S1 Eksempeloppgave 2015

LK06 19 oppgaver 59 poeng 5 timer

0 av 19 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Eksempeloppgave 2015 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 13 oppgaver · 35 poeng
1	Derivasjon av to polynomfunksjoner	—
2	Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk	—
3	Konjugatsetningen i hoderegning	—
4	Skjæringspunkt mellom parabel og linje	—
5	Tre likninger med potenser og andregrad	—
6	Formel for x og likningssystem med parabel	—
7	Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon	—
7	Definisjonen av den deriverte	—
9	Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning	—
10	Pascals trekant og binomialkoeffisienter	—
11	Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem	—
12	Graf av rasjonal funksjon med asymptoter	—
13	Skravere område avgrenset av fire ulikheter	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 6 oppgaver · 24 poeng
1	Rett prisme med likningssystem og CAS	—
2	Andregradsregresjon for brødproduksjon	—
3	Binomisk forsøk i Abelkonkurransen	—
4	Lineær optimering av pukk og veigrus	—
5	Maksimalt volum av eske med side a	—
6	Bestem a og b fra toppunkt og tangent	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 13 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av to polynomfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $f'(x)$ når $f(x) = 3x^2 - 4x + 2$ .

Bestem $g'(2)$ når $g(x) = 3x^3 - 3$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Polynomfunksjoner

Oppgave 1-2 : Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2^{-1} \cdot a \cdot b^{-1}}{4^{-1} \cdot a^{-2} \cdot b^2}

\lg(a^2 \cdot b) + \lg(a \cdot b^2) + \lg\left(\frac{a}{b^3}\right)

\frac{3a^2 - 75}{6a + 30}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk

Oppgave 1-3 : Konjugatsetningen i hoderegning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk konjugatsetningen (3. kvadratsetning) til å regne ut

\frac{61^2 - 39^2}{51^2 - 49^2}

1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Konjugatsetningen, Faktorisering

Oppgave 1-4 : Skjæringspunkt mellom parabel og linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f(x) = x^2 - x - 2$ og $g(x) = x + 1$ er gitt.

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Skjæringspunkt, Andregradslikninger, Funksjoner

Oppgave 1-5 : Tre likninger med potenser og andregrad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

3x^2 = 18 - 3x

3 \cdot 2^x = 24

3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 + 3^8 = 3^x

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Andregradslikninger, Potensregning

Oppgave 1-6 : Formel for x og likningssystem med parabel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem en formel for $x$ uttrykt ved $a$ , $y$ og $b$ når $y = a \cdot b^x$ .

Løs likningssystemet

\begin{cases} y = x^2 - 3x - 2 \\ y + 2 = 2x \end{cases}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger

Oppgave 1-7 : Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bestem $f'(x)$ .

Tegn fortegnslinjen til $f'(x)$ og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på grafen til $f$ . Lag en skisse av grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Fortegnslinje

Oppgave 1-7 : Definisjonen av den deriverte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = x^2 + 2x \quad , \quad D_f = \mathbb{R}

Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at $f'(x) = 2x + 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi

Oppgave 1-9 : Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.

x^2 + 5x + 6 = 0 \quad \square \quad x = -2

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger

Oppgave 1-10 : Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er det tegnet et utsnitt av Pascals trekant. Vi har markert trekanttallene $a_n$ og delsummene $S_n$ av disse.

Utsnitt av Pascals trekant med markerte trekanttall og delsummer

Skriv av og fyll ut tabellen.

$n$	$a_n$	$a_n$	$S_n$	$S_n$
1	1	$\binom{2}{2}$	1	$\binom{3}{3}$
2	3	$\binom{3}{2}$	4
3	6		10	$\binom{5}{3}$
4	10		20
5	15		35

Se på mønsteret i tabellen, og foreslå hvordan vi kan skrive $a_n$ og $S_n$ som binomialkoeffisienter.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Pascals trekant, Binomialkoeffisienter, Tallmønster

Oppgave 1-11 : Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To ulike typer minnepinner har forskjellig lagringskapasitet. Én minnepinne av type 1 og tre av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 100 Gb (gigabyte). To minnepinner av type 1 og fire av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 144 Gb.

Bestem lagringskapasiteten til type 1 og lagringskapasiteten til type 2.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Modellering

Oppgave 1-12 : Graf av rasjonal funksjon med asymptoter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f(x) = \frac{2x - 4}{x - 1} \quad , \quad D_f = \langle -3,\, 5 \rangle \setminus \{1\}

Tegn grafen til $f$ .

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Graftegning, Asymptoter

Oppgave 1-13 : Skravere område avgrenset av fire ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt ulikhetene

\begin{aligned} x &\geq 0 \\ y &\geq 0 \\ x + 2y &\leq 6 \\ 2x + y &\leq 6 \end{aligned}

Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Koordinatsystem

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Rett prisme med likningssystem og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rett prisme har sidene $a$ , $b$ og $c$ . Volumet er 200, diagonalen $d$ (inne i prismet) er $\sqrt{141}$ og overflaten er 220. Se skissen nedenfor.

Rett prisme med sider a, b, c og romdiagonal d

Vis at vi kan stille opp følgende likningssystem utfra opplysningene om prismet.

\begin{cases} abc = 200 \\ a^2 + b^2 + c^2 = 141 \\ ab + bc + ac = 110 \end{cases}

Bruk CAS til å bestemme lengden av sidene $a$ , $b$ og $c$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Geometri, CAS

Oppgave 2-2 : Andregradsregresjon for brødproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri lager og selger et populært brød. Tabellen under viser sammenhengen mellom antall bakte brød $x$ og kostnadene $K(x)$ .

$x$	50	100	150	200	250
$K(x)$	190	280	489	878	1323

Bruk graftegner til å vise at

K(x) = 0{,}025x^2 - 1{,}9x + 218

er en god modell for kostnadsfunksjonen.

Utsalgsprisen per brød settes til 14 kroner. Vis at bakeriet vil få et overskudd på

O(x) = -0{,}025x^2 + 15{,}9x - 218

ved produksjon og salg av $x$ brød.

Bruk graftegner til å bestemme antallet brød som gir størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering

Oppgave 2-3 : Binomisk forsøk i Abelkonkurransen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Abelkonkurransen er en matematikkonkurranse i skolen. Den består av 20 spørsmål der hvert spørsmål har 5 svaralternativer. Vi vil i dette tilfellet trekke ut våre 20 svar helt tilfeldig uten å løse oppgavene.

Begrunn hvorfor vi kan se på denne trekningen som et binomisk forsøk.

Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar.

Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette hvis vi trekker ut svarene tilfeldig.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Oppgave 2-4 : Lineær optimering av pukk og veigrus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En forhandler selger pukk og veigrus til de lokale entreprenørene.

Han kan importere maks 900 t veigrus og 1000 t pukk.
Han kan bare importere til sammen $1000 \mathrm{~m^3}$ pukk og veigrus.
$1 \mathrm{~m^3}$ veigrus veier $1{,}60$ t, og $1 \mathrm{~m^3}$ pukk veier $1{,}36$ t.

La $x$ være antall tonn veigrus som blir importert, og $y$ antall tonn pukk.

Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:

\begin{aligned} 0 &\leq x \leq 900 \\ 0 &\leq y \leq 1000 \\ 1{,}36x + 1{,}60y &\leq 2176 \end{aligned}

Forhandleren selger veigrus til 74 kroner per tonn. Inntektene ved salg av $x$ tonn veigrus og $y$ tonn pukk er gitt ved

F(x, y) = 74x + 106y

Hva er utsalgsprisen for pukk?

Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst inntekter?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering

Oppgave 2-5 : Maksimalt volum av eske med side a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift lager esker av papp som er formet som et kvadrat med side $a > 0$ . Et kvadrat med side $x$ klippes av i hvert hjørne.

Kvadratisk pappstykke med side a der et kvadrat med side x klippes av i hvert hjørne

Vis at volumet av esken kan skrives som

V(x) = (a - 2x)^2 \cdot x

Bestem $x$ uttrykt ved $a$ slik at volumet av esken blir størst mulig. Bestem det største volumet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Derivasjon, Modellering

Oppgave 2-6 : Bestem a og b fra toppunkt og tangent

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = ax^3 - bx - 2

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, f(2))$ og en tangent med stigningstall lik 2 i punktet $(1, f(1))$ .

Bestem de eksakte verdiene for tallene $a$ og $b$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Tangent, Likningssystem

Sync på tvers av enheter

S1 Eksempeloppgave 2015

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 13 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon av to polynomfunksjoner

Oppgave 1-2 : Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk

Oppgave 1-3 : Konjugatsetningen i hoderegning

Oppgave 1-4 : Skjæringspunkt mellom parabel og linje

Oppgave 1-5 : Tre likninger med potenser og andregrad

Oppgave 1-6 : Formel for x og likningssystem med parabel

Oppgave 1-7 : Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-7 : Definisjonen av den deriverte

Oppgave 1-9 : Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-10 : Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Oppgave 1-11 : Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem

Oppgave 1-12 : Graf av rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave 1-13 : Skravere område avgrenset av fire ulikheter

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1 : Rett prisme med likningssystem og CAS

Oppgave 2-2 : Andregradsregresjon for brødproduksjon

Oppgave 2-3 : Binomisk forsøk i Abelkonkurransen

Oppgave 2-4 : Lineær optimering av pukk og veigrus

Oppgave 2-5 : Maksimalt volum av eske med side a

Oppgave 2-6 : Bestem a og b fra toppunkt og tangent

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave