2P-Y Vår 2020

Vi sorterer de 20 verdiene fra minst til størst:

Median er gjennomsnittet av de to midterste verdiene (plass 10 og 11 når $n = 20$):

Gjennomsnitt er summen av alle verdier delt på antall verdier:

Typetall er den verdien som forekommer flest ganger. Verdien $7$ forekommer 6 ganger, og det er flest.

Variasjonsbredde er differansen mellom største og minste verdi:

Svar: Medianen er $\underline{\underline{7{,}5}}$, gjennomsnittet er $\underline{\underline{7{,}6}}$, typetallet er $\underline{\underline{7}}$ og variasjonsbredden er $\underline{\underline{14}}$.

Vi teller opp hvor mange elever som svarte hvert antall ganger og beregner relativ frekvens (andel av 20):

Tallene i nest siste rad (frekvens) viser antall elever som hjalp til hjemme det aktuelle antallet ganger i løpet av uken. For eksempel hjalp 6 elever til hjemme 7 ganger i løpet av uken.

Relativ frekvens regnes ut ved å dele frekvensen på totalt antall elever (20). For eksempel er relativ frekvens for 7 ganger:

Det betyr at $30 \,\%$ av elevene hjalp til 7 ganger i løpet av uken.

Vi sammenligner bybanen med flybussen. Referansen er flybussen ($100 \, \mathrm{kr}$).

Prisforskjellen er:

Vi finner hvor mange prosent $60 \, \mathrm{kr}$ er av $100 \, \mathrm{kr}$:

Svar: Bybanen er $\underline{\underline{60 \,\%}}$ billigere enn flybussen.

Vi sammenligner flybussen med bybanen. Nå er referansen bybanen ($40 \, \mathrm{kr}$).

Prisforskjellen er fortsatt $60 \, \mathrm{kr}$, men nå deler vi på bybanens pris:

Svar: Flybussen er $\underline{\underline{150 \,\%}}$ dyrere enn bybanen.

Merk at svaret blir ulikt i a) og b) selv om prisforskjellen er den samme – det er fordi vi bruker ulikt referansegrunnlag (flybussen i a, bybanen i b).

Vi bruker midtpunktet i hvert intervall som representativ verdi for intervallet. Det siste intervallet $[40, 60\rangle$ har bredde 20, og midtpunktet er $50$.

Gjennomsnittet er $\underline{\underline{31 \, \mathrm{poeng}}}$.

I et histogram skal søylebredden tilsvare intervallbredden, og søylehøyden vise frekvenstetthet (antall per poengenhet). Her er de fleste intervallene $10$ poeng brede, men det siste er $20$ poeng bredt.

Vi beregner frekvenstetthet = antall elever ÷ intervallbredde:

Histogrammet tegnes med poeng langs $x$-aksen og frekvenstetthet langs $y$-aksen. Søylen over $[40, 60\rangle$ er dobbelt så bred som de andre, men halvparten så høy som antallet skulle tilsi, slik at arealet (= bredde × høyde) stemmer med antall elever.

Båten mister $5\,\%$ av verdien hvert år. Det betyr at den beholder $100\,\% - 5\,\% = 95\,\%$ av verdien hvert år. Vekstfaktoren er $0{,}95$.

Etter 10 år er verdien:

Uttrykket er $\underline{\underline{V = 200\,000 \cdot 0{,}95^{10}}}$.

Vi regner ut verdien etter 10 år:

Anders sier verdien vil være $100\,000 \, \mathrm{kr}$, altså nøyaktig halvparten av startprisen.

For at verdien skulle halvere seg til $100\,000 \, \mathrm{kr}$, måtte det bety at $50\,\%$ av verdien forsvinner etter 10 år. Men et verdifall på $5\,\%$ per år er ikke det samme som et samlet verdifall på $50\,\%$ etter 10 år. Hvert år regnes fallet av den gjenværende verdien, ikke av den opprinnelige prisen. Dermed faller verdien saktere og saktere for hvert år.

Etter 10 år er verdien ca. $\underline{\underline{119\,747 \, \mathrm{kr}}}$, ikke $100\,000 \, \mathrm{kr}$. Anders tar feil.

Vi teller antall grønne og hvite kvadrater i hver figur:

Vi ser at antall grønne kvadrater øker med $4$ for hver ny figur: $8, 12, 16, \ldots$

Figur 10 har $10^2 = 100$ hvite kvadrater, og vi kan telle oss frem:

Alternativt: fra figur 1 til figur 10 øker vi med $9$ steg à $4$:

I figur 10 er det $\underline{\underline{44 \text{~grønne kvadrater}}}$.

Vi kaller antall hvite kvadrater for $n^2$, der $n = 1, 2, 3, \ldots$

Fra tabellen over ser vi at antall grønne kvadrater $G$ er:

Vi kan også forstå det geometrisk: hvert av de fire sidene i den grønne rammen har $n + 2$ kvadrater, men hjørnene telles to ganger. Da er $G = 4(n+2) - 4 = 4n + 4$.

Sjekk:

• $n = 1$: $G = 4 \cdot 1 + 4 = 8$ ✓
• $n = 2$: $G = 4 \cdot 2 + 4 = 12$ ✓
• $n = 3$: $G = 4 \cdot 3 + 4 = 16$ ✓

Uttrykket for antall grønne kvadrater er $\underline{\underline{G = 4n + 4}}$.

Vi skriver inn funksjonene i GeoGebra og tegner grafene i samme koordinatsystem:

M(x) = If(0 <= x && x <= 190, -0.0002*x^3 + 0.046*x^2 + 2*x + 396)
T(x) = If(0 <= x && x <= 190, -0.00028*x^3 + 0.066*x^2 + 2.2*x + 295)
Skjaering = Intersect(M, T, 0, 190)
ZoomIn(0, 200, 200, 1100)

$M(x)$ (blå) og $T(x)$ (grønn) viser daglengden i henholdsvis Mandal og Trondheim, der $x$ er antall dager etter 31. desember 2018.

Vi ser at:

• Begge grafene starter med ulik verdi ved $x = 0$: Mandal har $M(0) = 396$ minutter, Trondheim har $T(0) = 295$ minutter.
• Daglengden øker for begge byer utover i perioden.
• Trondheim ($T$) øker raskere enn Mandal ($M$) i begynnelsen av perioden.

Vi bruker GeoGebra til å finne skjæringspunktet mellom $M$ og $T$.

GeoGebra gir at grafene skjærer hverandre ved

$x = 79$ svarer til omtrent 20. mars 2019 (31 dager i januar + 28 dager i februar + 20 dager i mars = 79 dager).

Daglengden var lik i Mandal og Trondheim rundt 20. mars 2019, med om lag $742$ minutters daglengde.

Gjennomsnittlig vekstfart er definert som:

Vi beregner fra 31. desember ($x = 0$) til 1. mai.

Fra 31. desember til 1. mai er det $31 + 28 + 31 + 30 + 1 = 121$ dager, altså $x = 121$.

Vi regner ut:

Gjennomsnittlig vekstfart:

Daglengden i Mandal økte i gjennomsnitt med omtrent $\underline{\underline{4{,}64}}$ minutter per dag fra 31. desember til 1. mai.

Dette betyr at for hver dag som gikk i dette tidsrommet, ble dagen i gjennomsnitt nesten 5 minutter lengre.

Den momentane vekstfarten til $T$ ved $x = 60$ er det samme som den deriverte $T'(60)$.

Vi deriverer $T(x)$:

Vi setter inn $x = 60$:

Den momentane vekstfarten er $\underline{\underline{T'(60) \approx 7{,}10 \mathrm{~min/dag}}}$.

$x = 60$ svarer til omtrent 1. mars 2019 (31 januar + 28 februar + 1 mars = 60 dager).

Praktisk tolkning: Den 1. mars 2019 økte daglengden i Trondheim med omtrent $7{,}1$ minutter per dag. Det betyr at dagene ble lenger med nesten $7{,}1$ minutters hastighet akkurat da.

Lars antar at antallet hoppekreps øker med et fast antall per dag. Det betyr at han bruker en lineær modell. Siden vi har fire datapunkter og hjelpemidler, bruker vi lineær regresjon i GeoGebra.

Vi fører datapunktene $(0,\,10000)$, $(3,\,20000)$, $(4,\,30000)$ og $(6,\,120000)$ inn i regnearket og velger regresjonsanalyse med lineær modell. GeoGebra gir:

Hva tallene betyr:

• $16\,800$ er den daglige økningen i antall hoppekreps (stigningstallet).
• $-9\,600$ har ingen praktisk betydning. Et konstantledd skulle vært antallet hoppekreps på dag $0$, men dette tallet er negativt, og et antall hoppekreps kan ikke være negativt (vi vet dessuten at det var $10\,000$ den 30. april). Modellen treffer altså ikke datamaterialet særlig godt.

Lene antar at antallet hoppekreps øker med en fast prosent per dag. Det betyr at hun bruker en eksponentiell modell av typen $g(x) = a \cdot b^x$. Vi bruker samme datapunkter, men velger eksponentiell regresjon i GeoGebra:

Hva tallene betyr:

• $7\,961$ er startverdien. Ifølge Lenes modell var det omtrent $8\,000$ hoppekreps på dag $0$ (30. april), noe som ikke avviker så mye fra det riktige antallet $10\,000$.
• $1{,}49$ er vekstfaktoren per dag. Siden $1{,}49 - 1 = 0{,}49$, betyr det at antallet øker med omtrent $49 \,\%$ per dag.

For å finne kubikkmodellen $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ bruker Lene regresjon i GeoGebra.

Fremgangsmåte i GeoGebra:

1. Skriv inn datapunktene som en liste i GeoGebra:

2. Bruk regresjonskommandoen for tredjegradspolynom:

3. GeoGebra beregner koeffisientene ved å løse et likningssystem med fire ligninger (ett for hvert datapunkt) og fire ukjente ($a$, $b$, $c$, $d$).

Verifisering: Siden vi har nøyaktig fire datapunkter og fire koeffisienter, går kubikkmodellen gjennom alle punktene eksakt:

Resultatet er:

Vi tegner grafene til $g(x) \approx 7961 \cdot 1{,}49^x$ og $h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000$ i GeoGebra, sammen med de fire datapunktene.

I GeoGebra:

• Skriv inn $g(x) = 7961 \cdot 1.49^x$ (blå kurve)
• Skriv inn $h(x) = 1667x^3 - 10000x^2 + 18333x + 10000$ (grønn kurve)
• Legg inn datapunktene $(0, 10000)$, $(3, 20000)$, $(4, 30000)$, $(6, 120000)$

Likheter og forskjeller:

Likheter:

• Begge modellene starter omtrent ved riktig startverdi ($g(0) \approx 7\,961$ og $h(0) = 10\,000$) den 30. april.
• Etter begge modellene vil bestanden øke kraftig og vokse over alle grenser etter noen få dager.

Forskjeller:

• $h(x)$ (kubikkmodellen) treffer alle fire datapunkter nøyaktig, mens $g(x)$ bommer litt på punktene.
• $h(x)$ har et lokalt toppunkt rundt dag $1$ og synker litt før den stiger igjen. Ifølge denne modellen skulle altså bestanden gå litt ned før den øker — noe som neppe stemmer med virkeligheten.
• $g(x)$ er en jevn, alltid voksende og alltid positiv kurve, og er på den måten mer realistisk i formen — den har hatt et visst antall hoppekreps hele tiden som bestanden kan utvikle seg fra.

Vi leser av prosentandelene fra diagrammene og regner ut gjennomsnittet som et vektet gjennomsnitt.

Matematikk:

Norsk:

Gjennomsnittskarakteren er $\underline{\underline{\approx 3{,}73}}$ i matematikk og $\underline{\underline{\approx 3{,}90}}$ i norsk.

Standardavviket sier noe om hvor spredt karakterene er rundt gjennomsnittet. Jo mer spredt fordelingen er, desto større er standardavviket.

I matematikk er fordelingen relativt jevnt fordelt over alle karakterer fra 1 til 6 – mange elever har fått karakterene 1 og 2 (til sammen nesten $18{,}4 \,\%$), og relativt mange har fått 5 og 6. Fordelingen er bred og flat.

I norsk er fordelingen mer samlet rundt midten: karakteren 4 dominerer sterkt ($35{,}5 \,\%$), karakterene 3 og 5 er de nest vanligste, mens det er svært få elever med 1 og 2 (til sammen bare $8{,}7 \,\%$). Fordelingen er smalere og mer klokkeformet.

Siden karakterene i matematikk er mer spredt fra gjennomsnittet enn i norsk, er standardavviket større i matematikk.

(For den som vil kontrollere: $s_{\text{mat}} \approx 1{,}24$ og $s_{\text{norsk}} \approx 1{,}04$.)

Påstand 1 er feil.

Et høyere gjennomsnitt sier ingenting om spredningen. For eksempel kan datasett A = {4, 4, 4} ha gjennomsnitt 4 og standardavvik 0, mens datasett B = {1, 3, 6} har gjennomsnitt $\frac{10}{3} \approx 3{,}33$ og standardavvik større enn 0. Her er gjennomsnittet for A høyere enn for B, men standardavviket for A er lavere – ikke høyere. Motsatt kunne vi hatt tilfeller der høyere gjennomsnitt gir høyere standardavvik. Det er ingen fast sammenheng mellom gjennomsnitt og standardavvik.

Påstand 2 er riktig.

Standardavviket måler gjennomsnittlig avstand fra gjennomsnittet. Hvis alle verdiene i datasettet er like, er alle avstandene fra gjennomsnittet lik null, og dermed er standardavviket $= 0$. Omvendt: hvis standardavviket er null, kan ingen verdi avvike fra gjennomsnittet, så alle verdiene må være like.

Vi setter opp et regneark med følgende kolonner:

• År — årstallet (1–10)
• Saldo ved årsstart — saldo etter at årets innskudd på $25\,000 \, \mathrm{kr}$ er lagt til
• Rente % — $2{,}5 \,\%$ så lenge saldo er under $100\,000 \, \mathrm{kr}$, ellers $3{,}5 \,\%$
• Rente kr — renten beregnet på saldo ved årsstart
• Saldo ved årsslutT — saldo etter at renten er lagt til

Formlene i regnearket (for rad $n$, der saldo i forrige celle er $S_{n-1}$):

• Saldo årsstart: $S_{\text{start}} = S_{n-1} + 25\,000$
• Rente %: =HVIS(S_start < 100000; 2,5%; 3,5%)
• Rente kr: $S_{\text{start}} \cdot \text{rente \%}$
• Saldo årslutt: $S_{\text{start}} + \text{rente kr}$

Resultattabellen blir:

Fra og med år 4 er saldo ved årsstart over $100\,000 \, \mathrm{kr}$, og renten øker til $3{,}5 \,\%$.

Den totale renteinntekten er summen av kolonnen «Rente (kr)»:

Vi kan også kontrollere dette slik: Linn har satt inn $25\,000 \cdot 10 = 250\,000 \, \mathrm{kr}$ totalt, og saldo etter 10 år er $301\,564{,}18 \, \mathrm{kr}$. Renteinntekten er da $301\,564{,}18 - 250\,000 = 51\,564{,}18 \, \mathrm{kr}$.

Linn har fått $\underline{\underline{51\,564 \, \mathrm{kr}}}$ i renter totalt i løpet av 10 år.

Det er $1050$ deltakere totalt, og like mange menn som kvinner, så det er $525$ kvinner og $525$ menn.

• $32 \,\%$ av kvinnene følte i stor grad flyskam: $0{,}32 \cdot 525 = 168$ kvinner
• $20 \,\%$ av mennene følte i stor grad flyskam: $0{,}20 \cdot 525 = 105$ menn

Vi ser fra tabellen at $273$ av $1050$ personer i stor grad følte flyskam.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person i stor grad følte flyskam, er $\underline{\underline{0{,}26}}$ (dvs. $26 \,\%$).

Vi vet nå at personen i stor grad følte flyskam – det er altså $273$ personer å velge blant. Av disse er $168$ kvinner.

Sannsynligheten for at personen er en kvinne, gitt at hun/han i stor grad følte flyskam, er $\underline{\underline{\dfrac{8}{13} \approx 0{,}615}}$ (dvs. ca. $61{,}5 \,\%$).