1P Høst 2018

To størrelser er proporsjonale hvis forholdet mellom dem er det samme for alle verdiene. Vi finner prisen per marsipangris for hver pakke:

Prisen per marsipangris er ikke den samme for alle pakkene ($24$ kr for de to første, men $\mathrm{22,5}$ kr for den siste). Antall marsipangriser og pris per pakke er derfor $\underline{\underline{\text{ikke proporsjonale størrelser}}}$.

Forholdet mellom mandler og melis skal være $2:3$. Det betyr at for hver $2$ deler mandler skal det være $3$ deler melis.

Vi har $700\mathrm{g}$ mandler, som tilsvarer $2$ deler. Én del er da:

Mengden melis tilsvarer $3$ deler:

De trenger $\underline{\underline{1050\mathrm{g}}}$ melis.

Porsjonen veier til sammen $\mathrm{7,5}\mathrm{kg}=7500\mathrm{g}$, og skal fordeles i forholdet $2:3$. Til sammen er det $2+3=5$ deler.

Én del er da:

Mengden mandler tilsvarer $2$ deler:

Mengden melis tilsvarer $3$ deler:

Det er brukt $\underline{\underline{3\mathrm{kg}\text{ mandler og }\mathrm{4,5}\mathrm{kg}\text{ melis}}}$ i porsjonen.

Skissen viser en rettvinklet trekant med et kvadrat på hver side. Arealet av kvadratet på hypotenusen (den lengste siden, motsatt den rette vinkelen) er lik summen av arealene av kvadratene på de to andre sidene (katetene). Dette er Pytagoras’ setning uttrykt med arealer.

Siden hypotenusen er den lengste siden i trekanten, må kvadratet på hypotenusen ha det største arealet. Av de to oppgitte arealene, $64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ og $100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, må derfor $100\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ være arealet på hypotenusen, mens $64\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ er arealet på en av katetene.

Vi setter opp sammenhengen mellom arealene:

Vi løser for $A$:

Arealet av det minste kvadratet er $\underline{\underline{36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2}}$.

Den korteste siden i trekanten er siden som hører til det minste kvadratet, altså kvadratet med areal $36\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ fra oppgave a).

Siden av et kvadrat finner vi ved å ta kvadratroten av arealet:

Den korteste siden i trekanten er $\underline{\underline{6\mathrm{cm}}}$.

Vi setter inn hver $x$-verdi i uttrykket $f(x)=-x^2+2x+3$.

Verditabellen blir da:

Vi tegner av punktene fra verditabellen inn i et koordinatsystem og trekker en jevn kurve gjennom dem. Grafen er en parabel som vender grenene nedover, med toppunkt i $(1,4)$.

Målestokken forteller hvor mange ganger kortere modellen er enn virkeligheten. Vi må først gjøre om lengden på den virkelige banen til centimeter, siden lengden på modellen er oppgitt i centimeter.

Målestokken er forholdet mellom lengden på modellen og lengden i virkeligheten.

Målestokken til modellen er $\underline{\underline{1:500}}$. Det betyr at alt i virkeligheten er 500 ganger så stort som på modellen.

Banen er $69\mathrm{m}$ bred i virkeligheten. Vi gjør dette om til centimeter og deler på målestokkfaktoren $500$.

Modellen er $\underline{\underline{\mathrm{13,8}\mathrm{cm}}}$ bred.

Når vi kaster to terninger, er det $6\cdot 6=36$ like sannsynlige utfall totalt (én for hver kombinasjon av øyne på terning 1 og terning 2).

Vi teller opp alle kombinasjonene som gir sum lik $8$:

Det er $5$ gunstige utfall av $36$ mulige. Sannsynligheten blir da

Vi teller opp utfallene der nøyaktig én av terningene viser en toer (den andre terningen viser da noe annet enn $2$).

Terning 1 viser $2$, terning 2 viser ikke $2$: $5$ utfall — $(\mathrm{2,1}),(\mathrm{2,3}),(\mathrm{2,4}),(\mathrm{2,5}),(\mathrm{2,6})$.

Terning 2 viser $2$, terning 1 viser ikke $2$: $5$ utfall — $(\mathrm{1,2}),(\mathrm{3,2}),(\mathrm{4,2}),(\mathrm{5,2}),(\mathrm{6,2})$.

Til sammen er det $5+5=10$ gunstige utfall av $36$ mulige. Sannsynligheten blir da

Lånebeløpet er det Ole skylder ved starten av 2018, altså før første avdrag er betalt. Vi finner det ved å legge sammen avdraget og restlånet for 2018, siden restlånet er det som er igjen etter at avdraget er trukket fra.

Ole tok opp et lån på $\underline{\underline{200000\mathrm{kr}}}$.

Renten for et år regnes ut fra det beløpet Ole skyldte ved starten av året, altså lånebeløpet for 2018. Vi vet at renten dette året var $6000\mathrm{kr}$.

Vi kan kontrollere svaret med 2019: restlånet ved starten av 2019 er $182554\mathrm{kr}$, og $3\%$ av dette er

som stemmer med rentebeløpet i tabellen. Ole betaler $\underline{\underline{3\%}}$ rente per år.

Terminbeløpet er det samme hvert eneste år ($23446\mathrm{kr}$), mens avdraget øker og renta minker etter hvert som restlånet blir mindre. Dette er kjennetegnet på et $\underline{\underline{\text{annuitetslån}}}$: summen av avdrag og renter (terminbeløpet) holdes konstant gjennom hele nedbetalingstiden.

Ballen er idet den slås ved $x=0$. Vi setter $x=0$ inn i funksjonsuttrykket:

Idet spilleren slår ballen, er den $\underline{\underline{\mathrm{2,04}\mathrm{m}}}$ over bakken.

Vi legger $h(x)=-\mathrm{0,07}{x}^2+\mathrm{0,67}x+\mathrm{2,04}$ inn i en graftegner for $0\le x\le 12$.

Grafen til $h$ er en parabel som vender grenene nedover (siden koeffisienten foran $x^2$ er negativ), så det høyeste punktet er toppunktet. I graftegneren finner vi toppunktet til

Ballen er på det høyeste $\underline{\underline{\mathrm{3,64}\mathrm{m}}}$ over bakken, når den har beveget seg $\mathrm{4,79}\mathrm{m}$ horisontalt.

Nettet står midt på banen, altså ved $x=9$ (halvparten av $18\mathrm{m}$). Vi setter $x=9$ inn i funksjonsuttrykket:

Ved nettet er ballen altså $\mathrm{2,40}\mathrm{m}$ over bakken. Vi sammenlikner med de to netthøydene:

• Kvinnenettet er $\mathrm{2,24}\mathrm{m}$ høyt. Siden $\mathrm{2,40}>\mathrm{2,24}$, går ballen over nettet i en kvinnekamp.
• Mennenettet er $\mathrm{2,43}\mathrm{m}$ høyt. Siden $\mathrm{2,40}<\mathrm{2,43}$, går ballen ikke over nettet i en mannekamp — den treffer nettet.

$\underline{\underline{\text{Ballen går over nettet i en kvinnekamp, men ikke i en mannekamp}}}$, siden $h(9)=\mathrm{2,40}\mathrm{m}$ ligger mellom de to netthøydene.

Vi lar $P$ være kunder som kjøpte popcorn, og $S$ være kunder som kjøpte smågodt.

Vi vet at:

• Totalt antall kunder: $450$
• Kjøpte popcorn: $280$
• Kjøpte smågodt: $220$
• Kjøpte verken popcorn eller smågodt: $30$

Da er antallet som kjøpte popcorn eller smågodt (eller begge deler):

Antallet som kjøpte begge deler finner vi ved å telle popcorn og smågodt hver for seg og trekke fra de som telles to ganger:

Da kjøpte:

• $280-80=200$ kunder bare popcorn
• $220-80=140$ kunder bare smågodt
• $80$ kunder begge deler
• $30$ kunder verken popcorn eller smågodt

Dette gir følgende krysstabell:

Vi sjekker at radene og kolonnene stemmer: $80+140+200+30=450$. ✓

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kunde kjøpte både popcorn og smågodt finner vi ved å dele antallet som kjøpte begge deler på totalt antall kunder:

$\underline{\underline{P(\text{popcorn og smågodt})\approx \mathrm{0,178}(\mathrm{17,8}\%)}}$

Vi vet at kunden kjøpte smågodt, så vi ser bare på raden «Smågodt» i krysstabellen. Av de $220$ kundene som kjøpte smågodt, kjøpte $140$ ikke popcorn.

Den betingede sannsynligheten blir dermed:

$\underline{\underline{P(\text{ikke popcorn}|\text{smågodt})\approx \mathrm{0,636}(\mathrm{63,6}\%)}}$

Linjen går gjennom origo, så den viser en proporsjonal sammenheng mellom hestekrefter og kilowatt. Vi finner stigningstallet ved å bruke de to avmerkede punktene $(110,\mathrm{80,85})$ og $(140,\mathrm{102,9})$:

Stigningstallet er $\underline{\underline{a=\mathrm{0,735}}}$. Det betyr at hver hestekraft tilsvarer $\mathrm{0,735}\mathrm{kW}$.

Siden linjen går gjennom origo med stigningstall $a=\mathrm{0,735}$, er sammenhengen gitt ved $y=\mathrm{0,735}x$, der $x$ er antall hestekrefter og $y$ er effekten i kilowatt.

Bilen har en motoreffekt på $1000\mathrm{hk}$, så vi setter $x=1000$ inn i formelen:

Motoreffekten på $1000\mathrm{hk}$ tilsvarer altså $\underline{\underline{735\mathrm{kW}}}$.

Reallønnen viser hva den nominelle lønnen er verdt målt i kjøpekraft der konsumprisindeksen er $100$. Vi bruker formelen

Anders hadde en nominell lønn på $550000$ kroner i 2014, og KPI var $\mathrm{97,9}$:

Reallønnen til Anders i 2014 var altså $\underline{\underline{561798\mathrm{kr}}}$.

For at Anders skal ha samme kjøpekraft i 2017 som i 2014, må den nominelle lønnen øke i samme takt som konsumprisindeksen. Vi bruker sammenhengen

Vi setter inn ${\text{KPI}}_{2014}=\mathrm{97,9}$ og ${\text{KPI}}_{2017}=\mathrm{105,5}$:

For å ha samme kjøpekraft i 2017 som i 2014, måtte Anders ha hatt en nominell lønn på $\underline{\underline{592697\mathrm{kr}}}$.

Vi sammenligner de to trekantene $△ABC$ (den store trekanten) og $△ABD$ (den lille trekanten, som ligger inni den store):

• Vinkel $B$ er felles for begge trekantene. Det er samme vinkel i begge, siden $D$ ligger på linjen $BC$.
• I $△ABC$ er vinkelen i $A$ oppgitt å være $90°$.
• I $△ABD$ er vinkelen i $D$ også $90°$, siden $AD$ står vinkelrett på $BC$ (og dermed på $BD$).

Begge trekantene har altså to par like vinkler: den felles vinkelen $B$, og en rett vinkel (i $A$ i den store trekanten og i $D$ i den lille). Når to vinkler i en trekant er like store som to vinkler i en annen trekant, må også den tredje vinkelen være lik. Trekantene $△ABC$ og $△ABD$ er derfor formlike.

Finner $AB$

I den lille trekanten $△ABD$ er vinkelen i $D$ rett, så $AB$ er hypotenusen i denne trekanten. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Finner $AC$ ved hjelp av formlikheten

Tegner vi de to trekantene ved siden av hverandre med vinkel $B$ vendt samme vei, ser vi hvilke sider som samsvarer med hverandre:

• Hypotenusen i den lille trekanten, $AB$, samsvarer med hypotenusen i den store trekanten, $BC$.
• Siden $BD$ (inntil vinkel $B$ i den lille trekanten) samsvarer med siden $AB$ (inntil vinkel $B$ i den store trekanten).
• Siden $AD$ (motstående vinkel $B$ i den lille trekanten) samsvarer med siden $AC$ (motstående vinkel $B$ i den store trekanten).

Siden trekantene er formlike, er forholdet mellom samsvarende sider likt. Det gir proporsjonen

Vi setter inn de kjente verdiene og løser for $AC$:

Avstanden fra $A$ til $C$ er dermed $\underline{\underline{AC=\mathrm{18,45}\mathrm{km}}}$.

Vi lar $x$ være prisen for én skjorte til full pris. Emil kjøper to skjorter, så full pris for begge til sammen er $2x$.

Han får den ene skjorta til halv pris, altså betaler han ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ for den ene og $x$ for den andre:

Rabatten er differansen mellom full pris og det han faktisk betaler:

Rabatten i prosent av full pris er da

Emil får dermed $\underline{\underline{25\%}}$ rabatt sammenlignet med full pris.

Vi lar $x$ være den opprinnelige (fulle) prisen for den rimeligste skjorta, i kroner. Den dyreste skjorta koster da $x+300$ kroner.

Med samme tilbud som i a) betaler Alfred full pris for den dyreste skjorta og halv pris for den rimeligste. Til sammen betaler han 1350 kroner, så vi får likningen

Vi løser likningen for $x$:

Den opprinnelige prisen på den rimeligste skjorta er altså $700$ kroner. Alfred betaler bare halv pris for denne skjorta:

Kontroll: Den dyreste skjorta koster $700+300=1000$ kroner til full pris. Alfred betaler $1000+350=1350$ kroner til sammen, som stemmer med opplysningen i oppgaven.

Alfred betaler dermed $\underline{\underline{350\mathrm{kr}}}$ for den rimeligste skjorta.

Vi tar utgangspunkt i Trekant 1, hvor sidelengdene tastes inn direkte i de hvite cellene B3 og B4:

• B3 = $5$ (korteste katet)
• B4 = $12$ (lengste katet)

Alle de andre (blå) cellene fylles ut med formler. Siden sidene i Trekant $n$ er $n$ ganger så lange som sidene i Trekant 1, kan hver formel i rad 3 og 4 lages ved å legge til sidelengden i Trekant 1 på nytt for hver kolonne, slik at formelen kan dras (kopieres) fra kolonne C til kolonne K:

Formlene i rad 5–9 bruker bare relative referanser til sin egen kolonne, så de kan dras rett fra B til K. Formlene i rad 8 og 9 bruker en absolutt referanse ($B$6 og $B$7) til Trekant 1, slik at alle kolonner deler på det samme tallet.

Med disse formlene fylt ut fra kolonne C til K blir resultattabellen:

Dette stemmer med de oppgitte verdiene for Trekant 1 og Trekant 2 i figuren.

Vi sammenligner tallene i rad 8 (forholdet mellom omkretsene) og rad 9 (forholdet mellom arealene):

Tallet i rad 9 er alltid kvadratet av tallet i rad 8: $\text{rad }9={(\text{rad }8)}^2$.

Dette henger sammen med at trekantene er formlike. Når alle sidelengder (og dermed omkretsen) skaleres med en faktor $n$, skaleres arealet med $n^2$, siden arealet er et produkt av to lengder (katetene).

Svar: $\underline{\underline{\text{rad }9={(\text{rad }8)}^2}}$

Nei, tallene i rad 8 og rad 9 endrer seg ikke om vi endrer B3 og B4.

Grunnen er at rad 8 og rad 9 viser et forhold mellom Trekant $n$ og Trekant 1, ikke selve sidelengdene. Uansett hvilke tall som står i B3 og B4, vil formlene i rad 3 og 4 sørge for at sidene i Trekant $n$ alltid er $n$ ganger så lange som sidene i Trekant 1. Da blir også:

• omkretsen til Trekant $n$ alltid $n$ ganger omkretsen til Trekant 1 (rad 8),
• arealet til Trekant $n$ alltid $n^2$ ganger arealet til Trekant 1 (rad 9),

fordi dette følger direkte av at trekantene er formlike med skaleringsfaktor $n$. Forholdstallene avhenger derfor bare av skaleringsfaktoren $n$ (hvilken kolonne vi ser på), ikke av hvilke konkrete sidelengder Trekant 1 har.

Svar: $\underline{\underline{\text{Nei, forholdene avhenger bare av skaleringsfaktoren }n\text{, ikke av B3 og B4}}}$