1P Vår 2014

Vi skal løse likningen

Vi ganger med $2$ på begge sider for å bli kvitt brøken, trekker sammen, og deler til slutt med $3$:

$\underline{\underline{x=2}}$

Arealet av et trapes finner vi med formelen

der $a$ og $b$ er de parallelle sidene, og $h$ er høyden. Vi vet at $A=9\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$, $h=3\mathrm{cm}$ og $a=4\mathrm{cm}$. Vi setter inn i formelen og løser med hensyn på $b$:

Den andre parallelle siden i trapeset er $\underline{\underline{2\mathrm{cm}}}$.

Fra skissen ser vi at høyden $h$, den skrå siden på $\mathrm{2,5}\mathrm{m}$ og den horisontale avstanden på $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ danner en rettvinklet trekant, der den skrå siden er hypotenusen. Vi bruker Pytagoras’ setning:

Dette viser at høyden i parallellogrammet er $\underline{\underline{\mathrm{2,0}\mathrm{m}}}$.

Arealet av et parallellogram er grunnlinje ganger høyde. Grunnlinjen er $\mathrm{5,0}\mathrm{m}$ og høyden er $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$:

Jordlaget skal være $10\mathrm{cm}=\mathrm{0,10}\mathrm{m}$ tykt. Volumet av jord som trengs, blir da

Vi gjør om til liter, siden $1{\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{L}$:

Hver sekk inneholder $35\mathrm{L}$. Antall sekker blir

Siden man ikke kan kjøpe en brøkdel av en sekk, må man runde opp. Du trenger $\underline{\underline{29\text{ sekker}}}$.

Med avtale 1 betaler Kari $160$ kroner i måneden pluss $20$ kroner per trening. Prisen for $x$ treninger er

Januar (8 treninger):

Februar (14 treninger):

I januar betalte Kari $\underline{\underline{320\mathrm{kr}}}$, og i februar betalte hun $\underline{\underline{440\mathrm{kr}}}$.

Vi tegner grafen til $y=160+20x$. Grafen er en rett linje som skjærer $y$-aksen i $160$ (fast beløp) og stiger med $20$ kroner for hver trening. Vi setter samtidig inn den vannrette linja $y=400$ som viser prisen for avtale 2, til bruk i oppgave c).

Avtale 2 koster $400$ kroner uansett hvor mange ganger Kari trener. Fra grafen ser vi at linja $y=160+20x$ krysser linja $y=400$ ved $x=12$.

Det betyr at ved $12$ treninger koster avtale 1 og avtale 2 akkurat det samme. Trener Kari mer enn $12$ ganger i måneden, blir avtale 1 dyrere enn avtale 2. Det lønner seg altså med avtale 2 dersom Kari trener $\underline{\underline{13\text{ ganger eller mer}}}$ i måneden.

Prisen per trening er $P={\displaystyle \frac{\text{total pris}}{A}}$, der $A$ er antall treninger i måneden.

Avtale 1:

Her er ikke $P$ proporsjonal med $A$, siden grafen til $P$ som funksjon av $A$ ikke er en rett linje gjennom origo (det er et konstantledd $20$ i tillegg til $\frac{160}{A}$). $P$ er heller ikke omvendt proporsjonal med $A$, siden produktet $P\cdot A=160+20A$ ikke er konstant — det øker når $A$ øker.

Avtale 2:

Her er produktet $P\cdot A=400$ konstant for alle verdier av $A$. Det betyr at $P$ og $A$ er $\underline{\underline{\text{omvendt proporsjonale}}}$ for avtale 2.

Konklusjon: For avtale 1 er $A$ og $P$ verken proporsjonale eller omvendt proporsjonale. For avtale 2 er $A$ og $P$ omvendt proporsjonale.

Vi vet at klassen har $10$ jenter og $8$ gutter, til sammen $18$ elever. Av jentene har $6$ gjort leksene, og av guttene har $3$ gjort leksene.

Da har $10-6=4$ jenter ikke gjort leksene, og $8-3=5$ gutter ikke gjort leksene.

Vi setter opplysningene inn i en krysstabell, der hver rad og kolonne summeres:

Vi skal trekke to elever tilfeldig blant dem som ikke har gjort leksene. Fra tabellen ser vi at det er $9$ slike elever: $4$ jenter og $5$ gutter.

Vi trekker to elever etter hverandre uten tilbakelegging, og ønsker at den ene skal være gutt og den andre jente. Dette kan skje på to måter: enten jente først og gutt etterpå, eller gutt først og jente etterpå.

Siden de to hendelsene utelukker hverandre, adderer vi sannsynlighetene:

Sannsynligheten for at de to elevene er én gutt og én jente er $\underline{\underline{{\displaystyle \frac{5}{9}}\approx \mathrm{0,56}}}$.

Vi regner om fra pakkepris til kilopris ved å dele på antall kilogram.

I 1990 kostet $600\mathrm{g}=\mathrm{0,6}\mathrm{kg}$ kjøttdeig 31 kroner:

I 2012 kostet $350\mathrm{g}=\mathrm{0,35}\mathrm{kg}$ kjøttdeig 24 kroner:

Ett kilogram kjøttdeig kostet altså $\underline{\underline{\mathrm{51,67}\mathrm{kr}}}$ i 1990 og $\underline{\underline{\mathrm{68,57}\mathrm{kr}}}$ i 2012.

Prisøkningen i kroner per kilogram er

Den prosentvise økningen finner vi ved å dele økningen på den opprinnelige prisen:

Prisen per kilogram økte altså med $\underline{\underline{\mathrm{32,7}\%}}$ fra 1990 til 2012.

Dersom prisen hadde fulgt konsumprisindeksen, ville prisen i 2012 vært prisen i 1990 multiplisert med forholdet mellom indeksene:

Dersom prisutviklingen hadde fulgt konsumprisindeksen, ville ett kilogram kjøttdeig kostet $\underline{\underline{\mathrm{81,11}\mathrm{kr}}}$ i 2012. Dette er høyere enn den faktiske prisen på $\mathrm{68,57}\mathrm{k}\mathrm{r}/\mathrm{k}\mathrm{g}$, så kjøttdeigprisen har økt mindre fra 1990 til 2012 enn den generelle prisstigningen i samfunnet (konsumprisindeksen).

Det er $8$ hvite og $6$ røde kuler, til sammen $14$ kuler. Vi trekker tre kuler uten tilbakelegging, så sannsynlighetene endrer seg for hver kule vi trekker. Valgtreet under viser alle mulige utfall ($\text{H}=\text{hvit}$, $\text{R}=\text{rød}$), med sannsynlighet på hver gren.

Vi skal finne sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule. Dette skjer langs de grenene i valgtreet som er markert med grønt: $\text{HHR}$, $\text{HRH}$ og $\text{RHH}$.

For hver av disse grenene multipliserer vi sannsynlighetene langs veien. For eksempel for $\text{HHR}$:

De tre rekkefølgene gir alle samme produkt, siden telleren alltid er $8\cdot 7\cdot 6$ og nevneren alltid $14\cdot 13\cdot 12$:

Siden utfallene er disjunkte, legger vi sammen sannsynlighetene for de tre rekkefølgene:

Sannsynligheten for å trekke to hvite og én rød kule er $\underline{\underline{P={\displaystyle \frac{6}{13}}\approx \mathrm{0,462}=\mathrm{46,2}\%}}$.

Vi taster funksjonsuttrykket

inn i et graftegningsprogram for $0\le x\le 24$.

Klokken 09.45 tilsvarer $x=9+{\displaystyle \frac{45}{60}}=\mathrm{9,75}$ timer etter midnatt.

Vi setter $x=\mathrm{9,75}$ inn i funksjonsuttrykket:

Dette stemmer med punktet $P=(\mathrm{9,75};\mathrm{3,90})$ på grafen ovenfor.

Ifølge modellen var vindstyrken klokken 09.45 omtrent $\underline{\underline{\mathrm{3,9}\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

Fra grafen ser vi at $f$ først avtar, har et bunnpunkt, deretter øker fram til et toppunkt, og til slutt avtar igjen. Vi bruker ekstremalpunkt-verktøyet i graftegneren og finner:

• Bunnpunkt (minimum): $x\approx \mathrm{1,84}$, $f(x)\approx \mathrm{1,82}$
• Toppunkt (maksimum): $x\approx \mathrm{18,16}$, $f(x)\approx \mathrm{6,18}$

Vi sjekker også endepunktene: $f(0)=\mathrm{2,0}$ og $f(24)\approx \mathrm{4,11}$. Begge er mindre ekstreme enn bunn- og toppunktet, så det er disse to punktene som gir minste og største vindstyrke i døgnet.

Vi gjør om desimaltimene til klokkeslett:

• $x\approx \mathrm{1,84}$ timer $=1$ time og $\mathrm{0,84}\cdot 60\approx 50$ minutter $\to$ kl. $01:50$
• $x\approx \mathrm{18,16}$ timer $=18$ timer og $\mathrm{0,16}\cdot 60\approx 10$ minutter $\to$ kl. $18:10$

Ifølge modellen var vindstyrken minst ca. kl. $\underline{\underline{01:50}}$ (ca. $\mathrm{1,8}\mathrm{m}/\mathrm{s}$), og størst ca. kl. $\underline{\underline{18:10}}$ (ca. $\mathrm{6,2}\mathrm{m}/\mathrm{s}$).

Lett bris er definert som vindstyrke mellom $\mathrm{3,4}\mathrm{m}/\mathrm{s}$ og $\mathrm{5,4}\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Vi tegner linjene $y=\mathrm{3,4}$ og $y=\mathrm{5,4}$ inn i samme graf (se figuren i a)) og finner skjæringspunktene med $f$:

• $f(x)=\mathrm{3,4}$ for $x\approx \mathrm{8,48}$
• $f(x)=\mathrm{5,4}$ for $x\approx \mathrm{13,77}$
• $f(x)=\mathrm{5,4}$ for $x\approx \mathrm{21,88}$

Grafen stiger og ligger mellom de to linjene fra $x\approx \mathrm{8,48}$ til $x\approx \mathrm{13,77}$. Deretter er $f(x)>\mathrm{5,4}$ (mer enn lett bris) fram til grafen synker under $\mathrm{5,4}$ igjen ved $x\approx \mathrm{21,88}$. Siden $f(24)\approx \mathrm{4,11}$ fortsatt er mellom $\mathrm{3,4}$ og $\mathrm{5,4}$, varer lett bris helt til midnatt.

Vi gjør om til klokkeslett:

• $x\approx \mathrm{8,48}\to$ kl. $08:29$
• $x\approx \mathrm{13,77}\to$ kl. $13:46$
• $x\approx \mathrm{21,88}\to$ kl. $21:53$

Ifølge modellen var det lett bris ca. kl. $\underline{\underline{08:29\text{–}13:46}}$ og ca. kl. $\underline{\underline{21:53\text{–}24:00}}$ (midnatt).

Forholdet mellom avstanden fra veggen ($AB$) og høyden opp på veggen ($AC$) skal være $4:11$. Det betyr at $AC$ er $\frac{11}{4}$ ganger så stor som $AB$.

Hans setter stigen $AB=80\mathrm{cm}$ fra veggen. Da blir

Stigen når $\underline{\underline{\mathrm{2,2}\mathrm{m}}}$ opp på veggen.

Siden forholdet $AB:AC$ skal være $4:11$, kan vi skrive $AB=4k$ og $AC=11k$ for et tall $k$. Stigen selv er hypotenusen $BC$ i den rettvinklede trekanten $ABC$, med $BC=5\mathrm{m}$.

Pytagoras’ setning gir

Høyden opp på veggen er da

Gretes stige vil nå $\underline{\underline{ca.\mathrm{4,70}\mathrm{m}}}$ opp på veggen.

Hver gang prisen settes opp med $10\%$, multipliseres den med vekstfaktoren $\mathrm{1,10}$. Når dette skjer fem ganger, multipliseres prisen med ${\mathrm{1,10}}^5$.

Varen koster nå $\underline{\underline{\mathrm{396,19}\mathrm{kr}}}$.

Vekstfaktoren for hele økningen er ${\mathrm{1,10}}^5\approx \mathrm{1,61051}$. Siden vekstfaktoren er $1$ pluss den prosentvise endringen som desimaltall, er den totale prosentvise økningen

Prisen er totalt satt opp med $\underline{\underline{\mathrm{61,1}\%}}$.

Den andre varen har også blitt satt opp $10\%$ fem ganger, så den nye prisen er den opprinnelige prisen multiplisert med samme vekstfaktor ${\mathrm{1,10}}^5$. Kaller vi den opprinnelige prisen $x$, er

Vi løser for $x$ ved å dele begge sider på vekstfaktoren:

Varen kostet opprinnelig $\underline{\underline{\mathrm{341,51}\mathrm{kr}}}$.

Vi finner først Ellinors samlede lønnsinntekt fra arbeidet:

Beløpet som overstiger frikortgrensen på $39950\mathrm{kr}$, er

Det ble trukket $50\%$ skatt av dette overskytende beløpet:

Ellinor betalte $\underline{\underline{3380\mathrm{kr}}}$ i skatt i 2013.

Vi setter opp en oversikt over alle inntekter og utgifter i løpet av året.

Inntekter

Nettolønn (lønn minus skatt):

Utbetalinger fra Lånekassen. Juni og juli ga $0\mathrm{kr}$, august og januar ga $18880\mathrm{kr}$ hver, og de resterende $8$ månedene ga $7080\mathrm{kr}$ hver:

Samlet inntekt i 2013:

Utgifter

Faste utgifter per måned var hybel ($4000\mathrm{kr}$), mat og drikke ($3000\mathrm{kr}$), klær og sko ($1200\mathrm{kr}$) og andre utgifter ($2100\mathrm{kr}$), til sammen $10300\mathrm{kr}$ per måned:

I tillegg brukte hun $10000\mathrm{kr}$ på reiser, så samlede utgifter i 2013 var

Oversikt

Ellinor hadde altså et overskudd på $\underline{\underline{4130\mathrm{kr}}}$ i 2013 — inntektene hennes var noe større enn utgiftene.

Eva følger regelen «omkretsen pluss høyden skal være $50\mathrm{cm}$». Sylinderen skal være $15\mathrm{cm}$ høy, så vi setter opp likningen

Vi løser med hensyn på $r$:

Volumet av en sylinder er $V=\pi r^{2}h$. Med $r\approx \mathrm{5,57}\mathrm{cm}$ og $h=15\mathrm{cm}$ får vi

$\underline{\underline{V\approx 1462{\mathrm{cm}}^3}}$. Blomsterpotten rommer altså omtrent $\mathrm{1,46}$ liter.

Regelen sier at omkretsen $2\pi x$ pluss høyden $h$ skal være $50\mathrm{cm}$, altså $2\pi x+h=50$. Løser vi denne med hensyn på høyden, får vi nettopp

Funksjonen $f$ uttrykker altså høyden til blomsterpotten som en funksjon av radiusen $x$, dersom Eva følger regelen.

Volumet av en sylinder er $V=\pi x^2\cdot h$. Setter vi inn $h=f(x)$ for høyden, får vi

Funksjonen $g$ uttrykker altså volumet til blomsterpotten som en funksjon av radiusen $x$, dersom Eva følger regelen.

Vi leser av informasjonen som ligger i de markerte punktene på grafene.

Punktet $B(\mathrm{8,0},0)$ på grafen til $f$ forteller at når radien er $x\approx \mathrm{8,0}\mathrm{cm}$, er høyden $f(x)=0$. Dette er den største radien Eva kan bruke — blir radien enda større, blir høyden negativ, noe som ikke er mulig for en blomsterpotte. Punktet $D(\mathrm{8,0},0)$ på grafen til $g$ viser at volumet da også er $0$: en potte uten høyde rommer ingenting.

Punktet $A(\mathrm{5,3},\mathrm{16,6})$ på grafen til $f$ forteller at når radien er $x=\mathrm{5,3}\mathrm{cm}$, er høyden $f(\mathrm{5,3})\approx \mathrm{16,6}\mathrm{cm}$. Punktet $C(\mathrm{5,3},\mathrm{1473,7})$ på grafen til $g$ har samme $x$-verdi, og viser at dette er nettopp der grafen til $g$ har sitt toppunkt — altså den radien som gir størst mulig volum: $g(\mathrm{5,3})\approx \mathrm{1473,7}{\mathrm{cm}}^3$.

Ut fra grafene og de markerte punktene kan vi altså si at blomsterpotten får størst volum, omtrent $\mathrm{1473,7}{\mathrm{cm}}^3$, når radien er $\mathrm{5,3}\mathrm{cm}$ og høyden er $\mathrm{16,6}\mathrm{cm}$. Radien kan ikke bli større enn $\mathrm{8,0}\mathrm{cm}$, for da blir det ikke noe høyde igjen til potten.