2P Høst 2020

Vi sorterer tallene fra minst til størst:

Det er $n=10$ verdier. Medianen er gjennomsnittet av den 5. og 6. verdien (de to midterste):

Medianen er $\underline{\underline{15}}$ biler per grønnfase.

Gjennomsnittet regner vi ut ved å summere alle verdiene og dele på antall:

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{18}}$ biler per grønnfase.

Kumulativ frekvens for 18 biler er andelen av periodene der det passerte 18 biler eller færre.

Fra den sorterte rekken ser vi at det passerte 18 eller færre biler i 6 av 10 perioder:

Den kumulative frekvensen for 18 er $\underline{\underline{\mathrm{0,6}}}$.

Dette betyr at i 60 % av de observerte periodene passerte det 18 biler eller færre.

Hvis grønt lys kortes ned med 10 %, er det rimelig å anta at antall biler som passerer i hver periode også reduseres med 10 % (proporsjonalt med grønntiden).

Da kan vi finne nye verdier ved å gange alle de opprinnelige verdiene med $\mathrm{0,9}$:

Siden alle verdiene ganges med samme tall (0,9), gjelder det også for gjennomsnittet og medianen:

Gjennomsnittet ville blitt $\underline{\underline{\mathrm{16,2}}}$ biler og medianen $\underline{\underline{\mathrm{13,5}}}$ biler per grønnfase.

For gruppert data bruker vi klassemidtpunktet som representant for hver klasse. Klassemidtpunktet er gjennomsnittet av klassens nedre og øvre grense.

Merk at siste klasse $[180,200⟩$ har bredde 20 cm, så klassemidtpunktet er $\frac{180+200}{2}=190$.

Gjennomsnittet regner vi ut slik:

Gjennomsnittshøyden er $\underline{\underline{\mathrm{171,5}\mathrm{cm}}}$.

Histogrammet viser høyde på $x$-aksen og frekvens (antall elever) på $y$-aksen.

Merk at klassene ikke er like brede: de tre første klassene har bredde 10 cm, men den siste klassen $[180,200⟩$ har bredde 20 cm. Søylene tegnes med bredde proporsjonal til klassebredden.

Histogrammet viser at de fleste elevene er mellom 170 og 180 cm høye.

Vi teller antall sirkler i de tre figurene:

Vi ser at veksten fra figur til figur øker:

Veksten øker med $4$ fra figur til figur. Det betyr at figur 4 har $14+4=18$ sirkler mer enn figur 3:

Figur 4 har $\underline{\underline{49\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Sara fargelegger figur 2 for å se mønsteret tydeligere. Figuren kan deles opp i et stort kvadrat med sidekant $n+1$ (${(n+1)}^2$ sirkler), et lite kvadrat med sidekant $n$ ($n^2$ sirkler) og to «haler» med $n$ sirkler hver.

Vi kan også finne uttrykket reint algebraisk. Den andre differensen er konstant lik $4$, så formelen er et andregradsuttrykk:

Vi setter inn de tre kjente verdiene:

Fra de to første likningene:

Fra den andre og tredje likningen:

Vi trekker fra:

Så $b=10-3\cdot 2=4$ og $c=7-2-4=1$.

Vi kontrollerer: $f(1)=2+4+1=7$ ✓, $f(2)=8+8+1=17$ ✓, $f(3)=18+12+1=31$ ✓

Dette stemmer også med oppdelingen: ${(n+1)}^2+n^2+2n=n^2+2n+1+n^2+2n=2n^2+4n+1$.

Antall sirkler i figur $n$ er $\underline{\underline{f(n)=2n^2+4n+1}}$.

Vi setter inn $n=20$:

Figur 20 har $\underline{\underline{881\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$.

Vi tegner grafen til $V(x)$ i GeoGebra ved å skrive V(x) = 2(30-x)^2 i inntastingsfeltet og begrense visningen til $0\le x\le 30$.

I GeoGebra:

1. Skriv V(x) = 2(30-x)^2 i inntastingsfeltet.
2. Høyreklikk på funksjonen → Egenskaper → Vis objekt kun i intervallet $[0,30]$.
3. Gi aksene passende navn: $x$-aksen «tid (min)», $y$-aksen «volum (liter)».

Vi kan merke oss at $V(0)=2\cdot {30}^2=1800$ liter (fullt) og $V(30)=0$ liter (tomt).

Badestampen inneholder $V(0)=1800$ liter til å begynne med. Halvparten av vannet er tappet ut når $V(x)=900$ liter.

Vi setter opp likningen:

Dette gir to løsninger:

Siden $x$ må ligge i intervallet $[0,30]$, er den eneste gyldige løsningen $x=30-15\sqrt{2}\approx \mathrm{8,8}$.

Det tar omtrent $\underline{\underline{\mathrm{8,8}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ å tappe ut halvparten av vannet.

Gjennomsnittlig vekstfart fra $x=0$ til $x=30$ er

I gjennomsnitt renner det ut $\underline{\underline{60\text{ liter per minutt}}}$ fra Kari åpner kranen til badestampen er tom.

(Negativ vekstfart betyr at volumet minker — det stemmer med at vannet tapper ut.)

Den momentane vekstfarten er den deriverte $V^{\prime }(x)$. Vi deriverer:

Ved $x=15$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{-60\text{ liter per minutt}}}$ når $x=15$.

Praktisk tolkning: Etter 15 minutter tapper badestampen ut vann med en fart på 60 liter per minutt. Det negative fortegnet viser at volumet minker.

Vi lager et regneark der vi beregner saldoen år for år. Vi bruker én celle for rentesatsen (kalt $r$) og prøver oss frem til saldoen stemmer med det oppgitte beløpet.

Oppsett av regnearket:

Prinsippet er at renten legges til ved slutten av hvert år, og innskuddet på 10 000 kr legges til ved starten av hvert nytt år fra 2015 til 2020. Saldoen rett etter innskuddet 1. januar 2020 skal være 81 799 kr.

Vi prøver ulike verdier for $r$ (f.eks. ved hjelp av Målsøk i regnearket) og finner at

Kontroll – saldo år for år med $r=\mathrm{2,7}\%$:

Rentesatsen var $\underline{\underline{\mathrm{2,7}\%}}$ per år.

Vi utvider regnearket fra oppgave a) med fem nye år. Fra og med 1. januar 2020 er rentesatsen $\mathrm{3,0}\%$ per år. Vi fortsetter med 10 000 kr i innskudd hvert år fra 2021 til 2025 (samme mønster som før).

Utvidet regneark – saldo fra jan 2020 til jan 2025:

Eline vil ha $\underline{\underline{147\mathrm{918,82}\mathrm{kr}}}$ på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kr 1. januar 2025.

Vi leser av verdiene fra diagrammene.

Oslo (snødybde i cm julaften 2009–2019):

Kautokeino (snødybde i cm julaften 2009–2019):

Vi regner gjennomsnitt og standardavvik med kalkulator.

Oslo:

Standardavvik: $s\approx \underline{\underline{\mathrm{5,7}\mathrm{cm}}}$

Kautokeino:

Standardavvik: $s\approx \underline{\underline{\mathrm{9,2}\mathrm{cm}}}$

Oslo: gjennomsnitt $\approx \underline{\underline{\mathrm{5,5}\mathrm{cm}}}$, standardavvik $\approx \underline{\underline{\mathrm{5,7}\mathrm{cm}}}$.

Kautokeino: gjennomsnitt $=\underline{\underline{\mathrm{41,0}\mathrm{cm}}}$, standardavvik $\approx \underline{\underline{\mathrm{9,2}\mathrm{cm}}}$.

Påstanden er ikke riktig.

Isak hevder at det datamaterialet som har høyest gjennomsnitt, alltid også har høyest standardavvik. Dette stemmer ikke.

Standardavviket sier noe om hvor spredt verdiene er rundt gjennomsnittet — ikke noe om hvor høyt gjennomsnittet er. To datasett kan ha helt ulike gjennomsnitt, men likevel ha omtrent samme spredning, eller omvendt.

I dette tilfellet har Oslo gjennomsnitt $\mathrm{5,5}\mathrm{cm}$ og standardavvik $\mathrm{5,7}\mathrm{cm}$, mens Kautokeino har gjennomsnitt $\mathrm{41,0}\mathrm{cm}$ og standardavvik $\mathrm{9,2}\mathrm{cm}$. Kautokeino har høyere gjennomsnitt og høyere standardavvik — men det er tilfeldig. Det er lett å tenke seg et moteksempel: hvis Oslo hadde hatt verdiene $\{0,0,0,20,20,20,\dots \}$ og Kautokeino $\{41,41,41,\dots \}$, ville Oslo hatt lavere gjennomsnitt men høyere standardavvik.

Påstanden er $\underline{\underline{\text{ikke riktig}}}$. Gjennomsnitt og standardavvik måler to ulike ting, og et høyt gjennomsnitt garanterer ikke et høyt standardavvik.

Fra diagrammet leser vi av følgende datapunkter (der $x$ = antall år etter 1980):

Vi ser at antall innbyggere øker for hvert år, men at økningen blir mindre og mindre. Fra 1981 til 1986 økte antallet med 1180 innbyggere (omtrent 236 per år), mens fra 2012 til 2019 økte det bare med 280 innbyggere (omtrent 40 per år).

Valg av modell: Svein antar at veksten fortsetter, men at økningen avtar. Dette passer med funksjoner som vokser saktere og saktere, for eksempel:

• En kvadratrotfunksjon $f(x)=a\sqrt{x}+b$ vokser raskt i starten og saktere etter hvert.
• En logaritmefunksjon $f(x)=a\cdot \ln (x)+b$ har lignende form.

Vi velger kvadratrotfunksjonen fordi den gir en noe bedre tilpasning til datapunktene.

I GeoGebra: Skriv inn punktene som en liste og bruk regresjonsverktøyet (FitPow eller regresjonsanalyse) for å finne best tilpasset kurve av typen $a\cdot \sqrt{x}+b$.

Regresjonen gir:

Vi kan kontrollere at modellen passer godt ved å sette inn noen verdier:

Avvikene er relativt små, og modellen treffer godt for de fleste punktene.

Svar: Vi velger modellen $\underline{\underline{f(x)=606\sqrt{x}+1591}}$. Kvadratrotfunksjonen passer fordi den vokser raskt i starten og saktere etter hvert — akkurat slik diagrammet viser.

I 2030 er $x=2030-1980=50$. Vi setter inn i modellen:

Ifølge modellen vil det bo omtrent $\underline{\underline{5876\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{y}\mathrm{g}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}}}$ i boligområdet i 2030.

Dette stemmer godt med Sveins antakelse: antallet har økt (fra 5280 i 2019 til ca. 5876 i 2030), men økningen er klart avtagende. Fra 2019 til 2030 øker antallet med omtrent 596 innbyggere på 11 år, noe som tilsvarer ca. 54 per år — betydelig lavere enn de ca. 175 per år vi så på 1980-tallet.

Vi setter inn $x=28$:

Med 28 døgn koster Avtale 1 og Avtale 3 begge $\underline{\underline{55600\mathrm{kr}}}$, mens Avtale 2 koster $\underline{\underline{44800\mathrm{kr}}}$.

Vi finner maksimalt antall hele døgn kunden kan leie for under $53000\mathrm{kr}$.

Avtale 1:

Kunden kan leie $\underline{\underline{25\text{ døgn}}}$ med Avtale 1 uten å overstige $53000\mathrm{kr}$.

Avtale 2:

Kunden kan leie $\underline{\underline{41\text{ døgn}}}$ med Avtale 2 uten å overstige $53000\mathrm{kr}$.

Avtale 3:

Kunden kan leie $\underline{\underline{15\text{ døgn}}}$ med Avtale 3 uten å overstige $53000\mathrm{kr}$.

For å finne når avtalene er like dyre, setter vi dem lik hverandre to og to.

Når er Avtale 1 og Avtale 2 like dyre?

Når er Avtale 2 og Avtale 3 like dyre?

Konklusjon:

Med GeoGebra kan vi tegne de tre linjene og lese av skjæringspunktene. I GeoGebra skriver vi inn:

A1(x) = 22000 + 1200x
A2(x) = 28000 + 600x
A3(x) = 50000 + 200x

Vi bruker kommandoen Skjæring(A1, A2), Skjæring(A2, A3) for å finne skjæringspunktene.

Fra beregningene og grafen ser vi at:

• For 0 til 10 døgn er $\text{Avtale 1}$ billigst (lav fast pris, selv om døgnpris er høy)
• For 10 til 55 døgn er $\text{Avtale 2}$ billigst
• For mer enn 55 døgn er $\text{Avtale 3}$ billigst (høy fast pris, men svært lav døgnpris)

Avtale 1 lønner seg for $\underline{\underline{0\text{–}10\text{ døgn}}}$, Avtale 2 for $\underline{\underline{10\text{–}55\text{ døgn}}}$, og Avtale 3 for $\underline{\underline{\text{over }55\text{ døgn}}}$.

I et boksplott er verdiene bygget opp slik:

• Medianen er streken inne i boksen.
• Gjennomsnittet er markert med et kryss (×) i boksplottet.
• Variasjonsbredden er forskjellen mellom den høyeste og den laveste verdien, altså avstanden mellom endene på de to “værhårene” (min- og maksverdi).
• Kvartilbredden er forskjellen mellom øvre kvartil (toppen av boksen) og nedre kvartil (bunnen av boksen), altså selve høyden på boksen.

For Trondheim er dette allerede oppgitt i tabellen: median $\mathrm{6,0}{}^{\circ }\text{C}$, gjennomsnitt $\mathrm{5,9}{}^{\circ }\text{C}$, variasjonsbredde $\mathrm{11,1}{}^{\circ }\text{C}$ og kvartilbredde $\mathrm{4,2}{}^{\circ }\text{C}$. Vi kan sjekke avlesningen vår ved å lese av Trondheim-diagrammet: værhårene går fra ca. $\mathrm{1,6}{}^{\circ }\text{C}$ til ca. $\mathrm{12,7}{}^{\circ }\text{C}$, som gir variasjonsbredde $\mathrm{12,7}-\mathrm{1,6}=\mathrm{11,1}{}^{\circ }\text{C}$, og boksen går fra ca. $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ til ca. $\mathrm{7,8}{}^{\circ }\text{C}$, som gir kvartilbredde $\mathrm{7,8}-\mathrm{3,6}=\mathrm{4,2}{}^{\circ }\text{C}$ — dette stemmer med tabellen, så vi leser av diagrammene på samme måte for Oslo.

Vi leser av Oslo-diagrammet (til høyre):

• Medianstreken i boksen ligger på ca. $\mathrm{5,5}{}^{\circ }\text{C}$.
• Krysset (×) ligger på ca. $\mathrm{5,0}{}^{\circ }\text{C}$.
• Værhårene går fra ca. $\mathrm{1,5}{}^{\circ }\text{C}$ til ca. $\mathrm{9,0}{}^{\circ }\text{C}$.
• Boksen går fra ca. $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ til ca. $\mathrm{6,9}{}^{\circ }\text{C}$.

Dette gir

For Oslo: median $\underline{\underline{\approx \mathrm{5,5}{}^{\circ }\text{C}}}$, gjennomsnitt $\underline{\underline{\approx \mathrm{5,0}{}^{\circ }\text{C}}}$, variasjonsbredde $\underline{\underline{\approx \mathrm{7,5}{}^{\circ }\text{C}}}$ og kvartilbredde $\underline{\underline{\approx \mathrm{3,3}{}^{\circ }\text{C}}}$. (Avlesning fra diagram — svarene kan avvike noen tideler fra fasit avhengig av hvor nøyaktig en leser av linjene.)

Bunnen av boksen i et boksplott viser nedre kvartil, altså den verdien der $25\%$ av observasjonene ligger på eller under. Ser vi på begge diagrammene, ligger bunnen av boksen på nøyaktig samme sted i begge byer: ca. $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$.

Siden $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ er nedre kvartil, betyr det at $25\%$ av dagene i januar hadde en maksimumstemperatur på $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ eller lavere — i begge byer. Januar har $31$ dager, så antall dager blir

Fordi $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ er nedre kvartil i begge boksplottene, må omtrent $\underline{\underline{25\%\text{ av }31\text{ dager}\approx 8\text{ dager}}}$ ha hatt en maksimumstemperatur på $\mathrm{3,6}{}^{\circ }\text{C}$ eller lavere i både Trondheim og Oslo.