R2 Høst 2010

LK06 6 oppgaver 72 poeng 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

R2 Høst 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 2 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon, integraler, differensiallikning og vektorer	—
2	Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 4 oppgaver · 48 poeng
3	Rekker, geometrisk rekke med variabel kvotient og induksjon	—
4	Drøfting av trigonometrisk funksjon med areal	—
4	Tangentareal til cosinusgraf med optimering	—
5	Befolkningsvekst modellert med differensiallikning	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integraler, differensiallikning og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x) = x^2 \cdot \ln x

g(x) = \sin^2 x - \cos^2 x

Bestem integralene

\int \frac{x}{x^2 + 3}\, dx

$\displaystyle\int_0^3 f(x)\, dx$ der figuren nedenfor viser grafen til $f$ .

Graf av f

Løs differensiallikningen:

y' - 2y^2 = 0 \quad \text{når} \quad y(0) = \frac{1}{2}

Gitt punktene $A(1, 0, 3)$ , $B(3, 2, 4)$ og $C(5, 3, 0)$

Bestem $|\overrightarrow{AB}|$ og $|\overrightarrow{AC}|$

Bestem $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$

Vis at $\left|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\right|^2 + \left(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\right)^2 = \left|\overrightarrow{AB}\right|^2 \cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|^2$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 16
Temaer: Derivasjon, Integrasjon, Differensiallikning, Vektorer

Oppgave 1-2 : Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har funksjonen $f(x) = x^2$

Skisse av f med F₁ og F₂

Bestem arealet $F_1$ avgrenset av grafen til $f$ , førsteaksen og linjen $x = a$ der $a > 0$ .

Rektangelet på skissen ovenfor kan deles i to områder med arealene $F_1$ og $F_2$ .

Vis at $\dfrac{F_2}{F_1} = 2$

Vi skal nå se på funksjonen $g(x) = x^n$ , der $n$ er et naturlig tall. Et tilsvarende rektangel som det ovenfor med funksjonen $g$ kan også deles i to områder med arealene $G_1$ og $G_2$ .

Forklar at $G_1 = \dfrac{1}{n+1} \cdot a^{n+1}$

Bestem $\dfrac{G_2}{G_1}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Bestemt integral, Integrasjon, Bevis, Funksjoner

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver · 48 poeng

Oppgave 2-3 : Rekker, geometrisk rekke med variabel kvotient og induksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2n - 1

Forklar at rekken er aritmetisk, og bruk dette til å vise at $S_n = n^2$

Vi skal nå se på en annen rekke

S_n = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{3^{n-1}}

Finn et uttrykk for $S_n$ . Finn ved regning hvor mange ledd vi minst må ha med for at $S_n > 1{,}45$

Vi lar nå antall ledd gå mot uendelig. Bestem rekkens sum dersom den finnes.

Vi ser på en uendelig geometrisk rekke med variabel kvotient

S(x) = 1 + \frac{x}{3} + \frac{x^2}{9} + \cdots

Bestem konvergensområdet til rekken. Finn et uttrykk for $S(x)$ .

Løs likningene $S(x) = 4$ og $S(x) = -2$

Bevis formelen

1 + 3 + 6 + 10 + \cdots + \frac{n \cdot (n+1)}{2} = \frac{n \cdot (n+1)(n+2)}{6}

ved induksjon.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 14
Temaer: Rekker, Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Konvergens, Induksjon, Bevis

Oppgave 2-4 : Drøfting av trigonometrisk funksjon med areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Den periodiske funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = 2\sin x + 2\sin x \cdot \cos x, \quad x \in \langle 0,\, 4\pi \rangle

Tegn grafen til $f$ . Bestem perioden.

Finn nullpunktene til $f$ ved regning.

Vis ved regning at

f'(x) = 4\cos^2 x + 2\cos x - 2

Bruk $f'(x)$ til å bestemme topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Finn $f''(x)$ ved regning. Bruk $f''(x)$ til å bestemme eventuelle vendepunkter på grafen til $f$ i intervallet $x \in \langle 0,\, 2\pi \rangle$

Bestem ved regning arealet av det flatestykket som er avgrenset av grafen til $f$ , førsteaksen og linjene $x = 0$ og $x = \pi$

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 12
Temaer: Trigonometri, Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral

Oppgave 2-4 : Tangentareal til cosinusgraf med optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

Vi har tegnet grafen til

f(x) = \cos x

og en tangent til denne i punktet $P(a,\, f(a))$ .

Skjæringspunktene mellom tangenten og koordinataksene er $A$ og $B$ . Se skissene til høyre.

Skisse 1: graf med tangent og punkter O, B, P, A

Vis at likningen for tangenten er

y = -(\sin a) \cdot x + a \cdot \sin a + \cos a

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ . Vis at arealet av $\triangle OAB$ er

F_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}(a \cdot \sin a + \cos a) \cdot \left(a + \frac{\cos a}{\sin a}\right)

Skisse 2: graf med fargelagt område mellom cosinus og tangent

Forklar at arealet $T$ av det fargelagte området på skissen til høyre kan skrives

T(a) = F_{\triangle OAB} - 1

Tegn grafen til $T$ når $a \in \left\langle \frac{1}{5},\, \frac{\pi}{2} \right\rangle$

Bestem $T_{\min}$ med tilhørende verdi av $a$ . Finn ut hva som skjer med arealet av det fargelagte området når $a \to \dfrac{\pi}{2}$

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 12
Temaer: Derivasjon, Optimering, Bestemt integral, Trigonometri

Oppgave 2-5 : Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I 2008 var innvandringen til Norge $1{,}4\%$ av folketallet $y$ , mens utvandringen var $0{,}5\%$ av $y$ . Dette året ble det født 60 000, mens antall døde var 42 000.

Vi antar at disse dataene for befolkningsendringen holder seg konstant noen år. Vi lar innbyggertallet i Norge være $y(t)$ , der $t$ er antall år etter 1. januar 2009. Det vil si at $y(0)$ er folketallet i begynnelsen av 2009, $y(1)$ er folketallet i begynnelsen av 2010, og så videre.

Forklar at befolkningsendringen kan beskrives ved differensiallikningen

y' = 0{,}009 \cdot y + 18\,000

Bestem folketallet det året befolkningen vokser med 72 000.

Finn den generelle løsningen av differensiallikningen ved regning.

Folketallet i Norge 1. januar 2009 var 4 800 000. Bestem konstanten i løsningen av differensiallikningen.

Hvor lang tid vil det ta, ifølge modellen ovenfor, før innbyggertallet i Norge er 6 000 000?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Differensiallikning, Modellering, Eksponentialfunksjon

Sync på tvers av enheter

R2 Høst 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 2 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, integraler, differensiallikning og vektorer

Oppgave 1-2 : Areal under x² og forholdet mellom F₁ og F₂

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 4 oppgaver · 48 poeng

Oppgave 2-3 : Rekker, geometrisk rekke med variabel kvotient og induksjon

Oppgave 2-4 : Drøfting av trigonometrisk funksjon med areal

Oppgave 2-4 : Tangentareal til cosinusgraf med optimering

Oppgave 2-5 : Befolkningsvekst modellert med differensiallikning

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave