1P Vår 2021

Vi vet at $220\mathrm{mL}$ koster $22\mathrm{kr}$.

Først finner vi prisen per milliliter:

Siden det er $1000\mathrm{mL}$ i én liter, ganger vi med $1000$:

Cappuccinoen koster $\underline{\underline{100\mathrm{kr}}}$ per liter.

Scooterens verdi avtar med $12\%$ hvert år. Det betyr at den beholder $100\%-12\%=88\%$ av verdien hvert år.

Vekstfaktoren er derfor $\mathrm{0,88}$.

Vi starter med $25000\mathrm{kr}$ og ganger med vekstfaktoren for hvert år:

Vi regner ut ${\mathrm{0,88}}^6$ steg for steg:

Dermed blir verdien:

Scooterens verdi etter $6$ år er omtrent $\underline{\underline{11610\mathrm{kr}}}$.

Vi setter inn de kjente verdiene $v=20$, $s=80$ og $g=10$ i formelen:

Vi løser for $\mu$ ved å multiplisere begge sider med $\mu$ og deretter dele på 80:

Vi leser av diagrammene og ser etter den største økningen i antall felte elger fra ett år til det neste.

Strand har svært få felte elger (maks 5–6 per år). Den største økningen er fra 2013 til 2014, da antallet økte fra ca. 1 til ca. 4 — en økning på ca. 3 elger.

Skaun har mellom 75 og 130 felte elger per år. Endringene fra år til år er på 5–15 elger.

Stjørdal har mellom 415 og 500 felte elger per år. Endringene fra år til år er på 10–50 elger.

Midtre Gauldal har mellom 180 og 400 felte elger per år. Fra 2013 til 2014 økte antallet fra ca. 240 til ca. 320 — en økning på ca. 80 elger. Fra 2015 til 2016 økte antallet fra ca. 330 til ca. 400 — en økning på ca. 70 elger.

Den største absolutte økningen fra ett år til det neste er i Midtre Gauldal, med en økning på ca. 80 elger fra 2013 til 2014.

Svaret er Midtre Gauldal.

Fra grafen leser vi av:

• Firma A: Prisen er konstant $1200\mathrm{kr}$ uansett kjørelengde.
• Firma B: Prisen starter på $500\mathrm{kr}$ ved $0\mathrm{km}$, og stiger lineært. Ved $x=200\mathrm{km}$ er prisen $1000\mathrm{kr}$.

Vi finner stigningen til firma B:

Prismodellen for firma B er altså:

Vi setter opp likningen der prisen er lik hos begge firmaene:

Vi trekker $500$ fra begge sider:

Vi deler begge sider på $\mathrm{2,5}$:

Ester må kjøre $\underline{\underline{280\mathrm{km}}}$ for at prisen skal være lik hos firma A og firma B.

Siden prisen per person er omvendt proporsjonal med antall personer, er produktet $\text{pris}\cdot \text{antall}$ alltid det samme.

Vi finner konstanten $k$ fra de opplysningene vi har:

Når $14$ personer blir med, er prisen per person:

«Minst én gang hver uke» inkluderer både de som gjør dette hver dag og de som gjør det hver uke.

Vi leser av i diagrammet for raden «Bruker nettet til skolearbeid/lekser»:

• Hver dag: $35\%$
• Hver uke: $44\%$

Vi legger sammen:

$\underline{\underline{79\%}}$ av 9–18-åringer svarer at de bruker nettet til skolearbeid/lekser minst én gang hver uke.

Vi bruker formelen:

Vi setter inn de kjente verdiene:

Vi deler tallene og trekker eksponentene fra hverandre:

Svaret er $\underline{\underline{\mathrm{1,4}\cdot {10}^3\text{ døgn}}}$, det vil si $1400$ døgn.

a)

Vi lager et linjediagram med to linjer – én for gjennomsnittlig vindstyrke og én for kraftigste vindkast – med tidsperiodene på $x$-aksen.

b)

Vi finner den prosentvise forskjellen mellom kraftigste vindkast og gjennomsnittlig vindstyrke for hver periode:

$$\text{prosentvis forskjell}=\frac{\text{vindkast}-\text{vindstyrke}}{\text{vindstyrke}}\cdot 100$$

