10. trinn Vår 2025

Sander skåret på 11 av 20 skudd. Vi skriver dette som en brøk og gjør om til prosent:

Sander skåret på $\underline{\underline{55\%}}$ av skuddene.

Etter de ti nye skuddene i den tredje kampen hadde Sander skutt totalt

Da var skåringsprosenten $60\%$. Vi finner hvor mange mål det tilsvarer:

Sander hadde allerede 11 mål fra de to første kampene. De siste ti skuddene ga derfor

Sander skåret på $\underline{\underline{7}}$ av de ti siste skuddene.

En vanlig stor koffert til reise kan for eksempel ha disse målene:

• Lengde: $70\mathrm{cm}$
• Bredde: $45\mathrm{cm}$
• Høyde: $25\mathrm{cm}$

Dette er realistiske mål for en stor koffert som skal sjekkes inn på fly. Andre fornuftige mål for en koffert gir også full uttelling, så lenge de er realistiske og har riktig benevning.

Kofferten har form som et rett prisme, så volumet finner vi ved å gange sammen lengde, bredde og høyde.

Siden vi skal svare i liter, gjør vi først om målene fra centimeter til desimeter:

Volumet blir da

Vi vet at $1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=1\mathrm{L}$, så kofferten rommer omtrent

Svaret avhenger av hvilke mål du valgte i a). Har du valgt andre mål, skal du regne ut volumet med dine egne tall på samme måte.

Vi setter inn $a=2$ og $b=10$ i uttrykket $(a+4)(b-4)$:

Vi får $36$, som er akkurat det uttrykket skal være lik. Dermed stemmer tallparet $a=2$ og $b=10$.

Vi skal finne heltall $a$ og $b$ slik at $(a+2)(b-6)=24$. For at produktet av to tall skal bli $24$, må de to tallene være et faktorpar til $24$.

Vi velger for eksempel

Det gir $a=2$ og $b=12$. Vi sjekker:

Tallparet $a=2$ og $b=12$ stemmer.

Det finnes flere løsninger fordi $24$ kan skrives som et produkt av mange forskjellige heltallspar:

(og tilsvarende med negative tall). Hvert faktorpar gir et eget tallpar $(a,b)$. Velger vi for eksempel

får vi $a=1$ og $b=14$, som er en annen gyldig løsning. Fordi $24$ har mange faktorpar, finnes det derfor mange tallpar $(a,b)$ som gjør at uttrykket stemmer.

Når Alex kjører programmet, skjer dette:

1. Programmet ber om lengden til de tre sidene i trekanten. Den lengste siden lagres som $c$, og de to andre sidene lagres som $a$ og $b$.
2. Programmet sjekker om Pytagoras’ setning stemmer, altså om $c^2=a^2+b^2$.
3. Stemmer dette, skriver programmet ut «Trekanten er rettvinklet».
4. Stemmer det ikke, skriver programmet ut «Trekanten er ikke rettvinklet».

Trekanten har sidene $5\mathrm{cm}$, $6\mathrm{cm}$ og $8\mathrm{cm}$. Den lengste siden er $c=8\mathrm{cm}$, og de to andre sidene er $a=5\mathrm{cm}$ og $b=6\mathrm{cm}$.

Vi regner ut de to sidene av testen i programmet:

Siden $64\ne 61$, stemmer ikke Pytagoras’ setning for denne trekanten. Testen i programmet blir da usann, og programmet går til else-delen. Alex får dermed utskriften «Trekanten er ikke rettvinklet».

Vi ser at figurene blir én rute større i hver retning for hver ny figur. Figur 1 er $3\times 3$, figur 2 er $4\times 4$, figur 3 er $5\times 5$ og figur 4 er $6\times 6$. Da må figur 5 være $7\times 7$.

De gule rutene ligger midt i figuren og danner et mindre kvadrat. I figur 5 blir det gule kvadratet $5\times 5=25$ ruter. De blå rutene ligger i ramma rundt, og utgjør resten: $49-25=24$ ruter.

Figur 5 har $49$ ruter totalt: $\underline{\underline{24\text{ blå og }25\text{ gule}}}$.

Vi teller opp blå, gule og totalt antall ruter for de ti første figurene, ved å bruke samme mønster som i a).

Vi kan lage tabellen i regneark ved å legge figurnummeret i kolonne A (fra rad 2), og skrive formler i kolonne B, C og D som fylles nedover:

• Antall blå (B2): =4*A2+4
• Antall gule (C2): =A2^2
• Totalt antall (D2): =(A2+2)^2, eller like gjerne =B2+C2

Vi ser at antall blå kvadrater øker med $4$ for hver figur ($8,12,16,20,\dots$), mens antall gule kvadrater øker mye raskere, siden det er et kvadrattall.

Vi ser på hvordan figur $n$ er bygd opp. Figuren har side $n+2$ ruter, og det gule kvadratet inni har side $n$ ruter. Da er

Antall blå kvadrater er det som er igjen når vi trekker de gule fra alle rutene:

Vi kan også tenke på det slik: ramma har fire sider. Deler vi hjørnene jevnt mellom sidene, får hver av de fire sidene $n+1$ ruter. Det gir også $4(n+1)=4n+4$ blå kvadrater, som stemmer.

For figur 4 setter vi $n=4$ inn i formelen:

Dette stemmer med tabellen i b), der figur 4 har $20$ blå kvadrater.

Formel for antall blå kvadrater i figur $n$: $\underline{\underline{4n+4}}$. For figur 4 blir det $\underline{\underline{20\text{ blå kvadrater}}}$.

Funksjonen er $f(x)=20000\cdot {\mathrm{1,04}}^x$. Vi går gjennom hva hvert tall betyr.

20 000 er startbeløpet — pengene Jonas setter inn i banken før renta begynner å legge på seg.

1,04 er vekstfaktoren. Den forteller at beløpet vokser med 4 % hvert år, siden $100\%+4\%=104\%=\mathrm{1,04}$.

$x$ er antall år pengene står i banken.

Vi setter $x=15$ inn i funksjonen:

Vi regner ut på kalkulator:

Etter 15 år har Jonas omtrent $\underline{\underline{36000\mathrm{kr}}}$ i banken.

En terning har seks like sannsynlige utfall: 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

Av disse er tre partall (2, 4, 6) og tre oddetall (1, 3, 5). Sannsynligheten for hvert utfall er:

Sannsynligheten for partall og oddetall er like store. Det betyr at Masa og Agata har like stor sjanse for å gå ut med søpla, så fordelingen er $\underline{\underline{\text{rettferdig}}}$.

Skålen inneholder 4 baller: 2 gule (G) og 2 rosa (R). De trekker to baller uten tilbakelegging (én hver).

Vi bruker et valgtre. På det første trekket er sannsynligheten $\frac{2}{4}$ for gul og $\frac{2}{4}$ for rosa. Når én ball er tatt, er det bare 3 baller igjen i skålen.

Sannsynlighet for samme farge — begge gule eller begge rosa:

Sannsynlighet for ulik farge — resten av utfallene:

Sannsynligheten for ulik farge ($\frac{2}{3}$) er dobbelt så stor som sannsynligheten for samme farge ($\frac{1}{3}$). Det betyr at Agata (som går ut ved ulik farge) må gå ut med søpla i gjennomsnitt 2 av 3 ganger, mens Masa (som går ut ved samme farge) bare må gå ut 1 av 3 ganger.

Siden $\frac{2}{3}\ne \frac{1}{3}$, er dette $\underline{\underline{\text{ikke en rettferdig fordeling}}}$.

Vi lar $x$ være antall elever som skal på avslutningsfesten, og setter opp ett funksjonsuttrykk for prisen til hvert tilbud.

Tilbud 1 koster $150$ kroner per elev:

Tilbud 2 koster $75$ kroner per elev pluss $3000$ kroner i leie:

Tilbud 3 koster $7000$ kroner uansett, men bare for inntil $70$ elever:

Vi tegner de tre grafene i samme koordinatsystem i GeoGebra, med antall elever langs $x$-aksen og pris i kroner langs $y$-aksen.

Av grafen ser vi at grafene skjærer hverandre i tre punkter:

• $A=(40,6000)$: her er Tilbud 1 og Tilbud 2 like dyre.
• $B=(\mathrm{46,67},7000)$: her er Tilbud 1 og Tilbud 3 like dyre.
• $C=(\mathrm{53,33},7000)$: her er Tilbud 2 og Tilbud 3 like dyre.

For å sammenligne tilbudene sjekker vi noen elevtall og leser av prisen for hvert tilbud:

Ut fra grafen og tabellen ser vi denne sammenhengen:

• Færre enn $40$ elever: Tilbud 1 (den blå grafen, $f(x)=150x$) er billigst, siden $f(x)$ ligger lavest for små $x$-verdier.
• Nøyaktig $40$ elever: Tilbud 1 og Tilbud 2 koster akkurat det samme, $6000$ kroner.
• Mellom $40$ og ca. $53$ elever: Tilbud 2 er billigst.
• Fra ca. $54$ elever og opp til $70$ elever: Tilbud 3 er billigst, siden både Tilbud 1 og Tilbud 2 da koster mer enn $7000$ kroner.

Legg merke til at Tilbud 3 bare gjelder for inntil $70$ elever. Elevrådet må derfor ha et ganske godt anslag på hvor mange elever som kommer, før de kan velge dette tilbudet.

Hvis vi for eksempel tenker oss at det er $60$ elever på trinnet, ser vi fra tabellen at Tilbud 1 koster $9000$ kroner og Tilbud 2 koster $7500$ kroner, mens Tilbud 3 koster $7000$ kroner. Med $60$ elever bør elevrådet altså velge Tilbud 3, siden det er billigst og festen har færre enn $70$ elever.

Elevrådet bør altså velge Tilbud 1 hvis det blir få elever på festen, Tilbud 2 hvis det blir et middels antall, og Tilbud 3 hvis det blir mange elever (opptil $70$).

Vi leser av søylene i diagrammet for hver treningsform, fra 8. trinn til Vg3.

Idrettslag synker jevnt hele veien, fra $60\%$ på 8. trinn til $25\%$ på Vg3.

Treningsstudio øker kraftig, fra $21\%$ på 8. trinn til $55\%$ på Vg3. Rundt 10. trinn passerer treningsstudio idrettslag ($48\%$ mot $45\%$).

Egentrening ligger ganske stabilt gjennom hele perioden, mellom $40\%$ og $47\%$.

Annen organisert trening synker fra $22\%$ på 8. trinn til $8\%$ på Vg3.

Hovedbildet er at ungdom går bort fra organisert idrett (idrettslag og annen organisert trening) og over til egentrening og treningsstudio etter hvert som de blir eldre.

Mira sitt råd bygger på et linjediagram med tittelen «Nedgang i antall elever som er medlem i idrettslag over tid». Dette er misvisende av to grunner:

• Diagrammet viser ikke en utvikling over tid for samme elever. Det viser forskjellen mellom ulike årstrinn i det samme året (2024) — en 8.-trinnselev i 2024 er ikke den samme personen som en Vg3-elev i 2024.
• Tallene er prosentandeler, ikke antall elever. Mira sitt diagram sier «antall elever» i tittelen, men viser prosent.

Fordi Mira tolker et øyeblikksbilde som en trend over tid, kan hun ikke bruke diagrammet til å forutsi at andelen fortsetter å synke i årene som kommer. Rådet hennes bygger derfor på en feil tolkning av dataene.

Per sitt råd bruker søylediagrammet riktig: det viser at andelen elever som er medlem i idrettslag, er klart høyere på ungdomstrinnet ($60\%$, $53\%$ og $45\%$) enn i videregående skole ($34\%$, $28\%$ og $25\%$). Det er en rimelig konklusjon at en idrettshall er mest brukt hvis den ligger ved ungdomsskolen. Per burde likevel også tenke på hvor mange elever det faktisk går på hver skole (ikke bare prosentandelen), og på at treningsstudio er den treningsformen som vokser mest — det kan også påvirke hva slags hall som trengs.

Konklusjon: Per sitt råd er bedre begrunnet enn Mira sitt, fordi det bruker diagrammet riktig — som en sammenligning mellom årstrinn i samme år — mens Mira sin modell feilaktig framstiller data fra ett år som en utvikling over tid.

Vi undersøker påstandene ved å sette inn noen tall.

Påstand 1: Summen av to oddetall er et partall.

Begge summene er partall, så påstanden stemmer for disse tallene.

Påstand 2: Summen av to påfølgende heltall er et partall.

Begge summene er oddetall, så påstanden stemmer ikke for disse tallene.

Påstand 3: Summen av tre påfølgende heltall er et oddetall.

Her stemmer påstanden for det ene eksempelet, men ikke for det andre.

Ut fra tallforsøkene over kan vi si:

• Påstand 1 stemmer for alle tallene vi har prøvd — den ser ut til å stemme alltid.
• Påstand 2 stemmer ikke for noen av tallene vi har prøvd — den ser ut til å stemme aldri.
• Påstand 3 stemmer for noen tall, men ikke for andre — den stemmer noen ganger.

For å vise at dette gjelder for alle tall, ikke bare eksemplene våre, skriver vi tallene generelt med algebra.

Påstand 1. Et oddetall kan alltid skrives som $2a+1$ for et helt tall $a$ (partall er $2a$, og oddetall er ett mer). To vilkårlige oddetall er da $2a+1$ og $2b+1$. Summen blir:

Summen er 2 ganger et helt tall, altså alltid delelig med 2. Derfor er summen av to oddetall alltid et partall.

Påstand 2. To påfølgende heltall kan skrives som $n$ og $n+1$. Summen blir:

Uansett hvilket heltall $n$ er, er $2n$ et partall, og $2n+1$ er da ett mer enn et partall — altså alltid et oddetall. Derfor stemmer påstanden aldri: summen av to påfølgende heltall er alltid et oddetall, ikke et partall.

Påstand 3. Tre påfølgende heltall kan skrives som $n$, $n+1$ og $n+2$. Summen blir:

Summen er altså alltid tre ganger det midterste tallet ($n+1$). Om summen er odde eller like avhenger av om $n+1$ er odde eller like:

• Er $n$ et partall, er $n+1$ et oddetall, og $3(n+1)$ blir et oddetall (oddetall ganger 3 er alltid oddetall).
• Er $n$ et oddetall, er $n+1$ et partall, og $3(n+1)$ blir et partall.

Derfor stemmer påstand 3 noen ganger: summen er et oddetall bare når det første av de tre tallene er et partall.