1P Høst 2015

Vi vet at $\mathrm{1,0}\mathrm{g}$ salt inneholder $\mathrm{0,4}\mathrm{g}$ natrium. Lar vi $x$ være antall gram salt, inneholder $x$ gram salt $\mathrm{0,4}x$ gram natrium. Vi vil finne hvor mange gram salt som gir maksimalt $\mathrm{2,4}\mathrm{g}$ natrium, og setter derfor opp likningen

Vi løser likningen ved å dele begge sider på $\mathrm{0,4}$.

Du kan altså innta maksimalt $\underline{\underline{6\mathrm{g}\text{ salt}}}$ per dag.

$100\mathrm{g}$ pizza inneholder $\mathrm{0,8}\mathrm{g}$ salt. En porsjon er $300\mathrm{g}$, altså $3$ ganger så mye som $100\mathrm{g}$. Vi finner saltinnholdet i porsjonen ved å multiplisere saltmengden i $100\mathrm{g}$ med $3$.

En porsjon pizza inneholder altså $\underline{\underline{\mathrm{2,4}\mathrm{g}\text{ salt}}}$.

Vi må først finne hvor mye natrium denne saltmengden svarer til. Fra $\mathrm{1,0}\mathrm{g}$ salt inneholder $\mathrm{0,4}\mathrm{g}$ natrium, finner vi natriummengden i $\mathrm{2,4}\mathrm{g}$ salt.

Anbefalt maksimalt daglig inntak er $\mathrm{2,4}\mathrm{g}$ natrium (fra a). Vi finner hvor stor andel $\mathrm{0,96}\mathrm{g}$ er av $\mathrm{2,4}\mathrm{g}$ ved å dele og gange med $100\%$.

En porsjon pizza gir altså $\underline{\underline{40\%}}$ av anbefalt daglig natriuminntak.

Vi tegner grafene til $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x$ og $g(x)=-x+3$ i samme koordinatsystem. Grafen til $f$ går gjennom origo og stiger $\mathrm{0,5}$ for hver $1$ vi går til høyre. Grafen til $g$ skjærer $y$-aksen i $y=3$ og synker $1$ for hver $1$ vi går til høyre.

Fra grafen ser vi at linjene skjærer hverandre i punktet $\underline{\underline{(2,1)}}$.

Vi finner skjæringspunktet ved regning ved å sette de to funksjonsuttrykkene lik hverandre.

Vi setter $x=2$ inn i $f(x)$ for å finne $y$-verdien.

Skjæringspunktet er $\underline{\underline{(2,1)}}$, som stemmer med avlesningen i a).

Vi setter inn mor sin høyde ($160\mathrm{c}\mathrm{m}$) og far sin høyde ($180\mathrm{c}\mathrm{m}$) i formlene.

For Ola, som er gutt, bruker vi guttformelen:

Ola vil altså bli omtrent $177\mathrm{cm}$ høy.

For Kari, som er jente, bruker vi jenteformelen:

Kari vil altså bli omtrent $163\mathrm{cm}$ høy.

Per er sønn, så vi bruker guttformelen. Per sin voksenhøyde er $189\mathrm{c}\mathrm{m}$, og far er $186\mathrm{c}\mathrm{m}$. Vi lar $m$ være mor sin høyde og setter tallene inn i formelen:

Vi løser likningen steg for steg for å finne $m$.

Mor er altså $\underline{\underline{178\mathrm{cm}}}$ høy ifølge formelen.

Volumet av en sylinder er gitt ved $V=\pi r^{2}h$. Vi setter inn tallene:

Siden $1{\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{L}$, blir volumet omtrent $1296\mathrm{L}\approx 1300\mathrm{L}$.

Overflaten av en sylinder består av to sirkulære endeflater (topp og bunn) og den buede sideflaten, altså $O=2\pi r^2+2\pi rh$. Vi setter inn tallene:

Overflaten av rundballen er altså omtrent $\mathrm{6,5}{\mathrm{m}}^2$.

Vi vet at $360$ personer testes, at $60$ av dem er smittet (dermed er $360-60=300$ ikke smittet), og at $68$ tester positivt.

Av de $68$ som tester positivt, er det $10$ som ikke er smittet. Da må resten av de positive være smittet:

Siden det totalt er $60$ smittede, må de resterende smittede teste negativt:

Blant de $300$ som ikke er smittet, tester $10$ positivt, og resten tester negativt:

Vi fyller ut krysstabellen (summene stemmer: $58+10=68$, $2+290=292$, og $68+292=360$):

Vi skal finne sannsynligheten for at en smittet person tester positivt, altså $P(\text{positiv}|\text{smittet})$. Av de $60$ smittede testet $58$ positivt, så

Vi skal finne sannsynligheten for at en person som tester positivt, likevel ikke er smittet, altså $P(\text{ikke smittet}|\text{positiv})$. Av de $68$ som testet positivt, var $10$ ikke smittet, så

Vi legger inn funksjonene $K(x)=\mathrm{8,5}{x}^2+25x+11900$ og $I(x)=790x$ i et graftegningsprogram (GeoGebra) for $10\le x\le 100$. Grafen til $K$ er en parabel (blå kurve), og grafen til $I$ er en rett linje (rød linje).

Inntektene og kostnadene er like store der grafene til $K$ og $I$ skjærer hverandre. Vi finner skjæringspunktene med kommandoen Skjæring(K, I) i graftegneren.

Graftegneren gir skjæringspunktene $(20,15800)$ og $(70,55300)$.

Inntektene og kostnadene er altså like store når $\underline{\underline{x=20\text{ og }x=70}}$.

Overskuddet er differansen mellom inntekter og kostnader,

Vi legger denne funksjonen inn i graftegneren og finner toppunktet på grafen med kommandoen Ekstremalpunkt(O, 10, 100) (se grønn kurve i figuren over).

Toppunktet på grafen til $O$ er $(45,\mathrm{5312,5})$.

Bedriften må altså produsere og selge $\underline{\underline{x=45}}$ enheter for at overskuddet skal bli størst mulig, og overskuddet blir da $\underline{\underline{\mathrm{5312,5}\mathrm{kr}}}$.

Scooteren er i dag verdt $8600$ kr. For å finne verdien om 2 år, ganger vi dagens verdi med vekstfaktoren to ganger til, altså med ${\mathrm{0,85}}^2$:

Scooterens verdi om 2 år blir dermed omtrent $6214$ kr.

Svar: $\underline{\underline{V\approx 6214\mathrm{kr}}}$

Scooteren er 3 år gammel og har falt i verdi med vekstfaktoren $\mathrm{0,85}$ hvert av disse 3 årene. Da er dagens verdi lik nyprisen ganget med ${\mathrm{0,85}}^3$:

For å finne nyprisen deler vi dagens verdi på ${\mathrm{0,85}}^3$:

Scooteren kostet altså omtrent $14004$ kr da den var ny.

Svar: $\underline{\underline{\text{Nypris}\approx 14004\mathrm{kr}}}$

Nedgangen i oljeprisen målt i USD er

For å finne hvor mange prosent dette tilsvarer, deler vi nedgangen på startprisen:

Svar: $\underline{\underline{\text{Nedgangen er ca. }36\mathrm{USD},\text{ det tilsvarer ca. }42\%}}$

Prisen i NOK finner vi ved å gange prisen i USD med dollarkursen:

Svar: $\underline{\underline{\text{Prisen i starten av perioden var ca. }578\mathrm{kr}}}$

Prisen i NOK på slutten av perioden er

Nedgangen i NOK blir dermed

I prosent tilsvarer dette

Svar: $\underline{\underline{\text{Nedgangen er ca. }201\mathrm{kr},\text{ det tilsvarer ca. }35\%}}$

Oljeprisen målt i USD gikk ned med ca. $42\%$, mens den samme oljeprisen, regnet om til norske kroner, bare gikk ned med ca. $35\%$. Grunnen til dette er at dollarkursen økte gjennom perioden, fra ca. $\mathrm{6,8}$ kr til ca. $\mathrm{7,7}$ kr per dollar. Når dollaren blir mer verdt i norske kroner, blir varer som prises i dollar (som olje) dyrere i NOK enn de ellers ville vært. Den sterkere dollarkursen motvirker altså noe av prisnedgangen når vi regner den om til norske kroner, slik at den prosentvise nedgangen blir mindre i NOK enn i USD.

Svar: $\underline{\underline{\text{Nedgangen i NOK er mindre enn i USD fordi dollarkursen økte i perioden}}}$

Vi setter opp regnearket slik figuren i oppgaven viser, med et inndata-felt (B3:C7), en timeliste (E3:H8) og en lønnsberegning (B10:C18).

Inndata (lysegrå, tastes inn direkte):

Timeliste (E4:F7 lysegrå inndata fra timelisten, H4:H8 mørkegrå formler):

Lønnsberegning (B11:C18, mørkegrå formler):

Noen forklaringer:

• Overtid i kolonne H regnes ut som timer totalt minus ordinær arbeidstid den uka.
• Pensjonstrekket (D14) regnes kun av ordinær lønn, ikke av overtidslønnen.
• Fagforeningskontingenten (C15) er et fast kronebeløp fra inndata, ikke en prosentsats.
• Trekkgrunnlaget (C16) er bruttolønn minus pensjonstrekk og fagforeningskontingent, og det er dette beløpet skattetrekket beregnes av.

Når formlene fylles ut med Sofies timeliste, gir regnearket denne resultattabellen:

$\underline{\underline{\text{Nettolønn}\approx 15\mathrm{407,00}\mathrm{kr}}}$ i februar.

Vi utvider regnearket med sparefeltet fra B20:C23. Beløpet skal rundes ned til nærmeste hele krone, så vi bruker funksjonen AVRUND.NED (rundes alltid ned, uansett siste siffer):

Forklaring: MAKS(C18-15000;0) gir hvor mye av nettolønnen som overstiger 15 000 kr (og gir 0 hvis nettolønnen er lavere enn 15 000 kr, slik at det ikke blir et negativt beløp).

Med Sofies nettolønn på 15 407,00 kr blir mellomregningen:

$\underline{\underline{\text{Sum overføring sparekonto}=3325\mathrm{kr}}}$ i februar.

Vi bruker samme regneark, men endrer inndataene F4:F7 i timelisten til $\mathrm{37,5}$ timer for alle fire ukene. Da blir overtiden i kolonne H lik $0$ for hver uke, og summen i rad 8 blir 150 timer ordinær arbeidstid og 0 timer overtid.

De øvrige formlene i regnearket regner seg selv ut på nytt:

Nettolønnen er nå lavere enn 15 000 kr, så formelen MAKS(C18-15000;0) i rad 22 gir $0$ — det blir ingen ekstra overføring:

$\underline{\underline{\text{Sum overføring sparekonto}=2858\mathrm{kr}}}$ hvis Sofie jobbet nøyaktig $\mathrm{37,5}$ timer hver uke.

Trekant $ADF$ er rettvinklet i $F$, med hypotenus $AD=5$ og katet $DF=3$. Ved å bruke Pytagoras’ setning finner vi den andre kateten $AF$:

Siden $ED$ er parallell med $CB$, er trekant $ADF$ formlik med trekant $ABG$. Vi har $AB=AD+DB=5+10=15$, så forholdet mellom de to trekantene er

Det samme forholdet gjelder for de tilsvarende sidene $AF$ og $AG$:

(Vi kan kontrollere svaret: forholdet skal også gjelde for $DF$ og $BG$, og $3\cdot DF=3\cdot 3=9=BG$, som stemmer med opplysningen i oppgaven.)

Da blir

Svar: $\underline{\underline{AF=4\text{ og }FG=8}}$

Trekanten i figuren er tverrsnittet av den (forlengede) kjeglen som vanntanken er en del av. Den minste sirkelen i tanken har radius $r=DF=3\mathrm{m}$, den største har radius $R=BG=9\mathrm{m}$, og høyden i tanken tilsvarer avstanden $FG=8\mathrm{m}$ mellom de to planene.

Volumet av en rettavkortet kjegle (kjeglestubbe) med høyde $h$ og radiene $r$ og $R$ er gitt ved formelen

Vi setter inn $h=8$, $R=9$ og $r=3$:

Siden $1{\mathrm{m}}^3=1000$ liter, blir volumet

Svar: $\underline{\underline{V\approx 980177\text{liter}}}$

Tanken er smalest nederst og blir bredere oppover. Vannet renner inn med konstant fart, altså tilføres det like mange liter vann per minutt hele tiden. Når tverrsnittarealet i tanken er lite (nederst), skal det lite volum til for å heve vannstanden mye, så vannhøyden stiger raskt i starten. Etter hvert som tanken blir bredere oppover, må det et stadig større volum til for å heve vannstanden like mye, så vannhøyden stiger stadig saktere.

Dette betyr at grafen skal stige raskt i starten og flate ut etter hvert — det vil si stige, men med avtakende stigningsfart. Dette er graf 3.

Svar: $\underline{\underline{\text{Graf 3 passer best}}}$

Den første dagen kan Petter velge hvilket som helst av de 3 skoparene — det spiller ingen rolle hvilket, siden vi bare skal sammenligne de neste dagene med dette valget. Sannsynligheten for at han velger samme skopar den andre dagen, er ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (siden bare 1 av 3 par er «riktig»). Det samme gjelder for den tredje dagen: sannsynligheten er ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Siden valgene er uavhengige, ganger vi sannsynlighetene sammen:

Svar: $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{1}{9}}\approx \mathrm{11,1}\%}}$

Den første dagen kan Petter igjen velge hvilket som helst skopar. Den andre dagen må han velge et av de 2 skoparene han ikke brukte dagen før, for at det skal bli et nytt par. Sannsynligheten for det er ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Den tredje dagen må han velge det siste, gjenværende skoparet — det eneste han ikke har brukt ennå — og sannsynligheten for det er ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Siden valgene er uavhengige, ganger vi sannsynlighetene sammen:

Svar: $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{2}{9}}\approx \mathrm{22,2}\%}}$

Vi regner om farten fra $\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ til $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Én time er $3600$ sekunder, og én kilometer er $1000$ meter, så

Altså tilsvarer $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ en fart på ca. $\underline{\underline{\mathrm{11,1}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

Vi finner først at $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ tilsvarer $v={\displaystyle \frac{80000}{3600}}\approx \mathrm{22,2}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (dobbelt så fort som i a)).

Vi setter inn i formelen $s={\displaystyle \frac{v^2}{\mathrm{19,6}\cdot f}}$ for de fire tilfellene.

Sommerføre, $f=\mathrm{0,8}$:

Vinterføre, $f=\mathrm{0,2}$:

På sommerføre er bremselengden altså $\underline{\underline{\mathrm{7,86}\mathrm{m}}}$ ved $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ og $\underline{\underline{\mathrm{31,43}\mathrm{m}}}$ ved $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. På vinterføre er bremselengden $\underline{\underline{\mathrm{31,43}\mathrm{m}}}$ ved $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ og $\underline{\underline{\mathrm{125,72}\mathrm{m}}}$ ved $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.

Vi sammenligner bremselengdene når farten dobles fra $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ til $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$.

På sommerføre: ${\displaystyle \frac{\mathrm{31,43}}{\mathrm{7,86}}}\approx \mathrm{4,0}$

På vinterføre: ${\displaystyle \frac{\mathrm{125,72}}{\mathrm{31,43}}}\approx \mathrm{4,0}$

Når farten dobles, blir altså bremselengden fire ganger så stor, både på sommer- og vinterføre. Det er fordi $v$ opptrer i andre potens i formelen: $s={\displaystyle \frac{v^2}{\mathrm{19,6}\cdot f}}$, så en dobling av $v$ gir $2^2=4$ ganger så stor $s$.

Om bremselengde og fart hadde vært proporsjonale størrelser, skulle bremselengden bare blitt dobbelt så stor når farten ble doblet (siden proporsjonale størrelser har konstant forhold $\frac{s}{v}$). Siden bremselengden i stedet firedobles, er $\underline{\underline{\text{bremselengde og fart ikke proporsjonale størrelser}}}$ — bremselengden er proporsjonal med $v^2$, ikke med $v$.

Vi ønsker å finne farten $v_{\text{vinter}}$ på glatt vinterføre ($f=\mathrm{0,2}$) som gir samme bremselengde som en gitt fart $v_{\text{sommer}}$ på sommerføre ($f=\mathrm{0,8}$). Vi setter de to uttrykkene for bremselengde like store:

Vi ganger begge sider med $\mathrm{19,6}$:

Vi ganger begge sider med $\mathrm{0,2}$:

Vi tar kvadratroten av begge sider:

Regelen er altså: $\underline{\underline{v_{\text{vinter}}={\displaystyle \frac{v_{\text{sommer}}}{2}}}}$ — for å få samme bremselengde på glatt vinterføre som på sommerføre, må du kjøre med halve farten.

Vi kan kontrollere regelen med tallene fra b): på sommerføre ga $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ en bremselengde på $\mathrm{31,43}\mathrm{m}$. Halve farten, $40\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$, ga på vinterføre nettopp $\mathrm{31,43}\mathrm{m}$ — samme bremselengde, slik regelen forutsier.