Vi regner for alle periodene og sammenligner:

Tidsperiode	Vindstyrke	Vindkast	Prosentvis forskjell
02–03	$\mathrm{16,9}$	$\mathrm{25,6}$	$\mathrm{51,5}\%$
03–04	$\mathrm{18,2}$	$\mathrm{24,7}$	$\mathrm{35,7}\%$
04–05	$\mathrm{17,0}$	$\mathrm{24,6}$	$\mathrm{44,7}\%$
05–06	$\mathrm{18,7}$	$\mathrm{26,3}$	$\mathrm{40,6}\%$
06–07	$\mathrm{18,4}$	$\mathrm{24,3}$	$\mathrm{32,1}\%$
07–08	$\mathrm{16,6}$	$\mathrm{27,0}$	$\mathrm{62,7}\%$
08–09	$\mathrm{17,6}$	$\mathrm{23,8}$	$\mathrm{35,2}\%$
09–10	$\mathrm{13,9}$	$\mathrm{23,0}$	$\mathrm{65,5}\%$
10–11	$\mathrm{9,7}$	$\mathrm{18,5}$	$\mathrm{𝟗𝟎,𝟕}\%$
11–12	$\mathrm{14,0}$	$\mathrm{19,7}$	$\mathrm{40,7}\%$
12–13	$\mathrm{13,8}$	$\mathrm{19,1}$	$\mathrm{38,4}\%$
13–14	$\mathrm{11,0}$	$\mathrm{17,1}$	$\mathrm{55,5}\%$
14–15	$\mathrm{9,8}$	$\mathrm{15,6}$	$\mathrm{59,2}\%$

For perioden 10–11:

$$\frac{\mathrm{18,5}-\mathrm{9,7}}{\mathrm{9,7}}\cdot 100=\frac{\mathrm{8,8}}{\mathrm{9,7}}\cdot 100\approx \underline{\underline{\mathrm{𝟗𝟎,𝟕}\%}}$$

Det var størst prosentvis forskjell mellom vindkast og vindstyrke i perioden 10–11, med en forskjell på ca. $\mathrm{90,7}\%$.

c)

Vi beregner gjennomsnittlig vindstyrke for periodene i tabellen (02–15, totalt 13 perioder):

$$\bar{x}=\frac{\mathrm{16,9}+\mathrm{18,2}+\mathrm{17,0}+\mathrm{18,7}+\mathrm{18,4}+\mathrm{16,6}+\mathrm{17,6}+\mathrm{13,9}+\mathrm{9,7}+\mathrm{14,0}+\mathrm{13,8}+\mathrm{11,0}+\mathrm{9,8}}{13}$$

$$\bar{x}=\frac{\mathrm{195,6}}{13}\approx \underline{\underline{\mathrm{15,1}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$$

Gjennomsnittlig vindstyrke for hele døgnet 4. oktober var $\mathrm{11,7}\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Gjennomsnittlig vindstyrke fra klokken 02 til 15 ($\approx \mathrm{15,1}\mathrm{m}/\mathrm{s}$) var høyere enn gjennomsnittet for hele døgnet ($\mathrm{11,7}\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Dette tyder på at det blåste mer på dagtid (02–15) enn på kveld og natt.

a)

Vi legger inn datapunktene fra tabellen i GeoGebra og utfører eksponentiell regresjon.

GeoGebra gir regresjonsmodellen

$$T(x)=\mathrm{93,2}\cdot {\mathrm{0,99}}^x$$

der $a\approx \mathrm{93,2}$ og $b\approx \mathrm{0,99}$.

Grafen under viser datapunktene (røde) og modellkurven (blå):

Modellen passer godt med måledataene. For eksempel gir den $T(4)\approx \mathrm{89,5}$ og $T(90)\approx \mathrm{37,7}$, mot målt $\mathrm{90,6}$ og $\mathrm{39,2}$.

b)

Modellen $T(x)=\mathrm{93,2}\cdot {\mathrm{0,99}}^x$ er en eksponentialfunksjon som går mot $0$ når $x$ blir stor. I virkeligheten vil temperaturen i geléen aldri synke under romtemperaturen, som er $20°\mathrm{C}$. Derfor er modellen bare gyldig så lenge $T(x)>20$.

Vi finner grensen ved å løse $\mathrm{93,2}\cdot {\mathrm{0,99}}^x=20$ i GeoGebra, og får $x\approx 153$ minutter.

Gyldighetsområdet er

$$\underline{\underline{0\le x\le 153\text{ minutter (ca.)}}}$$

For $x>153$ vil modellen gi temperaturer under $20°\mathrm{C}$, noe som er urealistisk siden geléen ikke kan bli kaldere enn romtemperaturen.

a)

Graf 2 er grafen til $R$.

Ryktet sprer seg sakte i starten — bare én eller noen få kjenner til det. Etter hvert som flere og flere forteller det videre, øker spredningshastigheten, og grafen stiger brattere. Til slutt flater kurven ut fordi det er et begrenset antall personer på øya: når nesten alle har hørt ryktet, er det færre igjen som kan høre det for første gang. Graf 2 er S-formet og viser nettopp denne utviklingen: langsom start, rask midtfase og utflating mot slutten.

b)

Graf 1 (lineær) passer ikke. En rett linje betyr at like mange hører ryktet hver dag gjennom hele perioden — spredningshastigheten er konstant. Det er ikke realistisk: i starten er det bare noen få som kan spre ryktet, så farten må øke etter hvert som kretsen vokser.

Graf 3 (eksponentiell) passer ikke. En eksponentiell kurve vokser uten begrensning — den fortsetter oppover for alltid. Antallet personer som kan høre ryktet er begrenset av folketallet på øya, så $y$ kan ikke vokse ubegrenset. Graf 3 tar ikke hensyn til denne øvre grensen.

Finn formel for antall fyrstikker i figur $n$

Figur $n$ er et $n\times n$-rutenett av små kvadrater.

Vi ser på radene og kolonnene med fyrstikker:

• Horisontale fyrstikker: Det er $n+1$ rader med $n$ fyrstikker i hver, altså $n(n+1)$ horisontale fyrstikker.
• Vertikale fyrstikker: Det er tilsvarende $n+1$ kolonner med $n$ fyrstikker i hver, altså $n(n+1)$ vertikale fyrstikker.

Totalt i figur $n$:

Vi sjekker mot bildet:

• Figur 1: $m(1)=2\cdot 1\cdot 2=4$ fyrstikker ✓
• Figur 2: $m(2)=2\cdot 2\cdot 3=12$ fyrstikker ✓
• Figur 3: $m(3)=2\cdot 3\cdot 4=24$ fyrstikker ✓

Finn totalt antall fyrstikker for figur 1 til $k$

Vi lager figurene én av hver størrelse. Totalt brukte fyrstikker når vi har laget figur 1, 2, 3, …, $k$:

Vi regner ut $S(k)$ for stigende verdier av $k$ til vi overskrider 10 000:

$k$	$m(k)=2k(k+1)$	$S(k)$
20	$2\cdot 20\cdot 21=840$	$6160$
21	$2\cdot 21\cdot 22=924$	$7084$
22	$2\cdot 22\cdot 23=1012$	$8096$
23	$2\cdot 23\cdot 24=1104$	$9200$
24	$2\cdot 24\cdot 25=1200$	$10400$

$S(23)=9200\le 10000$ og $S(24)=10400>10000$.

a)

Vi kan lage figur 1, 2, 3, …, 23 — det er $\underline{\underline{23\text{ figurer}}}$.

b)

Etter å ha laget 23 figurer har vi brukt $9200$ fyrstikker.

$$10000-9200=\underline{\underline{800\text{ fyrstikker igjen}}}$$

Vi skal vurdere om en temperaturendring på $5°\mathrm{C}$ tilsvarer $41°\mathrm{F}$.

Formelen for omregning er:

Hva nettsiden har gjort (og hvorfor det er feil):

Nettsiden har satt $C=5$ inn i formelen og fått:

Men dette gir fahrenheit-temperaturen som tilsvarer $5°\mathrm{C}$, ikke en endring på $41°\mathrm{F}$.

Riktig utregning av en temperaturendring:

Når temperaturen endrer seg, er vi interessert i differansen mellom to temperaturer. La oss si temperaturen endrer seg fra $C_1$ til $C_2$, der $C_2-C_1=5°\mathrm{C}$.

De tilhørende fahrenheit-temperaturene er:

Endringen i fahrenheit blir:

Konstantleddet $+32$ faller bort ved differanseregning. Vi setter inn endringen $C_2-C_1=5$:

Påstanden er feil. En temperaturendring på $5°\mathrm{C}$ tilsvarer en endring på $\underline{\underline{9°\mathrm{F}}}$.

Feilen på nettsiden er at de brukte omregningsformelen for temperaturer direkte på en endring — de tok ikke hensyn til at konstantleddet $+32$ ikke skal være med når man regner på endringer.

Vi begrunner påstanden ved å se på fortegnet til hvert av leddene separat.

$x^2$ er alltid positiv (når $x\ne 0$):

Et negativt tall multiplisert med seg selv gir et positivt tall:

Siden $x<0$, er $x\cdot x>0$. Dermed er $x^2>0$.

$x^3$ er alltid negativ når $x<0$:

Vi vet at $x^2>0$ og $x<0$. Et positivt tall multiplisert med et negativt tall gir et negativt tall, så $x^3<0$.

Konklusjon:

Dermed er ${𝐱}^{\mathrm{𝟐}}>{𝐱}^{\mathrm{𝟑}}$ når $x<0$.

Eksempel: La $x=-2$.

Dette er en åpen oppgave — svaret avhenger av antakelsene vi gjør. Vi undersøker to mulige begrensninger: vekt og areal.

---

Antakelse 1 – vektgrensen

Skiltet oppgir at heisen tåler maks $1600\mathrm{kg}$.

Vi antar at en gjennomsnittlig person veier ca. $80\mathrm{kg}$.

Vektgrensen tilsier altså plass til ca. $20$ personer.

---

Antakelse 2 – arealgrensen

Emma anslår at heisen er ca. $1\mathrm{m}$ bred og $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ lang. Vi bruker disse målene.

Hvor mye plass trenger én person? En voksen person er ca. $50\mathrm{cm}$ bred og $30\mathrm{cm}$ dyp — en rektangulær «fotavtrykk» på

I praksis trenger folk litt mer plass. Vi antar ca. $\mathrm{0,25}{\mathrm{m}}^2$ per person når det er trangt (tett pakket).

Med litt mer romslig plass — ca. $\mathrm{0,40}{\mathrm{m}}^2$ per person — blir anslaget:

---

Vurdering — hva er den reelle begrensningen?

Begrensning	Antakelse	Maks antall
Vekt	$80\mathrm{kg}$ per person	$20$
Areal (tett)	$\mathrm{0,25}{\mathrm{m}}^2$ per person	$10$
Areal (romslig)	$\mathrm{0,40}{\mathrm{m}}^2$ per person	$6$

Arealgrensen er lavere enn vektgrensen, og er derfor den bindende begrensningen i praksis.

Et realistisk anslag er $\underline{\underline{\text{ca. 8–10 personer}}}$.

---

Skiltets «21 personer» — er det realistisk?

Dersom vi prøver å stå 21 personer i heisen, får hver person:

Det tilsvarer en flate på ca. $35\mathrm{cm}\times 35\mathrm{cm}$ — langt trangere enn det er mulig å stå. Skiltets antall forutsetter urealistisk tette personer.

Vektgrensen er derimot noenlunde konsistent med 21 personer: $21\cdot 76\mathrm{kg}\approx 1600\mathrm{kg}$, men da må alle veie bare ca. $76\mathrm{kg}$.

Konklusjon: Johnny har rett i at 21 personer ikke får plass i heisen. Det reelle antallet er ca. $8$–$10$ personer — avhengig av antakelsene om hvor mye plass hver person trenger.

Vi regner ut poeng for alle bestenoteringer og vurderer deretter påstandene til Petra og Karsten.

Beregning av poeng for bestenoteringer

Tidene i tabellen er i sekunder. Vi konverterer til hundredels sekunder ved å multiplisere med 100.

Gutter:

Årsklasse	$t$ (sek)	$t$ (hundredels)	$a$	Beregning	Poeng
$15$ år	$\mathrm{22,23}$	$2223$	$2400$	$1000+(2400-2223)\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{1150,45}$	$1150$
$16$ år	$\mathrm{21,59}$	$2159$	$2350$	$1000+(2350-2159)\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{1162,35}$	$1162$
$17$ år	$\mathrm{21,31}$	$2131$	$2300$	$1000+(2300-2131)\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{1143,65}$	$1143$
$18$ år	$\mathrm{21,00}$	$2100$	$2265$	$1000+(2265-2100)\cdot \mathrm{0,85}=\mathrm{1140,25}$	$1140$

Jenter:

Årsklasse	$t$ (sek)	$t$ (hundredels)	$a$	Beregning	Poeng
$15$ år	$\mathrm{24,58}$	$2458$	$2650$	$1000+(2650-2458)\cdot \mathrm{0,78}=\mathrm{1149,76}$	$1149$
$16$ år	$\mathrm{23,79}$	$2379$	$2615$	$1000+(2615-2379)\cdot \mathrm{0,78}=\mathrm{1184,08}$	$1184$
$17$ år	$\mathrm{23,53}$	$2353$	$2590$	$1000+(2590-2353)\cdot \mathrm{0,78}=\mathrm{1184,86}$	$1184$
$18$ år	$\mathrm{23,83}$	$2383$	$2570$	$1000+(2570-2383)\cdot \mathrm{0,78}=\mathrm{1145,86}$	$1145$

Petras påstand: «Alle får mer enn 1000 poeng»

Petra har ikke rett generelt. I formelen $P=1000+(a-t)\cdot k$ avhenger fortegnet på leddet $(a-t)$:

• Hvis $t<a$ (utøveren er raskere enn normert tid): $(a-t)>0$, og poengsummen blir over 1000.
• Hvis $t=a$ (nøyaktig normert tid): $(a-t)=0$, og poengsummen blir nøyaktig 1000.
• Hvis $t>a$ (utøveren er tregere enn normert tid): $(a-t)<0$, og poengsummen blir under 1000.

Eksempel: En gutt på 15 år som løper på $\mathrm{25,00}$ sekunder ($t=2500$):

$\underline{\underline{\text{Petras påstand er ikke riktig.}}}$ Utøvere som er tregere enn normert tid kan få godt under 1000 poeng — og det finnes ingen nedre grense.

Karstens spørsmål: «Hvor mange poeng går det an å få?»

Ser vi på formelen $P_g=1000+(a-t)\cdot \mathrm{0,85}$, øker poengsummen jo lavere $t$ er (jo raskere utøveren løper). Det finnes ingen fast øvre grense i selve formelen.

Teoretisk maksimum (hvis $t=0$, altså umulig i praksis):

I praksis er poengsummen begrenset av hvor fort et menneske kan løpe 200 m. Bestenoteringer i årsklassene gir poeng mellom 1140 og 1184 for gutter, og mellom 1145 og 1184 for jenter — altså vesentlig lavere enn det teoretiske maksimum.

$\underline{\underline{\text{Det finnes ingen fast øvre grense.}}}$ Det går an å få vilkårlig mange poeng dersom $t$ er lav nok, men i praksis begrenses det av menneskelig kapasitet.

Sammenligning av gutter og jenter

Det er to viktige forskjeller mellom systemene:

1. Ulik multiplikasjonsfaktor: Guttene bruker $\mathrm{0,85}$ og jentene $\mathrm{0,78}$. Det betyr at for én hundredels sekund raskere enn normert, får en gutt $\mathrm{0,85}$ ekstra poeng, mens en jente bare får $\mathrm{0,78}$ ekstra poeng.

   Eksempel: Både en gutt og en jente løper 1 sekund (= 100 hundredels) raskere enn sin normerte tid:

Gutten belønnes altså mer per sekund relativt til normert tid.

2. Ulike $a$-verdier: Jentenes normerte tider er høyere (de løper tregere enn gutter), men det betyr ikke at systemene er direkte sammenlignbare — fordi faktorene også er ulike.

Å sammenligne poeng mellom gutter og jenter direkte er derfor ikke helt meningsfylt. Poengsystemet er laget for å sammenligne innen samme kjønn og årsklasse, ikke på tvers.

Fra tabellene ser vi likevel at bestenoteringene gir lignende poengsum for begge kjønn (1140–1184), noe som tyder på at systemet er kalibrert for å gi omtrent jevne resultater for topprestasjonene.