S2 Høst 2010

LK06 6 oppgaver 68 poeng 5 timer

0 av 6 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S2 Høst 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 2 timer uten hjelpemidler · 1 oppgaver · 24 poeng
1	Derivasjon, kuleoverflate, sprettball og likningssystem	—
Del 2 3 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver · 44 poeng
2	Annuitetslån for leilighet med sparealternativ	—
3	Tablettkonsentrasjon og geometrisk rekke	—
4	Funksjonsdrøfting av (x-1)·eˣ med areal	—
4	Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd	—
5	Butikkbesøk normalfordeling og hypotesetest	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, kuleoverflate, sprettball og likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f(x)=x^3-3x+4

g(x)=6x\cdot e^{-2x}

Vi har gitt funksjonen $P(x)=2x^3-6x^2-8x+24$ .

Vis at $P(3)=0$ .

Bruk polynomdivisjon til å faktorisere $P$ i førstegradsfaktorer.

Forkort brøken $\dfrac{2x^3-6x^2-8x+24}{2x^2-8}$ .

Formelen for overflaten av en kule er $O=4\pi r^2$ . Vi øker radien $r$ med $10\ \%$ . Hvor mange prosent øker overflaten til kulen da?

En gummiball slippes fra en høyde på $10 \mathrm{~m}$ . Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp $\dfrac{2}{3}$ av den forrige høyden. Hva er den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes, til den faller til ro?

Vi har rekken $1+3+5+7+\cdots$

Hva slags rekke er dette? Bestem et uttrykk for det $n$ -te leddet $a_n$ .

Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av de $n$ første leddene. Regn ut $S_{100}$ .

Gitt sannsynlighetsfordelingen:

$X$	1	2	3	4
$P(X=x)$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$

Finn forventningsverdien $\text{E}(X)$ .

Bestem variansen $\text{Var}(X)$ .

Løs likningssystemet

\begin{cases} 2x+y+3z=10 \\ x+y+z=6 \\ x+3y+2z=13 \end{cases}

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 24
Temaer: Derivasjon, Polynomdivisjon, Geometrisk rekke, Sannsynlighet, Likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 44 poeng

Oppgave 2-2 : Annuitetslån for leilighet med sparealternativ

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et ungt par skal kjøpe seg leilighet. Den koster $1\,500\,000$ kroner. De må låne hele beløpet.

Paret får tilbud om et annuitetslån til en rente på $4\ \%$ per år. De må betale $20$ like store årlige beløp. Det første beløpet skal betales ett år etter at lånet blir innvilget.

Finn ved regning hvor stort det årlige beløpet blir.

Dette synes paret blir for dyrt. De kan maksimalt betjene et lån som har en fast årlig innbetaling på $100\,000$ kroner.

Bestem ved regning hvor mange like store årlige beløp de da må betale.

Paret synes at denne nedbetalingen tar for lang tid. De ønsker seg $20$ årlige innbetalinger, og ser seg derfor om etter et bedre rentetilbud.

Hva må renten per år være for at de årlige beløpene ikke skal overstige $100\,000$ kroner?

Paret finner ikke et så godt rentetilbud som de trenger. De bestemmer seg derfor for å spare først og så låne restbeløpet, som skal nedbetales med $20$ årlige innbetalinger på $100\,000$ kroner hver. De forutsetter at en leilighet fremdeles koster $1\,500\,000$ kroner, og at lånerenten er $4\ \%$ .

Hvor stort beløp må stå på sparekontoen når paret låner restbeløpet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Annuitetslån, Geometrisk rekke, Sparing

Oppgave 2-3 : Tablettkonsentrasjon og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En type tabletter inneholder $75 \mathrm{~mg}$ av et visst stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av hver sjette time.

En pasient tar bare én slik tablett. Hvor mange milligram av dette stoffet vil pasienten ha igjen i kroppen etter $36$ timer?

En annen pasient får én slik tablett hver tolvte time.

Forklar at antall milligram av stoffet som er i pasienten etter $72$ timer, like etter at den sjette tabletten er tatt, er

75+75\cdot 0{,}25+75\cdot 0{,}25^2+75\cdot 0{,}25^3+75\cdot 0{,}25^4+75\cdot 0{,}25^5

Bruk en sumformel og finn summen av denne rekken.

Hvor mange milligram av stoffet vil samles i kroppen i det lange løp når pasienten får én tablett hver tolvte time?

En bestemt pasient bør ikke ha en samlet mengde på mer enn $80 \mathrm{~mg}$ av dette stoffet i kroppen.

Finn ved regning hvor mange milligram av stoffet hver tablett kan inneholde dersom denne pasienten skal ta én tablett i døgnet over lang tid.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Geometrisk rekke, Eksponentiell vekst, Modellering

Oppgave 2-4 : Funksjonsdrøfting av (x-1)·eˣ med areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Vi har gitt funksjonen

f(x)=(x-1)\cdot e^x, \qquad x\in\langle -3,\ 2\rangle

Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktene mellom koordinataksene og grafen til $f$ .

Finn ved regning koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

Bestem ved regning koordinatene til punktet der grafen til $f$ synker raskest.

Tegn grafen til $f$ . Bruk et digitalt hjelpemiddel og bestem arealet av området som er avgrenset av førsteaksen, grafen til $f$ og linjene $x=1$ og $x=2$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Bestemt integral

Oppgave 2-4 : Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

Ledelsen i et idrettslag planlegger en ukentlig trim året igjennom. De regner med at antall deltakere vil følge modellen

D(x)=120-100\cdot e^{-0{,}35x}+80\cdot e^{-0{,}09x}

Her er $D(x)$ antall deltakere per uke $x$ uker etter den første trimuka. Det vil si at $D(0)$ er antall deltakere den første uka, $D(1)$ er antall deltakere den andre uka, og så videre.

Tegn grafen til $D$ . Hvor mange deltakere regner de med at det er den andre og den tiende uka?

Bestem når det ifølge modellen er $137$ deltakere. Bruk uttrykket $D(x)$ til å forklare hva antall deltakere vil stabilisere seg på hvis modellen gjelder i lang tid.

Bestem ved regning i hvilken uke man kan regne med flest deltakere.

Hvor mange vil ha deltatt på trimmen i løpet av de $20$ første ukene?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Eksponentialfunksjon, Modellering, Bestemt integral

Oppgave 2-5 : Butikkbesøk normalfordeling og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Tallet på kunder i en butikk varierer fra uke til uke. I gjennomsnitt har butikken besøk av $1\,000$ personer per uke. Besøkstallet per uke er tilnærmet normalfordelt med et standardavvik på $140$ personer.

Finn sannsynligheten for at flere enn $1\,200$ personer besøker butikken i løpet av en tilfeldig valgt uke.

Finn sannsynligheten for at besøkstallet er mellom $900$ og $1\,100$ .

I denne butikken regner man med at $70\ \%$ av dem som kommer innom, kjøper noe.

I løpet av en bestemt halvtime kommer $12$ personer innom butikken. Bruk binomisk fordeling og finn ved regning sannsynligheten for at

akkurat $9$ personer av disse kjøper noe

minst $9$ personer av disse kjøper noe

Butikken gjennomførte en reklamekampanje. Etter kampanjen viste en telling at $47$ av $60$ besøkende som kom innom butikken, kjøpte noe.

Bruk hypotesetesting og vurder om reklamekampanjen har ført til økt salg. La signifikansnivået være $5\ \%$ .

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 10
Temaer: Normalfordeling, Binomisk fordeling, Hypotesetest

Sync på tvers av enheter

S2 Høst 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 2 timer · 1 oppgaver · 24 poeng

Oppgave 1-1 : Derivasjon, kuleoverflate, sprettball og likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 3 timer · 5 oppgaver · 44 poeng

Oppgave 2-2 : Annuitetslån for leilighet med sparealternativ

Oppgave 2-3 : Tablettkonsentrasjon og geometrisk rekke

Oppgave 2-4 : Funksjonsdrøfting av (x-1)·eˣ med areal

Oppgave 2-4 : Trimdeltakelse modellert med to eksponentialledd

Oppgave 2-5 : Butikkbesøk normalfordeling og hypotesetest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave