1P-Y RM Vår 2013

Vi gjør om alle tallene til desimaltall: $\frac{1}{10}=\mathrm{0,1}$, $\frac{1}{3}\approx \mathrm{0,33}$ og $50\%=\mathrm{0,5}$. Så plasserer vi tallene på tallinja fra $-1$ til $1$, sortert fra minst til størst: $-\mathrm{0,9}$, $-\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,01}$, $\mathrm{0,1}$, $\mathrm{0,33}$, $\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,9}$.

Vi gjør om alle lengdene til desimeter (dm) før vi legger dem sammen.

Det er $\mathrm{11,2}$ dm kobberrør til sammen.

Først finner vi hva Amalie tjener før skatt.

Hun betaler $25\%$ i skatt, så hun får utbetalt $75\%$ av lønna.

Amalie får utbetalt 1080 kroner.

Prisen per tur finner vi ved å dele totalprisen på antall turer.

Én tur koster 27,50 kroner.

Vi setter brøkene på felles brøkstrek med fellesnevner $15$.

Siden $\frac{10}{15}>\frac{9}{15}$, spiser Ole en større andel av pizzaen sin.

Ole spiser mest pizza.

Vi regner ut pris per liter for begge. Adrian sin brusflaske er på $5\mathrm{dl}=\mathrm{0,5}\mathrm{L}$.

Ole betaler 18 kroner per liter, og Adrian betaler 36 kroner per liter.

Ole og Adrian er tvillinger og er like gamle. Kaller alderen deres for $x$. Da er storebroren $x+5$ år. Til sammen er de $50$ år, så vi setter opp likningen:

Kontroll: $15+15+20=50$. Stemmer.

Ole og Adrian er 15 år gamle (storebroren er 20 år).

Vinneren brukte $39$ min $47$ s. Petter brukte $7$ s mer.

Markus brukte $1$ min $25$ s mer enn vinneren.

(Her ble $72$ s gjort om til $1$ min $12$ s, som gir $1$ min ekstra.)

Petter brukte 39 min 54 s, og Markus brukte 41 min 12 s.

For å gjøre et overslag runder vi av Petters tid til omtrent $40$ minutter.

Gjennomsnittsfarten finner vi ved å dele strekningen på tiden.

Petter holdt en gjennomsnittsfart på omtrent 22,5 km/h.

Vinkelsummen i en trekant er $180°$. Trekanten har rett vinkel i $B$ ($90°$) og vinkel $C=53°$.

Vinkel $A$ er $37°$.

Arealet av en rettvinklet trekant er halvparten av produktet av katetene $AB$ og $BC$.

For å finne omkretsen trenger vi også hypotenusen $AC$. Vi bruker Pytagoras’ setning.

Lekeplassen har et areal på 24 m² og en omkrets på 24 m.

Omkretsen av sandkassen er halvparten av omkretsen til lekeplassen.

Sandkassen er et kvadrat, så alle fire sidene er like lange.

Sandkassen har et areal på 9 m².

Vi leser av grafen. Når $x=200$ kopper, går vi rett opp fra $200$ på $x$-aksen til grafen, og videre bort til $y$-aksen.

Der leser vi av $y\approx 2250\mathrm{kr}$.

Totalprisen for $200$ kopper kaffe er omtrent $\underline{\underline{2250\mathrm{kr}}}$.

Formelen er $y=1250+5x$.

Stigningstallet er $5$. Det betyr at prisen øker med $5\mathrm{kr}$ for hver kopp kaffe Roger lager. Prisen per kopp kaffe er altså $5\mathrm{kr}$.

Konstantleddet er $1250$. Det er totalprisen når $x=0$, altså prisen Roger betalte for selve kaffemaskinen, før han har laget noen kopper.

Roger betaler $5\mathrm{kr}$ per kopp kaffe, og han betalte $1250\mathrm{kr}$ for kaffemaskinen.

Roger lager $2$ kopper kaffe hver dag i $3$ år. Vi regner med $365$ dager i året.

Setter dette inn i formelen:

Totalprisen på disse tre årene blir $12200\mathrm{kr}$.

Kari sin totalpris er $y=2000+3x$, der $x$ er antall kopper kaffe.

Vi finner først ut ved hvor mange kopper de to totalprisene er like store:

Ved $x=375$ kopper er totalprisene like store (begge blir $3125\mathrm{kr}$). Siden Karis maskin har lavere prisøkning per kopp ($3\mathrm{kr}$ mot $5\mathrm{kr}$), blir hennes totalpris lavere for flere kopper enn dette.

Antall kopper må være et helt tall, så Kari må lage minst $376$ kopper. Vi sjekker: $y_{\text{Kari}}=2000+3\cdot 376=3128\mathrm{kr}$, mens $y_{\text{Roger}}=1250+5\cdot 376=3130\mathrm{kr}$.

Kari må lage minst $\underline{\underline{376}}$ kopper kaffe for at totalprisen hennes skal bli lavere enn Rogers.

Vanlig lønn er lønna for de vanlige timene:

Overtidslønn er lønna for overtidstimene:

Bruttolønn er summen av vanlig lønn og overtidslønn:

Erling betaler $20\%$ skatt av bruttolønna:

Nettolønn er bruttolønn minus skatt:

Vi har vist at Erlings nettolønn er $10680$ kroner.

Skatten er det Erling betaler av bruttolønna, altså differansen mellom bruttolønn og nettolønn:

Erling betaler $2670$ kroner i skatt.

Av nettolønna på $10680\mathrm{kr}$ setter Erling ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ på regningskontoen:

Han setter $15\%$ på sparekontoen:

Resten av pengene står på brukskontoen:

Det står $2670$ kroner på brukskontoen.

Utgiftene denne måneden er mobilabonnement, busskort, klær og husleie, og de er betalt fra regningskontoen. Når alt er betalt, er $79\%$ av regningskontoen brukt opp:

De kjente utgiftene er:

Husleia er det som er igjen når vi trekker de kjente utgiftene fra det totale beløpet som er brukt:

Erling betaler omtrent $2508$ kroner i husleie.

Verdien har økt fra $2$ millioner til $3$ millioner kroner. Verdiøkningen er:

Prosentvis økning finner vi ved å dele verdiøkningen på den opprinnelige verdien:

Leiligheten har steget $50\%$ i verdi fra 2009 til 2013.

Dersom leiligheten hadde fulgt boligprisindeksen, ville verdien økt med samme forholdet som indeksen har økt. Vi ganger 2009-verdien med forholdet mellom indeksene:

Dersom leiligheten hadde fulgt boligprisindeksen, ville den vært verdt omtrent $2494574$ kroner i 2013 – litt mindre enn de $3$ millionene den faktisk er verdt.

Tabellen viser at $1000\mathrm{kr}$ i 2009 tilsvarte $1064\mathrm{kr}$ i 2013. For å finne hva $3000000\mathrm{kr}$ i 2013 tilsvarer i 2009-kroner, deler vi på dette forholdet:

Den reelle verdiøkningen finner vi ved å trekke fra det Vibeke opprinnelig betalte i 2009:

Når vi tar hensyn til at kronene er blitt mindre verdt, har leiligheten i realiteten steget med omtrent $819549$ kroner – ikke $1$ million kroner slik det så ut ved første øyekast.

Vi regner om alle målene til meter: bredde $\mathrm{0,50}\mathrm{m}$, lengde $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ og høyde $\mathrm{0,45}\mathrm{m}$.

Volumet av kassen (et rett prisme) er bredde ganger lengde ganger høyde:

Siden $1{\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{L}$, blir volumet i liter:

Vi har vist at én kasse rommer $225$ liter jord.

Bente har to kasser, som til sammen skal fylles med:

Hun kjører $\mathrm{0,06}{\mathrm{m}}^3$ jord per tur. Antall turer finner vi ved å dele totalvolumet på volumet per tur:

Bente kan ikke kjøre en halv tur, så hun må runde opp til et helt antall turer:

Bente må kjøre $\underline{\underline{8}}$ turer for å fylle opp begge kassene.

Haugen er formet som en kjegle med diameter $\mathrm{4,0}\mathrm{m}$, altså radius $r=\mathrm{2,0}\mathrm{m}$, og høyde $h=\mathrm{1,5}\mathrm{m}$.

Volumet av en kjegle er:

Bente har brukt $\mathrm{0,45}{\mathrm{m}}^3$ jord til de to kassene, så jorden som er igjen i haugen er:

Det er omtrent $\mathrm{5,8}$ kubikkmeter jord igjen i haugen etter at Bente har fylt opp de to kassene.

Trapeset $ABCD$ har parallelle sider $AB=\mathrm{10,0}\mathrm{m}$ og $DC=\mathrm{7,0}\mathrm{m}$, og høyden mellom dem er $\mathrm{5,7}\mathrm{m}$. Arealet av et trapes finner vi med formelen

Setter inn tallene:

Arealet av trapeset $ABCD$ er omtrent $\mathrm{48,5}{\mathrm{m}}^2$.

Trapeset er likebeint, siden $AD=BC$. Tenker oss en loddrett linje ned fra $D$ til $AB$. Da deler vi den lange siden $AB$ i tre biter: en bit rett under $DC$ som er like lang som $DC$, og to like lange biter på hver side.

Bitene på hver side blir da

Nå har vi en rettvinklet trekant med kateter $\mathrm{1,5}\mathrm{m}$ og $\mathrm{5,7}\mathrm{m}$, der $AD$ er hypotenusen. Bruker Pytagoras’ setning:

Siden trapeset er likebeint, er $BC$ like langt.

$AD$ og $BC$ er begge omtrent $\mathrm{5,9}\mathrm{m}$.

For å finne målestokken måler vi en lengde på den utskrevne figuren og sammenligner med den virkelige lengden. Vi bruker $AD$, som vi regnet ut i oppgave b).

Måler $AD$ på figuren (skrevet ut i faktisk størrelse på A4) med linjal: $AD\approx \mathrm{4,7}\mathrm{cm}$.

Den virkelige lengden er $AD\approx \mathrm{5,9}\mathrm{m}=590\mathrm{cm}$.

Målestokken er forholdet mellom den virkelige lengden og lengden på tegningen:

Trapeset er tegnet i målestokk omtrent $1:125$. (Egen måling med linjal vil gi litt avvik — svar mellom $1:100$ og $1:150$ bør godtas.)

Tettheten til gull er $\mathrm{19,32}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, og gullbarren har volumet $500\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$. Fra formelen

løser vi ut massen ved å snu formelen:

Setter inn tallene:

Gullbarren har en masse på $\mathrm{9,66}\mathrm{kg}$.

Klumpen har volumet $\mathrm{0,3}\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3$ og massen $\mathrm{5,0}\mathrm{kg}$. Vi må regne om til gram og kubikkcentimeter, siden tettheten til gull er oppgitt i $\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$.

Siden $1\mathrm{d}{\mathrm{m}}^3=1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$, blir volumet

Massen er

Regner ut tettheten til klumpen:

Tettheten til klumpen ($\mathrm{16,7}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$) er lavere enn tettheten til rent gull ($\mathrm{19,32}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$).

Nei, klumpen kan ikke være av rent gull, siden tettheten er for lav sammenlignet med ren gull.