2P Vår 2011

Vi skriver hvert tall som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens.

1) $36200=\underline{\underline{\mathrm{3,62}\cdot {10}^4}}$

2) $\mathrm{0,000}642=\underline{\underline{\mathrm{6,42}\cdot {10}^{-4}}}$

3) $53$ millioner $=53000000=\underline{\underline{\mathrm{5,3}\cdot {10}^7}}$

4) Vi regner ut tallet først og skriver deretter om til standardform:

Vekstfaktoren finner vi ved $1+{\displaystyle \frac{\text{prosentvis endring}}{100}}$. Er vekstfaktoren kjent, finner vi prosentvis endring ved $(\text{vekstfaktor}-1)\cdot 100\%$.

1) Vi bruker potensreglene $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, ${(a^m)}^n=a^{m\cdot n}$ og $a^0=1$:

2) Vi skriver $4$ og $8$ som potenser av $2$ ($4=2^2$, $8=2^3$) slik at vi kan bruke potensreglene:

Målene i de $10$ kampene er $5,5,0,4,3,5,2,0,2,2$.

1) Gjennomsnittet er summen delt på antall kamper:

For medianen sorterer vi tallene: $0,0,2,2,2,3,4,5,5,5$. Med $10$ tall er medianen gjennomsnittet av det $5.$ og $6.$ tallet:

2) Vi teller opp hvor mange ganger hvert antall mål forekommer, og legger sammen frekvensene fortløpende for å få kumulativ frekvens:

3) Den kumulative frekvensen for to mål er $\underline{\underline{5}}$. Det betyr at i $5$ av de $10$ kampene ble det scoret høyst (maks) $2$ mål.

Vinkelen til hver sektor finner vi ved ${\displaystyle \frac{\text{antall elever}}{120}}\cdot 360°$:

Kontroll: $45°+90°+120°+105°=360°$. Vi tegner en sirkel og deler den inn i fire sektorer med disse gradtallene, målt med gradskive fra sirkelens sentrum, og merker av hvilken tur hver sektor viser.

Marit tar feil. Når prisen først økes med $10\%$, ganger vi med vekstfaktoren $\mathrm{1,10}$. Når prisen deretter økes med $10\%$ til, ganger vi med $\mathrm{1,10}$ på nytt — men da er det den nye, høyere prisen som økes, ikke den opprinnelige.

Samlet vekstfaktor blir

som tilsvarer en økning på $21\%$, ikke $20\%$.

Eksempel: Si at varen først koster $100$ kroner.

• Etter første økning: $100\cdot \mathrm{1,10}=110$ kroner.
• Etter andre økning: $110\cdot \mathrm{1,10}=121$ kroner.

I butikk A (én økning på $20\%$) hadde varen kostet $100\cdot \mathrm{1,20}=120$ kroner. Butikk B ender altså på $121$ kroner, ikke $120$ kroner, så prisen er ikke den samme i de to butikkene.

Vi bruker klassemidtpunktet som representant for hver klasse, ganger med frekvensen og deler på totalt antall elever:

Rad 1: Vi vet at ${123}_4$ tilsvarer grunntall $10$-tallet

som stemmer med tallet i første kolonne. For å skrive $27$ i totallsystemet, trekker vi fra de største toerpotensene vi kan:

Rad 2: Vi regner om ${101010}_2$ til grunntall $10$:

Deretter regner vi om $42$ til grunntall $4$ ved å trekke fra de største firerpotensene:

Vi leser av gradestokken der de to skalaene står ved siden av hverandre. Merket $10°\mathrm{C}$ på celsiusskalaen står ved siden av $50$ på fahrenheitskalaen. På samme måte leser vi av at $0°\mathrm{F}$ svarer til omtrent $-18°\mathrm{C}$, og at $100°\mathrm{F}$ svarer til omtrent $38°\mathrm{C}$.

b og c

Vi setter av de tre punktene $(0,-18)$, $(50,10)$ og $(100,38)$ i et koordinatsystem med fahrenheit langs $x$-aksen og celsius langs $y$-aksen. Punktene ligger tilnærmet på en rett linje, som vi tegner gjennom dem og forlenger.

For å finne celsiusverdien til $350°\mathrm{F}$ forlenger vi linja til $x=350$ og leser av $y$-verdien der.

Ved $x=350°\mathrm{F}$ leser vi av at linja treffer omtrent $y\approx 177$.

Stig bør altså steke kaken på omtrent $\underline{\underline{177°\mathrm{C}}}$.

Avlesning på en håndtegnet linje er ikke eksakt: avhengig av nøyaktigheten i avlesningen av de tre punktene og av linja, vil svaret typisk havne et sted mellom $177°\mathrm{C}$ og $178°\mathrm{C}$. Til sammenligning gir den eksakte omregningsformelen $(350-32)\cdot \frac{5}{9}\approx \mathrm{176,7}°\mathrm{C}$, som stemmer godt med avlesningen.

Mengden antibiotika reduseres med $11\%$ hver time. Det betyr at vekstfaktoren per time er

1) Etter én time er det igjen

2) Etter åtte timer er mengden redusert med faktoren $\mathrm{0,89}$ åtte ganger, altså ${\mathrm{0,89}}^8$:

Hver gang Vibeke tar en ny tablett, legges $220\mathrm{mg}$ til den mengden som allerede er igjen i kroppen fra tidligere tabletter.

1) Rett før hun tar den andre tabletten (etter åtte timer), er det $\mathrm{86,6}\mathrm{mg}$ igjen fra den første tabletten (jf. a2). Rett etter den andre tabletten er mengden

2) Disse $\mathrm{306,6}\mathrm{mg}$ reduseres i åtte nye timer med faktoren ${\mathrm{0,89}}^8$ før hun tar den tredje tabletten:

Rett etter den tredje tabletten er mengden

Grafen består av tre “tenner”: mengden antibiotika avtar eksponentielt (med vekstfaktor $\mathrm{0,89}$ per time) mellom hver tablett, og hopper brått opp med $220\mathrm{mg}$ hver gang Vibeke tar en ny tablett (ved $t=0$, $t=8$ og $t=16$). Etter den tredje tabletten fortsetter kurven å avta fram til $t=24$, der mengden er kommet ned i ca. $\mathrm{134,1}\mathrm{mg}$.

Vi lager ett stolpediagram for hver av de to tabellene, med fartsintervallene langs den vannrette aksen og antall biler langs den loddrette.

Det er totalt $25+26+23+3+2+1=80$ biler i hver av de to kontrollene.

Fartsgrense $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Å kjøre $10\%$ eller mer over fartsgrensen betyr en fart på minst

Grensen $55\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ er nettopp klassegrensen mellom $[\mathrm{50,55}⟩$ og $[\mathrm{55,60}⟩$, så vi kan telle klassene direkte. Dette treffer klassene $[\mathrm{55,60}⟩$, $[\mathrm{60,65}⟩$, $[\mathrm{65,70}⟩$ og $[\mathrm{70,75}⟩$, med til sammen

Andelen blir

Fartsgrense $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Å kjøre $10\%$ eller mer over fartsgrensen betyr en fart på minst

Grensen på $88\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ ligger denne gangen midt inne i klassen $[\mathrm{85,90}⟩$, ikke på en klassegrense. Tar vi med hele klassen $[\mathrm{85,90}⟩$ (8 biler) i tillegg til klassen over, får vi

men det blir for høyt, siden ikke alle de $8$ bilene i klassen faktisk kjørte $88\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$ eller mer. Vi antar at bilene er jevnt fordelt utover klassen $[\mathrm{85,90}⟩$, og regner bare med den andelen av klassen som ligger over $88\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$. Klassen har bredde $5$, og $88$ ligger $2$ over nedre grense, altså dekker $88$ til $90$ en andel

av klassen. Det tilsvarer

Sammen med de $0+5=5$ bilene i klassene $[\mathrm{90,95}⟩$ og $[\mathrm{95,125}⟩$, som uansett kjørte over $88\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$, gir dette

Vi finner gjennomsnittsfarten ved å bruke midtpunktet i hver klasse som representativ fart, multiplisere med antall biler i klassen, summere og dele på totalt antall biler.

Fartsgrense $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Fartsgrense $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$: her er midtpunktet i den siste klassen ${\displaystyle \frac{95+125}{2}}=110$.

Fartsgrense $50\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Fartsgrense $80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}$:

Alle fire svarene peker i samme retning:

• Stolpediagrammene (a) viser at farten på $80$-strekningen samler seg tett rundt fartsgrensen, mens farten på $50$-strekningen sprer seg mer og har en klar “hale” av biler godt over grensen.
• Andelen som kjører minst $10\%$ for fort (b) er mye høyere på $50$-strekningen ($\mathrm{36,25}\%$) enn på $80$-strekningen (ca. $10\%$).
• Gjennomsnittsfarten (c) og hvor mange prosent den ligger over fartsgrensen (d) viser det samme: på $50$-strekningen ligger gjennomsnittet $\mathrm{6,75}\%$ over grensen, mens det på $80$-strekningen bare ligger ca. $\mathrm{1,4}\%$ over.

Konklusjonen er at $\underline{\underline{\text{bilførerne kjører mest lovlydig på veistrekningen med fartsgrense }80\mathrm{k}\mathrm{m}/\mathrm{h}}}$.

Norsk skostørrelse 32 er $\mathrm{21,75}\mathrm{cm}$ lang, og lengden øker med $\mathrm{6,6}\mathrm{mm}=\mathrm{0,66}\mathrm{cm}$ for hver størrelse man øker. Norsk størrelse 40 er $40-32=8$ størrelser større enn 32, så lengden blir

1) I formelen $y=(x-20)\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{21,5}$ er $x$ den kinesiske skostørrelsen og $y$ skolengden i cm.

• $x-20$ er hvor mange størrelser $x$ er over den minste kinesiske størrelsen, som er 20.
• Siden lengden øker med $5\mathrm{mm}=\mathrm{0,5}\mathrm{cm}$ for hver størrelse, gir $(x-20)\cdot \mathrm{0,5}$ hvor mange cm lengre skoen er enn den minste størrelsen.
• $\mathrm{21,5}$ er lengden (i cm) til den minste størrelsen (størrelse 20).

Legger vi sammen økningen og startlengden, får vi den totale skolengden $y$.

2) Med samme resonnement, men med de norske tallene (minste størrelse 32 med lengde $\mathrm{21,75}\mathrm{cm}$, og økning $\mathrm{0,66}\mathrm{cm}$ per størrelse), blir formelen for norsk skostørrelse $x$:

Vi finner først skolengden til norsk størrelse 43 med formelen fra b2:

Deretter setter vi denne lengden inn i formelen for kinesisk størrelse (fra b1) og løser for $x$:

Siden kineserne bruker halvstørrelser (størrelser med $\mathrm{0,5}$ mellomrom), runder vi til nærmeste halvstørrelse:

Vi bruker samme fremgangsmåte som i c) til å regne ut de manglende feltene i tabellen.

Norsk størrelse 32 gir lengden $y=\mathrm{21,75}\mathrm{cm}$ (siden $32$ er den minste norske størrelsen). Kinesisk størrelse med denne lengden:

Norsk størrelse 43 tilsvarer kinesisk størrelse $\mathrm{35,02}$, som vi fant i c).

Tabellen blir da:

Den lineære sammenhengen. Siden begge formlene er lineære i skolengden $y$, må sammenhengen mellom kinesisk størrelse ($x_k$) og norsk størrelse ($x_n$) også være lineær. Vi setter de to formlene fra b) lik hverandre (samme skolengde $y$):

Vi kan kontrollere formelen med de to første radene i tabellen: for $x_n=32$ gir formelen $\mathrm{1,32}\cdot 32-\mathrm{21,74}=\mathrm{20,5}$ ✓, og for $x_n=43$ gir den $\mathrm{1,32}\cdot 43-\mathrm{21,74}=\mathrm{35,02}$ ✓.

Til slutt finner vi hvilken norsk størrelse som tilsvarer kinesisk størrelse 39, ved å løse likningen for $x_n$:

Siden Norge ikke bruker halvstørrelser, tilsvarer kinesisk størrelse 39 norsk størrelse $\underline{\underline{46}}$.

Vi skal skrive 29 som en sum av toerpotenser ($1,2,4,8,16,32,\dots$). Den største toerpotensen som ikke overskrider 29, er 16:

Den største toerpotensen som ikke overskrider 13, er 8:

Den største toerpotensen som ikke overskrider 5, er 4:

Og $1$ er selv en toerpotens ($2^0$). Dermed er

Vi setter opp en tabell med toerpotenser i første kolonne og $25$, $2\cdot 25$, $4\cdot 25$, osv. i andre kolonne, og merker med * de radene der toerpotensen inngår i summen $29=16+8+4+1$ fra a):

Summen av tallene i andre kolonne på de merkede radene er

Så $29\cdot 25=\underline{\underline{725}}$.

Metoden fungerer fordi den bygger på den distributive lov: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.

Når vi skriver det ene tallet (her 29) som en sum av toerpotenser, $29=16+8+4+1$, kan vi bruke den distributive lov til å dele opp multiplikasjonen $29\cdot 25$ i flere mindre multiplikasjoner:

Hver rad i tabellen svarer nettopp til ett av disse leddene: tallet i andre kolonne på raden til toerpotensen $2^k$ er $2^k\cdot 25$, fordi tallet i andre kolonne dobles for hver rad (fordobling er det samme som å multiplisere med den samme toerpotensen som står i første kolonne). Når vi til slutt summerer de merkede radene, summerer vi altså nøyaktig leddene $16\cdot 25$, $8\cdot 25$, $4\cdot 25$ og $1\cdot 25$ — som ifølge den distributive lov er det samme som $29\cdot 25$.

Siden ethvert positivt heltall kan skrives som en sum av toerpotenser (binær framstilling), fungerer denne metoden for å multiplisere to hvilke som helst tall.

Vi utfører potensregresjon på de fem måleverdiene (diameter, volum):

Regresjonen gir

Dette er tilnærmet lik funksjonsuttrykket vi skulle vise, så $f(x)=\mathrm{0,52}\cdot x^{\mathrm{3,0}}$ er en god modell for sammenhengen mellom diameteren og volumet til kulene.

Grafen til $f$ sammen med måleverdiene ser slik ut:

Vi ser at kurven til $f$ går tett inntil alle de fem målepunktene, noe som bekrefter at potensmodellen passer godt.

Vi skal finne diameteren $x$ når volumet er $f(x)=1000\mathrm{mL}$. Vi setter opp likningen med modellen fra a) og løser med hensyn på $x$:

Svar: Diameteren til en kule med volum $1000\mathrm{mL}$ er omtrent $\underline{\underline{x\approx \mathrm{12,4}\mathrm{cm}}}$.

Kuleformelen fra grunnskolen er

der $r$ er radius. Siden diameteren er $x=2r$, er radiusen $r={\displaystyle \frac{x}{2}}$. Vi setter dette inn i formelen:

Vi regner ut koeffisienten:

Dette gir $V\approx \mathrm{0,524}\cdot x^3$, som har nøyaktig samme form som modellen fra a), $f(x)=\mathrm{0,52}\cdot x^{\mathrm{3,0}}$: en tredjegradssammenheng mellom diameter og volum, med tilnærmet lik koeffisient ($\mathrm{0,524}$ mot $\mathrm{0,52}$) og eksponent $3$.

Svar: Ja, resultatet fra a) stemmer godt med kuleformelen. Det lille avviket mellom $\mathrm{0,524}$ og $\mathrm{0,52}$ skyldes avrunding og målefeil i Pers data.