Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en eske er det fire blå og fire røde nisser. Tenk deg at du skal ta tre nisser tilfeldig fra esken. Du skal ta én nisse av gangen, og du skal sette dem på en rekke fra venstre mot høyre.

Bestem sannsynligheten for at rekken vil bli som vist på bildet nedenfor.

Bestem sannsynligheten for at det vil bli én blå og to røde nisser i rekken.

Bestem sannsynligheten for at det vil bli minst én blå nisse i rekken.

Fasit

$P = \frac{1}{7}$

$P = \frac{3}{7}$

$P = \frac{13}{14}$

LøsningsforslagKI-generert

Esken har 4 blå og 4 røde nisser, til sammen 8 nisser. Vi trekker tre nisser etter hverandre, uten tilbakelegging.

På bildet er rekkefølgen blå, rød, rød. Ettersom vi trekker uten tilbakelegging, endrer antall nisser i esken seg for hver trekning. Vi multipliserer sannsynlighetene for hver trekning:

P (blå, rød, rød) = \underset{1. nisse blå}{\underset{⏟}{\frac{4}{8}}} \cdot \underset{2. nisse rød}{\underset{⏟}{\frac{4}{7}}} \cdot \underset{3. nisse rød}{\underset{⏟}{\frac{3}{6}}}

Etter at vi har trukket den blå nissen, er det $4$ røde igjen av $7$ nisser totalt. Etter at vi også har trukket én rød, er det $3$ røde igjen av $6$ nisser totalt.

P (blå, rød, rød) = \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}

$P = \frac{1}{7}$

Nå kan den ene blå nissen komme som nummer én, to eller tre i rekken. Det finnes altså $3$ ulike rekkefølger som gir «én blå og to røde»: BRR, RBR og RRB.

Hver av disse rekkefølgene inneholder trekning av $1$ blå og $2$ røde nisser, så sannsynligheten for hver enkelt rekkefølge er den samme, uavhengig av hvor den blå nissen kommer i rekken:

P (BRR) = \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{7}

P (RBR) = \frac{4}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{7}

P (RRB) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{1}{7}

Siden hendelsene er disjunkte, adderer vi sannsynlighetene:

P (1 blå og 2 røde) = 3 \cdot \frac{1}{7} = \frac{3}{7}

$P = \frac{3}{7}$

Det er lettest å bruke komplementhendelsen: «minst én blå» er det motsatte av «ingen blå», altså «alle tre er røde».

P (alle røde) = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{24}{336} = \frac{1}{14}

Da blir sannsynligheten for minst én blå nisse:

P (minst én blå) = 1 - P (alle røde) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}

$P = \frac{13}{14}$

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2016, del 1, oppgave 10
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: 1T, 1P
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Lov på eksamen

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging

Sannsynlighet ved trekning av nisser uten tilbakelegging

Lov på eksamen

Lov på eksamen

Temaer