2P Vår 2013

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

Det er 10 tall (et partall antall), så medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene (plass 5 og 6):

Gjennomsnittet finner vi ved å legge sammen alle verdiene og dele på antall:

Typetallet er den verdien som forekommer flest ganger. Tallet $1$ forekommer 3 ganger, de andre forekommer færre ganger.

Typetall $=\text{𝟏}$

Vi teller opp hvor mange ganger hvert antall passasjerer forekommer, og summerer fortløpende for kumulativ frekvens.

Tilbud 1 gir 100 kroner fast, pluss 5 kroner per oppvask:

Tilbud 2 gir 50 kroner fast, pluss 10 kroner per oppvask:

Vi skisserer de to grafene i samme koordinatsystem.

• $T_1$: starter i $y=100$ (skjærer $y$-aksen i 100), stiger med 5 per oppvask.
• $T_2$: starter i $y=50$ (skjærer $y$-aksen i 50), stiger med 10 per oppvask.

Vi finner skjæringspunktet ved å sette uttrykkene like:

Ved $x=10$ er lønnen $T_1(10)=100+5\cdot 10=150\mathrm{kr}$.

Råd til Sigvald:

• Tar han oppvasken færre enn 10 ganger i uka, bør han velge tilbud 1 (høyere fastlønn veier opp).
• Tar han oppvasken mer enn 10 ganger i uka, bør han velge tilbud 2 (høyere stykksats gir mer).
• Tar han oppvasken nøyaktig 10 ganger, er tilbudene like gode ($150\mathrm{kr}$).

Bilen koster $100000\mathrm{kr}$ ved kjøp (når $x=0$).

Verdien avtar med $10\%$ hvert år. Det betyr at bilen beholder $100\%-10\%=90\%$ av verdien sin hvert år.

Vekstfaktoren er $\mathrm{0,9}$, og modellen blir:

der $x$ er antall år etter kjøpet.

Graf C er grafen til $f$.

Vi begrunner ved å utelukke de andre:

• Graf A er en rett linje (lineær). En eksponentiell funksjon er ikke en rett linje, så A passer ikke.
• Graf B avtar, men kurven «bøyer seg» slik at den nærmer seg en bestemt $y$-verdi og til slutt treffer $x$-aksen. Det ser ut som grafen til en funksjon som går mot null og krysser $x$-aksen, noe en eksponentiell funksjon med positiv vekstfaktor ikke gjør.
• Graf C starter høyt, avtar raskere i begynnelsen og flater ut mot $x$-aksen uten å nå den. Kurven bøyer seg riktig vei (konveks) og nærmer seg null for store $x$-verdier uten å krysse $x$-aksen. Dette stemmer med en eksponentiell funksjon der vekstfaktoren er mellom 0 og 1.

$\underline{\underline{\text{Grafen til }f\text{ er graf C.}}}$

Figuren viser at firkanten er delt opp med én diagonal i 2 trekanter, og femkanten er delt opp med to diagonaler i 3 trekanter.

Siden vinkelsummen i én trekant er $180°$, blir vinkelsummen i firkanten og femkanten

Vi ser et mønster: en mangekant med $n$ kanter kan deles opp i $(n-2)$ trekanter ved å trekke diagonaler fra ett og samme hjørne. Figuren under viser prinsippet for en sekskant, der 3 diagonaler fra hjørne 1 deler sekskanten i 4 trekanter.

For sekskant ($n=6$) og åttekant ($n=8$) blir da antall trekanter og vinkelsum

Vinkelsummen i en mangekant med $n$ kanter er generelt gitt ved

Vi vet at $V=1800°$, og setter dette inn i formelen:

Mangekanten har altså $\underline{\underline{12\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Vi beregner sektorvinkelen for hvert parti. Totalt antall representanter er $169$.

Sektorvinkel = ${\displaystyle \frac{\text{antall}}{\text{total}}}\cdot 360°$

Sektordiagrammet viser at Arbeiderpartiet med $\frac{64}{169}\approx 38\%$ av plassene er klart størst parti.

For å sammenligne kvinner og menn innen hvert parti er et gruppert søylediagram et passende valg. Da kan vi enkelt se kjønnsfordelingen innad i hvert parti og sammenligne partiene med hverandre.

Vi ser blant annet at Arbeiderpartiet hadde like mange kvinner som menn ($32$ og $32$), mens Fremskrittspartiet hadde langt færre kvinner enn menn ($10$ mot $31$). Venstre hadde kun $2$ representanter, begge kvinner.

Vi ser av tabellen at prisen øker med $625-500=125\mathrm{kr}$ når antall kilometer øker med $150-100=50\mathrm{km}$. Prisøkningen per kilometer er da:

For å komme fra $150\mathrm{km}$ til $300\mathrm{km}$ må vi kjøre $300-150=150\mathrm{km}$ ekstra. Det gir en ekstra kostnad på:

Total pris for $300\mathrm{km}$ blir:

Vi kontrollerer ved å regne fra $100\mathrm{km}$: $300-100=200\mathrm{km}$ ekstra gir $200\cdot \mathrm{2,5}=500\mathrm{kr}$, og totalt $500+500=1000\mathrm{kr}$. Begge veier gir samme svar.

$\underline{\underline{\text{Det vil koste }1000\mathrm{kr}\text{ å leie bilen og kjøre }300\mathrm{km}.}}$

Stigningstallet $a$ er prisøkningen per kilometer, som vi fant i a):

Vi finner konstantleddet $b$ ved å sette inn ett av punktene, for eksempel $(100,500)$, i $y=ax+b$:

$\underline{\underline{y=\mathrm{2,5}x+250}}$

$a=\mathrm{2,5}$ forteller hvor mye prisen øker for hver ekstra kilometer som kjøres, altså at det koster $\mathrm{2,5}\mathrm{kr}$ per kilometer å kjøre bilen.

$b=250$ er prisen når $x=0$, altså en fast grunnpris på $250\mathrm{kr}$ for å leie bilen, uavhengig av hvor mange kilometer som kjøres.

$\underline{\underline{a=\mathrm{2,5}\text{ kr/km er kilometerprisen, }b=250\text{ kr er en fast leiepris.}}}$

Antall personer som mottar e-posten, dobles for hver dag. Vi setter opp en tabell der vi dobler antallet dag for dag, med 1. januar som dag 1:

$\underline{\underline{\text{6. januar mottar }64\text{ personer e-posten.}}}$

Vi fortsetter å doble antallet fra dag til dag og ser etter hvilken dag antallet for første gang blir større enn én milliard ($1000000000$). I stedet for å doble ett og ett tall hele veien, kan vi merke oss at $2^{10}=1024\approx 1000$, slik at antallet vokser raskt. Vi regner ut noen utvalgte dager og fortsetter deretter dag for dag mot slutten:

Vi ser at antallet 29. januar er $536870912$, som fortsatt er mindre enn én milliard, mens antallet 30. januar er $1073741824$, som er større enn én milliard.

$\underline{\underline{\text{30. januar vil antall mottatte e-poster på én dag for første gang bli større enn én milliard.}}}$

Vi bruker formelen for prosentvis endring:

Vinnertiden sank med omtrent $\underline{\underline{\mathrm{14,4}\%}}$ fra 1968 til 2010.

Gjennomsnittet regnes ut ved å summere alle tidene og dele på antall utøvere (8):

OL 1968:

OL 2010:

Gjennomsnittstiden for de åtte beste var omtrent $\underline{\underline{\mathrm{125,1}\mathrm{s}}}$ i 1968 og $\underline{\underline{\mathrm{106,4}\mathrm{s}}}$ i 2010.

Standardavviket måler hvor mye tidene avviker fra gjennomsnittet.

OL 1968: $s\approx \underline{\underline{\mathrm{0,71}\mathrm{s}}}$

OL 2010: $s\approx \underline{\underline{\mathrm{0,39}\mathrm{s}}}$

Standardavviket er større i 1968 fordi tidene der er mer spredt: vinnerens tid (123,4 s) skiller seg klart fra resten av feltet som ligger mellom 125,0 og 126,1 s. I 2010 er alle åtte utøverne innenfor et langt trangere intervall (105,57 til 106,77 s), noe som gir et lavere standardavvik.

En tom dorull har diameter $38\mathrm{mm}$. Vi setter $f(x)=38$ og løser for $x$:

Ifølge modellen er det omtrent $\underline{\underline{\mathrm{21,6}\mathrm{m}}}$ papir på en ny dorull.

På pakken står det at hver dorull inneholder 160 ark, og hvert ark er $14\mathrm{cm}=\mathrm{0,14}\mathrm{m}$ langt.

Totalt papir ifølge pakken:

Modellen gir $\mathrm{21,6}\mathrm{m}$, mens pakken angir $\mathrm{22,4}\mathrm{m}$.

Avviket er $\mathrm{22,4}-\mathrm{21,6}=\mathrm{0,8}\mathrm{m}$, altså omtrent $4\%$. Modellen stemmer rimelig godt med opplysningene på pakken.

Vi lar $x$ være antall år etter 2006.

Det totale verditapet fra 2006 til 2011 (5 år) er oppgitt i tabellen som $128990\mathrm{kr}$. Deler vi dette likt på hvert år, får vi det årlige verditapet:

At verditapet er det samme hvert år betyr at vi bruker en lineær modell — verdien avtar med et konstant beløp per år.

Den lineære modellen starter på nybilprisen i 2006 og trekker fra $25780\mathrm{kr}$ for hvert år:

Bilen mister $25780\mathrm{kr}$ i verdi hvert år ifølge den lineære modellen.

En eksponentiell modell har formen

der $k$ er vekstfaktoren per år. Vi vet at $g(5)=171000$:

Den eksponentielle modellen blir:

En vekstfaktor på $\mathrm{0,8937}$ svarer til et prosentvis verditap på

Bilen mister cirka $11\%$ av verdien sin hvert år ifølge den eksponentielle modellen.

2013 er 7 år etter 2006, så vi setter $x=7$ i begge modellene.

GeoGebra — begge modellene plottet:

Blå kurve: lineær modell $f(x)$. Grønn kurve: eksponentiell modell $g(x)$.

Lineær modell:

Eksponentiell modell:

Ifølge den lineære modellen er bilen verd $\underline{\underline{119530\mathrm{kr}}}$ i 2013.

Ifølge den eksponentielle modellen er bilen verd $\underline{\underline{136600\mathrm{kr}}}$ i 2013.

Den eksponentielle modellen gir en høyere verdi fordi den tar mest verdi de første årene (da bilen er ny), og mindre og mindre verdi etter hvert — noe som er mer realistisk for biler.