Fysikk 2 Høst 2024

Når hopperen forlater flyet, har hun samme horisontale fart som flyet og ingen vertikal fart. Luftmotstanden virker mot bevegelsen gjennom lufta. Den horisontale fartskomponenten bremses derfor ned mot null (A er feil), og fordi luftmotstanden avtar når farten avtar, er heller ikke den horisontale akselerasjonen konstant (B er feil). Den vertikale farten øker fra null mot en konstant grensefart (C er feil). Den vertikale akselerasjonen starter på $g$ og minker mot null etter hvert som luftmotstanden vokser og til slutt balanserer tyngdekraften, så D er riktig.

Den horisontale og den vertikale bevegelsen er uavhengige av hverandre. Vertikalt starter kula med fart null og faller fritt, så $h={\displaystyle \frac{1}{2}}g{t}^2$, som gir $t=\sqrt{{\displaystyle \frac{2h}{g}}}$. Den horisontale farten $v_0$ påvirker bare hvor langt kula kommer, ikke falltiden.

Punktet der snorene møtes, er i ro, så kraftsummen der er null. I figur 1 er oppsettet symmetrisk, snorene danner like store vinkler med horisontalen, og $S_1=S_2$. Påstand 1 er feil. I figur 2 må de horisontale komponentene av snorkreftene være like store: $S_3\cos {\theta }_3=S_4\cos {\theta }_4$, der $\theta$ er vinkelen med horisontalen. Snor 3 er brattere enn snor 4, så $\cos {\theta }_3<\cos {\theta }_4$, og da må $S_3>S_4$. Påstand 2 er riktig.

Normalkraften er $N=mg\cos \alpha$, så friksjonskraften er $R=\mathrm{0,20}mg\cos \alpha$ og virker oppover planet, mot bevegelsen. Komponenten av tyngdekraften nedover planet er $mg\sin \alpha$. Newtons 2. lov langs planet gir $ma=mg\sin \alpha -\mathrm{0,20}mg\cos \alpha$, altså $a=g(\sin \alpha -\mathrm{0,20}\cos \alpha )$. A mangler friksjonen, og C har friksjonen i feil retning.

Bordet er friksjonsfritt, så den eneste kraften på klossen i bevegelsesretningen er den horisontale komponenten av snorkraften, $S\cos \alpha$. Den vertikale komponenten $S\sin \alpha$ gir ingen akselerasjon, fordi klossen holdes mot bordet. Når klossen nærmer seg trinsa, øker $\alpha$ og $\cos \alpha$ avtar, så en stadig mindre del av snorkraften trekker klossen framover, og akselerasjonen avtar mot null når $\alpha$ nærmer seg ${90}^{\circ }$. (Strengt tatt endres også snorkraften underveis, fordi loddet har mindre fart enn klossen når snora står på skrå, så en fullstendig analyse gir et mer sammensatt forløp. Men det er vinkelen som er poenget her, og den trekker akselerasjonen ned.)

I posisjon 1 er kula ute på siden. Der har tyngdekraften en komponent langs banen, $G\sin \theta$, som snorkraften (langs snora) ikke kan oppveie. Kraftsummen har dermed en komponent langs banen og peker ikke i snorkraftens retning, så påstand 1 er feil. I posisjon 2 er både snorkraften og tyngdekraften vertikale. Kula er i bunnen av en sirkelbane og har sentripetalakselerasjon oppover mot opphengingspunktet, så $\sum F=S-G={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$ peker oppover, i samme retning som snorkraften. Påstand 2 er riktig.

Klossen følger en sirkelbane, så kraftsummen inn mot sentrum må være ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$. Komponenten $G_y$ peker inn mot sentrum, mens normalkraften fra banen peker ut fra sentrum. Newtons 2. lov i radiell retning gir $G_y-N={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$, altså $N=G_y-{\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$. Normalkraften er altså mindre enn $G_y$, og blir ${\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$ større enn $G_y$, letter klossen fra banen.

Gravitasjonskraften er konservativ, så den mekaniske energien ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-\gamma {\displaystyle \frac{Mm}{r}}$ er bevart for hver asteroide. Alle tre har samme fart og samme avstand fra jorda i utgangspunktet, og dermed samme mekaniske energi. Ved jordoverflata har de også samme potensielle energi, så de må ha samme kinetiske energi og samme fart. Retningen påvirker bare banen og hvor lang tid det tar.

Både den elektriske kraften $q\overrightarrow{E}$ (mot høyre) og tyngdekraften $m\overrightarrow{g}$ (nedover) er konstante, så kraftsummen og akselerasjonen er konstante. En partikkel som starter fra ro med konstant akselerasjon, beveger seg rettlinjet i retning av kraftsummen, altså skrått nedover mot høyre. Krumme baner som i A, C og D krever at partikkelen har en startfart med en komponent på tvers av kraftsummen.

Kula i snora påvirkes av tyngdekraften $mg$ nedover, snorkraften $S$ langs snora og den elektriske frastøtningskraften $F_{\mathrm{e}}$, som er vannrett fordi den andre kula ligger rett til siden i avstand $d$. Trekanten er likebeint og rettvinklet, så snora danner ${45}^{\circ }$ med vertikalen. Likevekt gir $S\cos {45}^{\circ }=mg$ og $S\sin {45}^{\circ }=F_{\mathrm{e}}$, altså $F_{\mathrm{e}}=mg\tan {45}^{\circ }=mg$. Coulombs lov gir $k_{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{q^2}{d^2}}=mg$, så $q=d\sqrt{{\displaystyle \frac{mg}{k_{\mathrm{e}}}}}$.

Coulombs lov gir kraften $F=k_{\mathrm{e}}{\displaystyle \frac{Qq}{r^2}}$, og akselerasjonen er $a={\displaystyle \frac{F}{m}}$. I Python er r**2 lik $r^2$, mens r*2 er $2r$, så B og D er feil. I programmet regnes farten v positiv mot kjernen, fordi avstanden oppdateres med r = r - v*dt. Kjernene frastøter hverandre, så kraften virker bort fra kjernen og gjør v mindre. Akselerasjonen må derfor være negativ: a = -k*Q*q/(r**2*m).

Akselerasjonen er stigningstallet til fart-tid-grafen. Ved $\mathrm{0,1}\mathrm{s}$ har grafen toppunkt og tangenten er vannrett, så akselerasjonen er null (A er feil). Da er kraftsummen null, og friksjonskraften er like stor som frastøtningskraften (B er riktig). Ved $\mathrm{0,2}\mathrm{s}$ minker farten, så kraftsummen peker bakover og friksjonskraften er størst (C er feil). Strekningen er arealet under grafen. Trekanten med hjørner i $(0,0)$, $(\mathrm{0,1}\mathrm{s},\mathrm{0,76}\mathrm{m}/\mathrm{s})$ og $(\mathrm{0,73}\mathrm{s},0)$ ligger helt under grafen og har areal ${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \mathrm{0,73}\mathrm{s}\cdot \mathrm{0,76}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx \mathrm{0,28}\mathrm{m}$, så magneten beveger seg mer enn $15\mathrm{c}\mathrm{m}$ (D er feil).

Kraften på en strømførende leder vinkelrett på feltet er $F=IlB$, så $I={\displaystyle \frac{F}{lB}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,0}\mathrm{N}}{\mathrm{0,25}\mathrm{m}\cdot \mathrm{0,50}\mathrm{T}}}=16\mathrm{A}$. Retningen er gitt ved $\overrightarrow{F}=I\overrightarrow{l}\times \overrightarrow{B}$ (høyrehåndsregelen): med strømmen nedover og feltet ut av papiret peker kraften mot venstre, slik figuren viser. Et felt inn i papiret ville gitt kraft mot høyre.

Den magnetiske kraften står alltid vinkelrett på farten og gjør derfor ikke arbeid. Farten er konstant, så A og C er feil. Baneradien i et magnetfelt er $r={\displaystyle \frac{mv}{qB}}$. Den andre partikkelen krummer mindre og mindre, altså øker radien. Med konstant $m$, $v$ og $q$ betyr det at flukstettheten $B$ minker.

Etter Faradays induksjonslov induseres det bare spenning, og dermed strøm, når den magnetiske fluksen gjennom sløyfa endres. Når sløyfa er helt inne i ett av områdene eller helt utenfor feltet, er fluksen konstant, og pæra lyser ikke. Fluksen endres når sløyfa er på vei inn i område 1, når den ligger over grensen mellom områdene (fluksen går fra inn i papiret til ut av papiret), og når den er på vei ut av område 2. C stemmer med dette. I A lyser pæra helt utenfor feltet, og i B og D lyser den ikke når sløyfa er på vei inn i område 1.

