10. trinn Vår 2026

Vi leser av diagrammet der linjen for menn krysser år 2021. Da ser vi at antallet arbeidsledige menn er omtrent $26000$.

Svaret kan variere litt ut fra hvordan grafen leses av, men skal ligge nær $26000$.

Vi leser av diagrammet hvor mange arbeidsledige kvinner det var i 2021 og i 2022, og finner deretter differansen.

I 2021 var antallet arbeidsledige kvinner omtrent $26000$, og i 2022 var det omtrent $21000$.

Nedgangen finner vi ved å trekke fra:

Avlesning fra en graf er ikke eksakt, så svar mellom $4500$ og $5500$ godtas også.

Vi finner først hvor mange kroner rabatten er, ved å trekke tilbudsprisen fra den opprinnelige prisen:

Rabatten i prosent finner vi ved å dele rabatten i kroner på den opprinnelige prisen, og gange med $100\%$:

Rabatten er altså $20\%$, og det stemmer med det tredje alternativet i flervalgsoppgaven.

Vi kaller den opprinnelige prisen $x$. Når prisen settes ned med $40\%$, betaler vi $100\%-40\%=60\%$ av den opprinnelige prisen. Det gir likningen

Vi løser likningen ved å dele begge sider på $\mathrm{0,60}$:

Høyttaleren kostet altså $1100\mathrm{kr}$ før rabatten.

Vi kan kontrollere svaret: $40\%$ av $1100\mathrm{kr}$ er $440\mathrm{kr}$, og $1100\mathrm{kr}-440\mathrm{kr}=660\mathrm{kr}$, som stemmer.

Vi ser på hvert tall som et produkt av tallets nummer og det neste tallet:

Vi fortsetter mønsteret på samme måte for Tall 5 og Tall 6:

De to neste tallene i mønsteret er $30$ og $42$.

Vi ser at hvert tall er nummeret på tallet, ganger nummeret pluss én. Kaller vi nummeret $n$, blir formelen for tall $n$:

Vi kontrollerer formelen for Tall 4, altså $n=4$:

Dette stemmer med tabellen, der Tall 4 er $20$.

Magnus kan enten vinne, spille remis eller tape. Til sammen må disse sannsynlighetene bli $100\%$. At Magnus ikke taper, betyr at han enten vinner eller spiller remis:

Vi kan også regne det ut som $100\%-20\%=80\%$, siden $20\%$ er sannsynligheten for tap.

$\underline{\underline{80\%}}$

I posen ligger det én hvit og én svart bonde. Sannsynligheten for at Leon trekker den hvite bonden i ett parti, er derfor

Før hvert parti legges bøndene tilbake i posen, så trekningene er uavhengige av hverandre. Vi kan sette opp et valgtre for de to trekningene:

• Parti 1: hvit ($\frac{1}{2}$) eller svart ($\frac{1}{2}$)
• Parti 2: hvit ($\frac{1}{2}$) eller svart ($\frac{1}{2}$)

For at Leon skal trekke hvit begge gangene, må vi følge grenen hvit-hvit i valgtreet. Etter produktsetningen ganger vi sannsynlighetene langs denne grenen:

$\underline{\underline{25\%}}$

Programmet starter med et sparebeløp på $6000$ kroner og en vekstfaktor på $\mathrm{1,10}$, som svarer til en rente på $10\%$ per år. While-løkka kjører helt til år ikke lenger er mindre enn 5, altså fem ganger (for år $=0,1,2,3,4$).

For hver gang løkka kjører, blir sparebeløpet ganget med vekstfaktoren $\mathrm{1,10}$, år økes med 1, og det nye sparebeløpet skrives ut. Programmet regner altså ut og skriver ut hvor mye Zara har i banken etter 1, 2, 3, 4 og 5 år, når hun sparer med en årlig rente på $10\%$.

Etter ett år har Zara $6000\cdot \mathrm{1,10}$ kroner. Etter to år er beløpet ganget med vekstfaktoren én gang til:

$\underline{\underline{7260\mathrm{kr}}}$

Zara har altså $7260$ kroner i banken etter to år.

Vi sorterer tallene fra minst til størst for å gjøre det lettere å finne median og typetall.

Gutter: $2,4,4,4,6,7,8,8,9,10,10,12$ (12 elever)

Gjennomsnittet finner vi ved å summere alle observasjonene og dele på antallet:

Det er 12 tall, altså et partall, så medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (nummer 6 og 7 i den sorterte rekka, som er 7 og 8):

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Her er det $4$, som forekommer tre ganger.

Variasjonsbredden er forskjellen mellom den største og den minste verdien:

Jenter: $5,6,6,7,8,8,8,9,9,9,10,11$ (12 elever)

De to midterste tallene (nummer 6 og 7) er begge 8:

Både $8$ og $9$ forekommer tre ganger hver, så datasettet har to typetall: $8$ og $9$.

Sammenligning. Jentene sover i snitt én time mer enn guttene ($\mathrm{8,0}\mathrm{t}$ mot $\mathrm{7,0}\mathrm{t}$), og medianen deres er også høyere ($\mathrm{8,0}\mathrm{t}$ mot $\mathrm{7,5}\mathrm{t}$). Dette viser at jentene i klassen generelt sover mer enn guttene.

Spredningen er klart størst hos guttene: variasjonsbredden er $10\mathrm{t}$ mot $6\mathrm{t}$ hos jentene. Blant guttene er det stor variasjon — en gutt sov bare $2$ timer, mens en annen sov $12$ timer. Jentenes søvnmengde ligger jevnere fordelt og nærmere den anbefalte søvnmengden.

$\underline{\underline{\text{Gutter: gjennomsnitt }\mathrm{7,0}\mathrm{t},\text{ median }\mathrm{7,5}\mathrm{t},\text{ variasjonsbredde }10\mathrm{t}}}$ $\underline{\underline{\text{Jenter: gjennomsnitt }\mathrm{8,0}\mathrm{t},\text{ median }\mathrm{8,0}\mathrm{t},\text{ variasjonsbredde }6\mathrm{t}}}$

Vi teller opp hvor mange elever som er i hver av de tre gruppene, ved å bruke tallene fra tabellen i oppgaven.

Mindre enn 8 timer: gutter $2,4,4,4,6,7$ (6 elever) og jenter $5,6,6,7$ (4 elever), til sammen $6+4=10$ elever.

8 til 10 timer: gutter $8,8,9,10,10$ (5 elever) og jenter $8,8,8,9,9,9,10$ (7 elever), til sammen $5+7=12$ elever.

Mer enn 10 timer: gutter $12$ (1 elev) og jenter $11$ (1 elev), til sammen $1+1=2$ elever.

Vi sjekker at alle 24 elevene er talt med: $10+12+2=24$.

Nå regner vi ut hvor stor andel (i prosent) hver gruppe utgjør av hele klassen:

Siden vi skal vise hvor stor andel av klassen som er i hver gruppe, passer et sektordiagram (kakediagram) godt — det viser tydelig hvordan hele klassen (100 %) er delt opp i de tre gruppene. Et søylediagram med de samme tre gruppene ville også vært et riktig valg.

Vurdering. Diagrammet viser at halvparten av klassen ($50\%$) sover den anbefalte mengden på $8$–$10$ timer. Samtidig sover over $40\%$ av elevene mindre enn anbefalt, mens $8\%$ sover mer enn anbefalt. Det betyr at nesten halve klassen ikke får den anbefalte søvnmengden. Konklusjonen er at mange elever i 10 C ikke får nok søvn.

$\underline{\underline{42\%\text{ mindre enn 8 t},50\%\text{ 8–10 t},8\%\text{ mer enn 10 t. Mange i klassen sover for lite.}}}$

Vi setter opp et funksjonsuttrykk for hvert av de tre tilbudene, der $x$ er antall timer Silje jobber:

Her er $f$ Tilbud 1 (186 kroner per time), $g$ er Tilbud 2 (1000 kroner ved oppmøte pluss 50 kroner per time), og $h$ er Tilbud 3 (beløpet dobles for hver time). Siden Silje får betalt for maks tolv timer, tegner vi grafene for $0\le x\le 12$.

Vi legger inn de tre funksjonene i GeoGebra og lar programmet finne skjæringspunktene mellom grafene:

Grafen viser at $f$ (blå), $g$ (oransje) og $h$ (grønn) skjærer hverandre i tre punkter: $A=(\mathrm{7,35},\mathrm{1367,65})$, $B=(\mathrm{10,58},\mathrm{1528,91})$ og $C=(11,\mathrm{2045,70})$.

For å sammenligne tilbudene ser vi på hvilken graf som ligger høyest i de ulike delene av intervallet $0\le x\le 12$. Vi kan sjekke dette med noen kontrollverdier:

I starten er Tilbud 3 nesten verdiløst — etter 5 timer gir det bare $32\mathrm{kr}$, mot $930\mathrm{kr}$ og $1250\mathrm{kr}$ for de to andre tilbudene. Men fordi beløpet i Tilbud 3 dobles for hver time, vokser det til slutt raskere enn de to andre tilbudene, som bare øker med et fast beløp per time.

Ut fra tabellen og grafen kan vi dele intervallet $0\le x\le 12$ inn i tre deler ved hjelp av skjæringspunktene $A$, $B$ og $C$:

• Fra $0$ til ca. $\mathrm{7,35}$ timer ligger den oransje grafen ($g$) høyest. Her lønner Tilbud 2 seg best, fordi oppmøtebeløpet på $1000\mathrm{kr}$ veier tungt når jobben er kort.
• Fra ca. $\mathrm{7,35}$ til ca. $11$ timer ligger den blå grafen ($f$) høyest. Her lønner Tilbud 1 seg best, fordi $186\mathrm{kr}$ i timen gir mer enn de to andre tilbudene i dette intervallet.
• Fra ca. $11$ til $12$ timer ligger den grønne grafen ($h$) høyest. Her lønner Tilbud 3 seg best. Doblingen gjør at beløpet vokser eksplosivt mot slutten: ved $12$ timer gir Tilbud 3 hele $4096\mathrm{kr}$, mot bare $2232\mathrm{kr}$ for Tilbud 1.

Legg merke til at skjæringspunktet mellom Tilbud 1 og Tilbud 3 ligger svært nær $x=11$: $186\cdot 11=2046$ og $2^{11}=2048$, altså nesten nøyaktig like store beløp.

Konklusjon: Silje bør velge Tilbud 2 hvis hun tror jobben tar mindre enn ca. $\underline{\underline{\mathrm{7,4}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$, Tilbud 1 hvis jobben tar mellom ca. $\underline{\underline{\mathrm{7,4}\text{ og }11\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$, og Tilbud 3 bare hvis hun er ganske sikker på at jobben vil ta $\underline{\underline{11\text{ timer eller mer}}}$ — ellers risikerer hun å tape mye penger sammenlignet med de to andre tilbudene.

Grafen viser sammenhengen $f(x)=200x-30000$, der $x$ er antall personer og $f(x)$ er overskuddet i kroner.

Vi leser av grafen ved $x=200$ personer, eller regner det ut med funksjonsuttrykket:

Med $200$ personer blir overskuddet $\underline{\underline{10000\mathrm{kr}}}$. Det er mindre enn målet på $12000$ kroner.

Maikens forslag går ut på å øke billettprisen til $300$ kroner, men lokalet har bare plass til $150$ personer. Selger de alle $150$ billettene, blir inntekten

Overskuddet blir da

som er over målet på $12000$ kroner. Det nye funksjonsuttrykket blir

Vi kan også finne hvor mange billetter de minst må selge for å nå målet, ved å løse ulikheten $g(x)\ge 12000$:

De må altså selge minst $140$ billetter, noe som er mulig siden lokalet har plass til $150$.

Magnus’ forslag går ut på å beholde billettprisen på $200$ kroner, men finne et rimeligere lokale, og selge $200$ billetter. Inntekten blir da

For at overskuddet skal bli minst $12000$ kroner, kan leia av lokalet være høyst

Det vil si at Magnus må finne et lokale som er minst $2000$ kroner billigere enn dagens lokale. Finner de for eksempel et lokale til $25000$ kroner, blir det nye funksjonsuttrykket

og med $200$ solgte billetter blir overskuddet

Vurdering: Begge forslagene kan i teorien gi et overskudd på minst $12000$ kroner. Jeg mener Maikens forslag er tryggest, fordi de allerede vet at lokalet koster $30000$ kroner og bare må selge $140$ av de $150$ mulige billettene. Magnus’ forslag er mer usikkert, siden det både forutsetter at de finner et billigere lokale, og at de klarer å selge alle de $200$ billettene. Et annet begrunnet valg, for eksempel Magnus’ forslag, gir også full uttelling så lenge begrunnelsen og funksjonsuttrykket henger sammen.

Vi velger to egne ensifrede tall, for eksempel $2$ og $7$, og følger samme framgangsmåte som Geir.

Vi setter tallene sammen til to tosifrede tall:

Vi legger sammen de to tosifrede tallene:

Vi legger sammen de to ensifrede tallene:

Til slutt deler vi den første summen på den andre:

Vi får $11$, samme svar som Geir.

Kontroll med et annet tallpar, for eksempel $4$ og $6$:

Igjen får vi $11$.

Vi lar $a$ og $b$ være to ensifrede tall. Når vi setter dem sammen til tosifrede tall, blir det ene tallet $10a+b$ (der $a$ er tiersifferet) og det andre $10b+a$ (der $b$ er tiersifferet).

Summen av de to tosifrede tallene blir

Vi ser at både leddene har $11$ som felles faktor, så vi kan skrive summen som

Til slutt deler vi denne summen på $a+b$, som er summen av de to ensifrede tallene:

Faktoren $(a+b)$ forkortes bort, og igjen står bare $\underline{\underline{11}}$. Dette viser at svaret alltid blir $11$, uansett hvilke to ensifrede tall Geir velger, så lenge $a+b$ ikke er $0$.