Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

”Stein – saks – papir” er en konkurranse mellom to personer. Hver person bestemmer seg for enten stein, saks eller papir, og begge viser så samtidig, ved å bruke den ene hånden, hva de har valgt. Se figuren nedenfor.

Stein – saks – papir: saks vinner over papir, papir vinner over stein og stein vinner over saks

Reglene er slik:

Saks vinner over papir.
Papir vinner over stein.
Stein vinner over saks.

Dersom begge velger det samme (for eksempel stein), blir det uavgjort.

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir”. Ett mulig utfall kan da for eksempel bli at Bård velger stein og Lars velger papir.

For hånd

Lag en oversikt som viser alle de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller ”Stein – saks – papir” én gang.

La B bety seier til Bård, U uavgjort og L seier til Lars.

For hånd

Forklar at sannsynligheten for at Bård vinner, $P (B)$ , er $\frac{1}{3}$ .

Bård og Lars skal spille ”Stein – saks – papir” tre ganger. Et mulig resultat er da BUL, som betyr at Bård vinner første gang, at det blir uavgjort andre gang, og at Lars vinner tredje gang.

For hånd

Hvor mange ulike resultater kan vi få når Bård og Lars spiller tre ganger?

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner minst to av de tre gangene?

Når to personer spiller ”Stein – saks – papir”, er vinneren den som vinner flest av tre ganger. Dersom begge vinner like mange ganger, blir det uavgjort.

For hånd

Hva er sannsynligheten for at Bård vinner?

Fasit

Se tabell i løsningsforslaget.

$P (B) = \frac{1}{3}$

$27 resultater$

$P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 25,9 %$

$P (Bård vinner) = \frac{10}{27} \approx 37,0 %$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter opp en tabell med Bård sitt valg langs radene og Lars sitt valg langs kolonnene. $B$ betyr at Bård vinner, $L$ betyr at Lars vinner, og $U$ betyr uavgjort:

Bård \ Lars	Stein	Saks	Papir
Stein	$U$	$B$	$L$
Saks	$L$	$U$	$B$
Papir	$B$	$L$	$U$

Dette gir de ni mulige utfallene når Bård og Lars spiller én gang.

Av de $9$ likeverdige utfallene i tabellen i a) ser vi at Bård vinner ( $B$ ) i akkurat $3$ av rutene: stein mot saks, saks mot papir og papir mot stein. Siden alle ni utfall er like sannsynlige, er

P (B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Hvert enkelt spill kan ende på $3$ ulike måter ( $B$ , $U$ eller $L$ ). Siden Bård og Lars spiller tre uavhengige spill, gir multiplikasjonsprinsippet at antall mulige resultater (rekkefølger som BUL, BBB, ULL osv.) er

3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{3} = 27

Vi teller opp hvor mange av de $27$ resultatene som har minst to seiere til Bård, altså enten nøyaktig $2$ eller nøyaktig $3$ seiere til Bård.

Nøyaktig 3 seiere ( $B B B$ ): Det finnes bare $1$ slikt resultat.

Nøyaktig 2 seiere: Vi velger hvilke $2$ av de $3$ spillene Bård vinner. Det finnes $3$ måter å gjøre dette på. Det tredje spillet må da ikke være en seier til Bård, altså enten uavgjort ( $U$ ) eller tap ( $L$ ) — det gir $2$ muligheter for det siste spillet. Antall resultater med nøyaktig $2$ seiere til Bård blir dermed

3 \cdot 2 = 6

Totalt antall gunstige resultater er $6 + 1 = 7$ , av $27$ mulige. Dermed er

P (minst 2 seiere til Bård) = \frac{7}{27} \approx 0,259 = 25,9 %

Vinneren av kampen er den som vinner flest av de tre spillene. Legg merke til at situasjonen er symmetrisk mellom Bård og Lars, så

P (Bård vinner) = P (Lars vinner)

Det blir uavgjort i kampen når Bård og Lars vinner like mange spill hver (samme antall $B$ -er som $L$ -er blant de tre spillene). Vi teller opp hvilke av de $27$ resultatene som gir uavgjort:

Alle tre spill uavgjort ( $U U U$ ): $1$ resultat.
Nøyaktig én seier hver ( $1$ gang $B$ , $1$ gang $U$ og $1$ gang $L$ ): de tre bokstavene $B$ , $U$ , $L$ kan stå i $3! = 6$ ulike rekkefølger.

Det er ingen andre måter å få like mange $B$ -er som $L$ -er på tre spill (f.eks. kan man ikke ha $2$ hver, siden $2 + 2 = 4 > 3$ ). Dermed er antall resultater med uavgjort kamp $1 + 6 = 7$ , så

P (uavgjort) = \frac{7}{27}

De resterende $27 - 7 = 20$ resultatene fordeler seg likt mellom at Bård vinner kampen og at Lars vinner kampen (symmetri), så

P (Bård vinner) = \frac{20}{27} \div 2 = \frac{10}{27} \approx 0,370 = 37,0 %

Oppgavedata

Hentet fra: 1P V2011, del 2, oppgave 9
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 1T, 1P, 2P-Y
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk, Binomisk fordeling

Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Sannsynlighet i stein-saks-papir over tre runder

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer