Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per har alle skolebøkene sine liggende hjemme. Han har én bok i hvert av de 8 fagene han tar. Hver dag har Per undervisning i 3 fag. Han må derfor legge 3 bøker i sekken før han går til skolen.

Hvor mange mulige kombinasjoner av bøker kan han legge i sekken?

En dag er Per skikkelig trøtt. Han husker ikke hvilke fag han skal ha den dagen. Han tar derfor med seg 4 av bøkene uten å se hvilke det er.

Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til alle fagene den dagen?

Hva er sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst 2 av fagene den dagen?

Fasit

$56 kombinasjoner$

$P = \frac{1}{14} \approx 0,071$

$P = \frac{1}{2} = 0,5$

LøsningsforslagKI-generert

Per skal velge $3$ bøker blant de $8$ han har, og rekkefølgen har ingenting å si. Antall kombinasjoner er

(\binom{8}{3}) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56

Per kan legge sammen $56$ ulike kombinasjoner av bøker i sekken.

Denne dagen skal han ha undervisning i $3$ bestemte fag, men tar med seg $4$ av de $8$ bøkene tilfeldig. Vi skal finne sannsynligheten for at alle de $3$ riktige bøkene er blant de $4$ han tar med.

Antall måter å ta med seg $4$ bøker av $8$ er $(\binom{8}{4}) = 70$ . De gunstige utfallene er der alle $3$ riktige bøker er med (velges på $(\binom{3}{3}) = 1$ måte), og den siste boken er en av de $5$ resterende, «feil» bøkene (velges på $(\binom{5}{1}) = 5$ måter):

(\binom{3}{3}) \cdot (\binom{5}{1}) = 1 \cdot 5 = 5

Sannsynligheten blir dermed

P (alle 3 riktige) = \frac{(\binom{3}{3}) \cdot (\binom{5}{1})}{(\binom{8}{4})} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14} \approx 0,071

Sannsynligheten for at Per har med seg riktig bok til alle fagene, er $\frac{1}{14} \approx 0,071$ .

Vi skal finne sannsynligheten for at han har med seg riktig bok til minst $2$ av de $3$ fagene, altså at han har med seg $2$ eller $3$ av de riktige bøkene. Dette er to disjunkte tilfeller:

Nøyaktig $2$ riktige bøker: $2$ av de $3$ riktige bøkene og $2$ av de $5$ «feil» bøkene: $(\binom{3}{2}) \cdot (\binom{5}{2}) = 3 \cdot 10 = 30$ .
Alle $3$ riktige bøker: som i b), $(\binom{3}{3}) \cdot (\binom{5}{1}) = 1 \cdot 5 = 5$ .

Siden tilfellene utelukker hverandre, adderer vi dem og deler på totalen $(\binom{8}{4}) = 70$ :

P (minst 2 riktige) = \frac{(\binom{3}{2}) \cdot (\binom{5}{2}) + (\binom{3}{3}) \cdot (\binom{5}{1})}{(\binom{8}{4})} = \frac{30 + 5}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2} = 0,5

Sannsynligheten for at Per har med seg riktig bok til minst $2$ av fagene, er $\frac{1}{2} = 0,5$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2020, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Delt med: R1, S1
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Bøker i sekken – kombinatorikk og sannsynlighet

Lov på eksamen

Temaer