S1 Vår 2010

LK06 8 oppgaver 5 timer

0 av 8 klart

Ikke prøvd Prøvd Trenger hjelp Klart

S1 Vår 2010 – oversikt over oppgavene
№	Navn	LF
Del 1 1 time uten hjelpemidler · 3 oppgaver
1	Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10	—
2	Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10	—
3	Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem	—
Del 2 4 timer med hjelpemidler · 5 oppgaver
4	Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske	—
5	Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd	—
6	Lineær optimering for vannprøveanalyse	—
7	Konsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon	—
7	Prisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse	—

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 3 oppgaver

Oppgave 1-1 : Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Gitt polynomfunksjonen $f(x) = 2x^3 - x^2$ .

Regn ut $f(1)$ og $f'(1)$ .

Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen til $f$ ser ut i et lite område rundt punktet som har førstekoordinat $x = 1$ .

Skriv så enkelt som mulig:

(a-b)^2 + (a+b)(a-b)

\dfrac{a^2 \cdot (a \cdot b^2)^2}{(a^2)^3 \cdot b^3}

\lg(a^2 \cdot b) + \lg\!\left(\dfrac{1}{a \cdot b}\right)

Løs likningene:

3 \cdot 10^{3x} = 3000

2\lg x - \lg\!\left(\dfrac{1}{x}\right) = 6

Løs ulikheten

-3(x+1)(x-2) > 0

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Polynomfunksjoner, Potenser, Logaritmer, Likninger, Ulikheter

Oppgave 1-2 : Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Den deriverte til en funksjon $f$ er gitt ved $f'(x) = x^2 - 2x$ .

Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f'(x)$

Tegn grafen til $f'$ og bruk grafen til $f'$ til å bestemme hvor grafen til $f$ vokser, og hvor den avtar.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Oppgave 1-3 : Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Per og Kari leker med terninger, kuler og stavformete klosser. To ganger klarer de å balansere en skålvekt. Den første gangen ligger det to terninger og én kule i den ene skåla og åtte staver i den andre. Den andre gangen ligger det én terning i den ene skåla og én kule og én stav i den andre. Se figurene under.

Figur 1 og Figur 2: Balanserte skålvekter

La $x$ være vekten til én terning, la $y$ være vekten til én kule, og la $z$ være vekten til én stav.

Skriv opp en likning som passer til figur 1, og en likning som passer til figur 2.

Den tredje gangen legger de én terning i den ene skåla og bare staver i den andre skåla. Se figur 3.

Figur 3: Én terning mot ukjent antall staver

Hvor mange staver må de nå legge i skåla for å balansere vekten?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-4 : Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift har utviklet en medisin til behandling av en sykdom. Bedriften anslår at 80 % av pasientene som bruker medisinen, blir friske. Vi bruker dette anslaget i utregningene nedenfor.

20 tilfeldig utvalgte pasienter får medisinen.

Skriv opp en formel for sannsynligheten for at akkurat $x$ av de 20 pasientene blir friske.

Finn sannsynligheten for at akkurat 15 av pasientene blir friske.

Finn sannsynligheten for at minst 15 av pasientene blir friske.

Bestem $x$ slik at sannsynligheten for at minst $x$ pasienter blir friske, er større enn 0,9.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Sannsynlighet

Oppgave 2-5 : Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av en vare er gitt ved

K(x) = 0{,}2x^2 + 200x

I(x) = -0{,}3x^2 + 400x

Vi antar at produksjonen er mindre enn 500 enheter. Både kostnaden og inntekten oppgis i kroner.

Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer og selger 300 enheter. Hvor stort blir overskuddet?

Bestem et uttrykk for overskuddsfunksjonen $P$ . Løs likningen $P(x) = 0$ .

Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet?

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Andregradslikninger

Oppgave 2-6 : Lineær optimering for vannprøveanalyse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Nedenfor følger et sett med ulikheter:

x > 0

y > \dfrac{2}{x} + 2

2y - 16 < -4x

Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene.

Vi studerer følgende situasjon:

Et laboratorium skal analysere vannprøver. Det har kapasitet til å utføre inntil 570 slike analyser. En uerfaren assistent og en erfaren tekniker deler på arbeidet. Assistenten analyserer 4 prøver per time, og teknikeren analyserer 6 prøver per time. Det kan brukes inntil 120 timer på analysene. Teknikeren kan ikke bruke mer enn 70 timer på analysen av disse vannprøvene.

Bestem et sett med ulikheter som beskriver betingelsene i teksten over.

Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene i b).

Assistenten lønnes med 100 kroner per time, og teknikeren lønnes med 175 kroner per time. De får i oppdrag å analysere 570 vannprøver. Ellers gjelder de samme betingelsene som i spørsmål b).

Hvor mange timer må assistenten arbeide, og hvor mange timer må teknikeren arbeide for at de to til sammen skal tjene mest mulig?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Lineær optimering, Ulikheter

Oppgave 2-7 : Konsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ I

Ved en kjemisk reaksjon i en sur løsning endrer konsentrasjonen av et stoff seg med tida. Konsentrasjonen, målt i millimol per liter, etter $t$ sekunder er gitt ved

f(t) = 3{,}00 - 3{,}00 \cdot 10^{-0{,}0007t}

Tegn grafen til $f$ når $t \leq 3600$ .

Bestem ved regning hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er 2 millimol per liter.

Bestem ved regning den gjennomsnittlige veksthastigheten de 10 første minuttene.

Finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når $t = 600$ .

Vi lar den sure løsningen stå i mange timer. Bruk modellen til å avgjøre hvilken konsentrasjon vi da kan vente oss.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Eksponentialfunksjon, Vekstfart, Logaritmer

Oppgave 2-7 : Prisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal besvare enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene teller like mye ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy.

Prisindeks er et mål for pris. Tabellen viser hvordan prisindeksen for leiligheter i Stavanger varierte i perioden fra 1. kvartal 2008 til 2. kvartal 2009. Ett år deles inn i fire kvartaler som hvert er på tre måneder.

Tidspunkt	1. kvartal 2008	2. kvartal 2008	3. kvartal 2008	4. kvartal 2008	1. kvartal 2009	2. kvartal 2009
$x$	0	1	2	3	4	5
Prisindeks	100	99,2	96,5	89,7	93,3	97,9

Vi lar $x$ være antall kvartaler etter 1. kvartal i 2008.

Bruk digitalt verktøy og finn en 4. gradsfunksjon $f$ som passer best mulig med dataene i tabellen.

Tegn grafen til $f$ i et koordinatsystem sammen med punktene som er gitt i tabellen. Bruk $x$ -verdier fra 0 til 8 og $y$ -verdier fra 80 til 120. Hvordan syns du funksjonen passer?

Bruk derivasjon til å bestemme når prisen på leiligheter vil nå sitt høyeste nivå, ut fra funksjonen i a). Hvilken prisindeks gir funksjonen da?

Vis at det også finnes en 3. gradsfunksjon $g$ som gir en god tilnærming til dataene i tabellen over.

Hvilke tall gir de to funksjonene $f$ og $g$ for prisindeksen på leiligheter i 2. kvartal 2010?

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Regresjon, Derivasjon, Funksjonsdrøfting

Sync på tvers av enheter

S1 Vår 2010

Del 1 — uten hjelpemidler · 1 time · 3 oppgaver

Oppgave 1-1 : Polynomfunksjon potensforenkling logaritmer og ulikheter S1 V10

Oppgave 1-2 : Derivert funksjon tabell og vekst-avtak S1 V10

Oppgave 1-3 : Terninger kuler og staver på skålvekt – likningssystem

Del 2 — med hjelpemidler · 4 timer · 5 oppgaver

Oppgave 2-4 : Binomisk sannsynlighet for pasienter som blir friske

Oppgave 2-5 : Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Oppgave 2-6 : Lineær optimering for vannprøveanalyse

Oppgave 2-7 : Konsentrasjon i kjemisk reaksjon med eksponentialfunksjon

Oppgave 2-7 : Prisindeks for leiligheter i Stavanger – regresjonsanalyse

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave