m$ , og den ene parallelle siden er $2,0 c m$ lengre enn den andre. Regn ut lengden av de parallelle sidene.

Fasit

Sirkelen har størst areal: $A_{sirkel} \approx 20,4 {cm}^{2} > A_{kvadrat} = 16,0 {cm}^{2}$

$h = \frac{2 A}{a + b}$

$5,0 cm og 7,0 cm$

LøsningsforslagKI-generert

Kvadratet: Omkretsen til et kvadrat med side $s$ er $O = 4 s$ . Siden $O = 16$ , får vi

4 s = 16 \Rightarrow s = 4

Arealet av kvadratet blir da

A_{kvadrat} = s^{2} = 4^{2} = 16,0

Sirkelen: Omkretsen til en sirkel med radius $r$ er $O = 2 π r$ . Siden $O = 16$ , får vi

2 π r = 16 \Rightarrow r = \frac{16}{2 π} = \frac{8}{π}

Arealet av sirkelen blir da

A_{sirkel} = π r^{2} = π \cdot {(\frac{8}{π})}^{2} = \frac{64}{π} \approx 20,4

Siden $20,4 > 16,0$ , har sirkelen størst areal.

$A_{sirkel} \approx 20,4 {cm}^{2} > A_{kvadrat} = 16,0 {cm}^{2}$

Vi tar utgangspunkt i arealformelen for trapeset og løser for $h$ :

A = \frac{a + b}{2} \cdot h

Vi multipliserer begge sider med $2$ :

2 A = (a + b) \cdot h

Vi deler begge sider med $(a + b)$ :

h = \frac{2 A}{a + b}

$h = \frac{2 A}{a + b}$

Vi vet at $A = 18,0 c m^{2}$ og $h = 3,0 cm$ . Vi setter inn i arealformelen:

18,0 = \frac{a + b}{2} \cdot 3,0

Vi deler begge sider med $3,0$ :

\frac{a + b}{2} = 6,0

Vi multipliserer med $2$ :

a + b = 12,0

Den ene siden er $2,0 cm$ lengre enn den andre. Vi setter $a = b + 2,0$ og setter inn:

(b + 2,0) + b = 12,0

2 b = 10,0

b = 5,0

Da blir $a = b + 2,0 = 7,0$ .

De parallelle sidene er altså $5,0 cm$ og $7,0 cm$ .

$5,0 cm og 7,0 cm$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Geometri, Areal og omkrets, Formler
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Konstruksjon og areal av to trekanter med sinus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tegn en rettvinklet trekant $A B C$ der $\sin B = \frac{2}{5}$

To trekanter ABC og DEF

Undersøk hvilken av de to trekantene ovenfor som har størst areal.

Fasit

Se skisse i løsningsforslaget.

Trekant $A B C$ har størst areal.

LøsningsforslagKI-generert

Siden $\sin B = \frac{2}{5}$ , kan vi tegne en rettvinklet trekant med den rette vinkelen i $C$ , der katet $A C = 2$ (motstående katet til $B$ ) og hypotenusen $A B = 5$ . Da blir den siste kateten

C B = \sqrt{A B^{2} - A C^{2}} = \sqrt{5^{2} - 2^{2}} = \sqrt{21} \approx 4,6

og

\sin B = \frac{motstående katet}{hypotenus} = \frac{A C}{A B} = \frac{2}{5}

slik det skal være.

Konstruert rettvinklet trekant ABC med sin B = 2/5

Vi bruker arealsetningen $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$ på begge trekantene, med de to sidene som ligger inntil den kjente vinkelen.

Trekant $A B C$ : $A B = 4$ , $A C = 5$ , og vinkelen mellom dem er $∠ A = 140 °$ .

A_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 140 ° = 10 \cdot \sin 140 °

Trekant $D E F$ : $D E = 4$ , $D F = 5$ , og vinkelen mellom dem er $∠ D = 30 °$ .

A_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin 30 ° = 10 \cdot \sin 30 °

Begge arealene er altså på formen $10 \cdot \sin (vinkel)$ , så vi trenger bare å sammenlikne $\sin 140 °$ og $\sin 30 °$ .

Siden $\sin (180 ° - v) = \sin v$ , har vi $\sin 140 ° = \sin (180 ° - 140 °) = \sin 40 °$ .

Sinus er en voksende funksjon på intervallet $⟨ 0 °, 90 ° ⟩$ , og $40 ° > 30 °$ . Derfor er

\sin 40 ° > \sin 30 ° \Rightarrow \sin 140 ° > \sin 30 °

Dette betyr at $A_{A B C} > A_{D E F}$ , altså har trekant $A B C$ størst areal.

$A B C har størst areal$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Arealsetningen, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Rett linje gjennom to punkter og derivasjon ved definisjonen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem likningen for den rette linjen som går gjennom punktene $(1, 2)$ og $(2, 4)$ .

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 4

Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x$ .

Fasit

$y = 2 x$

Vist at $f^{'} (x) = 2 x$ ved definisjonen av den deriverte.

LøsningsforslagKI-generert

Stigningstallet til linjen gjennom $(1, 2)$ og $(2, 4)$ er

a = \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2

Vi bruker punktet $(1, 2)$ og setter opp likningen for linjen:

y - 2 = 2 (x - 1)

y = 2 x - 2 + 2 = 2 x

Vi kontrollerer med det andre punktet: for $x = 2$ gir dette $y = 2 \cdot 2 = 4$ , som stemmer.

$y = 2 x$

Definisjonen av den deriverte sier at

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi har $f (x) = x^{2} + 4$ , så

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 4 = x^{2} + 2 x h + h^{2} + 4

Da blir telleren i brøken

f (x + h) - f (x) = (x^{2} + 2 x h + h^{2} + 4) - (x^{2} + 4) = 2 x h + h^{2}

Vi setter dette inn og forkorter med $h$ :

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{2 x h + h^{2}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (2 x + h)

Når $h \to 0$ , blir dette

f^{'} (x) = 2 x

$f^{'} (x) = 2 x, som skulle vises$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Lineære funksjoner, Grenseverdi, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Sannsynlighet for fargede sokker fra skuff

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fargede sokker i ulike farger

Siri har 2 brune, 2 røde, 2 blå, 2 hvite og 2 rosa sokker i en skuff. En dag tar hun tilfeldig to sokker fra skuffen.

Bestem sannsynligheten for at hun tar to rosa sokker.

Bestem sannsynligheten for at hun tar én rosa sokk og én sokk som har en annen farge.

Fasit

$P = \frac{1}{45} \approx 2,2 %$

$P = \frac{16}{45} \approx 35,6 %$

LøsningsforslagKI-generert

Siri har til sammen $2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10$ sokker i skuffen, og $2$ av dem er rosa. Hun trekker $2$ sokker.

Sannsynligheten for å trekke den første rosa sokken er $\frac{2}{10}$ . Siden hun ikke legger sokken tilbake, er sannsynligheten for å trekke den andre rosa sokken $\frac{1}{9}$ (bare $1$ rosa sokk igjen, av $9$ sokker totalt).

P (to rosa) = \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}

$P (to rosa) = \frac{1}{45} \approx 2,2 %$

Vi finner sannsynligheten for at Siri trekker én rosa sokk og én sokk med en annen farge. Dette kan skje på to måter: enten rosa først og annen farge etterpå, eller annen farge først og rosa etterpå.

Sannsynlighet for rosa først, så annen farge:

\frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9} = \frac{16}{90}

Sannsynlighet for annen farge først, så rosa:

\frac{8}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{16}{90}

Vi legger sammen de to sannsynlighetene, siden det er to ulike måter å oppnå ønsket resultat på:

P = \frac{16}{90} + \frac{16}{90} = \frac{32}{90} = \frac{16}{45}

$P (én rosa og én annen farge) = \frac{16}{45} \approx 35,6 %$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Lineær likning likningssett og andregradsulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningen

- \frac{1}{4} x + 2 = 2 x - \frac{5}{2}

Løs likningssettet

[\begin{matrix} x + y = 7 \\ 3 x - 2 y = - 4 \end{matrix}]

Løs ulikheten

- 2 x^{2} + 9 x + 5 \leq 0

Fasit

$x = 2$

$x = 2, y = 5$

$x \leq - \frac{1}{2} eller x \geq 5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har likningen

- \frac{1}{4} x + 2 = 2 x - \frac{5}{2}

Vi multipliserer alle ledd med $4$ for å bli kvitt brøkene:

- x + 8 = 8 x - 10

Vi samler $x$ -ledd på venstre side og tallene på høyre side:

- x - 8 x = - 10 - 8

- 9 x = - 18

x = 2

$x = 2$

Vi har likningssettet

{\begin{matrix} x + y & = 7 \\ 3 x - 2 y & = - 4 \end{matrix}

Fra den første likningen uttrykker vi $y$ ved $x$ :

y = 7 - x

Vi setter dette inn i den andre likningen:

3 x - 2 (7 - x) = - 4

3 x - 14 + 2 x = - 4

5 x = 10

x = 2

Vi setter $x = 2$ inn i $y = 7 - x$ :

y = 7 - 2 = 5

$x = 2, y = 5$

Vi har ulikheten

- 2 x^{2} + 9 x + 5 \leq 0

Vi finner først nullpunktene til uttrykket $- 2 x^{2} + 9 x + 5$ ved abc-formelen, med $a = - 2$ , $b = 9$ og $c = 5$ :

x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4} = \frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4} = \frac{- 9 \pm 11}{- 4}

Dette gir

x_{1} = \frac{- 9 + 11}{- 4} = \frac{2}{- 4} = - \frac{1}{2} x_{2} = \frac{- 9 - 11}{- 4} = \frac{- 20}{- 4} = 5

Grafen til $- 2 x^{2} + 9 x + 5$ er en parabel som vender grenene nedover (siden $a = - 2 < 0$ ). Da er uttrykket positivt mellom nullpunktene og negativt utenfor. Vi setter opp fortegnsskjema:

Fortegnslinje for -2x^2+9x+5

Vi ønsker $- 2 x^{2} + 9 x + 5 \leq 0$ , altså der uttrykket er negativt eller null. Det gjelder for $x \leq - \frac{1}{2}$ eller $x \geq 5$ .

$x \leq - \frac{1}{2} eller x \geq 5$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Likninger, Likningssystem, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og skjæring med y-aksen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 4 x^{2} + b x + c

Funksjonen har bare ett nullpunkt. Grafen til funksjonen skjærer $y$ -aksen i punktet $(0, 1)$ .

Bestem $b$ og $c$ .

Fasit

$c = 1, b = 4 eller b = - 4$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen $f (x) = 4 x^{2} + b x + c$ har grafen sin skjæring med $y$ -aksen i punktet $(0, 1)$ . Skjæringspunktet med $y$ -aksen finner vi ved å sette $x = 0$ :

f (0) = 4 \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c = c

Siden $f (0) = 1$ , må

c = 1

Videre vet vi at funksjonen har bare ett nullpunkt. Det betyr at andregradslikningen $4 x^{2} + b x + c = 0$ har akkurat én løsning, altså at diskriminanten er lik null:

b^{2} - 4 \cdot 4 \cdot c = 0

Vi setter inn $c = 1$ :

b^{2} - 16 \cdot 1 = 0

b^{2} = 16

b = 4 eller b = - 4

$c = 1, og b = 4 eller b = - 4$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Andregradsfunksjon, Nullpunkter
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Innskrevet trekant i rettvinklet trekant og maksimalt areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Trekant PQM innskrevet i trekant AOB

$Δ P Q M$ er innskrevet i $Δ A O B$ .

Vis at arealet av $Δ P Q M$ kan uttrykkes ved funksjonen $T$ gitt ved

T (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x x \in [0, 4]

Bestem $x$ slik at arealet av $Δ P Q M$ blir størst mulig.

Fasit

Vist at $T (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ .

$x = 3$ , som gir størst areal $T (3) = 4,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi leser av figuren at $O = (0,0)$ , $A = (0,4)$ og $B = (8,0)$ , og at $M = (4,2)$ er midtpunktet på $A B$ . Punktene $P = (0, x)$ og $Q = (x, 0)$ ligger på henholdsvis $O A$ og $O B$ , med $x \in [0,4]$ .

Arealet av hele $Δ O A B$ er

T_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16

Vi deler $Δ O A B$ i fire deler ved å trekke linjestykkene $P Q$ , $P M$ og $Q M$ : trekantene $O P Q$ , $A P M$ , $Q B M$ og $P Q M$ . Arealet av $Δ P Q M$ finner vi da ved å trekke arealet av de tre andre trekantene fra arealet av $Δ O A B$ .

Trekant $O P Q$ er rettvinklet med katetene $O P = x$ og $O Q = x$ :

T_{O P Q} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} x^{2}

Trekant $A P M$ har grunnlinje $A P = 4 - x$ langs $y$ -aksen, og høyden er den horisontale avstanden fra $M$ til $y$ -aksen, som er $4$ :

T_{A P M} = \frac{1}{2} \cdot (4 - x) \cdot 4 = 8 - 2 x

Trekant $Q B M$ har grunnlinje $Q B = 8 - x$ langs $x$ -aksen, og høyden er den vertikale avstanden fra $M$ til $x$ -aksen, som er $2$ :

T_{Q B M} = \frac{1}{2} \cdot (8 - x) \cdot 2 = 8 - x

Arealet av $Δ P Q M$ blir dermed

T (x) = T_{O A B} - T_{O P Q} - T_{A P M} - T_{Q B M}

T (x) = 16 - \frac{1}{2} x^{2} - (8 - 2 x) - (8 - x)

T (x) = 16 - \frac{1}{2} x^{2} - 8 + 2 x - 8 + x

T (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x

$T (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x, som skulle vises$

Grafen til $T (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ er en parabel som vender grenene nedover, så $T$ har et toppunkt. $x$ -koordinaten til toppunktet finner vi med formelen $x = - \frac{b}{2 a}$ , der $a = - \frac{1}{2}$ og $b = 3$ :

x = - \frac{3}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = - \frac{3}{- 1} = 3

Siden $3 \in [0, 4]$ , er dette en gyldig verdi. Arealet blir da størst når $x = 3$ , og maksimalt areal er

T (3) = - \frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3 = - 4,5 + 9 = 4,5

$x = 3, og maksimalt areal er T (3) = 4,5$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Andregradsfunksjon, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 2-1Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rettvinklet trekant ABC med høyde 6

Gitt $Δ A B C$ ovenfor. Vi setter sidene i trekanten lik $a$ , $b$ og $c$ . Trekanten har omkrets 30. Høyden fra $C$ på $A B$ er 6.

For hånd

Forklar hvorfor vi kan sette opp følgende likningssystem for å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

{\begin{matrix} a + b + c = 30 \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a b = 6 c \end{matrix}

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se forklaring.

$a = 10, b = 7,5, c = 12,5$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser på $Δ A B C$ , der $C = 90 °$ .

Første likning kommer rett fra at omkretsen er summen av de tre sidelengdene:

a + b + c = 30

Andre likning er Pytagoras’ setning. Siden vinkelen i $C$ er $90 °$ , er $c$ hypotenusen (siden motstående et rett vinkel), mens $a$ og $b$ er katetene:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Tredje likning kommer av at arealet av trekanten kan regnes ut på to måter:

Med $A B = c$ som grunnlinje og høyden $6$ : $T = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 6$
Med katetene $a$ og $b$ som grunnlinje og høyde (siden de står normalt på hverandre i $C$ ): $T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Arealet er det samme uansett hvilken formel vi bruker, så

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot 6 \Rightarrow a b = 6 c

Dermed får vi likningssystemet

{\begin{matrix} a + b + c = 30 \\ a^{2} + b^{2} = c^{2} \\ a b = 6 c \end{matrix}

Vi løser likningssystemet med CAS i GeoGebra:

Løs ({a + b + c = 30, a^{2} + b^{2} = c^{2}, a b = 6 c}, {a, b, c})

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir to løsninger: ${a = 7,5, b = 10, c = 12,5}$ og ${a = 10, b = 7,5, c = 12,5}$ . De to løsningene er speilbilder av hverandre (bytter bare navn på de to katetene). Ut fra figuren er $a$ den lengste kateten, så vi velger

a = 10, b = 7,5, c = 12,5

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Geometri, Pytagoras, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Krysstabell og betinget sannsynlighet for matematikklekser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 30 elever. 20 av elevene er fornøyde med karakteren i matematikk. 80 % av elevene som er fornøyde, gjør leksene til hver time. 10 % av elevene som ikke er fornøyde, gjør også leksene til hver time.

Kalkulator

Gjør beregninger og lag et valgtre eller en krysstabell for å systematisere opplysningene i teksten ovenfor.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen gjør leksene til hver time.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev i klassen som gjør leksene til hver time, er fornøyd med karakteren i matematikk.

Fasit

Se krysstabell i løsningsforslaget.

$P (gjør lekser) = \frac{17}{30} \approx 56,7 %$

$P (fornøyd | gjør lekser) = \frac{16}{17} \approx 94,1 %$

LøsningsforslagKI-generert

Det er $30$ elever i klassen. $20$ av dem er fornøyde med karakteren, altså er $30 - 20 = 10$ elever ikke fornøyde.

$80 %$ av de fornøyde elevene gjør leksene til hver time:

0,80 \cdot 20 = 16 elever

De resterende fornøyde elevene gjør altså ikke leksene til hver time: $20 - 16 = 4$ elever.

$10 %$ av de ikke fornøyde elevene gjør leksene til hver time:

0,10 \cdot 10 = 1 elev

De resterende ikke fornøyde elevene gjør altså ikke leksene til hver time: $10 - 1 = 9$ elever.

Dette gir følgende krysstabell:

	Gjør lekser	Gjør ikke lekser	Sum
Fornøyd	$16$	$4$	$20$
Ikke fornøyd	$1$	$9$	$10$
Sum	$17$	$13$	$30$

Av tabellen ser vi at $17$ av $30$ elever gjør leksene til hver time. Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev gjør leksene, blir da

P (gjør lekser) = \frac{17}{30} \approx 0,567

$P (gjør lekser) \approx 56,7 %$

Vi skal finne den betingede sannsynligheten for at en elev er fornøyd, gitt at eleven gjør leksene til hver time. Av tabellen ser vi at av de $17$ elevene som gjør leksene, er $16$ av dem fornøyde. Dermed er

P (fornøyd | gjør lekser) = \frac{16}{17} \approx 0,941

$P (fornøyd | gjør lekser) \approx 94,1 %$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Krysstabell, Valgtre, Betinget sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Beregning av avstand over innsjø med CAS

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Utsnitt av kart over innsjø med punktene A, B og C

Ovenfor ser du et utsnitt av et kart.

Bruk CAS til å bestemme hvor langt det er fra $A$ til $B$ .

Fasit

$A B \approx 150 m$

LøsningsforslagKI-generert

I trekant $A B C$ kjenner vi siden $A C = 40,0 m$ , vinkelen $∠ A = 69,7 °$ og vinkelen $∠ C = 94,9 °$ . Vi skal finne siden $A B$ , som ligger motstående vinkel $C$ .

Siden vinkelsummen i en trekant er $180 °$ , finner vi først vinkel $B$ :

∠ B = 180 ° - 94,9 ° - 69,7 ° = 15,4 °

Sinussetningen gir sammenhengen mellom sidene og de motstående vinklene:

\frac{A B}{\sin C} = \frac{A C}{\sin B}

Vi løser med hensyn på $A B$ og setter inn i CAS:

A B = \frac{A C \cdot \sin C}{\sin B} = \frac{40,0 \cdot \sin (94,9 °)}{\sin (15,4 °)}

CAS-utregning av VinkelB og AB

CAS gir $A B \approx 150,0768 m$ .

Avstanden fra $A$ til $B$ er dermed omtrent $150 m$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Sinussetningen, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Areal av trekant mellom tre trær med CAS

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I skolegården står det tre trær. Trærne danner hjørnene i en trekant. Petter måler avstandene mellom trærne til $14,0 m$ , $20,0 m$ og $24,0 m$ .

Bruk CAS til å bestemme arealet av trekanten som trærne danner.

Fasit

$A \approx 139,9 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten har sidene $a = 14,0 m$ , $b = 20,0 m$ og $c = 24,0 m$ . Arealet av en trekant der alle tre sidene er kjente, finnes med Herons formel:

A = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}, s = \frac{a + b + c}{2}

Vi setter opp uttrykket i CAS og lar CAS regne ut svaret:

CAS-utregning av arealet

Den halve omkretsen blir $s = \frac{14,0 + 20,0 + 24,0}{2} = 29$ , og CAS gir

A = \sqrt{29 \cdot 15 \cdot 9 \cdot 5} \approx 139,9 m^{2}

Arealet av trekanten som de tre trærne danner, er dermed omtrent $139,9 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Trigonometri, Cosinussetningen, Arealsetningen, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{10}{x^{2}} + 5, x > 0

Punktet $A$ har koordinatene $(0, 0)$ , punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ og $∠ B = 90^{\circ}$ .

Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien av $x$ slik at arealet av $Δ A B C$ blir minst mulig. Hvor stort blir arealet da?

Fasit

$x = \sqrt{2}$ , minste areal $T = 5 \sqrt{2} \approx 7,07$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $∠ B = 90 °$ og $B$ ligger på $x$ -aksen, må $A B$ være vannrett og $B C$ loddrett. Da er $B = (x, 0)$ og $C = (x, f (x))$ for en verdi $x > 0$ . Trekanten $A B C$ er rettvinklet med kateter

A B = x og B C = f (x) = \frac{10}{x^{2}} + 5

Arealet av trekanten blir dermed en funksjon av $x$ :

T (x) = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (\frac{10}{x^{2}} + 5)

Vi bruker CAS til å forenkle uttrykket, derivere og løse $T^{'} (x) = 0$ .

CAS-utregning av minste areal

Fra CAS-utklippet ser vi at

T (x) = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{x}

T^{'} (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{2}

Likningen $T^{'} (x) = 0$ gir $x = \sqrt{2}$ eller $x = - \sqrt{2}$ . Siden $x > 0$ , forkaster vi den negative løsningen, og står igjen med

x = \sqrt{2}

Fordi $T^{'} (x) < 0$ for $0 < x < \sqrt{2}$ og $T^{'} (x) > 0$ for $x > \sqrt{2}$ (nevneren $x^{2}$ gjør at $T^{'}$ går fra negativ til positiv), er dette et minimumspunkt.

Setter vi $x = \sqrt{2}$ inn i $T (x)$ , gir CAS

T (\sqrt{2}) = 5 \sqrt{2}

Det minste arealet av $△ A B C$ er dermed

T = 5 \sqrt{2} \approx 7,07

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Rasjonale funksjoner, CAS, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Modeller for folketall i to bygder med graftegner og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $A$ og $B$ er modeller som viser hvordan folketallet i to små bygder endret seg i perioden fra 2006 til 2014.

A (x) = 0,54 x^{3} + 6,32 x^{2} + 33,8 x + 1410, x \in [0, 8]

B (x) = - 0,20 x^{3} - 5,32 x^{2} + 18,8 x + 1693, x \in [0, 8]

Her er $x$ antall år etter 2006, og $A (x)$ og $B (x)$ viser folketallet i bygd A og i bygd B.

Krever PC

Bruk en graftegner til å bestemme

når folketallet i bygd B var størst, og hvor mange folk det bodde i denne bygda da

når folketallet var likt i de to bygdene

når folketallet i de to bygdene til sammen passerte 3 500

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å løse oppgave a) 2).

Kalkulator

Løs oppgave a) 1) ved derivasjon.

Fasit

1) $x \approx 1,62 (2007), B (1,62) \approx 1709$

$x \approx 3,93 (ca. 2009/2010)$

$x \approx 5,72 (2011)$

$x \approx 3,93$

$x \approx 1,62, B (1,62) \approx 1709$

LøsningsforslagKI-generert

Vi taster inn de to funksjonene $A$ og $B$ i en graftegner (for eksempel GeoGebra), med $x \in [0, 8]$ .

Graftegning av A(x), B(x) og summen S(x)=A(x)+B(x), med de tre punktene fra oppgave a)

1) Når var folketallet i bygd B størst?

Grafen til $B$ (rød) har et toppunkt i grafvinduet. Med kommandoen «ekstremalpunkt» finner graftegneren toppunktet

(x, B (x)) \approx (1,62, 1709)

Siden $x$ er antall år etter 2006, betyr dette at folketallet i bygd B var størst etter om lag $1,6$ år, altså i 2007. Da bodde det om lag $1709$ personer i bygda.

2) Når var folketallet likt i de to bygdene?

Vi finner skjæringspunktet mellom $A$ (grønn) og $B$ (rød) med kommandoen «skjæring mellom to objekt»:

(x, y) \approx (3,93, 1673)

Folketallet var altså likt i de to bygdene etter om lag $3,9$ år, det vil si mot slutten av 2009/begynnelsen av 2010, med om lag $1673$ innbyggere i hver bygd.

3) Når passerte folketallet til sammen 3 500?

Vi legger inn summen $S (x) = A (x) + B (x)$ (blå) og den vannrette hjelpelinja $y = 3500$ (svart), og finner skjæringspunktet:

(x, y) \approx (5,72, 3500)

Til sammen passerte folketallet i de to bygdene $3500$ etter om lag $5,7$ år, altså i løpet av 2011.

Vi løser likningen $A (x) = B (x)$ i CAS, det vil si

0,54 x^{3} + 6,32 x^{2} + 33,8 x + 1410 = - 0,20 x^{3} - 5,32 x^{2} + 18,8 x + 1693

CAS-løsning av A(x)=B(x)

CAS gir kun én reell løsning i det aktuelle intervallet:

x \approx 3,93

Dette stemmer overens med skjæringspunktet vi leste av på grafen i a) 2) – folketallet var likt etter om lag $3,9$ år.

Vi skal finne toppunktet til $B$ ved derivasjon, uten graftegner.

Vi deriverer $B (x) = - 0,20 x^{3} - 5,32 x^{2} + 18,8 x + 1693$ :

B^{'} (x) = - 0,60 x^{2} - 10,64 x + 18,8

Et ekstremalpunkt krever $B^{'} (x) = 0$ :

- 0,60 x^{2} - 10,64 x + 18,8 = 0

Vi ganger med $- 1$ og bruker $a b c$ -formelen på $0,60 x^{2} + 10,64 x - 18,8 = 0$ :

x = \frac{- 10,64 \pm \sqrt{{10,64}^{2} - 4 \cdot 0,60 \cdot (- 18,8)}}{2 \cdot 0,60} = \frac{- 10,64 \pm \sqrt{158,33}}{1,2} = \frac{- 10,64 \pm 12,58}{1,2}

Dette gir to løsninger:

x_{1} \approx 1,62 x_{2} \approx - 19,35

Bare $x_{1} \approx 1,62$ ligger i definisjonsmengden $[0, 8]$ , så vi forkaster $x_{2}$ .

For å sjekke at dette er et toppunkt (maksimum), ser vi på annenderiverte:

B^{''} (x) = - 1,20 x - 10,64

B^{''} (1,62) = - 1,20 \cdot 1,62 - 10,64 \approx - 12,58 < 0

Siden $B^{''} (1,62) < 0$ , er $x_{1} \approx 1,62$ et toppunkt (maksimum). Vi setter inn i $B (x)$ :

B (1,62) = - 0,20 \cdot {1,62}^{3} - 5,32 \cdot {1,62}^{2} + 18,8 \cdot 1,62 + 1693 \approx 1709

Dette stemmer med det vi fant med graftegner i a) 1): folketallet i bygd B var størst etter om lag $1,6$ år, med om lag $1709$ innbyggere.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Polynomfunksjoner, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Maksimalt areal for vindu av rektangel og halvsirkel

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vindu sammensatt av rektangel og halvsirkel

Vinduet ovenfor er satt sammen av et rektangel og en halvsirkel. Vinduet har omkrets $8,0 m$ .

Hva må radius $r$ i halvsirkelen være for at arealet av vinduet skal bli størst mulig? Bestem dette arealet.

Fasit

$r \approx 1,12 m, A_{\max} \approx 4,48 m^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $r$ være radiusen i halvsirkelen og $h$ være høyden på den rette delen av rektangelet. Bredden på rektangelet er da $2 r$ (lik diameteren i halvsirkelen).

Omkretsen av vinduet består av bunnen ( $2 r$ ), de to sidekantene ( $h$ hver) og buen til halvsirkelen ( $π r$ , siden halve omkretsen av en sirkel med radius $r$ er $π r$ ). Den øverste kanten av rektangelet er ikke med i omkretsen, siden den ligger inni figuren der halvsirkelen møter rektangelet.

2 r + 2 h + π r = 8,0

Vi løser for $h$ :

2 h = 8,0 - 2 r - π r

h = 4,0 - r - \frac{π}{2} r

Arealet av vinduet er summen av arealet til rektangelet og arealet til halvsirkelen:

A (r) = 2 r \cdot h + \frac{1}{2} π r^{2}

Vi setter inn uttrykket for $h$ :

A (r) = 2 r (4,0 - r - \frac{π}{2} r) + \frac{1}{2} π r^{2}

A (r) = 8,0 r - 2 r^{2} - π r^{2} + \frac{1}{2} π r^{2}

A (r) = 8,0 r - (2 + \frac{π}{2}) r^{2}

Dette er en andregradsfunksjon i $r$ med negativ koeffisient foran $r^{2}$ (siden $2 + \frac{π}{2} > 0$ ), så grafen er en nedovervendt parabel og har et toppunkt (maksimum). Vi deriverer for å finne dette toppunktet:

A^{'} (r) = 8,0 - (4 + π) r

Vi setter $A^{'} (r) = 0$ :

8,0 - (4 + π) r = 0

r = \frac{8,0}{4 + π} \approx 1,1202

$r \approx 1,12 m$

Siden $A^{'} (r)$ går fra positiv til negativ i $r = \frac{8,0}{4 + π}$ (parabelen vender nedover), er dette et maksimumspunkt. Vi finner maksimalt areal ved å sette $r$ inn i $A (r)$ :

A (\frac{8,0}{4 + π}) = 8,0 \cdot 1,1202 - (2 + \frac{π}{2}) \cdot {1,1202}^{2} \approx 4,48

$A_{\max} \approx 4,48 m^{2}$

Radiusen i halvsirkelen må altså være ca. $1,12 m$ for at arealet av vinduet skal bli størst mulig, og dette maksimale arealet er ca. $4,48 m^{2}$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Optimering, Derivasjon, Areal og omkrets, Geometri
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 10 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 1-1·Standardform og forenkling av potensuttrykk med to variabler

Oppgave 1-2·Kvadratsetninger og forkorting av andregradsbrøk

Oppgave 1-3·Momentan vekstfart og ekstremalpunkter for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4·Sirkel kvadrat og trapes med areal og formler

Oppgave 1-5·Konstruksjon og areal av to trekanter med sinus

Oppgave 1-6·Rett linje gjennom to punkter og derivasjon ved definisjonen

Oppgave 1-7·Sannsynlighet for fargede sokker fra skuff

Oppgave 1-8·Lineær likning likningssett og andregradsulikhet

Oppgave 1-9·Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og skjæring med y-aksen

Oppgave 1-10·Innskrevet trekant i rettvinklet trekant og maksimalt areal

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 7 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Oppgave 2-2·Krysstabell og betinget sannsynlighet for matematikklekser

Oppgave 2-3·Beregning av avstand over innsjø med CAS

Oppgave 2-4·Areal av trekant mellom tre trær med CAS

Oppgave 2-5·Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Oppgave 2-6·Modeller for folketall i to bygder med graftegner og CAS

Oppgave 2-7·Maksimalt areal for vindu av rektangel og halvsirkel

Temaer

Oppgave 1-1Standardform og forenkling av potensuttrykk med to variabler

Oppgave 1-2Kvadratsetninger og forkorting av andregradsbrøk

Oppgave 1-3Momentan vekstfart og ekstremalpunkter for tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-4Sirkel kvadrat og trapes med areal og formler

Oppgave 1-5Konstruksjon og areal av to trekanter med sinus

Oppgave 1-6Rett linje gjennom to punkter og derivasjon ved definisjonen

Oppgave 1-7Sannsynlighet for fargede sokker fra skuff

Oppgave 1-8Lineær likning likningssett og andregradsulikhet

Oppgave 1-9Andregradsfunksjon med ett nullpunkt og skjæring med y-aksen

Oppgave 1-10Innskrevet trekant i rettvinklet trekant og maksimalt areal

Oppgave 2-1Rettvinklet trekant med CAS og likningssystem for sidelengder

Oppgave 2-2Krysstabell og betinget sannsynlighet for matematikklekser

Oppgave 2-3Beregning av avstand over innsjø med CAS

Oppgave 2-4Areal av trekant mellom tre trær med CAS

Oppgave 2-5Minimere areal av rettvinklet trekant under graf med CAS

Oppgave 2-6Modeller for folketall i to bygder med graftegner og CAS

Oppgave 2-7Maksimalt areal for vindu av rektangel og halvsirkel