S1 Eksempeloppgave 1 — 2007

LK06 6 oppgaver 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Eksempeloppgave 1 — 2007 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 1 oppgaver
1	Derivasjon, potenser, rasjonale uttrykk, ligningssystem og kombinatorikk S1	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver
2	Tredjegradsfunksjon skjæringspunkter og veksthastighet	—
3	Fotballtipping og binomisk sannsynlighet	—
4	Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1	—
4	Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst	—
5	Lineær optimering for T-skjorter og topper	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, potenser, rasjonale uttrykk, ligningssystem og kombinatorikk S1

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonen

f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 7

Bestem den gjennomsnittlige veksthastigheten til funksjonen $f(x) = 3 \cdot 2^x$ fra $x = 0$ til $x = 3$ .

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{2x}{x^2 - 9} + \dfrac{3}{3x + 9}

Skriv så enkelt som mulig

\dfrac{a^{-3} \cdot (a \cdot b)^2}{a \cdot b^{-1}}

Løs ligningssystemet

\text{I: } x^2 + 6 = y + 5x

\text{II: } 2x - y = -6

Regn ut $\dbinom{8}{6}$ . Forklar hvor i Pascals trekant du finner denne binomialkoeffisienten.

På en volleyballkamp møter det 8 spillere, 5 jenter og 3 gutter. Det trekkes ut 6 spillere som skal starte å spille. Hva er sannsynligheten for at alle guttene får starte?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Rasjonale funksjoner, Potenser, Likningssystem, Kombinatorikk, Sannsynlighet

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-2 : Tredjegradsfunksjon skjæringspunkter og veksthastighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt funksjonen $f(x) = x^3 - 3x^2$

Finn skjæringspunktene mellom grafen til $f$ og koordinataksene.

Regn ut $f'(x)$ og bruk denne til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Tegn grafen til $f$ .

Finn gjennomsnittlig veksthastighet fra $x = -1$ til $x = 3$ både grafisk og ved regning.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Rasjonale funksjoner

Oppgave 2-3 : Fotballtipping og binomisk sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Når vi tipper en enkeltrekke i fotballtipping, skal vi tippe resultatet i 12 fotballkamper. Utfallet av en kamp er enten hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B).

Hvilke antagelser må du gjøre for at det å tippe en enkeltrekke kan sees på som et binomisk forsøk med $n = 12$ og $p = \dfrac{1}{3}$ ?

I resten av oppgaven skal vi anta at betingelsene for binomisk forsøk er oppfylt.

For å få gevinst må vi ha minst 10 rette.

Hva er sannsynligheten for å få minst 10 rette når vi tipper én enkeltrekke?

En tipper hevdet at det var like vanskelig å få 0 rette som å få 12 rette.

Vis at han tar feil, og forklar hvorfor de to sannsynlighetene ikke blir like.

En ekspert på fotballtipping hevder at han i gjennomsnitt vil få gevinst på hver femte enkeltrekke han tipper.

Finn, gjerne ved prøving og feiling, hvor stor sannsynlighet $p$ tippeeksperten må ha i gjennomsnitt for å tippe rett resultat på hver enkelt kamp.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ I

Stigningstallet til tangenten i et punkt på grafen til en funksjon forteller hvor «bratt» grafen er i dette punktet. Denne størrelsen har vi ofte nytte av i praksis. I denne oppgaven skal vi bruke forskjellige metoder for å bestemme stigningstall.

Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = 2x^3 - 12x^2 - 5x + 8$ . Deriver funksjonen og bestem $g'(4)$ .

Grafen til funksjonen $h$ er tegnet nedenfor:

Grafen til h(x)

Tegn fortegnslinja til $h'(x)$ .

Tegn grafen til $h'$ på svararket ditt. Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne en tilnærmingsverdi for $h'(1)$ .

Sammenhengen mellom kostnaden $K(x)$ i kroner ved produksjon av en vare og antall produserte enheter $x$ er gitt i tabellen nedenfor.

$x$	0	100	300	500	700
$K(x)$	30 000	83 000	207 000	355 000	527 000

Bruk regresjon til å skrive $K(x)$ på formen $K(x) = ax^2 + bx + c$ .

Finn $K'(300)$ . Forklar hva dette svaret forteller oss.

Varene selges for 710 kroner per enhet.

Vis at overskuddet i kroner er gitt ved uttrykket $O(x) = -0{,}3x^2 + 210x - 30\,000$ .

Bruk derivasjon til å finne hvilken produksjon som gir størst overskudd.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering

Oppgave 2-4 : Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I denne oppgaven skal vi studere eksponentialfunksjonen. En eksponentialfunksjon er definert ved $f(x) = a \cdot b^x$ , der $a$ og $b$ er konstanter.

Til høyre ser du grafen til funksjonen dersom $a = 100$ og $b = 1{,}1$ .

$Grafen til f(x) = 100 \cdot 1{,}1^x$

Forklar hva verdiene til $a$ og $b$ forteller oss.

Hvor mye må $x$ økes for at funksjonsverdien skal fordobles? Vis at økningen er den samme uansett hvor på grafen du starter.

Finn den momentane veksten når $x = 10$ og når $x = 20$ .

Vi definerer den relative veksten i et punkt $(x_0,\ f(x_0))$ som

\frac{\text{den momentane veksten i punktet}}{\text{funksjonsverdien i punktet}} = \dfrac{f'(x_0)}{f(x_0)}

Finn den relative veksten når $x = 10$ og når $x = 20$ .

En egenskap ved eksponentialfunksjonen er at den relative veksten er konstant, det vil si at den er den samme for alle verdier av $x$ .

Velg en annen verdi for $x$ enn verdiene i d), og vis at den relative veksten fortsatt er den samme.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Eksponentialfunksjon, Derivasjon, Vekstfart, Geometrisk vekst

Oppgave 2-5 : Lineær optimering for T-skjorter og topper

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Aina, Britt og Kim dekorerer T-skjorter og topper. De har spesialisert seg på hver sin del av dekoren.

Aina bruker 6 minutter på sin del av dekoren på en skjorte, og 30 minutter på sin del av dekoren på en topp.
Britt bruker 20 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 20 minutter på sin del av dekoren på en topp.
Kim bruker 30 minutter på sin del av dekoren på en skjorte og 12 minutter på sin del av dekoren på en topp.

Aina kan arbeide inntil 5 timer per dag. Britt kan arbeide maksimalt 6 timer og Kim 8 timer hver dag.

De dekorerer i alt $x$ skjorter og $y$ topper hver dag.

Forklar at $x$ og $y$ må tilfredsstille følgende ulikheter:

$x \geq 0$ og $y \geq 0$

y \leq -\dfrac{1}{5}x + 10

y \leq -x + 18

y \leq -\dfrac{5}{2}x + 40

Tegn et passende koordinatsystem, og skraver det området som er definert av ulikhetene ovenfor.

Hver skjorte selges for 250 kroner, og hver topp selges for 300 kroner. Regn ut den største inntekten Aina, Britt og Kim kan oppnå til sammen per dag.

De innretter produksjonen slik at inntekten blir størst mulig. En av dekoratørene får da tid til overs og må rydde arbeidslokalet. Undersøk hvem av de tre som får denne jobben, og hvor mye tid denne personen kan bruke på ryddearbeidet.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter, Likningssystem

Sync på tvers av enheter

S1 Eksempeloppgave 1 — 2007

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 1 oppgaver

Oppgave 1-1 : Derivasjon, potenser, rasjonale uttrykk, ligningssystem og kombinatorikk S1

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-2 : Tredjegradsfunksjon skjæringspunkter og veksthastighet

Oppgave 2-3 : Fotballtipping og binomisk sannsynlighet

Oppgave 2-4 : Stigningstall, derivasjon og kostnadsfunksjon ved regresjon S1 E07-1

Oppgave 2-4 : Eksponentialfunksjon relativ vekst og momentan vekst

Oppgave 2-5 : Lineær optimering for T-skjorter og topper

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave