2P Vår 2015

Et tall på standardform skrives som $a\cdot {10}^n$, der $1\le a<10$.

Vi vet at universet er ca. $\mathrm{1,4}\cdot {10}^{10}$ år gammelt, og at det er ca. $32$ millioner $=\mathrm{3,2}\cdot {10}^7$ sekunder i ett år. For å finne alderen i sekunder, ganger vi disse to tallene sammen:

Vi ganger tallene foran ($\mathrm{1,4}\cdot \mathrm{3,2}$) og legger sammen eksponentene (${10}^{10}\cdot {10}^7={10}^{17}$):

Universet er altså omtrent $\underline{\underline{\mathrm{4,48}\cdot {10}^{17}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ gammelt.

Vi regner ut potensene i telleren og nevneren hver for seg. Husk at et tall opphøyd i null er lik $1$, altså $2^0=1$.

Vi bruker potensregelen ${(x\cdot y)}^n=x^n\cdot y^n$ på telleren, og deretter regelen ${\displaystyle \frac{x^m}{x^n}}=x^{m-n}$ på hver av bokstavene:

Vi forkorter tallene og forenkler potensene av $a$ og $b$ hver for seg:

Vi lar $x$ være antall år etter «10 år siden», slik at $x=0$ svarer til for 10 år siden og $x=10$ svarer til i dag.

For 10 år siden var det $1400$ elever, og nå ($x=10$) er det $1340$ elever. Siden utviklingen er lineær, finner vi stigningstallet ved å dele endringen i elevtall på endringen i antall år:

Stigningstallet er $-6$, det vil si at elevtallet i gjennomsnitt minker med $6$ elever per år. Startverdien (ved $x=0$) er $1400$. Modellen blir dermed

der $N(x)$ er antall elever $x$ år etter «10 år siden».

Nå er utgangspunktet dagens elevtall, $1340$ elever, og vi lar $x$ være antall år fra nå av.

En nedgang på $\mathrm{0,5}\%$ per år gir en vekstfaktor på

Siden nedgangen nå er prosentvis (eksponentiell) og ikke lineær, må elevtallet ganges med vekstfaktoren $\mathrm{0,995}$ for hvert år som går. Modellen blir dermed

der $N(x)$ er antall elever $x$ år fra nå.

For å finne gjennomsnittsalderen bruker vi klassemidtpunktet i hvert intervall. Klassemidtpunktet er midtpunktet mellom de to grensene i intervallet.

Vi finner gjennomsnittet ved å dele summen av produktene på det totale antallet lærere:

Gjennomsnittsalderen for lærerne ved skolen er $\underline{\underline{47\text{ år}}}$.

Intervallet $[50,70⟩$ er dobbelt så bredt som de andre. Når klassene har ulik bredde, skal høyden på søylene være frekvenstettheten (frekvens delt på klassebredde), ikke frekvensen. Da blir arealet av hver søyle lik frekvensen.

Vi tegner histogrammet med alder på $x$-aksen og frekvenstetthet på $y$-aksen. Søylene ligger inntil hverandre. Legg merke til at den siste søyla er dobbelt så bred, men bare halvparten så høy som frekvensen skulle tilsi — arealet ($20\cdot 2=40$) viser likevel riktig antall lærere.

Vi legger til kolonner for relativ frekvens (andel av totalt antall) og kumulativ frekvens (løpende sum).

Relativ frekvens = ${\displaystyle \frac{\text{frekvens}}{\text{totalt antall}}}={\displaystyle \frac{\text{frekvens}}{100}}$

Den relative frekvensen viser andelen lærere i hvert aldersintervall. For eksempel er $\mathrm{0,10}$ av lærerne i alderen $[20,30⟩$, altså $10\%$.

Den kumulative frekvensen viser hvor mange lærere som er yngre enn eller lik den øvre grensen i intervallet. For eksempel er $60$ lærere under $50$ år.

Vi setter inn hvert $t$-verdi i formelen $h(t)=-5t^2+10t+15$:

$t=0$:

$t=1$:

$t=3$:

Utfylt tabell:

Vi setter inn punktene fra tabellen i et koordinatsystem med $t$ på $x$-aksen (sekunder) og $h$ på $y$-aksen (meter). Vi setter inn alle punktene og trekker en jevn kurve gjennom dem.

Grafen starter i $(0,15)$, stiger til toppen i $(1,20)$ og synker ned til $(3,0)$. Kurven er en parabel som åpner nedover.

$h(0)=15$ betyr at ballen befinner seg $15\mathrm{m}$ over bakken når Karl kaster den (ved $t=0$ sekunder). Dette tilsvarer høyden balkongen er over bakken.

$h(3)=0$ betyr at ballen treffer bakken etter $3$ sekunder. Da er høyden over bakken lik $0\mathrm{m}$.

Vi lar $x$ være antall år etter 2000 og $y$ være antall kvinnelige studenter. Da får vi følgende punkter fra tabellen:

Vi plotter punktene i GeoGebra og legger på en lineær regresjonslinje. Skjermbildet under viser punktene (rødt) sammen med regresjonslinjen $f$ (grønn, forlenget):

GeoGebra gir den lineære modellen

der $x$ er antall år etter 2000 og $f(x)$ er antall kvinnelige studenter.

Stigningstallet i den lineære modellen forteller hvor mye $f(x)$ øker for hver økning av $x$ med $1$, altså for hvert år. Stigningstallet er $\mathrm{1482,9}$, så antall kvinnelige studenter har i gjennomsnitt økt med

i denne perioden.

Vi skal finne når $f(x)=85000$. Fra figuren over ser vi at den vannrette linjen $y=85000$ skjærer grafen til $f$ i punktet $(\mathrm{22,0},85000)$.

Det gir

Siden $x=0$ svarer til år 2000, betyr $x\approx 22$ at antall kvinnelige studenter passerer $85000$ i

Vi legger temperaturdataene fra by A inn i et regneark og bruker funksjonene for gjennomsnitt og standardavvik.

Datamaterialet for by A:

Vi summerer alle 20 verdiene og deler på antallet:

Regneark-funksjonen for standardavvik (utvalg) gir:

Gjennomsnittstemperaturen i by A er $\underline{\underline{\mathrm{19,9}°\mathrm{C}}}$, og standardavviket er $\underline{\underline{\mathrm{1,71}°\mathrm{C}}}$.

Vi sammenligner de to byene:

By B har et litt høyere gjennomsnitt ($\mathrm{20,8}°\mathrm{C}$ mot $\mathrm{19,9}°\mathrm{C}$), men standardavviket er dobbelt så stort ($\mathrm{3,4}$ mot $\mathrm{1,71}$).

Et stort standardavvik betyr at temperaturen varierer mye fra år til år. I by B er det altså mye mer usikkert hva slags vær man kan forvente 30. juni.

Et lite standardavvik betyr at temperaturen er stabil og forutsigbar. I by A har det nesten alltid vært rundt $20°\mathrm{C}$ – temperaturen har sjelden ligget langt unna gjennomsnittet.

Rådet til arrangørene er å legge arrangementet til by A. Selv om by B i gjennomsnitt er litt varmere, er by A langt mer forutsigbart. Med et standardavvik på bare $\mathrm{1,71}°\mathrm{C}$ kan arrangørene stole på at det vil være rundt $20°\mathrm{C}$ også neste år. I by B er risikoen for et kaldt arrangement mye større.

Fra figuren ser vi:

• $F_1$: $3$ linjestykker
• $F_2$: $9$ linjestykker
• $F_3$: $18$ linjestykker

Vi finner differansene:

Differansene øker med $3$ for hvert steg, så neste differanse er $12$:

$F_4$ har $\underline{\underline{30\text{ linjestykker}}}$.

Mønsteret er at vi legger til en ny rad med trekanter nederst i figuren for hvert steg. Fra $F_{n-1}$ til $F_n$ legger vi til $3n$ nye linjestykker (rad $n$ bidrar med $3n$ linjestykker).

I regnearket legger du inn $n=1,2,\dots ,20$ i kolonne A og bruker formelen =A1+3*B1 (der B1 er forrige verdi) i kolonne B, eller beregner direkte med formelen fra c).

Vi bruker andregradsregresjon på datapunktene $(n,F_n)$ for $n=1,2,\dots ,20$.

I GeoGebra CAS skriver vi inn lista og kjører FitPoly:

data = {(1,3),(2,9),(3,18),(4,30),(5,45),(6,63),(7,84),(8,108),(9,135),(10,165),(11,198),(12,234),(13,273),(14,315),(15,360),(16,408),(17,459),(18,513),(19,570),(20,630)}
FitPoly(data, 2)

Regresjonen gir:

Vi kan skrive dette som $f(n)={\displaystyle \frac{3}{2}}n(n+1)$, noe som passer med at vi legger til $3n$ for hvert steg.

Andregradsuttrykket er $\underline{\underline{f(n)=\mathrm{1,5}{n}^2+\mathrm{1,5}n}}$.

Vi setter $n=20$ inn i uttrykket:

$F_{20}$ har $\underline{\underline{630\text{ linjestykker}}}$.

Det betyr at den tjuende figuren i rekken består av $630$ linjestykker.

Sykkelen koster $P$ kroner som ny. Rett etter kjøp, dvs. etter $x=0$ år, er erstatningen

Det stemmer med oppgaveteksten: du får kjøpsprisen minus 2000 kr egenandel.

Hvert år avtar erstatningen med $10\%$. Det betyr at den beholder $90\%=\mathrm{0,9}$ av verdien fra år til år (eksponentiell avskrivning). Etter $x$ år har erstatningen blitt multiplisert med $\mathrm{0,9}$ nøyaktig $x$ ganger:

• Faktoren $(P-2000)$ er startverdien (erstatningen uten avskrivning, men med egenandel).
• Faktoren ${\mathrm{0,9}}^x$ viser at verdien synker med $10\%$ hvert år.

Modellen beskriver altså forsikringsutbetalingen etter $x$ år, gitt at du betaler 2000 kr i egenandel og erstatningen avtar med 10 % per år.

Vi setter inn $P=10000$ og $x=7$:

Vi regner ut ${\mathrm{0,9}}^7$:

Dermed:

Dersom sykkelen blir stjålet etter 7 år, får du utbetalt ca. $\underline{\underline{3826\mathrm{kr}}}$.

Du betaler 150 kr i forsikringspremie hvert år. Etter $x$ år har du totalt betalt $150\cdot x$ kroner.

Netto beløp er det du får utbetalt minus det du har betalt inn:

Med $P=10000$:

Modellen for netto beløp er $\underline{\underline{G(x)=8000\cdot {\mathrm{0,9}}^x-150x}}$.

Et positivt $G(x)$ betyr at du tjener på forsikringen (får mer ut enn du betaler inn), et negativt $G(x)$ betyr at du taper.

Vi beregner $G(x)$ for noen verdier rundt $x=13$:

Vi ser at $G(13)\approx 83\mathrm{kr}>0$ og $G(14)\approx -270\mathrm{kr}<0$.

Modellen viser at nullpunktet til $G(x)$ ligger mellom $x=13$ og $x=14$ — nærmere bestemt rundt $x\approx \mathrm{13,2}$ år.

Ronny har omtrent rett, men ikke helt. Etter 13 år er $G(13)>0$, altså tjener du fortsatt (knapt) på forsikringen. Det er ikke lønnsomt å si opp forsikringen etter 13 hele år — nullpunktet passeres i løpet av det 14. året. Et mer presist råd ville vært å si opp forsikringen etter ca. 13 år (dvs. ikke fornye avtalen inn i det 14. året).

Grafen til $f(x)=-\mathrm{0,0000028}{x}^3+\mathrm{0,001}{x}^2-\mathrm{0,025}x+\mathrm{3,8}$ tegnes i et graftegnerprogram for $0\le x\le 300$.

Grafen starter ved $f(0)=\mathrm{3,8}°\mathrm{C}$, synker litt i starten til et lokalt bunnpunkt rundt $x\approx 13$, stiger deretter til et lokalt toppunkt rundt $x\approx 225$ og synker så igjen mot slutten av intervallet.

Vi finner de lokale ekstremverdiene ved å sette $f^{\prime }(x)=0$.

Vi deriverer:

Vi setter $f^{\prime }(x)=0$ og løser med graftegner eller CAS:

Vi beregner $f$ i disse punktene og i endepunktene:

Laveste temperatur er $\approx \mathrm{3,6}°\mathrm{C}$ og høyeste temperatur er $\approx \mathrm{16,9}°\mathrm{C}$.

Differansen er:

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er $\underline{\underline{\approx \mathrm{13,3}°\mathrm{C}}}$.

Vi setter $x=100$ inn i $f(x)$:

$\underline{\underline{f(100)=\mathrm{8,5}°\mathrm{C}}}$ — dette betyr at havtemperaturen er $\mathrm{8,5}°\mathrm{C}$ på dag 100 etter 31. desember 2013 (det vil si rundt 10. april 2014).

Den momentane vekstfarten er $f^{\prime }(100)$:

$\underline{\underline{f^{\prime }(100)\approx \mathrm{0,091}°\mathrm{C}/\mathrm{d}\mathrm{a}\mathrm{g}}}$ — dette betyr at havtemperaturen øker med omtrent $\mathrm{0,091}°\mathrm{C}$ per dag på dag 100. Temperaturen er altså på vei opp, men stiger sakte på dette tidspunktet.

Bunnen (og toppen) av boksen består av et rektangel med bredde $x\mathrm{cm}$ og lengde $y\mathrm{cm}$, og to halvsirkler med diameter $x\mathrm{cm}$ i hver ende. De to halvsirklene setter vi sammen til én hel sirkel med radius ${\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{cm}$.

Arealet av grunnflaten (bunnen) blir dermed

der første ledd er arealet av sirkelen og andre ledd er arealet av rektanglet.

Volumet av en boks (et prisme) er alltid grunnflate ganger høyde, så siden sideflatene står vinkelrett på topp og bunn med høyde $h\mathrm{cm}$, blir volumet

Vi vet at summen av lengden og bredden i rektanglet er $10\mathrm{cm}$:

Vi vet også at summen av bredden og høyden er $5\mathrm{cm}$:

Vi setter $y=10-x$ og $h=5-x$ inn i volumformelen fra a):

Her må $x$ være mellom $0$ og $5$, siden både $y=10-x$ og $h=5-x$ må være positive tall (og $h=5-x>0$ er den strengeste betingelsen).

Vi tegner grafen til $V(x)$ i GeoGebra for $0<x<5$ og finner toppunktet med kommandoen Extremum:

Toppunktet på grafen er $(\mathrm{2,43},\mathrm{59,19})$. Det betyr at boksen får størst volum når bredden er

og det største volumet er da