1P-Y FD Vår 2011

$1\mathrm{m}=100\mathrm{cm}$. Deler med $100$:

$1\mathrm{kg}=1000\mathrm{g}$. Ganger med $1000$:

$1\mathrm{dl}=100\mathrm{ml}$. Deler med $100$:

Prosent betyr «per hundre». Deler med $100$:

Ganger desimaltallet med $100$:

Skriver prosenten som en brøk med nevner $100$, og forkorter:

Ved en økning på $10\%$ legger vi til $10\%$ på $100\%$:

Ved en nedgang på $15\%$ trekker vi $15\%$ fra $100\%$:

Vekstfaktoren er $1$ pluss den prosentvise endringen som desimaltall. Trekker fra $1$:

Vekstfaktoren $\mathrm{1,045}$ svarer til en $\underline{\underline{\mathrm{4,5}\%\text{ økning}}}$.

Det er til sammen $28+22=50$ deltakere i fritidsklubben. Andel gutter:

$56\%$ av deltakerne i fritidsklubben var gutter.

Regner ut i parentesen først:

Regner ut potensene først:

Trekker sammen leddene i telleren:

Setter inn og forkorter med $3a$:

Løser likningen ved å samle $x$-ledd på én side og tall på den andre:

Anne og Sidra har $210\mathrm{kr}$ hver. La beløpet Anne gir til Sidra være $b$. Da har Anne $210-b$ kr igjen, og Sidra har $210+b$ kr. Sidra skal ha dobbelt så mye som Anne, så vi setter opp likningen:

Kontroll: Anne har $210-70=140\mathrm{kr}$, og Sidra har $210+70=280\mathrm{kr}$. Siden $280=2\cdot 140$, stemmer det. Anne må gi $70\mathrm{kr}$ til Sidra.

Arealet til et kvadrat er sidelengden i andre. Finner sidelengden ved å ta kvadratroten av arealet:

Omkretsen til et kvadrat er fire ganger sidelengden:

Omkretsen til kvadratet er $24\mathrm{cm}$.

Ser på søylen over $2009$ i diagrammet. Toppen av søylen ligger litt over $300$-streken på $y$-aksen. Det ble fisket omtrent $310\text{tonn}$ laks i elver i $2009$.

Ser etter den høyeste søylen i diagrammet. Søylen over $2001$ er den høyeste, med en topp litt over $570\text{tonn}$. Det ble ifølge diagrammet fisket mest laks i elver i $2001$.

Utgiftene er lokalet og DJ-en til sammen:

For å tjene $2000$ kr må inntektene dekke både utgiftene og fortjenesten:

Denne inntekten skal fordeles på $45$ personer:

Du må ta $200$ kr i inngangspenger per person for å tjene $2000$ kr.

Inntektene med $120$ kr per person og $72$ gjester blir:

Fortjenesten er det som er igjen når utgiftene på $7000$ kr er trukket fra:

Du tjener $1640$ kr når utgiftene er dekket.

Konsumprisindeksen var $\mathrm{118,6}$ i 2007 og $\mathrm{127,8}$ i 2010.

Endringen i prosentpoeng er bare differansen mellom de to indekstallene:

Endringen i prosent regnes ut fra hvor mye indeksen har økt, delt på startverdien:

Konsumprisindeksen steg med omtrent $\mathrm{7,8}\%$, altså $\mathrm{9,2}$ prosentpoeng, fra 2007 til 2010.

Reallønn viser hva lønnen er verdt når vi tar hensyn til prisstigningen. Formelen er:

I 2007 hadde Mohammed en lønn på $400000$ kr og KPI var $\mathrm{118,6}$:

I 2010 hadde Mohammed en lønn på $425000$ kr og KPI var $\mathrm{127,8}$:

Reallønnen til Mohammed var omtrent $337268$ kr i 2007 og $332551$ kr i 2010 — reallønnen gikk altså litt ned, selv om lønnen i kroner økte.

For å ha like god råd i 2010 som i 2007, må reallønnen holde seg lik. Da må lønnen øke like mye som konsumprisindeksen har økt:

Mohammed skulle ha tjent omtrent $431029$ kr i 2010 for å ha like god kjøpekraft som i 2007.

Vi skal leie skaphenger 2 i $14$ timer. Prislisten for skaphenger 2 er $190$ kr for $1$ time, $690$ kr for $6$ timer, $750$ kr for $12$ timer og $850$ kr for $1$ døgn ($24$ timer).

Vi prøver noen kombinasjoner som dekker $14$ timer:

Å leie for $1$ døgn dekker de $14$ timene og koster mindre enn å leie $12$ timer pluss $2$ enkelttimer.

Den billigste løsningen er å leie skaphenger 2 for $1$ døgn, det koster $850$ kr.

Skaphenger 1 er formet som et rett prisme (en boks). Innvendige mål er høyde $120\mathrm{cm}$, lengde $260\mathrm{cm}$ og bredde $140\mathrm{cm}$.

Volumet av et rett prisme er lengde ganger bredde ganger høyde:

Vi gjør om til kubikkmeter ved å dele på $1000000$:

Innvendig volum av skaphenger 1 er $\mathrm{4,368}{\mathrm{m}}^3$.

Esken har volum $\mathrm{3,24}{\mathrm{m}}^3$, lengde $200\mathrm{cm}=\mathrm{2,0}\mathrm{m}$ og høyde $120\mathrm{cm}=\mathrm{1,2}\mathrm{m}$. Vi finner bredden ved å snu volumformelen:

Esken er altså $200\mathrm{cm}$ lang, $120\mathrm{cm}$ høy og $135\mathrm{cm}$ bred.

Vi sammenligner med de innvendige målene til hengerne:

Alle målene på esken er mindre enn eller like store som de innvendige målene på begge hengerne (høyden er akkurat lik $120\mathrm{cm}$ i skaphenger 1).

Esken får plass i begge hengerne.

Trekant ABC. Den rette vinkelen er i $A$. Da er $AB$ og $AC$ katetene, og $BC$ er hypotenusen. Vi vet $AB=\mathrm{4,0}$ cm og $BC=\mathrm{5,0}$ cm. Pytagoras’ setning gir:

Trekant DEF. Den rette vinkelen er i $D$. Da er $DE$ og $DF$ katetene, og $EF$ er hypotenusen. Vi vet $DE=\mathrm{4,5}$ cm og $DF=\mathrm{6,0}$ cm:

$AC$ er $\mathrm{3,0}$ cm og $EF$ er $\mathrm{7,5}$ cm.

To trekanter er formlike hvis de har like store vinkler, eller hvis sidene i den ene trekanten er proporsjonale med sidene i den andre.

Trekant 1 (ABC) og trekant 6 (PQR). I trekant 1 er vinklene $37°$ og $53°$ oppgitt. Vinkelsummen i en trekant er $180°$, så den tredje vinkelen er $180°-37°-53°=90°$. Trekant 1 har altså vinklene $37°$, $53°$ og $90°$.

I trekant 6 er det en rett vinkel i $P$ og vinkelen $53°$ i $R$. Den tredje vinkelen blir $180°-90°-53°=37°$. Trekant 6 har da også vinklene $37°$, $53°$ og $90°$.

Begge trekantene har de samme tre vinklene, så trekant 1 og trekant 6 er formlike.

Trekant 2 (DEF) og trekant 3 (GHI). Trekant 2 har rett vinkel i $D$ og vinkel $30°$ i $F$. Den tredje vinkelen blir $180°-90°-30°=60°$. Trekant 2 har vinklene $30°$, $60°$ og $90°$.

Trekant 3 har rett vinkel i $H$ og vinkel $60°$ i $G$. Den tredje vinkelen blir $180°-90°-60°=30°$. Trekant 3 har også vinklene $30°$, $60°$ og $90°$.

Begge trekantene har de samme tre vinklene, så trekant 2 og trekant 3 er formlike.

Trekant 4 (JKL) og trekant 5 (MNO). Disse to trekantene har ingen oppgitte vinkler, bare sidelengder, så vi sjekker om sidene er proporsjonale. Vi sorterer sidene fra minst til størst i hver trekant:

Vi sammenligner side for side:

Alle sidene i trekant 4 er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i trekant 5, så trekant 4 og trekant 5 er formlike.

De formlike parene er 1 og 6, 2 og 3, og 4 og 5.

Budsjett-tallene skrives inn slik figuren viser: Ferielønn i B4, utgiftene i B7 til B11 og pengebeholdning ved start i B16. I tillegg trengs tre formler i regnearket:

• Celle B12 (Sum utgifter) skal legge sammen alle utgiftene: =SUMMER(B7:B11)
• Celle B14 (Overskudd/underskudd) skal ta inntekter minus utgifter: =B4-B12
• Celle B17 (Pengebeholdning ved slutt) skal legge overskuddet til pengebeholdningen ved start: =B16+B14

Regnearket med formler og verdier for budsjettet ser da slik ut:

Ifølge budsjettet har Pernille et overskudd på 2050 kr og vil sitte igjen med 2370 kr etter ferien.

Regnskapet settes opp i kolonne C, på samme måte som budsjettet i kolonne B, men med de virkelige tallene fra ferien: Ferielønn 12 250,00 kr, flybillett 2 560,00 kr, flytog 340,00 kr, hotell 3 500,00 kr, mat og drikke 2 840,00 kr og diverse 3 100,00 kr. Pengebeholdningen ved start er den samme, 320,00 kr, siden det er de samme pengene Pernille startet ferien med.

Pernille brukte mer penger enn hun hadde budsjettert med. Regnskapet viser et underskudd på 90 kr, og hun sitter igjen med 230 kr etter ferien.

Avviket i kroner for en utgiftspost finner vi ved å ta regnskap minus budsjett. Avviket i prosent finner vi ved å dele avviket i kroner på budsjettet, og gange med 100 %.

Et eksempel med hotell:

Samme utregning gjort for alle utgiftspostene gir denne tabellen:

Det største avviket er på posten diverse, der Pernille brukte 210 % mer enn hun hadde budsjettert med. Totalt brukte hun 2140 kr (ca. 21 %) mer enn planlagt, noe som forklarer hvorfor budsjettert overskudd på 2050 kr endte som et underskudd på 90 kr.

I bildet går stien i ett fluktpunkt (perspektiv med ett forsvinningspunkt). Vi finner forsvinningspunktet slik:

1. Legg linjal langs venstre kant av stien, og tegn en rett hjelpelinje som følger kanten. Forleng linja godt utenfor bildet.
2. Gjør det samme langs høyre kant av stien.
3. De to hjelpelinjene skjærer hverandre i ett punkt langt inne i bildet – dette er forsvinningspunktet. (Man kan sjekke punktet ved å legge tilsvarende hjelpelinjer langs kantene på pergolaen/buegangen lengst inne i bildet – linjene bør møtes omtrent i det samme punktet.)
4. Tegn en vannrett linje gjennom forsvinningspunktet, ut til begge sider av bildet. Dette er horisontlinjen.

På denne reproduksjonen ligger forsvinningspunktet ved den mørke åpningen i portalen/buegangen lengst inne i bildet, omtrent $38$–$40\%$ av bildehøyden regnet fra toppen av bildet.

Horisontlinjen er den vannrette linjen som går gjennom forsvinningspunktet der stiens kanter møtes, ca. $2/5$ ned fra toppen av bildet.

Vi skal undersøke om horisontlinjen deler bildehøyden i det gylne snitt. To lengder $a$ (størst) og $b$ (minst) er delt i det gylne snitt dersom

Metode: Mål med linjal den totale høyden $H$ av bildet på utskriften, og avstanden $d$ fra toppen av bildet ned til horisontlinjen (funnet i a)). Da er de to delene av bildehøyden $d$ (øverste del) og $H-d$ (nederste del).

Ut fra plasseringen av horisontlinjen i a) (ca. $38$–$40\%$ av høyden fra toppen) får vi omtrent:

Forholdet mellom den store og den lille delen blir da:

Dette stemmer godt overens med det gylne snitt ($\mathrm{1,618}$), innenfor den unøyaktigheten vi må regne med når vi måler for hånd på en utskrift.

Ja, horisontlinjen deler bildet omtrent i det gylne snitt.

Grunnflaten er $\mathrm{2,0}\mathrm{m}\times \mathrm{2,0}\mathrm{m}$, og fronten er en trekant med grunnlinje $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$ og høyde $\mathrm{3,0}\mathrm{m}$.

I målestokk $1:25$ blir de tegnede lengdene:

Tegningen viser fronten sett rett forfra, som en trekant med grunnlinje $8\mathrm{cm}$ og høyde $12\mathrm{cm}$ på papiret:

Grunnflaten er kvadratisk med sidelengde $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$:

Fronten er en trekant med grunnlinje $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$ og høyde $\mathrm{3,0}\mathrm{m}$:

Grunnflaten er $4{\mathrm{m}}^2$, og fronten har et areal på $3{\mathrm{m}}^2$.

Taket består av to like, skrå rektangler som møtes i mønet. For å finne lengden av hvert takfelt (den skrå siden i trekanten), bruker vi Pytagoras på halve fronten: en rettvinklet trekant med kateter $\mathrm{1,0}\mathrm{m}$ (halve grunnlinja) og $\mathrm{3,0}\mathrm{m}$ (høyden):

Hvert takfelt er et rektangel med denne skrå lengden og en dybde lik grunnflatens sidelengde, $\mathrm{2,0}\mathrm{m}$. Taket har to slike felt:

Arealet av taket er omtrent $\mathrm{12,65}{\mathrm{m}}^2$.