2P-Y Vår 2014

Tønnen starter med $500 \mathrm{~L}$. Hvert år er $98 \,\%$ igjen, det vil si vi ganger med vekstfaktoren $0{,}98$ for hvert år.

Etter 12 år er det igjen:

Svaret er $\underline{\underline{500 \cdot 0{,}98^{12}}}$ liter.

Etter 20 år er det igjen $500 \cdot 0{,}98^{20} \mathrm{~L}$ i tønnen.

Det som har fordampet, er differansen mellom det opprinnelige innholdet og det som er igjen:

Svaret er $\underline{\underline{500 - 500 \cdot 0{,}98^{20}}}$ liter.

John regner som om det fordamper $2 \,\%$ av de opprinnelige $500 \mathrm{~L}$ hvert år, altså $10 \mathrm{~L}$ per år. Det stemmer ikke.

Det som faktisk skjer, er at hvert år fordamper $2 \,\%$ av det som er igjen i tønnen akkurat det året. Det første året fordamper $2 \,\%$ av $500 \mathrm{~L} = 10 \mathrm{~L}$. Det andre året er det bare $490 \mathrm{~L}$ igjen, og da fordamper $2 \,\%$ av $490 \mathrm{~L} = 9{,}8 \mathrm{~L}$. Slik fortsetter det – for hvert år er mengden som fordamper, litt mindre enn året før.

Etter 25 år er det derfor mer enn $250 \mathrm{~L}$ igjen i tønnen. John tar feil fordi han bruker lineær (additiv) beregning i stedet for geometrisk (multiplikativ) nedgang.

John tar feil. Hvert år fordamper 2 % av det som er igjen – ikke 2 % av de opprinnelige 500 L. Totalt fordampet etter 25 år er derfor mindre enn 50 %.

Vi leser av verdiene fra bildet:

• MIN: $116 \mathrm{~psi}$ tilsvarer $8 \mathrm{~bar}$, altså punktet $(116, 8)$
• MAX: $145 \mathrm{~psi}$ tilsvarer $10 \mathrm{~bar}$, altså punktet $(145, 10)$

Vi kan sjekke at forholdet mellom bar og psi er det samme for begge punktene:

Forholdet er likt, så linjen går gjennom origo. Vi tegner et koordinatsystem med psi langs $x$-aksen og bar langs $y$-aksen, markerer punktene $(116, 8)$ og $(145, 10)$, og tegner en rett linje gjennom punktene (og origo).

Vi bruker at $8 \mathrm{~bar} = 116 \mathrm{~psi}$, som gir omregningsfaktoren:

For $35 \mathrm{~psi}$:

For $65 \mathrm{~psi}$:

Lasse bør ha et lufttrykk på mellom $\underline{\underline{2{,}4 \mathrm{~bar}}}$ og $\underline{\underline{4{,}5 \mathrm{~bar}}}$ i dekkene på terrengsykkelen.

(Samme svar kan leses av fra grafen tegnet i oppgave a.)

Vi setter opp det vi vet:

• Totalt antall medlemmer: $40$
• Har sett «Gåten Ragnarok» (GR): $\frac{1}{2} \cdot 40 = 20$
• Har sett «Tusen ganger god natt» (TG): $15$
• Har ikke sett noen av filmene: $14$

Antall som har sett minst én film:

Antall som har sett begge filmene (de som er med i begge gruppene):

Vi kan sette dette opp i et venndiagram:

9 av medlemmene har sett begge filmene.

Antall som har sett minst én film: $40 - 14 = 26$

Sannsynligheten for at et tilfeldig valgt medlem har sett minst én av filmene er $\underline{\underline{\dfrac{13}{20}}}$.

Det betyr at det er $65 \,\%$ sjanse for at et tilfeldig valgt medlem har sett minst én film.

Vi vet at medlemmet har sett «Tusen ganger god natt». Da ser vi bare på de $15$ som har sett denne filmen. Av disse 15 har $9$ også sett «Gåten Ragnarok» (fra tabellen i a).

Sannsynligheten for at et medlem som har sett «Tusen ganger god natt», også har sett «Gåten Ragnarok», er $\underline{\underline{\dfrac{3}{5}}}$.

Det betyr at $60 \,\%$ av dem som har sett «Tusen ganger god natt», også har sett «Gåten Ragnarok».

Vi lager et gruppert søylediagram der hvert fremmedspråk har to søyler side om side — én for gutter og én for jenter.

Diagrammet viser at spansk er det mest valgte fremmedspråket, mens tysk og spansk er omtrent like populære. Jenter velger spansk og fransk i noe større grad enn gutter, mens gutter velger tysk noe mer enn jenter.

Vi lager et kurvediagram (linjediagram) med én kurve per fremmedspråk og skoleår på x-aksen.

Diagrammet viser tydelig at spansk vokste kraftig fra $2{,}0 \,\%$ i 2002/03 til over $34 \,\%$ i 2012/13, mens tysk og fransk har hatt en nedgang i samme periode.

Av tabell 1 vet vi at det var $10\,385 + 11\,619 = 22\,004$ elever som valgte spansk skoleåret 2012/2013.

Av tabell 2 vet vi at spansk-andelen dette skoleåret var $34{,}9 \,\%$.

Vi bruker at

og løser for totalt antall:

Det var omtrent $\underline{\underline{63\,000}}$ elever på 8. trinn skoleåret 2012/2013.

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker lineær regresjon. La $x$ være antall år etter 2002 og $f(x)$ være gjennomsnittspris per kvadratmeter i kroner.

Stigningstallet $2160$ betyr at prisen per kvadratmeter øker med omtrent $\textcolor{steelblue}{2160 \, \mathrm{kr}}$ per år ifølge modellen.

Grafen under viser de seks datapunktene (røde) og regresjonslinjen (blå):

Den lineære modellen er $\underline{\underline{f(x) = 2160x + 11701}}$.

En enebolig på $200 \, \mathrm{m}^2$ til $10 \, \mathrm{mill}$ kr gir en pris per kvadratmeter på:

Vi setter $f(x) = 50\,000$ og løser for $x$:

Det oransje punktet i grafen viser skjæringen mellom regresjonslinjen og den grønne linjen $y = 50\,000$.

Siden $x$ er antall år etter 2002, svarer $x \approx 17{,}7$ til kalenderåret $2002 + 17{,}7 \approx 2019{,}7$ — altså i løpet av 2019.

Dersom prisutviklingen fortsetter, vil en enebolig på 200 m² passere 10 millioner kroner $\underline{\underline{\text{i løpet av 2019}}}$.

Prisen øker med $20 \,\%$ totalt over 3 år (2012–2015). Vi finner den årlige prosentvise økningen.

La $p$ være den årlige vekstfaktoren. Etter 3 år skal vi ha totalt $20 \,\%$ økning, altså:

Den årlige prosentvise økningen er:

En total økning på $20 \,\%$ over 3 år tilsvarer $\underline{\underline{\approx 6{,}3 \,\%}}$ økning per år.

I dag er det 5000 innbyggere i Alvfjord. Det er startverdien til funksjonen, og vi setter denne inn som den fremste faktoren:

Innbyggertallet øker med 4 % hvert år. Det betyr at vi hvert år ganger med

Dette kaller vi vekstfaktoren. Etter $x$ år har vi ganget med $1{,}04$ nøyaktig $x$ ganger, altså $1{,}04^x$. Dermed blir funksjonen:

Vi bruker GeoGebra og tegner grafen til $A(x) = 5000 \cdot 1{,}04^x$ for $0 \leq x \leq 30$.

Grafen viser at innbyggertallet i Alvfjord vokser jevnt og tiltagende (eksponentiell vekst) fra 5000 innbyggere ved $x = 0$ til ca. 16 000 innbyggere ved $x = 30$.

Vi setter $x = 10$ inn i funksjonen:

Ifølge modellen vil det være om lag $\underline{\underline{7401 \mathrm{~innbyggere}}}$ i Alvfjord om 10 år. Det er en økning på ca. 2400 innbyggere fra dagens 5000.

Vi ser på skissen at muren på 20 m dekker deler av den ene langsiden (lengde $y$). Gjerdets totale lengde er da:

Vi løser for $y$:

Arealet av rektangelet er $A = x \cdot y$, så vi setter inn:

Modellen er $\underline{\underline{A(x) = 70x - x^2}}$.

Vi bruker GeoGebra til å tegne $A(x) = 70x - x^2$ og finne toppunktet.

Fra grafen leser vi av at toppunktet er i $(35,\ 1225)$.

Det betyr at arealet er størst når $x = 35 \, \mathrm{m}$.

Vi finner $y$:

Vi sjekker at $y > 20$: $35 > 20$ ✓

Største areal:

Arealet av gjerdet område blir størst mulig når $x = \underline{\underline{35 \, \mathrm{m}}}$. Det største arealet er $\underline{\underline{1225 \, \mathrm{m}^2}}$.

Dette betyr at Ola bør gjerde inn et område som er 35 m bredt og 35 m langt, og da får han et område på 1225 kvadratmeter.

Vi vil finne sannsynligheten for at ingen av de tre mennene bruker bunad, det vil si $P(X = 0)$.

Vi regner ut:

Sannsynligheten for at ingen av de tre mennene bruker bunad er $\underline{\underline{P(X=0) \approx 75{,}4 \,\%}}$.

Det vil si at om vi velger ut tre tilfeldige norske menn, er det litt over tre av fire sjanser for at ingen av dem har på seg bunad.

Vi vil finne sannsynligheten for at nøyaktig én av de tre mennene bruker bunad, det vil si $P(X = 1)$.

Vi regner ut hvert ledd:

• $\binom{3}{1} = 3$ — det er 3 måter å velge ut hvilken av de tre mennene som har bunad
• $0{,}09^1 = 0{,}09$
• $0{,}91^2 = 0{,}8281$

Vi kan også se dette med et valgtre. Vi kaller «bruker bunad» for B og «bruker ikke bunad» for I:

De tre uthevede radene gir nøyaktig én med bunad. Alle tre har samme sannsynlighet $0{,}09 \cdot 0{,}91^2 = 0{,}074529$, og vi legger dem sammen:

Sannsynligheten for at nøyaktig én av de tre mennene bruker bunad er $\underline{\underline{P(X=1) \approx 22{,}4 \,\%}}$.

Det vil si at om vi velger ut tre tilfeldige norske menn, er det litt over én av fem sjanser for at nøyaktig én av dem har på seg bunad.

Vi finner gjennomsnittet ved å summere alle målene og dele på antall kamper.

Izabela Duda skåret i gjennomsnitt $\underline{\underline{8{,}0 \text{ mål per kamp}}}$.

Vi sammenligner de to spillerne:

Izabela har et gjennomsnitt på $8{,}0$ mål per kamp, mens den andre spilleren har $5{,}0$. Izabela skårer klart flere mål i gjennomsnitt.

Den andre spillerens standardavvik er $2{,}5$, som betyr at hun typisk scorer mellom $2{,}5$ og $7{,}5$ mål per kamp. Izabelas prestasjoner varierer mer — hun har alt fra 1 til 17 mål i en kamp — noe som tyder på et høyere standardavvik for henne.

Samlet sett er Izabela den klart mest produktive scoreren, men prestasjonene hennes varierer mer fra kamp til kamp.

Fra den kumulative frekvenstabellen kan vi lese av:

Antall kamper med nøyaktig 3 straffemål:

Hun skåret 3 straffemål i $\underline{\underline{4 \text{ kamper}}}$.

For å finne totalt antall straffemål multipliserer vi antall straffemål med antall kamper og summerer:

Izabela skåret totalt $\underline{\underline{28 \text{ mål på straffekast}}}$ i løpet av de 22 kampene.

Oppgaven forteller at $F_4 = 3 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 37$.

Vi ser at mønsteret er bygd opp slik: for figur $F_n$ er det tre rektangulære blokker der den ene er $(n-1) \times (n-1)$, den andre er $(n-1) \times n$, og den tredje er $n \times n$.

For $F_5$ setter vi $n = 5$:

$F_5$ inneholder $\underline{\underline{61}}$ sjokolader.

Det fargekodede bildet viser at $F_4$ er delt i tre blokker (svart, gul og rød). Vi bruker samme inndeling.

For $F_3$ ($n = 3$):

For $F_5$ ($n = 5$):

Vi bruker samme mønster for $F_{10}$ ($n = 10$):

$F_{10}$ inneholder $\underline{\underline{271}}$ sjokolader.

For å lage en generell modell skriver vi ut uttrykket for $F_n$:

Vi ganger ut og forenkler:

Modell: $\underline{\underline{F_n = 3n^2 - 3n + 1}}$

Vi kan sjekke:

Vi skal finne det største $n$ slik at $F_n \leq 5000$.

Vi løser ulikheten $3n^2 - 3n + 1 \leq 5000$, det vil si $3n^2 - 3n - 4999 \leq 0$.

Vi prøver noen verdier:

Siden $F_{41} = 4921 \leq 5000$ og $F_{42} = 5167 > 5000$, er det største mulige figurnummeret $n = 41$.

Den største figuren Thea kan lage med 5000 sjokolader er $\underline{\underline{F_{41}}}$, som bruker $4921$ sjokolader.