S2 Vår 2014

Oppgave 1-1Derivasjon av brøk og eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = \frac{3}{x^{2}}

g (x) = x \cdot e^{- 4 x}

Fasit

$f^{'} (x) = - \frac{6}{x^{3}}$

$g^{'} (x) = e^{- 4 x} (1 - 4 x)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om brøken til en potens:

f (x) = \frac{3}{x^{2}} = 3 x^{- 2}

Deriverer med potensregelen ${(x^{n})}^{'} = n \cdot x^{n - 1}$ :

f^{'} (x) = 3 \cdot (- 2) \cdot x^{- 3} = - 6 x^{- 3} = - \frac{𝟔}{𝐱^{𝟑}}

$g (x) = x \cdot e^{- 4 x}$ er et produkt av $u (x) = x$ og $v (x) = e^{- 4 x}$ .

Produktregelen: ${(u \cdot v)}^{'} = u^{'} \cdot v + u \cdot v^{'}$

Vi finner de to deriverte:

u^{'} (x) = 1 v^{'} (x) = - 4 e^{- 4 x}

Setter inn:

\begin{matrix} g^{'} (x) & = 1 \cdot e^{- 4 x} + x \cdot (- 4 e^{- 4 x}) \\ = e^{- 4 x} - 4 x \cdot e^{- 4 x} \\ = 𝐞^{- 𝟒 𝐱} (𝟏 - 𝟒 𝐱) \end{matrix}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $P$ er gitt ved

P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4, D_{P} = ℝ

Bestem $P (2)$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P (x)$ i lineære faktorer.

Fasit

$P (2) = 0$

$P (x) = {(x - 2)}^{2} (x + 1)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter inn $x = 2$ direkte i $P (x)$ :

P (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2^{2} + 4 = 8 - 12 + 4 = 𝟎

Siden $P (2) = 0$ , vet vi at $(x - 2)$ er en faktor i $P (x)$ .

Vi utfører polynomdivisjon $(x^{3} - 3 x^{2} + 4) : (x - 2)$ :

\begin{matrix} (x^{3} - 3 x^{2} + 0 x + 4 & ) : (x - 2) = x^{2} - x - 2 \\ x^{3} - 2 x^{2} + 0 x + 0 \\ - 1 x^{2} + 0 x + 4 \\ - 1 x^{2} + 2 x + 0 \\ - 2 x + 4 \\ - 2 x + 4 \\ 0 \end{matrix}

Altså er $P (x) = (x - 2) (x^{2} - x - 2)$ .

Vi faktoriserer andregradsleddet $x^{2} - x - 2$ med abc-formelen:

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}

Dette gir $x = 2$ eller $x = - 1$ , så $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ .

Dermed er

𝐏 (𝐱) = {(𝐱 - 𝟐)}^{𝟐} (𝐱 + 𝟏)

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Aritmetiske rekker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem summen av den aritmetiske rekken $3 + 6 + \dots + 300$

Bestem $a_{2}$ slik at rekken $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ blir aritmetisk når $a_{1} = 4$ og $a_{n} = a_{n - 2} + 8$ , $n \geq 3$ .

Fasit

$S_{100} = 15 150$

$a_{2} = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har den aritmetiske rekken $3 + 6 + 9 + \dots + 300$ .

Differansen er $d = 6 - 3 = 3$ .

Vi finner antall ledd ved å bruke formelen for det $n$ -te leddet:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

300 = 3 + (n - 1) \cdot 3

297 = (n - 1) \cdot 3

n - 1 = 99 ⟹ n = 100

Rekken har 100 ledd. Vi bruker sumformelen:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

S_{100} = \frac{3 + 300}{2} \cdot 100 = \frac{303}{2} \cdot 100 = 151,5 \cdot 100 = 15 150

I en aritmetisk rekke er differansen $d$ konstant, det vil si:

a_{n} - a_{n - 1} = d for alle n \geq 2

Da er også:

a_{n} - a_{n - 2} = 2 d

Vi får oppgitt at $a_{n} = a_{n - 2} + 8$ , altså $a_{n} - a_{n - 2} = 8$ .

Derfor er $2 d = 8$ , som gir $d = 4$ .

Siden $a_{1} = 4$ og $d = 4$ :

a_{2} = a_{1} + d = 4 + 4 = 8

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Rekker, Tallfølger
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Billettinntekter og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en konsert var billettprisen 100 kroner for voksne, 50 kroner for barn og 60 kroner for pensjonister. Det ble solgt 80 billetter til konserten. Billettinntektene var i alt 5 000 kroner. Det ble solgt like mange billetter til barn som til voksne og pensjonister til sammen.

Sett opp et likningssystem og bruk dette til å bestemme antall voksne, antall barn og antall pensjonister som kjøpte billett til konserten.

Fasit

15 voksne, 40 barn, 25 pensjonister.

LøsningsforslagKI-generert

La $x$ = antall voksne, $y$ = antall barn og $z$ = antall pensjonister.

Vi setter opp likningssystemet:

\begin{matrix} 100 x + 50 y + 60 z & = 5000 (i) \\ x + y + z & = 80 (ii) \\ y & = x + z (iii) \end{matrix}

Steg 1 – sett inn (iii) i (ii):

Fra (iii) har vi $y = x + z$ . Vi setter dette inn i (ii):

x + (x + z) + z = 80

2 x + 2 z = 80

x + z = 40 (iv)

Fra (iii) følger det da at $y = 40$ .

Steg 2 – finn $x$ og $z$ :

Vi setter $y = 40$ inn i (i):

100 x + 50 \cdot 40 + 60 z = 5000

100 x + 2000 + 60 z = 5000

100 x + 60 z = 3000 (v)

Nå har vi to likninger med to ukjente:

\begin{matrix} x + z & = 40 (iv) \\ 100 x + 60 z & = 3000 (v) \end{matrix}

Fra (iv): $x = 40 - z$ . Vi setter inn i (v):

100 (40 - z) + 60 z = 3000

4000 - 100 z + 60 z = 3000

- 40 z = - 1000

z = 25

Da er $x = 40 - 25 = 15$ .

Svar: Det var $15 voksne$ , $40 barn$ og $25 pensjonister$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Økonomi
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Funksjonsdrøfting med derivertgraf

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon $f$ .

Graf av f'(x)

Bruk grafen til å bestemme $x$ -koordinaten til eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til $f$ . Avgjør hvor grafen til $f$ vokser, og hvor den minker.

Punktet $(4, 3)$ ligger på grafen til $f$ . Bestem likningen til tangenten i dette punktet.

Tegn fortegnslinjen til $f^{''} (x)$ . Bruk denne til å bestemme $x$ -koordinaten til vendepunktet på grafen til $f$ .

Lag en mulig skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt i $x = - 2$ , bunnpunkt i $x = 6$ . $f$ vokser for $x < - 2$ og $x > 6$ , avtar for $- 2 < x < 6$ .

$y = - 3 x + 15$

Vendepunkt i $x = 2$

Se skisse i løsningsforslag

LøsningsforslagKI-generert

Fra grafen til $f^{'}$ leser vi av at:

f^{'} (- 2) = 0 og f^{'} (6) = 0

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{'} (x)$ :

Fortegnslinje for f'(x) med sjablongkurve for f(x)

$f$ har toppunkt i $x = - 2$ og bunnpunkt i $x = 6$ .

$f$ vokser for $x < - 2$ og for $x > 6$ .

$f$ avtar for $- 2 < x < 6$ .

Punktet $(4, 3)$ ligger på grafen til $f$ , så $f (4) = 3$ .

Fra grafen leser vi av $f^{'} (4) \approx - 3$ .

Tangentens ligning i punktet $(4, 3)$ med stigningstall $f^{'} (4) = - 3$ :

y - 3 = - 3 (x - 4)

y = - 3 x + 12 + 3

y = - 3 x + 15

$f^{''} (x)$ er den deriverte av $f^{'} (x)$ . Fra grafen til $f^{'}$ ser vi at $f^{'}$ har et bunnpunkt (minimumspunkt) ved $x = 2$ , det vil si at $f^{'}$ slutter å avta og begynner å vokse i $x = 2$ .

Fortegnslinje for $f^{''} (x)$ :

Fortegnslinje for f''(x)

$f^{''}$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x = 2$ , så $f$ har et vendepunkt i $x = 2$ .

Fra informasjonen over kan vi skissere $f$ :

$f$ vokser og er konveks for $x < - 2$ (siden $f^{''} < 0$ for $x < 2$ , der kurvaturen er negativ)

Mer presist: $f^{'} > 0$ og $f^{''} < 0$ for $x < - 2$ (voksende, konkav)
$f$ har toppunkt i $x = - 2$
$f$ avtar og er konkav (bueformet nedover) for $- 2 < x < 2$ ( $f^{'} < 0$ , $f^{''} < 0$ )
Vendepunkt i $x = 2$ : her er $f (2)$ et punkt der kurven skifter krumning
$f$ avtar og er konveks (bueformet oppover) for $2 < x < 6$ ( $f^{'} < 0$ , $f^{''} > 0$ )
$f$ har bunnpunkt i $x = 6$
$f$ vokser for $x > 6$ ( $f^{'} > 0$ , $f^{''} > 0$ )

En mulig skisse viser en kurve som:

starter høyt til venstre og vokser mot toppunktet ved $x = - 2$
deretter avtar med et vendepunkt (der buen snur) ved $x = 2$
fortsetter ned til bunnpunktet ved $x = 6$
deretter vokser igjen mot høyre

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 7
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Graftolkning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Binomiske fordelinger og histogrammer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurene nedenfor viser fordelingene til de fire binomiske variablene $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ og $X_{4}$ .

Vi får opplyst at

$X_{1}$ har 10 delforsøk og $p = 0,6$ er sannsynligheten for suksess.
$X_{2}$ har 100 delforsøk og $p = 0,06$ er sannsynligheten for suksess.
$X_{3}$ har 10 delforsøk og $p = 0,4$ er sannsynligheten for suksess.
$X_{4}$ har 50 delforsøk og $p = 0,1$ er sannsynligheten for suksess.

Fire histogrammer for binomiske fordelinger

Hvilken av de grafiske framstillingene nedenfor illustrerer $X_{1}$ ? Avgjør også hvilken grafisk framstilling som illustrerer henholdsvis $X_{2}$ , $X_{3}$ og $X_{4}$ . Begrunn svarene.

For den ene variabelen er $P (X \geq 10) = 0,0775$ . Hvilken variabel er dette?

Hvilken av de fire binomiske variablene har størst standardavvik?

Fasit

Graf (2) illustrerer $X_{1}$ , graf (4) illustrerer $X_{3}$ , graf (1) illustrerer $X_{4}$ , graf (3) illustrerer $X_{2}$ .

$P (X \geq 10) = 0,0775$ gjelder $X_{2}$ .

$X_{2}$ har størst standardavvik: $SD (X_{2}) \approx 2,37$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker forventningsverdien $E (X) = n p$ og antall mulige verdier ( $0, 1, \dots, n$ ) til å identifisere histogrammene.

Variabel	$n$	$p$	$E (X) = n p$	Mulige verdier
$X_{1}$	10	0,6	6	0–10
$X_{2}$	100	0,06	6	0–100 (spredt over mange verdier)
$X_{3}$	10	0,4	4	0–10
$X_{4}$	50	0,1	5	0–50 (spredt over mange verdier)

Skille mellom grafene:

Graf (2) og (4) har $x$ -akse fra 0 til 10 — disse passer $X_{1}$ og $X_{3}$ som begge har $n = 10$ .

Graf (2) har topp ved $x \approx 6$ , noe som passer $E (X_{1}) = 10 \cdot 0,6 = 𝟔$ $\Rightarrow$ graf (2) er $X_{1}$
Graf (4) har topp ved $x \approx 4$ , noe som passer $E (X_{3}) = 10 \cdot 0,4 = 𝟒$ $\Rightarrow$ graf (4) er $X_{3}$

Graf (1) og (3) strekker seg over flere verdier — disse passer $X_{2}$ og $X_{4}$ .

Graf (1) har topp ved $x \approx 5$ , noe som passer $E (X_{4}) = 50 \cdot 0,1 = 𝟓$ $\Rightarrow$ graf (1) er $X_{4}$
Graf (3) har topp ved $x \approx 6$ , noe som passer $E (X_{2}) = 100 \cdot 0,06 = 𝟔$ $\Rightarrow$ graf (3) er $X_{2}$

Vi beregner $P (X \geq 10) = 1 - P (X \leq 9)$ for hver variabel.

For $X_{1}$ (n=10, p=0,6): $P (X_{1} \geq 10) = P (X_{1} = 10) = {0,6}^{10} \approx 0,0060$

For $X_{3}$ (n=10, p=0,4): $P (X_{3} \geq 10) = P (X_{3} = 10) = {0,4}^{10} \approx 0,0001$

For $X_{4}$ (n=50, p=0,1): $P (X_{4} \geq 10) \approx 0,0245$

For $X_{2}$ (n=100, p=0,06): $P (X_{2} \geq 10) \approx 0,0775$ ✓

$X_{2}$ er variabelen med $P (X \geq 10) = 0,0775$ .

Standardavviket for en binomisk fordelt variabel er $SD (X) = \sqrt{n p (1 - p)}$ .

SD (X_{1}) = \sqrt{10 \cdot 0,6 \cdot 0,4} = \sqrt{2,4} \approx 1,55

SD (X_{2}) = \sqrt{100 \cdot 0,06 \cdot 0,94} = \sqrt{5,64} \approx 𝟐,𝟑𝟕

SD (X_{3}) = \sqrt{10 \cdot 0,4 \cdot 0,6} = \sqrt{2,4} \approx 1,55

SD (X_{4}) = \sqrt{50 \cdot 0,1 \cdot 0,9} = \sqrt{4,5} \approx 2,12

$X_{2}$ har størst standardavvik med $SD (X_{2}) \approx 2,37$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Binomisk fordeling, Diagram, Statistikk, Forventningsverdi, Varians og standardavvik
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 2-1Geometrisk rekke av halvsirkler

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er $2 r$ . Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående.

Vi lar $O_{n}$ være lengden av halvsirkelbue nummer $n$ .

Rekke av halvsirkler med avtagende diameter

For hånd

Forklar at $O_{1} + O_{2} + O_{3} + \dots$ blir en uendelig, geometrisk rekke.

For hånd

Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret.

Fasit

Uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = π r$ og $k = \frac{1}{2}$

$S = 2 π r$

LøsningsforslagKI-generert

Diameteren til halvsirkel $n$ er halvparten av diameteren til halvsirkel $n - 1$ . Siden diameteren til den første halvsirkelen er $2 r$ , er diameteren til halvsirkel $n$ lik $\frac{2 r}{2^{n - 1}}$ .

Radiusen til halvsirkel $n$ er da:

r_{n} = \frac{r}{2^{n - 1}}

Lengden av halvsirkelbue $n$ er halve omkretsen av en sirkel med radius $r_{n}$ :

O_{n} = π \cdot r_{n} = \frac{π r}{2^{n - 1}}

De første leddene blir:

O_{1} = π r, O_{2} = \frac{π r}{2}, O_{3} = \frac{π r}{4}, \dots

Vi ser at hvert ledd er forrige ledd multiplisert med $\frac{1}{2}$ :

\frac{O_{n + 1}}{O_{n}} = \frac{π r / 2^{n}}{π r / 2^{n - 1}} = \frac{1}{2}

Kvotienten er konstant, så $O_{1} + O_{2} + O_{3} + \dots$ er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = π r$ og kvotient $k = \frac{1}{2}$ .

Siden $| k | = \frac{1}{2} < 1$ er rekken konvergent, og summen er:

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{π r}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{π r}{\frac{1}{2}} = 𝟐 𝛑 𝐫

Kommentar: Summen $2 π r$ er lik omkretsen til en hel sirkel med radius $r$ — altså den sirkelen som den første halvsirkelen (med diameter $2 r$ ) er halvparten av. Summen av uendelig mange stadig mindre halvsirkelbuer er det dobbelte av den første buen $O_{1} = π r$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Modellering av jervedata med regresjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tabellen nedenfor viser antall jerv som er registrert døde i noen utvalgte år.

Årstall	1990	1995	2000	2005	2010
Antall døde jerv	2	16	41	63	105

Krever PC

Bruk opplysningene i tabellen til å lage en modell som viser antall døde jerv $x$ år etter 1990. Gi en begrunnelse for modellen din.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange jerv kan vi forvente blir registrert døde i 2014 ifølge modellen?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange jerv forventes registrert døde til sammen i årene 1990–2014?

Fasit

$h (x) = \frac{168,88}{1 + 22,75 \cdot e^{- 0,180 x}}$ (logistisk regresjon)

$h (24) \approx 130$ døde jerv

$\int_{0}^{24} h (x) d x \approx 1328$ jerv totalt

LøsningsforslagKI-generert

Logistisk regresjonsmodell for jervedata

Vi ønsker en modell $h (x)$ der $x$ er antall år etter 1990 og $h (x)$ er antall jerv registrert døde det året.

Dataene viser at antall døde jerv øker raskt i starten, men at vekstfarten trolig vil flate ut over tid — det er naturlig å anta at jervebestanden har en bærekapasitet. Derfor velger vi en logistisk modell fremfor eksponentialmodell eller polynommodell.

En lineær eller eksponentiell modell vil gi ubegrenset vekst, noe som er biologisk urealistisk. Den logistiske modellen flater ut mot et maksimumsverdi (bestandens øvre grense).

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og kjører RegLogist:

h (x) = \frac{168,88}{1 + 22,75 \cdot e^{- 0,180 x}}

Modellen passer godt med de målte verdiene (se graf).

År 2014 er $x = 2014 - 1990 = 24$ år etter 1990.

h (24) = \frac{168,88}{1 + 22,75 \cdot e^{- 0,180 \cdot 24}} = \frac{168,88}{1 + 22,75 \cdot e^{- 4,32}} \approx 130

Ifølge modellen forventes det at ca. 130 jerv blir registrert døde i 2014.

Det samlede antallet jerv registrert døde fra 1990 til 2014 beregner vi som integralet av modellen:

\int_{0}^{24} h (x) d x = \int_{0}^{24} \frac{168,88}{1 + 22,75 \cdot e^{- 0,180 x}} d x \approx 1328

I GeoGebra: Integral(h, 0, 24) gir ca. $1328$ .

Til sammen forventes ca. 1328 jerv registrert døde i perioden 1990–2014.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Regresjon, Modellering, Eksponentialfunksjon, Rekker
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Grenseinntekt og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Ved en markedsanalyse har de funnet ut at når prisen er $p$ kroner per enhet, får de solgt $x$ enheter av varen slik tabellen viser.

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Krever PC

Bruk lineær regresjon til å bestemme et uttrykk $p (x)$ for prisen $p$ . Bruk dette til å bestemme et uttrykk $I (x)$ for inntektsfunksjonen $I$ .

Bedriften har funnet ut at kostnadene $K (x)$ (målt i kroner) ved produksjon og salg av $x$ enheter er gitt ved

K (x) = 0,03 x^{2} + 15 x + 605 000

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem grenseinntektene og grensekostnadene ved produksjon og salg av 3 000 enheter. Forklar hvordan vi ut fra dette kan avgjøre om bedriften bør øke eller redusere produksjonsmengden.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Løs ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ . Hva forteller svaret oss?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge for at overskuddet skal bli størst mulig?

Fasit

$p (x) \approx - 0,224 x + 2219$ , $I (x) \approx - 0,2242 x^{2} + 2219,17 x$

$I^{'} (3000) \approx 874$ kr, $K^{'} (3000) = 195$ kr. Siden grenseinntekten er større enn grensekostnaden, bør bedriften øke produksjonen.

$I^{'} (x) > K^{'} (x)$ for $x < 4335$ . Så lenge produksjonen er under ca. 4 335 enheter, øker overskuddet ved å produsere én enhet til.

Maksimalt overskudd ved $x \approx 4335$ enheter.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker lineær regresjon på datapunktene fra tabellen:

$x$	98	510	751	990
$p$	2200	2100	2050	2000

Lineær regresjon gir

p (x) \approx - 0,2242 x + 2219,17 \approx - 0,224 x + 2219

Inntektsfunksjonen er $I (x) = x \cdot p (x)$ :

I (x) = x (- 0,2242 x + 2219,17) = - 0,2242 x^{2} + 2219,17 x

Vi deriverer inntektsfunksjonen og kostnadsfunksjonen:

I^{'} (x) = - 0,4484 x + 2219,17

K^{'} (x) = 0,06 x + 15

Grenseinntekt ved $x = 3000$ :

I^{'} (3000) = - 0,4484 \cdot 3000 + 2219,17 = - 1345,2 + 2219,17 \approx 874 kr

Grensekostnad ved $x = 3000$ :

K^{'} (3000) = 0,06 \cdot 3000 + 15 = 180 + 15 = 195 kr

Siden grenseinntekten ( $874$ kr) er større enn grensekostnaden ( $195$ kr), vil én ekstra enhet gi mye mer i inntekt enn den koster å produsere. Bedriften bør øke produksjonen.

Vi løser ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ :

- 0,4484 x + 2219,17 > 0,06 x + 15

2219,17 - 15 > 0,06 x + 0,4484 x

2204,17 > 0,5084 x

x < \frac{2204,17}{0,5084} \approx 4335

Ulikheten $I^{'} (x) > K^{'} (x)$ gjelder for $x < 4335$ .

Tolkning: Så lenge bedriften produserer færre enn ca. 4 335 enheter, er grenseinntekten større enn grensekostnaden — det vil si at hver ekstra enhet gir mer inntekt enn den koster. Det lønner seg å øke produksjonen inntil $x \approx 4335$ .

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x)$ . Maksimalt overskudd oppnås når $O^{'} (x) = 0$ , det vil si når $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ :

- 0,4484 x + 2219,17 = 0,06 x + 15

2204,17 = 0,5084 x

x = \frac{2204,17}{0,5084} \approx 4335

Bedriften bør produsere og selge ca. 4 335 enheter for å maksimere overskuddet.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Grenseinntekt og grensekostnad, Økonomi, Regresjon, Ulikheter, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Optimering av container uten lokk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har fått bestilling på en container som skal ha form som et rett prisme uten lokk. Volumet til containerne skal være $10 m^{3}$ . Lengden skal være dobbelt så stor som bredden.

Vi lar høyden være $h$ m, bredden $x$ m og lengden $2 x$ m. Se skissen nedenfor.

Skisse av container som rektangulært prisme

Kalkulator

Vis at høyden $h$ av containeren er gitt ved

h = \frac{5}{x^{2}}

Materialet til bunnen koster 100 kroner per kvadratmeter. Materialet til de fire sidene koster 60 kroner per kvadratmeter.

Kalkulator

Vis at kostnadene kan skrives som

K (x) = 200 x^{2} + \frac{1800}{x}

Kalkulator

Bestem lengde, bredde og høyde i containeren slik at kostnadene ved å produsere containeren blir minst mulig.

Bestem den minste kostnaden ved å produsere containeren.

Fasit

Se løsningsforslag.

Bredde $x \approx 1,65$ m, lengde $2 x \approx 3,30$ m, høyde $h \approx 1,83$ m. Minste kostnad $K \approx 1635$ kr.

LøsningsforslagKI-generert

Volumet av containeren er lengde $\times$ bredde $\times$ høyde:

V = 2 x \cdot x \cdot h = 2 x^{2} h

Siden volumet skal være $10 m^{3}$ :

2 x^{2} h = 10

h = \frac{10}{2 x^{2}} = \frac{5}{x^{2}}

Bunnen har areal $2 x \cdot x = 2 x^{2}$ .

De fire sidene er to store sider (lengde $\times$ høyde) og to små sider (bredde $\times$ høyde):

A_{sider} = 2 \cdot (2 x \cdot h) + 2 \cdot (x \cdot h) = 4 x h + 2 x h = 6 x h

Vi setter inn $h = \frac{5}{x^{2}}$ :

A_{sider} = 6 x \cdot \frac{5}{x^{2}} = \frac{30}{x}

Kostnadsfunksjonen blir:

K (x) = 100 \cdot 2 x^{2} + 60 \cdot \frac{30}{x} = 200 x^{2} + \frac{1800}{x}

Vi finner $K^{'} (x)$ :

K^{'} (x) = 400 x - \frac{1800}{x^{2}}

Setter $K^{'} (x) = 0$ :

400 x - \frac{1800}{x^{2}} = 0

400 x = \frac{1800}{x^{2}}

400 x^{3} = 1800

x^{3} = \frac{1800}{400} = 4,5

x = \sqrt[3]{4,5} \approx 1,651 m

Siden $K^{'} (x) < 0$ for $x < \sqrt[3]{4,5}$ og $K^{'} (x) > 0$ for $x > \sqrt[3]{4,5}$ , er dette et minimum.

Dimensjonene blir:

Bredde: $x \approx 1,65$ m
Lengde: $2 x \approx 3,30$ m
Høyde: $h = \frac{5}{x^{2}} = \frac{5}{{(\sqrt[3]{4,5})}^{2}} \approx 1,83$ m

Minste kostnad:

K (\sqrt[3]{4,5}) = 200 \cdot {(\sqrt[3]{4,5})}^{2} + \frac{1800}{\sqrt[3]{4,5}} \approx 200 \cdot 2,724 + \frac{1800}{1,651} \approx 545 + 1090 \approx 1635 kr

Den minste kostnaden er omtrent 1635 kr.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Optimering, Volum, Derivasjon
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I sikkerhetskontrollen på en flyplass blir i gjennomsnitt hver tiende passasjer tilfeldig trukket ut for en grundigere kontroll. Om én passasjer blir trukket ut, kan vi se på som et binomisk forsøk med $p = 0,10$ .

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at tre gitte personer som går etter hverandre gjennom sikkerhetskontrollen, blir trukket ut.

Vi lar $X$ være antallet som blir trukket ut av 1000 passasjerer.

Kalkulator

Bestem forventningsverdien $E (X)$ og standardavviket $SD (X)$ .

Flyplasspersonalet har en mistanke om at for mange personer blir trukket ut. Av 1000 passasjerer viste det seg at 110 ble trukket ut.

Kalkulator

Sett opp en hypotesetest med signifikansnivå 5 %. Avgjør om flyplasspersonalet har grunn til mistanke.

Fasit

$P = 0,001 = 0,1 %$

$E (X) = 100$ , $SD (X) = \sqrt{90} \approx 9,49$

$P (X \geq 110) \approx 15,83 %$ . Siden $15,83 % > 5 %$ , beholder vi $H_{0}$ . Flyplasspersonalet har ikke grunnlag for mistanke.

LøsningsforslagKI-generert

Vi betrakter trekkingen av hver passasjer som et uavhengig binomisk forsøk med sannsynlighet $p = 0,10$ for å bli trukket ut.

Sannsynligheten for at tre bestemte personer på rad alle blir trukket ut er

P = {0,10}^{3} = 0,001 = 0,1 %

$X$ er binomisk fordelt med $n = 1000$ og $p = 0,10$ .

E (X) = n p = 1000 \cdot 0,10 = 100

SD (X) = \sqrt{n p (1 - p)} = \sqrt{1000 \cdot 0,10 \cdot 0,90} = \sqrt{90} \approx 9,49

Vi forventer altså at 100 av 1000 passasjerer trekkes ut, med et standardavvik på cirka 9,49.

Vi setter opp en ensidig hypotesetest:

$H_{0}$ : $p = 0,10$ (andelen som trekkes ut er som forventet)
$H_{1}$ : $p > 0,10$ (for mange trekkes ut)
Signifikansnivå: $α = 5 %$

Vi observerer at 110 av 1000 passasjerer ble trukket ut. Vi beregner sannsynligheten for å få 110 eller flere når $H_{0}$ er sann, ved hjelp av binomisk fordeling med $n = 1000$ og $p = 0,10$ :

P (X \geq 110) \approx 0,1583 = 15,83 %

Siden $p$ -verdien $15,83 %$ er større enn signifikansnivået $5 %$ , beholder vi $H_{0}$ .

Konklusjon: Flyplasspersonalet har ikke statistisk grunnlag for mistanke om at for mange trekkes ut.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Forventningsverdi, Sannsynlighet
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Avbetalingslån og sparerente

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7 995 kroner. Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner.

Kalkulator

Forklar at dersom terminbeløpet er $x$ kroner, så vil

\frac{x}{1,016} + \frac{x}{{1,016}^{2}} + \dots + \frac{x}{{1,016}^{36}} = 8025

Løs denne likningen.

Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet.

Kalkulator

Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken?

Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8 107 kroner på kontoen.

Kalkulator

Bestem den månedlige renten (i prosent) Elise fikk i banken.

Fasit

$x \approx 295$ kr

Månedlig bankrente $\approx 1,5 %$

Månedlig sparerente $\approx 0,70 %$

LøsningsforslagKI-generert

Frida betaler 36 månedlige terminbeløp på $x$ kroner. Det første beløpet betales om én måned.

Nåverdien av hvert terminbeløp:

Beløpet som betales om $k$ måneder, er verdt $\frac{x}{{1,016}^{k}}$ kroner i dag.

Nåverdien av alle 36 terminbeløpene til sammen er:

\frac{x}{1,016} + \frac{x}{{1,016}^{2}} + \dots + \frac{x}{{1,016}^{36}}

Dette skal være lik kjøpesum + engangsgebyr = $7995 + 30 = 8025$ kroner:

\frac{x}{1,016} + \frac{x}{{1,016}^{2}} + \dots + \frac{x}{{1,016}^{36}} = 8025

Løsning: Venstresiden er en geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = \frac{x}{1,016}$ , kvotient $k = \frac{1}{1,016}$ og $n = 36$ ledd.

Summen er:

S = a_{1} \cdot \frac{1 - k^{n}}{1 - k} = \frac{x}{1,016} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{1,016})}^{36}}{1 - \frac{1}{1,016}} = x \cdot \frac{1 - {1,016}^{- 36}}{0,016}

Vi setter inn og løser:

x \cdot \frac{1 - {1,016}^{- 36}}{0,016} = 8025

x = \frac{8025 \cdot 0,016}{1 - {1,016}^{- 36}} \approx \frac{128,4}{0,4352} \approx 295

Terminbeløpet er 295 kroner.

I banken låner Frida selve kjøpesummen på 7995 kroner (engangsgebyret på 30 kroner gjaldt bare butikkens avbetalingsordning). Nåverdien av de 36 terminbeløpene på 289 kroner skal være lik lånebeløpet:

289 \cdot \frac{1 - {(1 + r)}^{- 36}}{r} = 7995

Denne likningen løses numerisk. Vi prøver $r = 0,015$ :

289 \cdot \frac{1 - {1,015}^{- 36}}{0,015} \approx 289 \cdot 27,66 \approx 7995

Den månedlige bankrenten er $r \approx 0,015$ , det vil si $1,5 %$ .

Elise setter inn 650 kroner månedlig. Etter den 12. innbetalingen har hun 8 107 kroner.

Sluttverdien av 12 termininnbetalinger med månedlig rente $i$ er:

650 \cdot \frac{{(1 + i)}^{12} - 1}{i} = 8107

Vi løser numerisk. Vi prøver $i = 0,0070$ :

650 \cdot \frac{{1,0070}^{12} - 1}{0,0070} \approx 650 \cdot 12,47 \approx 8107

Den månedlige sparerenten er $i \approx 0,0070$ , det vil si ca. 0,70 %.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Annuitetslån, Sparing, Rente, Geometrisk rekke
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Oppgave 2-7Geometrisk rekke for medisin i kropp

Kalkulator

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av seks timer.

En pasient får én tablett hver tolvte time.

Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk?

Fasit

80 mg

LøsningsforslagKI-generert

Like etter at pasienten tar en ny tablett, inneholder kroppen:

Siste tablett: 60 mg (akkurat tatt)
Forrige tablett (tatt for 12 timer siden): halveres to ganger, altså $60 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} = 60 \cdot \frac{1}{4}$ mg
Tabletten før det igjen (tatt for 24 timer siden): $60 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4}$ mg
Og så videre …

Den totale mengden er summen av en uendelig geometrisk rekke:

S = 60 + 60 \cdot \frac{1}{4} + 60 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} + 60 \cdot {(\frac{1}{4})}^{3} + \dots

Her er $a_{1} = 60$ og kvotienten $k = \frac{1}{4}$ .

Siden $| k | < 1$ , konvergerer rekken, og summen er:

S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{60}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{60}{\frac{3}{4}} = 60 \cdot \frac{4}{3} = 80 mg

Maksimalt vil 80 mg av stoffet samles i kroppen etter lang tids bruk.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Rekker, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-7 for seg selv

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1Derivasjon av brøk og eksponentialfunksjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-3Aritmetiske rekker

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-4Billettinntekter og likningssystem

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-5Funksjonsdrøfting med derivertgraf

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 1-6Binomiske fordelinger og histogrammer

Forstå oppgaven med en KI

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1Geometrisk rekke av halvsirkler

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-2Modellering av jervedata med regresjon

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-3Grenseinntekt og grensekostnad

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-4Optimering av container uten lokk

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-5Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-6Avbetalingslån og sparerente

Forstå oppgaven med en KI

Oppgave 2-7Geometrisk rekke for medisin i kropp

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Del 1uten hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av brøk og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2·Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Oppgave 1-3·Aritmetiske rekker

Oppgave 1-4·Billettinntekter og likningssystem

Oppgave 1-5·Funksjonsdrøfting med derivertgraf

Oppgave 1-6·Binomiske fordelinger og histogrammer

Del 2alle hjelpemidler · 3 timer · 7 oppgaver · 36 poeng

Oppgave 2-1·Geometrisk rekke av halvsirkler

Oppgave 2-2·Modellering av jervedata med regresjon

Oppgave 2-3·Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 2-4·Optimering av container uten lokk

Oppgave 2-5·Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Oppgave 2-6·Avbetalingslån og sparerente

Oppgave 2-7·Geometrisk rekke for medisin i kropp

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av brøk og eksponentialfunksjon

Oppgave 1-2Polynomdivisjon og faktorisering (s2 v14)

Oppgave 1-3Aritmetiske rekker

Oppgave 1-4Billettinntekter og likningssystem

Oppgave 1-5Funksjonsdrøfting med derivertgraf

Oppgave 1-6Binomiske fordelinger og histogrammer

Oppgave 2-1Geometrisk rekke av halvsirkler

Oppgave 2-2Modellering av jervedata med regresjon

Oppgave 2-3Grenseinntekt og grensekostnad

Oppgave 2-4Optimering av container uten lokk

Oppgave 2-5Binomisk fordeling i sikkerhetskontroll

Oppgave 2-6Avbetalingslån og sparerente

Oppgave 2-7Geometrisk rekke for medisin i kropp