I den spesielle relativitetsteorien er et treghetssystem et system som ikke akselererer, der Newtons 1. lov gjelder. Vi regner jorda som et treghetssystem, og systemer som beveger seg med konstant hastighet i forhold til jorda, er da også treghetssystemer. System 1 har konstant banefart, men banen krummer, så vogna har sentripetalakselerasjon. System 2 akselererer rettlinjet, og karusellen i system 5 har sentripetalakselerasjon. Kassa i fritt fall (system 4) regnes som et treghetssystem bare i den generelle relativitetsteorien (ekvivalensprinsippet). Bare heisen med konstant fart (system 3) er et treghetssystem i den spesielle relativitetsteorien.

Skolebygningen er i ro i forhold til bakken, så $L_0=36\mathrm{m}$ er egenlengden. Toget beveger seg langs bygningens lengderetning, så lengden observert fra toget er forkortet: $L={\displaystyle \frac{L_0}{\gamma }}={\displaystyle \frac{36\mathrm{m}}{\mathrm{4,0}}}=\mathrm{9,0}\mathrm{m}$.

En klokke som beveger seg i forhold til en observatør, går langsommere, og mer jo større farten er. Klokkene på skiva har samme vinkelfart, men banefarten $v=\omega r$ er størst for klokke 2 nær kanten. Klokke 2 går derfor langsommere enn klokke 1, og påstand 1 er feil. Klokke 2 beveger seg i forhold til klokke 3, som er i ro, så klokke 2 går langsommere enn klokke 3. Påstand 2 er også feil.

Når lyset beveger seg ut av gravitasjonsfeltet til planet A, blir det rødforskjøvet. Når det faller inn mot planet B, blir det blåforskjøvet. Påstand 1 har rekkefølgen feil vei. Planetene er identiske, så gravitasjonspotensialet ved overflata er det samme på begge. Rødforskyvningen ut fra A og blåforskyvningen inn mot B opphever hverandre, og bølgelengden er lik ved utsending og mottak. Påstand 2 er riktig.

Bølgepakken er bredere ved $t_1$ enn ved $t_0$, så $\mathrm{\Delta }{x}_1>\mathrm{\Delta }{x}_0$. Uskarphetsrelasjonen $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge {\displaystyle \frac{h}{4\pi }}$ gir minste mulige uskarphet i bevegelsesmengden $\mathrm{\Delta }p={\displaystyle \frac{h}{4\pi \mathrm{\Delta }x}}$. Større $\mathrm{\Delta }x$ gir mindre minste mulige $\mathrm{\Delta }p$, så $\mathrm{\Delta }{p}_1<\mathrm{\Delta }{p}_0$.

Elektronet har ladning $-e$. Den elektriske kraften ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{e}}=-e\overrightarrow{E}$ har motsatt retning av feltet, altså nedover, og størrelsen $F_{\mathrm{e}}=eE$.

Den magnetiske kraften er ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}}=q\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$. For en positiv ladning med fart mot høyre og felt ut av papiret peker $\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}$ nedover. Elektronet er negativt, så kraften på det peker oppover. Farten er vinkelrett på feltet, så størrelsen er $F_{\mathrm{m}}=evB$.

Elektronet går rettlinjet gjennom området. En kraftsum på tvers av farten ville bøyd banen, så kraftene må oppheve hverandre:

Håkon: Den elektriske kraften $eE$ nedover avhenger ikke av farten og er like stor som for det første elektronet. Den magnetiske kraften $evB$ oppover er proporsjonal med farten. Når $v<{\displaystyle \frac{E}{B}}$, er $evB<eE$, så idet elektronet kommer inn, er den elektriske kraften størst, og kraftsummen peker nedover. Håkon har rett.

Johanna: Kraftsummen nedover bøyer banen nedover, så elektronet får en fartskomponent nedover, i samme retning som den elektriske kraften. Det elektriske feltet gjør da positivt arbeid på elektronet, og farten øker. Den magnetiske kraften gjør ikke arbeid, fordi den står vinkelrett på farten. Farten ligger hele tiden i papirplanet, vinkelrett på $\overrightarrow{B}$, så størrelsen på den magnetiske kraften er $F_{\mathrm{m}}=evB$. Når $v$ endres, endres også $F_{\mathrm{m}}$. Johanna tar feil.

og 2) Både klossen og vogna påvirkes av tre krefter:

• tyngdekraften rett nedover, $G=mg$ på klossen og $G=Mg=2mg$ på vogna
• normalkraften $\overrightarrow{N}$ vinkelrett ut fra skråplanet
• snordraget $\overrightarrow{S}$ langs snora, parallelt med skråplanet og mot trinsa

Vi ser bort fra friksjon og luftmotstand, og snora går over trinsa, så snordraget er like stort på klossen og vogna.

Normalkreftene balanserer komponentene av tyngdekreftene vinkelrett på skråplanene. Langs planene trekker tyngdekreftene med komponentene

Siden $\beta >\alpha$ er $\sin \beta >\sin \alpha$, og dermed $2mg\sin \beta >mg\sin \alpha$. Akselerasjonen er derfor rettet med vogna nedover sitt skråplan og klossen oppover sitt. (Beveger systemet seg i øyeblikket andre veien, har akselerasjonen samme retning og størrelse, men da bremses bevegelsen.)

Vi bruker Newtons 2. lov langs bevegelsesretningen for hvert legeme, med vogna nedover planet som positiv retning:

Når vi legger sammen likningene, faller snordraget bort:

Faradays induksjonslov sier at den induserte spenningen i en spole med $N$ vindinger er

der ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}$ er hvor raskt den magnetiske fluksen gjennom spolen endres.

Når magnetene passerer spolen, går fluksen gjennom spolen fra et maksimum i én retning (nordpol mot spolen) til et maksimum i motsatt retning (sørpol mot spolen). Hvor stor denne fluksendringen $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$ er, bestemmes av magnetene og avstanden til spolen, og den er den samme uansett hvor fort hjulet går.

Økt vanntilførsel fyller begrene raskere og gir en større kraft på hjulet, så hjulet roterer raskere. Da passerer magnetene spolen på kortere tid, og den samme fluksendringen $\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }$ skjer i løpet av kortere tid $\mathrm{\Delta }t$. Fluksen endres raskere, $\left|{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}\right|$ blir større, og den maksimale induserte spenningen øker. Samtidig øker frekvensen til vekselspenningen.

Når vi ser bort fra luftmotstand, er tyngdekraften den eneste kraften på ballen. Ballen har derfor konstant akselerasjon $g$ loddrett nedover og ingen akselerasjon horisontalt. Vi legger origo der ballen sparkes, med $x$-aksen horisontalt ut fra brygga og $y$-aksen loddrett oppover.

Fartskomponenten i $y$-retning ved start er

Den loddrette posisjonen er

Ballen treffer vannet når $y=-h=-\mathrm{2,0}\mathrm{m}$:

Andregradsformelen gir

Den andre løsningen er negativ og har ingen fysisk mening her. Det tar altså $\mathrm{1,8}\mathrm{s}$ før ballen treffer vannet.

Horisontalt er farten konstant:

På flytiden fra a) kommer ballen

Ballen treffer vannet $\underline{\underline{23\mathrm{m}}}$ fra bryggekanten.

Midten av flåten ligger $x=20\mathrm{m}+{\displaystyle \frac{\mathrm{3,0}\mathrm{m}}{2}}=\mathrm{21,5}\mathrm{m}$ fra bryggekanten. Oversiden av flåten ligger $\mathrm{0,50}\mathrm{m}$ over vannet, altså $y=\mathrm{0,50}\mathrm{m}-\mathrm{2,0}\mathrm{m}=-\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ i forhold til utgangspunktet.

Startfarten $v_0$ er ukjent, og det samme er flytiden. Vi eliminerer tiden. Horisontalt gir $x=v_0\cos \alpha \cdot t$, så

Innsatt i $y(t)=v_0\sin \alpha \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$ får vi banelikningen

Vi løser for $v_0$:

Med $x=\mathrm{21,5}\mathrm{m}$, $y=-\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ og $\alpha =30°$ er $x\tan \alpha =\mathrm{12,41}\mathrm{m}$ og ${\cos }^2\alpha =\mathrm{0,75}$:

Ballen må sparkes med farten $\underline{\underline{v_0=\mathrm{14,7}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 15\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$ (to gjeldende sifre, som i de oppgitte målene). Det er litt mindre enn startfarten i a) og b). Med $\mathrm{15,0}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ville ballen landet på flåten, men bak midten.

Kontroll: flytiden blir $t={\displaystyle \frac{\mathrm{21,5}\mathrm{m}}{\mathrm{14,74}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot \cos 30°}}=\mathrm{1,68}\mathrm{s}$. Ved flåtens forkant ($x=20\mathrm{m}$) er ballen i høyden $y=-\mathrm{0,49}\mathrm{m}$, altså omtrent $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ over vannet og godt over flåten. Ballen treffer derfor ikke kanten først.

Romsonden er bare påvirket av gravitasjonskraften fra månen. Gravitasjonskraften er en konservativ kraft, så den mekaniske energien er bevart. I et gravitasjonsfelt fra en kuleformet masse $M$ er den potensielle energien

der $r$ er avstanden fra månens sentrum. Vi setter lik mekanisk energi i avstanden $r_1$ (900 km over overflata) og ved overflata ($r=R$):

Massen $m$ forkortes bort, og vi får

Med $R=\mathrm{1,737}\cdot {10}^6\mathrm{m}$, $r_1=R+900\mathrm{k}\mathrm{m}=\mathrm{2,637}\cdot {10}^6\mathrm{m}$ og $\gamma M=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{7,35}\cdot {10}^{22}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2=\mathrm{4,902}\cdot {10}^{12}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$:

Gravitasjonsakselerasjonen $a=\gamma {\displaystyle \frac{M}{r^2}}$ øker når romsonden kommer nærmere månen. Akselerasjonen er altså ikke konstant, og vi kan ikke bruke bevegelseslikningene for konstant akselerasjon. Vi løser bevegelsen numerisk med Eulers metode: i hvert lite tidssteg $\mathrm{\Delta }t$ regner vi akselerasjonen som konstant, oppdaterer farten med $a\mathrm{\Delta }t$ og posisjonen med $v\mathrm{\Delta }t$.

Vi lar $r$ være avstanden fra månens sentrum og $v$ farten mot månen (positiv inn mot månen). Da øker $v$ og minker $r$ for hvert steg. Løkka går så lenge romsonden ikke har nådd overflata, altså så lenge $r>R$.

gamma = 6.67e-11     # gravitasjonskonstanten i N m^2/kg^2
M = 7.35e22          # månens masse i kg
R = 1737e3           # månens radius i m

r = R + 900e3        # startavstand fra månens sentrum i m
v = 1440             # startfart mot månen i m/s
t = 0                # tid i s
dt = 0.001           # tidssteg i s

while r > R:
    a = gamma*M/r**2     # akselerasjon mot månen
    v = v + a*dt
    r = r - v*dt         # avstanden minker fordi romsonden faller mot månen
    t = t + dt
print(f"Tid: {t:.0f} s, fart ved nedslag: {v:.0f} m/s")

Utskrift:

Tid: 535 s, fart ved nedslag: 2000 m/s

Det tok $\underline{\underline{535\mathrm{s}}}$, omtrent $9$ minutter, fra romsonden var $900\mathrm{k}\mathrm{m}$ over overflata til den traff månen. At programmet gir farten $2000\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ved nedslaget, stemmer med a) og er en god kontroll av koden.

I en sirkelbane er gravitasjonskraften fra månen den eneste kraften på romsonden, og den virker som sentripetalkraft:

Farten i sirkelbanen er $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$. Innsatt får vi

Banen går $900\mathrm{k}\mathrm{m}$ over overflata, så $r=\mathrm{2,637}\cdot {10}^6\mathrm{m}$:

Rundetiden er $\underline{\underline{\mathrm{1,22}\cdot {10}^4\mathrm{s}}}$, som er omtrent $\mathrm{3,38}$ timer.

Egentiden $t_0$ mellom to hendelser er tiden målt i det referansesystemet der begge hendelsene skjer på samme sted. Her er hendelsene «ballen slippes» og «ballen treffer perrongen».

Nils står i ro på perrongen. I hans referansesystem faller ballen rett ned, og begge hendelsene skjer på samme sted langs togets fartsretning. Høydeforskjellen er vinkelrett på den relative farten og påvirker ikke tidsmålingen. Nils måler derfor egentiden $t_0=\mathrm{1,00}\mathrm{s}$.

For Mikkel beveger perrongen, Nils og ballen seg med $280\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. I hans referansesystem skjer de to hendelsene på ulike steder. Tidsdilatasjonen $t=\gamma t_0$ med $\gamma >1$ gir at Mikkel måler en lengre falltid enn Nils.

Farten til toget er

Med lysfarten $c=300\mathrm{m}/\mathrm{s}$ blir lorentzfaktoren

Mikkel måler falltiden

Idet Mikkel passerer Nils, er ballen akkurat sluppet, så den er i ro i forhold til Nils. Nils måler derfor ballens egenlengde, $L_0=\mathrm{15,9}\mathrm{c}\mathrm{m}$ i alle retninger.

I Mikkels referansesystem beveger ballen seg med farten $\mathrm{77,8}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ langs toget. Lengdekontraksjon skjer bare i bevegelsesretningen. Langs togets fartsretning måler Mikkel

På tvers av fartsretningen, både loddrett og horisontalt vinkelrett på toget, er det ingen kontraksjon, og Mikkel måler fortsatt $\mathrm{15,9}\mathrm{c}\mathrm{m}$. For Mikkel er ballen altså ikke kuleformet, men litt flattrykt i fartsretningen. Sett fra siden får den form som en ellipse:

Hvert foton har energien

Et elektron som absorberer et foton, bruker minst frigjøringsarbeidet $W$ på å komme løs fra metallet. Resten blir kinetisk energi. De elektronene som er svakest bundet, får den maksimale kinetiske energien. Einsteins fotoelektriske likning gir

Frigjøringsarbeidet er $\underline{\underline{\mathrm{6,94}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}}$, som tilsvarer omtrent $\mathrm{4,33}\mathrm{e}\mathrm{V}$.

I figuren er plusspolen på spenningskilden koblet (via amperemeteret) til metallplata som blir belyst, og minuspolen til den andre elektroden. Den andre elektroden får da lavere potensial enn metallplata. Det elektriske feltet mellom elektrodene bremser elektronene som beveger seg over mot den andre elektroden. Spenningen $U$ er altså en motspenning.

Fremgangsmåte:

• Med $U=0$ når mange av de frigjorte elektronene fram til den andre elektroden, og amperemeteret viser en strøm.
• Vi øker motspenningen gradvis. Når et elektron går fra metallplata til den andre elektroden, gjør den elektriske kraften arbeidet $-eU$ på det. Bare elektroner med kinetisk energi $E_k\ge eU$ kommer fram, og strømmen avtar.
• Vi øker $U$ til strømmen akkurat blir null. Denne spenningen kalles bremsespenningen $U_0$. Da stoppes også de raskeste elektronene rett før de når fram, og all den kinetiske energien deres er gått over til elektrisk potensiell energi.

Den maksimale kinetiske energien blir

Vi leser av $U_0$ på spenningskilden og ganger med elementærladningen. Her ville vi funnet $U_0={\displaystyle \frac{\mathrm{1,18}\cdot {10}^{-19}\mathrm{J}}{\mathrm{1,602}\cdot {10}^{-19}\mathrm{C}}}=\mathrm{0,737}\mathrm{V}$.

Heisenbergs uskarphetsrelasjon for posisjon og bevegelsesmengde i $y$-retning er

Med $\mathrm{\Delta }y=12\mathrm{n}\mathrm{m}=12\cdot {10}^{-9}\mathrm{m}$ blir den minste mulige uskarpheten

En klassisk partikkel som beveger seg nøyaktig i $x$-retning og passerer den første spalten, ville fortsatt rett fram og gått gjennom den andre spalten også. Et elektron er derimot en kvantepartikkel, og da gjelder uskarphetsrelasjonen.

Når elektronet går gjennom den første spalten, er posisjonen i $y$-retning bestemt innenfor $12\mathrm{n}\mathrm{m}$. Da kan bevegelsesmengden i $y$-retning ikke samtidig være nøyaktig null. Fra c) er uskarpheten minst $\mathrm{4,4}\cdot {10}^{-27}\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}$. Det svarer til en uskarphet i fart på tvers av