S1 Eksempeloppgave 2015 · Matematikkoppgaver

Oppgave 1-1Derivasjon av to polynomfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem $f^{'} (x)$ når $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ .

Bestem $g^{'} (2)$ når $g (x) = 3 x^{3} - 3$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 6 x - 4$

$g^{'} (2) = 36$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = 3 x^{2} - 4 x + 2$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 3 \cdot 2 x - 4 \cdot 1 + 0 = 6 x - 4

Vi deriverer $g (x) = 3 x^{3} - 3$ :

g^{'} (x) = 3 \cdot 3 x^{2} - 0 = 9 x^{2}

Vi setter inn $x = 2$ :

g^{'} (2) = 9 \cdot 2^{2} = 9 \cdot 4 = 36

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 1
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Polynomfunksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-1 for seg selv

Oppgave 1-2Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv så enkelt som mulig

\frac{2^{- 1} \cdot a \cdot b^{- 1}}{4^{- 1} \cdot a^{- 2} \cdot b^{2}}

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (a \cdot b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}})

\frac{3 a^{2} - 75}{6 a + 30}

Fasit

$\frac{2 a^{3}}{b^{3}}$

$4 \lg (a)$

$\frac{a - 5}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regelen $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ og skriver om potensene med negativ eksponent, og forenkler ledd for ledd:

\frac{2^{- 1} \cdot a \cdot b^{- 1}}{4^{- 1} \cdot a^{- 2} \cdot b^{2}} = \frac{2^{- 1}}{4^{- 1}} \cdot \frac{a}{a^{- 2}} \cdot \frac{b^{- 1}}{b^{2}}

Vi forenkler hver brøk for seg:

\frac{2^{- 1}}{4^{- 1}} = \frac{4}{2} = 2 \frac{a}{a^{- 2}} = a^{1 - (- 2)} = a^{3} \frac{b^{- 1}}{b^{2}} = b^{- 1 - 2} = b^{- 3}

Dette gir

2 \cdot a^{3} \cdot b^{- 3} = \frac{2 a^{3}}{b^{3}}

Vi bruker logaritmesetningene $\lg (x) + \lg (y) = \lg (x y)$ og $\lg (x) - \lg (y) = \lg (\frac{x}{y})$ , og slår sammen alle tre leddene til én logaritme:

\lg (a^{2} \cdot b) + \lg (a \cdot b^{2}) + \lg (\frac{a}{b^{3}}) = \lg (\frac{a^{2} \cdot b \cdot a \cdot b^{2} \cdot a}{b^{3}})

Vi forenkler uttrykket inni logaritmen. Telleren blir $a^{2 + 1 + 1} \cdot b^{1 + 2} = a^{4} \cdot b^{3}$ , og vi deler på $b^{3}$ :

\lg (\frac{a^{4} \cdot b^{3}}{b^{3}}) = \lg (a^{4})

Vi bruker regelen $\lg (x^{n}) = n \cdot \lg (x)$ :

\lg (a^{4}) = 4 \lg (a)

Vi faktoriserer teller og nevner. I telleren er $3$ felles faktor, og resten er en konjugatsetning ( $a^{2} - 25 = a^{2} - 5^{2}$ ). I nevneren er $6$ felles faktor:

\frac{3 a^{2} - 75}{6 a + 30} = \frac{3 (a^{2} - 25)}{6 (a + 5)} = \frac{3 (a - 5) (a + 5)}{6 (a + 5)}

Vi forkorter med den felles faktoren $(a + 5)$ og med $3$ :

\frac{3 (a - 5) (a + 5)}{6 (a + 5)} = \frac{a - 5}{2}

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Potensregning, Logaritmer, Rasjonale uttrykk
Egen side: Åpne oppgave 1-2 for seg selv

Oppgave 1-3Konjugatsetningen i hoderegning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk konjugatsetningen (3. kvadratsetning) til å regne ut

\frac{61^{2} - 39^{2}}{51^{2} - 49^{2}}

1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007

Fasit

$11$

$40$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker konjugatsetningen $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ på både teller og nevner:

\frac{61^{2} - 39^{2}}{51^{2} - 49^{2}} = \frac{(61 - 39) (61 + 39)}{(51 - 49) (51 + 49)} = \frac{22 \cdot 100}{2 \cdot 100}

Vi forkorter med $100$ og deler:

\frac{22 \cdot 100}{2 \cdot 100} = \frac{22}{2} = 11

Vi ser at $1997 = 2000 - 3$ og $2003 = 2000 + 3$ , slik at $1997 \cdot 2003$ er på formen $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ med $x = 2000$ , $y = 3$ . Tilsvarende er $1993 = 2000 - 7$ og $2007 = 2000 + 7$ :

1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007 = (2000^{2} - 3^{2}) - (2000^{2} - 7^{2})

Leddet $2000^{2}$ kansellerer, og vi står igjen med

- 3^{2} - (- 7^{2}) = 7^{2} - 3^{2} = 49 - 9 = 40

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Konjugatsetningen, Faktorisering
Egen side: Åpne oppgave 1-3 for seg selv

Oppgave 1-4Skjæringspunkt mellom parabel og linje

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f (x) = x^{2} - x - 2$ og $g (x) = x + 1$ er gitt.

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og grafen til $g$ .

Fasit

$(- 1, 0) og (3, 4)$

LøsningsforslagKI-generert

Skjæringspunktene finner vi ved å sette $f (x) = g (x)$ :

x^{2} - x - 2 = x + 1

Vi samler alt på venstre side:

x^{2} - 2 x - 3 = 0

Vi faktoriserer andregradsuttrykket. Vi trenger to tall som ganger gir $- 3$ og summert gir $- 2$ , det vil si $- 3$ og $1$ :

(x - 3) (x + 1) = 0

Dette gir $x = 3$ eller $x = - 1$ .

Vi setter $x$ -verdiene inn i $g (x) = x + 1$ for å finne $y$ -verdiene:

g (3) = 3 + 1 = 4 g (- 1) = - 1 + 1 = 0

Skjæringspunktene er dermed $(3, 4)$ og $(- 1, 0)$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Skjæringspunkt, Andregradslikninger, Funksjoner
Egen side: Åpne oppgave 1-4 for seg selv

Oppgave 1-5Tre likninger med potenser og andregrad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene

3 x^{2} = 18 - 3 x

3 \cdot 2^{x} = 24

3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} + 3^{8} = 3^{x}

Fasit

$x = - 3 eller x = 2$

$x = 3$

$x = 10$

LøsningsforslagKI-generert

Vi flytter alle ledd over på venstre side:

3 x^{2} = 18 - 3 x \Rightarrow 3 x^{2} + 3 x - 18 = 0

Vi deler hele likningen på $3$ :

x^{2} + x - 6 = 0

Vi faktoriserer. Vi trenger to tall som ganger gir $- 6$ og summert gir $1$ , det vil si $3$ og $- 2$ :

(x + 3) (x - 2) = 0

Dette gir $x = - 3$ eller $x = 2$ .

Vi løser først ut $2^{x}$ ved å dele på $3$ :

3 \cdot 2^{x} = 24 \Rightarrow 2^{x} = 8

Vi skriver $8$ som en potens av $2$ , siden $8 = 2^{3}$ :

2^{x} = 2^{3}

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

x = 3

På venstre side har vi ni like ledd, $3^{8}$ , lagt sammen:

\underset{9 ledd}{\underset{⏟}{3^{8} + 3^{8} + \dots + 3^{8}}} = 9 \cdot 3^{8}

Vi skriver $9 = 3^{2}$ og bruker potensregelen $3^{a} \cdot 3^{b} = 3^{a + b}$ :

9 \cdot 3^{8} = 3^{2} \cdot 3^{8} = 3^{10}

Likningen blir dermed

3^{10} = 3^{x}

Når grunntallene er like, må eksponentene være like:

x = 10

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Andregradslikninger, Potensregning
Egen side: Åpne oppgave 1-5 for seg selv

Oppgave 1-6Formel for x og likningssystem med parabel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem en formel for $x$ uttrykt ved $a$ , $y$ og $b$ når $y = a \cdot b^{x}$ .

Løs likningssystemet

{\begin{matrix} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y + 2 = 2 x \end{matrix}

Fasit

$x = \frac{\log (y / a)}{\log b}$

$(x, y) = (0, - 2) og (x, y) = (5,8)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tar logaritmen på begge sider av likningen $y = a \cdot b^{x}$ .

y = a \cdot b^{x}

\frac{y}{a} = b^{x}

\log (\frac{y}{a}) = \log (b^{x}) = x \cdot \log b

Løser for $x$ .

x = \frac{\log (y / a)}{\log b}

Vi har likningssystemet

{\begin{matrix} y = x^{2} - 3 x - 2 \\ y + 2 = 2 x \end{matrix}

Fra den andre likningen får vi $y = 2 x - 2$ . Vi setter dette inn i den første likningen.

2 x - 2 = x^{2} - 3 x - 2

x^{2} - 5 x = 0

x (x - 5) = 0

Dette gir $x = 0$ eller $x = 5$ .

Setter vi de to $x$ -verdiene inn i $y = 2 x - 2$ , får vi

x = 0 : y = 2 \cdot 0 - 2 = - 2

x = 5 : y = 2 \cdot 5 - 2 = 8

Løsningene på likningssystemet er dermed

(x, y) = (0, - 2) og (x, y) = (5,8)

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Logaritmer, Likningssystem, Andregradslikninger
Egen side: Åpne oppgave 1-6 for seg selv

Oppgave 1-7Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x, D_{f} = ℝ

Bestem $f^{'} (x)$ .

Tegn fortegnslinjen til $f^{'} (x)$ og bruk denne til å finne topp- og bunnpunktet på grafen til $f$ . Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Toppunkt $(1, 4)$ , bunnpunkt $(3, 0)$

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ ledd for ledd:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9

Vi faktoriserer $f^{'} (x)$ for å finne nullpunktene:

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)

Nullpunktene til $f^{'} (x)$ er dermed $x = 1$ og $x = 3$ .

For å bestemme fortegnet i hvert intervall setter vi inn en testverdi:

$x < 1$ , f.eks. $x = 0$ : $f^{'} (0) = 3 (- 1) (- 3) = 9 > 0$
$1 < x < 3$ , f.eks. $x = 2$ : $f^{'} (2) = 3 (1) (- 1) = - 3 < 0$
$x > 3$ , f.eks. $x = 4$ : $f^{'} (4) = 3 (3) (1) = 9 > 0$

Dette gir fortegnslinjen:

Fortegnslinje til f'(x)

Siden $f^{'} (x)$ skifter fra positiv til negativ i $x = 1$ , har $f$ et toppunkt der. Siden $f^{'} (x)$ skifter fra negativ til positiv i $x = 3$ , har $f$ et bunnpunkt der.

Funksjonsverdiene i disse punktene:

f (1) = 1^{3} - 6 \cdot 1^{2} + 9 \cdot 1 = 1 - 6 + 9 = 4

f (3) = 3^{3} - 6 \cdot 3^{2} + 9 \cdot 3 = 27 - 54 + 27 = 0

Dette gir toppunkt $(1, 4)$ og bunnpunkt $(3, 0)$ .

Vi merker oss også at $f (0) = 0$ , så grafen går gjennom origo, og at $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ har dobbel rot i $x = 3$ — grafen tangerer $x$ -aksen der (stemmer med at $(3,0)$ er bunnpunkt). Dette gir følgende skisse av grafen:

Skisse av grafen til f

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Fortegnslinje
Egen side: Åpne oppgave 1-7 for seg selv

Oppgave 1-8Definisjonen av den deriverte

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = x^{2} + 2 x, D_{f} = ℝ

Bruk definisjonen til den deriverte til å vise at $f^{'} (x) = 2 x + 2$ .

Fasit

$f^{'} (x) = 2 x + 2$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonen av den deriverte gir

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Vi finner først $f (x + h)$ .

f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 2 (x + h) = x^{2} + 2 x h + h^{2} + 2 x + 2 h

Da blir telleren

f (x + h) - f (x) = (x^{2} + 2 x h + h^{2} + 2 x + 2 h) - (x^{2} + 2 x) = 2 x h + h^{2} + 2 h

Vi setter dette inn i brøken og faktoriserer ut $h$ i telleren.

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{2 x h + h^{2} + 2 h}{h} = \frac{h (2 x + h + 2)}{h} = 2 x + h + 2

Til slutt lar vi $h \to 0$ .

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h + 2) = 2 x + 2

Vi har dermed vist at $f^{'} (x) = 2 x + 2$ .

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Grenseverdi
Egen side: Åpne oppgave 1-8 for seg selv

Oppgave 1-9Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Skriv av og sett $\Rightarrow$ eller $\Leftarrow$ eller $\Leftrightarrow$ mellom utsagnene nedenfor, og begrunn valget ditt.

x^{2} + 5 x + 6 = 0 □ x = - 2

Fasit

$x^{2} + 5 x + 6 = 0 \Leftarrow x = - 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser andregradslikningen $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ved faktorisering:

x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3) = 0

Dette gir $x = - 2$ eller $x = - 3$ .

Vi ser altså at likningen har to løsninger, ikke bare $x = - 2$ .

Dersom $x = - 2$ , er det riktig at $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ . Altså medfører $x = - 2$ at likningen er oppfylt.
Dersom $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ , kan vi derimot ikke konkludere med at $x = - 2$ , fordi $x = - 3$ også er en løsning av likningen.

Pilen skal derfor peke fra $x = - 2$ mot likningen, altså

x^{2} + 5 x + 6 = 0 \Leftarrow x = - 2

Dette er en implikasjon, ikke en ekvivalens, fordi de to utsagnene ikke er logisk likeverdige.

Oppgavedata

Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 1
Temaer: Argumentasjon, Andregradslikninger, Likninger
Egen side: Åpne oppgave 1-9 for seg selv

Oppgave 1-10Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

På figuren er det tegnet et utsnitt av Pascals trekant. Vi har markert trekanttallene $a_{n}$ og delsummene $S_{n}$ av disse.

Utsnitt av Pascals trekant med markerte trekanttall og delsummer

Skriv av og fyll ut tabellen.

$n$	$a_{n}$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	$(\binom{2}{2})$	1	$(\binom{3}{3})$
2	3	$(\binom{3}{2})$	4
3	6		10	$(\binom{5}{3})$
4	10		20
5	15		35

Se på mønsteret i tabellen, og foreslå hvordan vi kan skrive $a_{n}$ og $S_{n}$ som binomialkoeffisienter.

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$a_{n} = (\binom{n + 1}{2}), S_{n} = (\binom{n + 2}{3})$

LøsningsforslagKI-generert

Vi ser at hvert trekanttall $a_{n}$ og hver delsum $S_{n}$ allerede er skrevet som binomialkoeffisienter for noen av radene i tabellen. Vi bruker mønsteret i de kjente kolonnene til å fylle ut de manglende rutene.

For $a_{n}$ -kolonnen ser vi at $a_{1} = (\binom{2}{2})$ og $a_{2} = (\binom{3}{2})$ , altså øker det øverste tallet med 1 for hver rad, mens det nederste tallet holder seg lik $2$ . Dette gir

a_{3} = (\binom{4}{2}) = 6, a_{4} = (\binom{5}{2}) = 10

For $S_{n}$ -kolonnen ser vi at $S_{1} = (\binom{3}{3})$ og $S_{3} = (\binom{5}{3})$ , altså øker det øverste tallet med 1 for hver rad, mens det nederste tallet holder seg lik $3$ . Dette gir

S_{2} = (\binom{4}{3}) = 4, S_{4} = (\binom{6}{3}) = 20, S_{5} = (\binom{7}{3}) = 35

Den utfylte tabellen blir dermed

$n$	$a_{n}$	$a_{n}$	$S_{n}$	$S_{n}$
1	1	$(\binom{2}{2})$	1	$(\binom{3}{3})$
2	3	$(\binom{3}{2})$	4	$(\binom{4}{3})$
3	6	$(\binom{4}{2})$	10	$(\binom{5}{3})$
4	10	$(\binom{5}{2})$	20	$(\binom{6}{3})$
5	15	$(\binom{6}{2})$	35	$(\binom{7}{3})$

Ut fra mønsteret i tabellen ser vi at det øverste tallet i binomialkoeffisienten er $n$ pluss et fast tall, mens det nederste tallet er konstant.

For $a_{n}$ er det nederste tallet alltid $2$ , og det øverste tallet er $n + 1$ .

a_{n} = (\binom{n + 1}{2})

For $S_{n}$ er det nederste tallet alltid $3$ , og det øverste tallet er $n + 2$ .

S_{n} = (\binom{n + 2}{3})

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Pascals trekant, Kombinatorikk
Egen side: Åpne oppgave 1-10 for seg selv

Oppgave 1-11Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

To ulike typer minnepinner har forskjellig lagringskapasitet. Én minnepinne av type 1 og tre av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 100 Gb (gigabyte). To minnepinner av type 1 og fire av type 2 har en lagringskapasitet på til sammen 144 Gb.

Bestem lagringskapasiteten til type 1 og lagringskapasiteten til type 2.

Fasit

$Type 1: 16 Gb, Type 2: 28 Gb$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $x$ være lagringskapasiteten til type 1 og $y$ være lagringskapasiteten til type 2, begge målt i Gb.

Ut fra opplysningene i teksten kan vi sette opp likningssystemet

{\begin{matrix} x + 3 y = 100 \\ 2 x + 4 y = 144 \end{matrix}

Fra den første likningen løser vi for $x$ .

x = 100 - 3 y

Vi setter dette inn i den andre likningen.

2 (100 - 3 y) + 4 y = 144

200 - 6 y + 4 y = 144

200 - 2 y = 144

- 2 y = - 56

y = 28

Vi setter $y = 28$ inn i uttrykket for $x$ .

x = 100 - 3 \cdot 28 = 100 - 84 = 16

Type 1 har altså en lagringskapasitet på $16 Gb$ , og type 2 har en lagringskapasitet på $28 Gb$ .

x = 16 Gb, y = 28 Gb

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Likningssystem, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 1-11 for seg selv

Oppgave 1-12Graf av rasjonal funksjon med asymptoter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{2 x - 4}{x - 1}, D_{f} = ⟨ - 3, 5 ⟩ ∖ {1}

Tegn grafen til $f$ .

Fasit

Se skisse av grafen i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi skriver om $f (x) = \frac{2 x - 4}{x - 1}$ ved polynomdivisjon for å finne asymptotene. Siden $2 (x - 1) = 2 x - 2$ , får vi

f (x) = \frac{2 x - 4}{x - 1} = \frac{2 (x - 1) - 2}{x - 1} = 2 - \frac{2}{x - 1}

Herfra ser vi at:

Funksjonen er ikke definert for $x = 1$ , og $| \frac{2}{x - 1} | \to \infty$ når $x \to 1$ . Dette gir en vertikal asymptote $x = 1$ .
Når $x$ blir stor (positiv eller negativ), går $\frac{2}{x - 1} \to 0$ , så $f (x) \to 2$ . Dette gir en horisontal asymptote $y = 2$ for funksjonen generelt (selv om definisjonsmengden her er avgrenset, så grafen når ikke helt fram til den).

Siden $D_{f} = ⟨ - 3, 5 ⟩ ∖ {1}$ , må vi også finne funksjonsverdiene i endepunktene av intervallet (åpne endepunkter, tas ikke med i grafen):

f (- 3) = \frac{2 \cdot (- 3) - 4}{- 3 - 1} = \frac{- 10}{- 4} = 2,5

f (5) = \frac{2 \cdot 5 - 4}{5 - 1} = \frac{6}{4} = 1,5

Nær den vertikale asymptoten $x = 1$ ser vi at:

Når $x \to 1^{-}$ (fra venstre), går $f (x) \to + \infty$ .
Når $x \to 1^{+}$ (fra høyre), går $f (x) \to - \infty$ .

Funksjonen er voksende på hele definisjonsmengden (bortsett fra i $x = 1$ der den ikke er definert). Dette gir følgende graf, med åpne punkter i endepunktene $(- 3, 2,5)$ og $(5, 1,5)$ og en vertikal asymptote i $x = 1$ :

Graf av f

Oppgavedata

Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 2
Temaer: Rasjonale funksjoner, Graftegning, Asymptoter
Egen side: Åpne oppgave 1-12 for seg selv

Oppgave 1-13Skravere område avgrenset av fire ulikheter

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt ulikhetene

\begin{matrix} x & \geq 0 \\ y & \geq 0 \\ x + 2 y & \leq 6 \\ 2 x + y & \leq 6 \end{matrix}

Tegn ulikhetene inn i et koordinatsystem. Skraver det området i koordinatsystemet som tilfredsstiller alle ulikhetene.

Fasit

Skravert firkant med hjørner $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(2,2)$ og $(0,3)$ .

LøsningsforslagKI-generert

Ulikhetene $x \geq 0$ og $y \geq 0$ betyr at vi bare er interessert i første kvadrant.

Linjen $x + 2 y = 6$ går gjennom $(6,0)$ og $(0,3)$ . Ulikheten $x + 2 y \leq 6$ er oppfylt i området under/venstre for denne linja (den siden som inneholder origo, siden $0 + 2 \cdot 0 = 0 \leq 6$ ).

Linjen $2 x + y = 6$ går gjennom $(3,0)$ og $(0,6)$ . Ulikheten $2 x + y \leq 6$ er oppfylt i området under/venstre for denne linja (igjen siden som inneholder origo, siden $2 \cdot 0 + 0 = 0 \leq 6$ ).

For å finne skjæringspunktet mellom de to linjene løser vi likningssystemet

\begin{matrix} x + 2 y & = 6 \\ 2 x + y & = 6 \end{matrix}

Vi ganger den første likningen med $2$ :

2 x + 4 y = 12

Trekker vi fra den andre likningen ( $2 x + y = 6$ ), får vi

3 y = 6 \Rightarrow y = 2

Setter vi $y = 2$ inn i $x + 2 y = 6$ : $x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2$ . Skjæringspunktet er dermed $(2, 2)$ .

Området som tilfredsstiller alle fire ulikhetene, er da firkanten avgrenset av $x$ -aksen, $y$ -aksen og de to linjene, med hjørner i

(0,0), (3,0), (2,2), (0,3)

Her er $(3,0)$ skjæringspunktet mellom $2 x + y = 6$ og $x$ -aksen, og $(0,3)$ er skjæringspunktet mellom $x + 2 y = 6$ og $y$ -aksen (de andre skjæringspunktene med aksene, $(6,0)$ og $(0,6)$ , ligger utenfor det tillatte området siden de bryter den andre ulikheten).

Skravert område

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter
Egen side: Åpne oppgave 1-13 for seg selv

Oppgave 2-1Rett prisme med likningssystem og CAS

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et rett prisme har sidene $a$ , $b$ og $c$ . Volumet er 200, diagonalen $d$ (inne i prismet) er $\sqrt{141}$ og overflaten er 220. Se skissen nedenfor.

Rett prisme med sider a, b, c og romdiagonal d

For hånd

Vis at vi kan stille opp følgende likningssystem utfra opplysningene om prismet.

{\begin{matrix} a b c = 200 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141 \\ a b + b c + a c = 110 \end{matrix}

Oppsett for hånd

Bruk CAS til å bestemme lengden av sidene $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se utledning.

$a = 4, b = 5, c = 10$ (i en eller annen rekkefølge)

LøsningsforslagKI-generert

Volumet. Et rett prisme med rektangulært grunnflate og sider $a$ , $b$ og $c$ har volum lik produktet av de tre sidekantene:

V = a \cdot b \cdot c

Siden $V = 200$ , får vi $a b c = 200$ .

Romdiagonalen. Diagonalen $e$ i grunnflaten (siden med lengde $a$ og $b$ ) finner vi med Pythagoras:

e = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Romdiagonalen $d$ er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter $e$ og $c$ , så

d^{2} = e^{2} + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Siden $d = \sqrt{141}$ , er $d^{2} = 141$ , og vi får $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141$ .

Overflaten. Prismet har tre par kongruente rektangulære sideflater, med areal $a b$ , $b c$ og $a c$ (to av hver):

O = 2 a b + 2 b c + 2 a c = 2 (a b + b c + a c)

Siden $O = 220$ , får vi $2 (a b + b c + a c) = 220$ , altså $a b + b c + a c = 110$ .

Dette gir nettopp likningssystemet

{\begin{matrix} a b c = 200 \\ a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141 \\ a b + b c + a c = 110 \end{matrix}

Vi løser likningssystemet med CAS i GeoGebra:

Løs ({a b c = 200, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 141, a b + b c + a c = 110}, {a, b, c})

CAS-løsning av likningssystemet

CAS gir alle løsninger som permutasjoner av tallene $4$ , $5$ og $10$ — for eksempel ${a = 5, b = 4, c = 10}$ , ${a = 4, b = 5, c = 10}$ , ${a = 10, b = 4, c = 5}$ osv. Siden $a$ , $b$ og $c$ bare er navn på de tre sidekantene, betyr dette at prismet har sidelengder

a = 4, b = 5, c = 10

i en eller annen rekkefølge. Vi kan sjekke: $4 \cdot 5 \cdot 10 = 200$ , $4^{2} + 5^{2} + 10^{2} = 16 + 25 + 100 = 141$ , og $4 \cdot 5 + 5 \cdot 10 + 4 \cdot 10 = 20 + 50 + 40 = 110$ — alle tre likningene stemmer.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Likningssystem, Geometri, CAS
Egen side: Åpne oppgave 2-1 for seg selv

Oppgave 2-2Andregradsregresjon for brødproduksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et bakeri lager og selger et populært brød. Tabellen under viser sammenhengen mellom antall bakte brød $x$ og kostnadene $K (x)$ .

$x$	50	100	150	200	250
$K (x)$	190	280	489	878	1323

Krever PC

Bruk graftegner til å vise at

K (x) = 0,025 x^{2} - 1,9 x + 218

er en god modell for kostnadsfunksjonen.

For hånd

Utsalgsprisen per brød settes til 14 kroner. Vis at bakeriet vil få et overskudd på

O (x) = - 0,025 x^{2} + 15,9 x - 218

ved produksjon og salg av $x$ brød.

Kalkulator

Bruk graftegner til å bestemme antallet brød som gir størst overskudd. Hvor stort blir dette overskuddet?

Fasit

Modellen $K (x) = 0,025 x^{2} - 1,9 x + 218$ passer godt med tabellverdiene.

$O (x) = 14 x - K (x) = - 0,025 x^{2} + 15,9 x - 218$

$x = 318 brød, O (318) \approx 2310 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi plotter de fem datapunktene $(50, 190)$ , $(100, 280)$ , $(150, 489)$ , $(200, 878)$ og $(250, 1323)$ sammen med grafen til $K (x) = 0,025 x^{2} - 1,9 x + 218$ i et graftegningsprogram.

Datapunkter og modellen K(x)

Vi ser at grafen til $K (x)$ går gjennom (eller svært nær) alle de fem datapunktene. Modellen $K (x) = 0,025 x^{2} - 1,9 x + 218$ er derfor en god modell for kostnadsfunksjonen.

Inntekten ved salg av $x$ brød til $14 kr$ per brød er

I (x) = 14 x

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = 14 x - (0,025 x^{2} - 1,9 x + 218)

O (x) = 14 x - 0,025 x^{2} + 1,9 x - 218

O (x) = - 0,025 x^{2} + 15,9 x - 218

som er akkurat uttrykket vi skulle vise.

Vi tegner grafen til $O (x) = - 0,025 x^{2} + 15,9 x - 218$ og finner toppunktet med graftegneren.

Grafen til O(x) med toppunktet markert

Graftegneren gir toppunktet $(318, 2310,1)$ .

Bakeriet får størst overskudd når det produserer og selger $x = 318 brød$ . Det største overskuddet blir da

O (318) \approx 2310 kr

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering
Egen side: Åpne oppgave 2-2 for seg selv

Oppgave 2-3Binomisk forsøk i Abelkonkurransen

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Abelkonkurransen er en matematikkonkurranse i skolen. Den består av 20 spørsmål der hvert spørsmål har 5 svaralternativer. Vi vil i dette tilfellet trekke ut våre 20 svar helt tilfeldig uten å løse oppgavene.

For hånd

Begrunn hvorfor vi kan se på denne trekningen som et binomisk forsøk.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for å få akkurat 5 rette svar.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for å få minst 5 rette hvis vi trekker ut svarene tilfeldig.

Fasit

Ja, forsøket oppfyller kravene til et binomisk forsøk.

$P (X = 5) \approx 0,1746$

$P (X \geq 5) \approx 0,3704$

LøsningsforslagKI-generert

Vi lar $X$ være antall riktige svar av de $20$ spørsmålene når vi gjetter helt tilfeldig. For at dette skal være et binomisk forsøk, må følgende krav være oppfylt:

Forsøket består av et fast antall like, uavhengige delforsøk. Her er det $n = 20$ spørsmål, og siden vi gjetter tilfeldig på hvert spørsmål uavhengig av de andre, er delforsøkene uavhengige av hverandre.
Hvert delforsøk har bare to mulige utfall: «rett» eller «galt» svar.
Sannsynligheten for «rett» er den samme i hvert delforsøk. Siden hvert spørsmål har $5$ svaralternativer og vi gjetter tilfeldig, er sannsynligheten for rett svar $p = \frac{1}{5} = 0,2$ på hvert av de $20$ spørsmålene.

Dermed er dette et binomisk forsøk med $n = 20$ og $p = 0,2$ .

$X$ er binomisk fordelt med $n = 20$ og $p = 0,2$ . Sannsynligheten for akkurat $5$ rette er

P (X = 5) = (\binom{20}{5}) \cdot {0,2}^{5} \cdot {0,8}^{15}

Binomisk sannsynlighet i CAS

Fra GeoGebra CAS (P5) får vi

P (X = 5) \approx 0,1746

Sannsynligheten for akkurat $5$ rette svar er $P (X = 5) \approx 0,1746$ , altså omtrent $17,5 %$ .

Vi skal finne sannsynligheten for minst $5$ rette, altså $P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4)$ . Fra GeoGebra CAS (Pmin5) i utklippet over får vi

P (X \geq 5) = 1 - P (X \leq 4) \approx 1 - 0,6296 \approx 0,3704

Sannsynligheten for å få minst $5$ rette er $P (X \geq 5) \approx 0,3704$ , altså omtrent $37 %$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Sannsynlighet, Binomisk fordeling
Egen side: Åpne oppgave 2-3 for seg selv

Oppgave 2-4Lineær optimering av pukk og veigrus

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En forhandler selger pukk og veigrus til de lokale entreprenørene.

Han kan importere maks 900 t veigrus og 1000 t pukk.
Han kan bare importere til sammen $1000 m^{3}$ pukk og veigrus.
$1 m^{3}$ veigrus veier $1,60$ t, og $1 m^{3}$ pukk veier $1,36$ t.

La $x$ være antall tonn veigrus som blir importert, og $y$ antall tonn pukk.

For hånd

Forklar at opplysningene ovenfor gir oss følgende ulikheter:

\begin{matrix} 0 & \leq x \leq 900 \\ 0 & \leq y \leq 1000 \\ 1,36 x + 1,60 y & \leq 2176 \end{matrix}

Forhandleren selger veigrus til 74 kroner per tonn. Inntektene ved salg av $x$ tonn veigrus og $y$ tonn pukk er gitt ved

F (x, y) = 74 x + 106 y

Kalkulator

Hva er utsalgsprisen for pukk?

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hvor mange tonn veigrus og pukk bør forhandleren kjøpe for å få størst inntekter?

Fasit

Se utledning i løsningsforslaget.

$106 k r / t o n n$

$x \approx 423,5 t veigrus, y = 1000 t pukk, F \approx 137 341 kr$

LøsningsforslagKI-generert

$x$ er antall tonn veigrus, og $y$ er antall tonn pukk som importeres.

Mengdebegrensninger. Forhandleren kan importere maks $900 t$ veigrus, og han kan ikke importere en negativ mengde. Det gir

0 \leq x \leq 900

Tilsvarende kan han importere maks $1000 t$ pukk, og heller ikke her kan mengden være negativ:

0 \leq y \leq 1000

Volumbegrensning. Til sammen kan han importere maks $1000 m^{3}$ pukk og veigrus. Siden $1 m^{3}$ veigrus veier $1,60 t$ , tilsvarer $x$ tonn veigrus et volum på $\frac{x}{1,60} m^{3}$ . Siden $1 m^{3}$ pukk veier $1,36 t$ , tilsvarer $y$ tonn pukk et volum på $\frac{y}{1,36} m^{3}$ . Totalt volum må være maks $1000 m^{3}$ :

\frac{x}{1,60} + \frac{y}{1,36} \leq 1000

Vi ganger begge sider med $1,60 \cdot 1,36 = 2,176$ :

1,36 x + 1,60 y \leq 2,176 \cdot 1000 = 2176

Dette er de tre oppgitte ulikhetene.

Inntektsfunksjonen er

F (x, y) = 74 x + 106 y

Her er $74$ kr prisen per tonn veigrus (oppgitt), og siden $x$ og $y$ spiller samme rolle i formelen (antall tonn multiplisert med pris per tonn), må $106$ kr være prisen per tonn pukk.

Svar: Prisen på pukk er $106 k r / t o n n$ .

Ulikhetene fra a) beskriver et flersidet område (et polygon) i $x y$ -planet. Fordi $F (x, y)$ er en lineær funksjon, vil det største eller minste verdien alltid finnes i et hjørnepunkt av dette området. Vi finner hjørnene ved å skjære grenselinjene parvis:

$A = (0, 0)$
$B = (900, 0)$
$C$ : skjæring mellom $x = 900$ og $1,36 x + 1,60 y = 2176$ : $1,36 \cdot 900 + 1,60 y = 2176 \Rightarrow y = 595$ , altså $C = (900, 595)$
$D$ : skjæring mellom $y = 1000$ og $1,36 x + 1,60 y = 2176$ : $1,36 x + 1,60 \cdot 1000 = 2176 \Rightarrow x = \frac{576}{1,36} \approx 423,5$ , altså $D \approx (423,5, 1000)$
$E = (0, 1000)$

Punktet $(900, 1000)$ er ikke med, fordi $1,36 \cdot 900 + 1,60 \cdot 1000 = 2824 > 2176$ bryter volumbegrensningen.

Vi setter inn hvert hjørne i $F (x, y) = 74 x + 106 y$ :

Punkt	$x$	$y$	$F(x,y)$
$A$	$0$	$0$	$0$
$B$	$900$	$0$	$66\,600$
$C$	$900$	$595$	$129\,670$
$D$	$423{,}5$	$1000$	$\approx137\,341$
$E$	$0$	$1000$	$106\,000$

Størst inntekt får forhandleren i hjørnet $D \approx (423,5, 1000)$ .

$Det tillatte området (blått) med grensen 1{,}36x+1{,}60y=2176 (grønn) og inntektslinjen F=137\,341 (rød, stiplet) som akkurat berører området i det optimale punktet D.$

Figuren viser hvordan inntektslinjen $74 x + 106 y = k$ flyttes lengst mulig i retning økende $k$ innenfor det tillatte området — den siste linjen som fortsatt berører området, går nettopp gjennom hjørnet $D$ .

Svar: Forhandleren bør kjøpe inn omtrent $423,5 t$ veigrus og $1000 t$ pukk. Dette gir en maksimal inntekt på

F (423,5, 1000) \approx 137 341 kr

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-4 for seg selv

Oppgave 2-5Maksimalt volum av eske med side a

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift lager esker av papp som er formet som et kvadrat med side $a > 0$ . Et kvadrat med side $x$ klippes av i hvert hjørne.

Kvadratisk pappstykke med side a der et kvadrat med side x klippes av i hvert hjørne

For hånd

Vis at volumet av esken kan skrives som

V (x) = {(a - 2 x)}^{2} \cdot x

For hånd

Bestem $x$ uttrykt ved $a$ slik at volumet av esken blir størst mulig. Bestem det største volumet.

Fasit

Se utledning.

$x = \frac{a}{6}$ , med $V_{maks} = \frac{2 a^{3}}{27}$

LøsningsforslagKI-generert

Når et kvadrat med side $x$ klippes bort i hvert av de fire hjørnene og sidene brettes opp, blir bunnen i esken et kvadrat med side

a - 2 x

fordi det klippes bort $x$ fra hver av de to endene av kvadratets side $a$ . Høyden i esken blir $x$ , siden dette er hvor høyt sidekantene brettes opp.

Volumet av en eske (lengde $\cdot$ bredde $\cdot$ høyde) blir dermed

V (x) = (a - 2 x) \cdot (a - 2 x) \cdot x = {(a - 2 x)}^{2} \cdot x

som skulle vises.

For at esken skal gi mening må både sidekanten i bunnen og høyden være positive, altså $a - 2 x > 0$ og $x > 0$ . Det gir definisjonsmengden

0 < x < \frac{a}{2}

Vi ganger ut $V (x)$ for å derivere:

V (x) = {(a - 2 x)}^{2} \cdot x = (a^{2} - 4 a x + 4 x^{2}) \cdot x = a^{2} x - 4 a x^{2} + 4 x^{3}

V^{'} (x) = a^{2} - 8 a x + 12 x^{2}

For å finne ekstremalpunkt setter vi $V^{'} (x) = 0$ :

12 x^{2} - 8 a x + a^{2} = 0

Dette er en andregradslikning i $x$ med $a$ som en konstant parameter. Vi bruker abc-formelen:

x = \frac{8 a \pm \sqrt{{(- 8 a)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot a^{2}}}{2 \cdot 12} = \frac{8 a \pm \sqrt{64 a^{2} - 48 a^{2}}}{24} = \frac{8 a \pm \sqrt{16 a^{2}}}{24} = \frac{8 a \pm 4 a}{24}

Siden $a > 0$ er $\sqrt{16 a^{2}} = 4 a$ . Dette gir de to løsningene

x = \frac{8 a + 4 a}{24} = \frac{12 a}{24} = \frac{a}{2} eller x = \frac{8 a - 4 a}{24} = \frac{4 a}{24} = \frac{a}{6}

Løsningen $x = \frac{a}{2}$ ligger på randen av definisjonsmengden og gir $a - 2 x = 0$ , altså et volum lik null (esken klippes helt bort). Denne løsningen er derfor ikke aktuell. Den eneste løsningen inni definisjonsmengden er

x = \frac{a}{6}

Vi sjekker at dette faktisk er et maksimum ved å se på $V^{''} (x) = - 8 a + 24 x$ . I punktet $x = \frac{a}{6}$ :

V^{''} (\frac{a}{6}) = - 8 a + 24 \cdot \frac{a}{6} = - 8 a + 4 a = - 4 a

Siden $a > 0$ er $V^{''} (\frac{a}{6}) < 0$ , så $x = \frac{a}{6}$ gir et toppunkt (maksimum) for $V$ .

Det største volumet finner vi ved å sette $x = \frac{a}{6}$ inn i $V (x)$ :

V (\frac{a}{6}) = {(a - 2 \cdot \frac{a}{6})}^{2} \cdot \frac{a}{6} = {(\frac{2 a}{3})}^{2} \cdot \frac{a}{6} = \frac{4 a^{2}}{9} \cdot \frac{a}{6} = \frac{4 a^{3}}{54}

V_{maks} = \frac{2 a^{3}}{27}

Det vil si at når firkanten av papp med side $a$ deles opp slik at det klippes bort et kvadrat med side $x = \frac{a}{6}$ i hvert hjørne, blir volumet av esken størst mulig, og det maksimale volumet er $\frac{2 a^{3}}{27}$ .

Illustrasjon: Volumfunksjonen V(x) for a = 6 med maksimumspunktet markert i (1, 16). Generelt gir x = a/6 maksimalt volum 2a³/27, som her stemmer med a/6 = 1 og 2·6³/27 = 16.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Optimering, Derivasjon, Modellering
Egen side: Åpne oppgave 2-5 for seg selv

Oppgave 2-6Bestem a og b fra toppunkt og tangent

For hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = a x^{3} - b x - 2

Grafen til $f$ har et toppunkt i $(2, f (2))$ og en tangent med stigningstall lik 2 i punktet $(1, f (1))$ .

Bestem de eksakte verdiene for tallene $a$ og $b$ .

Fasit

$a = - \frac{2}{9}, b = - \frac{8}{3}$

LøsningsforslagKI-generert

Funksjonen er gitt ved

f (x) = a x^{3} - b x - 2

Vi deriverer:

f^{'} (x) = 3 a x^{2} - b

Betingelse 1: toppunkt i $x = 2$ . I et toppunkt er den deriverte lik null, så

f^{'} (2) = 0 \Rightarrow 3 a \cdot 2^{2} - b = 0 \Rightarrow 12 a - b = 0

Betingelse 2: tangentstigning $2$ i $x = 1$ . Stigningstallet til tangenten er verdien av den deriverte i punktet, så

f^{'} (1) = 2 \Rightarrow 3 a \cdot 1^{2} - b = 2 \Rightarrow 3 a - b = 2

Dette gir likningssystemet

{\begin{matrix} 12 a - b = 0 \\ 3 a - b = 2 \end{matrix}

Vi løser systemet med CAS i GeoGebra.

Løsning av likningssystemet i CAS

Fra utklippet ser vi at

a = - \frac{2}{9}, b = - \frac{8}{3}

Kontroll: Setter vi inn i den første likningen får vi $12 \cdot (- \frac{2}{9}) - (- \frac{8}{3}) = - \frac{24}{9} + \frac{24}{9} = 0$ , som stemmer.

a = - \frac{2}{9}, b = - \frac{8}{3}

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 2
Temaer: Derivasjon, Tangent, Likningssystem
Egen side: Åpne oppgave 2-6 for seg selv

Del 1uten hjelpemidler · 3 timer · 13 oppgaver · 35 poeng

Oppgave 1-1·Derivasjon av to polynomfunksjoner

Oppgave 1-2·Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk

Oppgave 1-3·Konjugatsetningen i hoderegning

Oppgave 1-4·Skjæringspunkt mellom parabel og linje

Oppgave 1-5·Tre likninger med potenser og andregrad

Oppgave 1-6·Formel for x og likningssystem med parabel

Oppgave 1-7·Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-8·Definisjonen av den deriverte

Oppgave 1-9·Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-10·Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Oppgave 1-11·Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem

Oppgave 1-12·Graf av rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave 1-13·Skravere område avgrenset av fire ulikheter

Del 2alle hjelpemidler · 2 timer · 6 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 2-1·Rett prisme med likningssystem og CAS

Oppgave 2-2·Andregradsregresjon for brødproduksjon

Oppgave 2-3·Binomisk forsøk i Abelkonkurransen

Oppgave 2-4·Lineær optimering av pukk og veigrus

Oppgave 2-5·Maksimalt volum av eske med side a

Oppgave 2-6·Bestem a og b fra toppunkt og tangent

Temaer

Oppgave 1-1Derivasjon av to polynomfunksjoner

Oppgave 1-2Forenkle potens logaritme og rasjonalt uttrykk

Oppgave 1-3Konjugatsetningen i hoderegning

Oppgave 1-4Skjæringspunkt mellom parabel og linje

Oppgave 1-5Tre likninger med potenser og andregrad

Oppgave 1-6Formel for x og likningssystem med parabel

Oppgave 1-7Fortegnslinje og graf av tredjegradsfunksjon

Oppgave 1-8Definisjonen av den deriverte

Oppgave 1-9Implikasjon eller ekvivalens mellom andregradslikning og løsning

Oppgave 1-10Pascals trekant og binomialkoeffisienter

Oppgave 1-11Lagringskapasitet for minnepinner med likningssystem

Oppgave 1-12Graf av rasjonal funksjon med asymptoter

Oppgave 1-13Skravere område avgrenset av fire ulikheter

Oppgave 2-1Rett prisme med likningssystem og CAS

Oppgave 2-2Andregradsregresjon for brødproduksjon

Oppgave 2-3Binomisk forsøk i Abelkonkurransen

Oppgave 2-4Lineær optimering av pukk og veigrus

Oppgave 2-5Maksimalt volum av eske med side a

Oppgave 2-6Bestem a og b fra toppunkt og tangent