Oppgave 1-1:Derivasjon, rekker og likningssett blandet
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
a)
Deriver funksjonene
1)f(x)=4x3−5x2+3x+3
2)g(x)=2xe3x
b)
1)
Finn summen av den uendelige rekka: 9+0,9+0,09+0,009+⋯
2)
Finn summen av de 119 første naturlige tallene.
Ledd nummer n i en rekke er gitt ved an=n1−n+11
c)
1)
Bestem a5 og S5.
2)
Vis at Sn=1−n+11. Bestem S999.
d)
Vis at x=1 er en løsning på likningen x3−2x2−5x+6=0. Bruk polynomdivisjon til å finne de to andre løsningene.
e)
Løs likningssettet
x+y+z3x−y+2z4x+3y−z=1=7=10
En maskin som lager terninger, var feilinnstilt. Terningene fikk to treere og ingen seksere.
x
1
2
3
4
5
6
P(X=x)
61
f)
1)
Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.
2)
Regn ut E(X) og Var(X).
Totalkostnaden i kroner for en vare er gitt ved K(x)=x2−2x+4 der x er antall produserte enheter.
g)
1)
Finn et uttrykk for enhetskostnaden og grensekostnaden.
2)
Finn den minste enhetskostnaden.
En regel i økonomien sier at vi finner den laveste verdien for enhetskostnaden der grafen til enhetskostnaden og grafen til grensekostnaden skjærer hverandre.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
En bedrift har lagt opp en langsiktig plan for å rekruttere kvalifisert arbeidskraft i framtida. Bedriften lover en stipendordning under skolegang og studier. De ferdigutdannete studentene må forplikte seg til å arbeide i bedriften i 5 år.
En elev/student kan velge mellom å få stipendet
utbetalt 48 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 1 år.
utbetalt 105 000 kr kontant i dag. Deretter 45 000 kr hvert år i 5 år, første utbetaling om 1 år.
utbetalt 60 000 kr hvert år i 10 år. Første utbetaling om 5 år.
a)
Hvilken stipendordning er mest lønnsom for eleven/studenten når renten er 5 % per år? Bruk det du kan om rekker i begrunnelsen din.
b)
Ville konklusjonen blitt annerledes hvis renten hadde vært 8 % per år?
Oppgavedata
Kategori
3
Vanskegrad
3
Temaer
Rekker, Geometrisk rekke, Annuitetslån
Oppgave 2-3:Drøfting av eksponentialfunksjon og antiderivert
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Gitt funksjonen
f(x)=10⋅(1−x)⋅e−xx∈[0,10]a)
Vis at f′(x)=10⋅(x−2)⋅e−x. Tegn et fortegnskjema for f′(x) og bruk det til å finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.
b)
Finn f′′(x). Tegn et fortegnskjema for f′′(x) og bruk det til å finne eventuelle vendepunkt på grafen til f.
c)
Tegn en skisse av grafen til f.
d)
Finn det samlede arealet som er avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=0 og x=10.
Funksjonen f er en derivert til funksjonen g.
e)
Bruk grafen til f til å bestemme hvor grafen til g stiger og hvor den synker. Finn x-verdiene til eventuelle topp-, bunn- og vendepunkter på grafen til g.
Oppgavedata
Kategori
2
Vanskegrad
2
Temaer
Funksjonsdrøfting, Derivasjon, Fortegnslinje, Bestemt integral
Oppgave 2-3:Personbiler per 1000 innbyggere modell
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Ifølge data fra Statistisk årbok kan antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i Norge i perioden 1985 – 2005 uttrykkes ved funksjonen
f(x)=506,8−1,513x+525,74,725⋅104x∈[0,20]
der x er antall år etter 1985.
I 1991 var det 4 500 000 innbyggere i Norge.
a)
Hvor mange registrerte personbiler var det i Norge i 1991?
b)
Tegn en skisse av grafen til f′.
c)
Bruk grafen til f′ til å finne interessante egenskaper for f.
d)
Når øker antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere med 6 per år?
Gjennomsnittet til funksjonen f i intervallet [a,b] er b−a1⋅A, der A er arealet avgrenset av grafen til f, x-aksen og linjene x=a og x=b.
e)
Finn gjennomsnittlig antall registrerte personbiler per 1000 innbyggere i perioden 1985 – 2005.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Levetiden til en spesiell motor antas å være normalfordelt med en forventningsverdi på 10 år og et standardavvik på 2 år.
a)
Finn sannsynligheten for at
1)
motoren fungerer mindre enn 8 år
2)
motoren fungerer mellom 8 og 11 år
Motorer som blir defekte før garantitiden går ut, blir erstattet av produsenten. Firmaet som produserer motorene, ønsker ikke å erstatte mer enn 3 % av de motorene som blir defekte.
b)
Hvor lang garantitid bør de da tilby?
I firmaet er de usikre på om forventet levetid er så lang som 10 år. De registrerer levetiden i antall år på 10 tilfeldig valgte motorer:
8,39,27,310,19,58,78,410,09,19,4
De antar fortsatt at levetiden til motoren er normalfordelt med standardavvik på 2 år.
c)
Still opp en nullhypotese H0 og en alternativ hypotese H1 for denne problemstillingen.
d)
Velg et signifikansnivå på 5 % og undersøk om firmaet må forkaste hypotesen H0.